Compendio di Calcolo Combinatorio in preparazione all esame di stato

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1 Compedio di Clcolo Combitorio i preprzioe ll esme di stto Simoe Zuccher prile Idice Permutzioi semplici Permutzioi co ripetizioe Disposizioi semplici Disposizioi co ripetizioe 5 Combizioi semplici 6 Combizioi co ripetizioe 7 Coefficiete biomile 8 Esercizi Lo scopo del clcolo combitorio è di dire i quti modi si possoo fre certe cose, d esempio quti grmmi esistoo (che sez sigificto) dell prol CIAO o MAMMA, quti gruppi di tre persoe si possoo fre vedo disposizioe persoe, i quti modi si possoo fr sedere ttoro d u tvolo rotodo 9 persoe fcedo i modo che o sio mi vicie (perché o si sopporto) e così vi Il clcolo combitorio h, quidi, u grde utilità prtic Permutzioi semplici Immgiimo di vere cselle umerte (,, e ) elle quli si voglioo mettere oggetti diversi tr loro (d esempio frutti diversi, u mel, u per, u b ed u rci) Quti soo tutti i modi possibili i cui si possoo riempire le cselle co i frutti disposizioe? Bst rgiore el modo seguete: ell posizioe si ho possibilità (ciscuo dei frutti), ell posizioe si ho possibilità (i frutti rimsti), ell posizioe si ho solo possibilità e ell posizioe solo u (l ultimo frutto rimsto) Pertto, le possibilità soo: Defiizioe Dti oggetti distiti, chimimo permutzioi semplici degli oggetti tutti i gruppi che si possoo formre co gli oggetti dti prededoli, ogi volt, tutti Il umero di permutzioi semplici di oggetti viee idicto co P e, per quto visto ell esempio dei frutti, si h P ( )( ) Il prodotto ( )( ) prede il ome di fttorile del umero turle, pertto Si osservi che ( )( ) ( )! ( )( )! e così vi Quidi se si coosce il fttorile di è immedito clcolre il fttorile di Addo ritroso è però ecessrio clcolre il fttorile di, che è, così come il fttorile di :!,! Prtedo d questi si posso costruire tutti i fttorili dei umeri turli successivi:!!! 6!! 5! 5! 6! 6 7 7! 77 5

2 Permutzioi co ripetizioe Le permutzioi semplici rispodoo ll domd: quti grmmi si possoo fre dell prol CIAO (icludedo che le prole che o ho sigificto)? Evidetemete, essedo, gli grmmi possibili soo P! Tuttvi se ell prol soo preseti delle lettere che si ripetoo, le cose si complico: quti soo gli grmmi dell prol MAMMA? I questo cso scmbido tr loro le M e le A o si umeto le possibilità, quidi il umero di grmmi dell prol MAMMA si clcol dividedo il umero di permutzioi delle 6 lettere disposizioe per il umero di permutzioi delle M e per il umero di permutzioi delle A: 5!!! 5! 5!! 5 Defiizioe Dti oggetti dei quli il primo si ripete volte ( < ), il secodo volte ( < ), il terzo volte ( < ) e l ultimo volte ( < ) i modo che , chimimo permutzioi co ripetizioe tutti i gruppi che si possoo formre co gli oggetti dti prededoli, ogi volt, tutti Il umero di permutzioi co ripetizioe di oggetti viee idicto co P,,,, e, per quto visto proposito dell grmm di MAMMA, si h P,,,,!!!! Disposizioi semplici Immgiimo di vere cselle umerte (,, e ) elle quli si voglioo mettere 6 oggetti diversi tr loro (d esempio 6 frutti diversi, u mel, u per, u b, u rci u iwi ed u pesc) Come per le permutzioi semplici, l prim csell può essere riempit i 6 possibili modi, l secod i 5, l terz i e l ultim i Pertto il umero di modi possibili di disporre i 6 oggetti i cselle soo Defiizioe Dti oggetti distiti, si dicoo disposizioi semplici di oggetti di clsse (co, co tutti gli oggetti presi l mssimo u sol volt) tutti i rggruppmeti di oggetti che si possoo formre i modo che due rggruppmeti differisco o per gli oggetti preseti o per l ordie i cui gli oggetti soo disposti Si osservi che due gruppi distiti possoo essere formti dgli stessi oggetti purché l ordie i cui soo disposti si diverso Il umero di disposizioi semplici di oggetti di clsse viee idicto co D, e si h D, ( )( )( + ) Evidetemete, se, ossi se si predoo tutti gli oggetti disposizioe, si ricde el cso delle permutzioi semplici: D, ( )( )( + ) P Disposizioi co ripetizioe Quti umeri di cifre si possoo comporre co l tstier del telefoo? Fcile, tutti i umeri tr e 9999, ossi Tuttvi, co le sole cifre, e quti umeri di cifre si possoo comporre co il telefoo? Bst seguire questo rgiometo: l prim cifr può essere scelt i modi, l secod pure, così come l terz e l qurt, pertto il umero di umeri di cifre costruiti co le cifre, e soo: 8 Defiizioe Dti oggetti distiti, si dicoo disposizioi co ripetizioe di oggetti di clsse ( può essere mggiore, miore o ugule d ) tutti i rggruppmeti di oggetti che si possoo formre, che ripetedo u oggetto fio volte, i modo che due rggruppmeti differisco o per gli oggetti o per l ordie i cui soo disposti È importte osservre che, come detto ell defiizioe, u rggruppmeto può essere formto dllo stesso oggetto ripetuto fio volte Il umero di disposizioi co ripetizioe di oggetti di clsse viee idicto co D, e si h D, 5 Combizioi semplici I u clsse ci soo 5 studeti e l isegte decide di iterrogre (tutti ssieme) Quti gruppi di rgzzi può iterrogre l isegte? Si osservi