Sistemi di equazioni lineari

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1 Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212

2 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti nel campo C, è una scrittura del tipo a 11 x a 1n x n = b 1 Σ :.. a m1 x a mn x n = b m ove i coefficienti a ij e i termini noti b i, i m, j n sono elementi di C.

3 Sistema lineare omogeneo Un sistema lineare Σ si dice omogeneo se b 1 = = b m =, ossia tutti i termini noti sono nulli. Dato un sistema Σ (come nella pag. precedente), il sistema omogeneo associato è il sistema a 11 x a 1n x n = Σ =.. a m1 x a mn x n =

4 Soluzioni di un sistema lineare Con soluzione del sistema lineare a 11 x a 1n x n = b 1 Σ :.. a m1 x a mn x n = b m si intende una n-upla (α i ) C n tale che sostituendo ordinatamente gli scalari α i alle incognite x i nelle equazioni del sistema Σ si ottengano delle identità.

5 Esempio Dato il sistema la terna lo sono. ( 11 Σ : { 2x1 + x 2 2x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = ) è soluzione di Σ mentre le terne ( ) ( ) 3, non

6 Matrice incompleta e matrice completa di Σ Dato a 11 x a 1n x n = b 1 Σ :.. a m1 x a mn x n = b m Poniamo a a 1n a a 1n b 1 A =.., (A b) =.. a m1... a mn a m1... a mn b m A è detta matrice incompleta del sistema mentre (A b) viene detta matrice completa.

7 Esempio Sistemi lineari Dato il sistema 4x 1 3x 2 + x 3 x 4 = 5 Σ : 3x 1 x 2 x 4 = 3 x 3 = A = 3 1 1, (A b) =

8 Scrittura compatta di Σ Dato un sistema Σ di matrice incompleta A e indicate risp. con b = b 1. b m e con x = x 1. x n, la colonna dei termini noti e la colonna delle incognite, possiamo scrivere Σ : Ax = b.

9 Esempio Sistemi lineari { 2x1 + x 2 2x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = ( ) x 1 x 2 x 3 = ( 3 NB: una terna x 1, x 2, x 3 è soluzione del sistema se e solo se ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 + x x 1 3 = 1 ossia se e solo se la colonna dei termini noti è c.l. delle colonne della matrice A con coefficienti proprio x 1, x 2, x 3. )

10 Definizione Data una matrice A si definisce rango (per colonna) di A la dimensione dello spazio generato dalle colonne di A. Si definisce rango (per riga) di A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A Si dimostra che il rango per riga e il rango per colonna coincidono e vengono indicati con rka.

11 Teorema (Rouché-Capelli) Il sistema lineare Σ: Ax = b, con A matrice m n a coefficienti nel campo C e b C m, ha soluzione se, e solo se, rk(a b) = rka. In tal caso Sol(A b) = x + Sol(A ), ossia l insieme, Sol(A b), delle sue soluzioni si ottiene sommando a una soluzione particolare del sistema, x, una soluzione del sistema omogeneo associato Σ : Ax =. Le soluzioni di Σ formano uno spazio vettoriale di dimensione n rka.

12 Definizione Due sistemi lineari Σ 1 : A 1 x = b 1, Σ 2 : A 2 x = b 2 a coefficienti in C, entrambi in n incognite, si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Eventualemente aggiungendo eq. del tipo = ad uno dei sistemi posso assumere che A 1, A 2 abbiano lo stesso ordine m n e che b 1, b 2 C m. Due sistemi equivalenti, che ammettano soluzioni, hanno sempre lo stesso rango (vedi R.-C.). Il viceversa è banalmente falso.

13 su un sistema Sia Σ: Ax = b. Si considerino le seg. operazioni elementari: i) scambio di due equazioni in un sistema lineare; ii) moltiplicazione di tutti i coefficienti di un equazione per una costante α C diversa da zero; iii) sostituzione di un equazione con la somma della stessa con un multiplo di una equazione che la precede. Le operazioni elementari trasformano Σ in un sistema equivalente. Così anche la iii ) sostituzione di un equazione con la somma della stessa con un multiplo di un altra equazione.

14 Che i) e ii) non cambino le soluzioni è immediato. Per iii), si considerino i sistemi { { p(x) = p(x) = Σ 1 : Σ q(x) = 2 : q(x) + αp(x) = p(x) = a 1 x a n x n c, q(x) = a 1x a nx n c, a i, a i, c, c, α C. x = ( x 1,..., x n ) Sol(Σ 1 ) p( x) = = q( x) p( x) = e q( x) + αp( x) = x Sol(Σ 2 ). Il caso di sistemi con più di due equazioni è analogo perché solo due equazioni vengono interessate dall operazione.

15 sulle riga di una matrice Sia A M m n (C). Si considerino le seguenti operazioni: i) scambio di due righe; ii) moltiplicazione di tutti i coefficienti di una riga per una costante α C diversa da zero; iii) sostituzione di una riga con la somma della stessa con un multiplo di una riga che la precede. iii ) sostituzione di una riga con la somma della stessa con un multiplo di un altra riga. Un operazione elementare sul sistema Σ: Ax = b produce un sistema A x = b ove A (risp. (A b ) ) si ottiene da A (risp. da (A b)) applicando la corrispondente operazione elementare.

16 Esempio Sistemi lineari { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 + x 2 5x 3 = 1 di matrice compl. ( ) Scambiando le due righe si ha: { 3x1 + x 2 5x 3 = 1 di matrice compl. 2x 1 3x 2 + x 3 = 1 ( ) e ovviamente le soluzioni del sistema non cambiano.

17 Esempio Sistemi lineari { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 3 = di matrice compl. ( ) Moltiplicando la prima riga per 2 si ha: { 2(2x1 3x 2 + x 3 ) = 2 di matr. compl. 3x 1 x 3 = ( ) e ancora le soluzioni del sistema non cambiano.

18 Esempio { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 = di matrice compl. ( ) Sommando alla seconda riga 2 volte la prima, si ha: { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 2(2x 1 3x 2 + x 3 ) = 2 { 2x1 3x ossia 2 + x 3 = 1 x 1 + 5x 2 3x 3 = 2 di matr. e ancora le soluzioni del sistema non cambiano. ( )

19 Esempio { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 = di matrice compl. ( ) Sommando alla seconda riga 3/2 volte la prima, si ha: { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 3/2(2x 1 3x 2 + x 3 ) = 3/2 ossia { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 7/2x 2 5/2x 3 = 3/2 di matr. E quest ultimo sistema è di più facile soluzione. ( /2 5/2 3/2 )

20 Esempio Sistemi lineari { 2x1 3x Le soluzioni di 2 + x 3 = 1 si trovano ricavando x 7x 2 5x 3 = 3 2 in funzione di x 3 dall ultima eq. e sostituendolo nella prima eq. { 2x x x 3 = 1 x 2 = 5 7 x { x1 = 4 7 x x 2 = 5 7 x ossia Sol = a a a a C = 1/7 3/7 + 4/7 5/7 1.

21 Matrice a scala Sistemi lineari Definizione Una matrice A = (a i,j ) M m,n (C) si dice in forma a scala (per righe) se per ogni riga r, se a r,jr è il primo elemento non nullo della riga r-esima, allora tutti i coefficienti a sinistra e in basso rispetto al termine a r,jr sono nulli (ossia, a i,j = ogni volta che i r e j j r, a parte il caso i = r e j = j r ). I primi termini non nulli di ciascuna riga si dicono pivot o termini direttori della matrice a scala , 3 1, 5

22 Matrice a scala speciale Definizione Una matrice si dice in forma speciale a scala (per righe) se è in forma a scala e tutti i pivot sono uguali a 1. Una matrice si dice in forma a scala ridotta se è in forma speciale e ogni pivot è l unico elemento non nullo della sua colonna , 1 1 2, Le prime due sono speciali, la terza è anche ridotta.

23 Soluzione di Σ : Ax = b con (A b) in forma in scala speciale. x 2 x 3 + 3x 4 = Σ 1 : x 4 + x 5 = x 5 = con sostituzione dal basso si ottiene Σ 2 : cui otteniamo che le soluzioni sono del tipo x 1 x x 3, ossia Sol = x 2 = x 3 8 x 4 = 3 x 5 = 1 1, 1 1 da.

24 Soluzione di Σ : Ax = b con (A b) in forma in scala ridotta. x 1 + 3x 3 + 5x 4 = x Σ 1 : 2 + x 3 + 4x 4 = x 5 = x 6 = da cui otteniamo che le soluzioni sono del tipo 1 3x 3 5x 4 1 x 3 4x 4 x 3 x 4, ossia Sol = , 5 4 1

25 Scopo dell algoritmo di Gauss Attraverso operazioni elementari costruire a partire da un sistema Σ un sistema equivalente la cui matrice associata sia a scala (eventualmente ridotta). Come visto dagli esempi sarà facile determinare le soluzioni di quest ultimo sistema (che coincidono con le soluzioni del sistema di partenza!).

26 Algoritmo di Gauss Sistemi lineari È la dimostrazione costruttiva della seguente affermazione: Teorema Tramite operazioni elementari sulle righe di tipo i) e iii) ogni matrice può essere ridotta in forma a scala (per righe); usando anche operazioni elementari di tipo ii) ogni matrice può essere trasformata in una matrice a scala speciale e in una a scala ridotta.

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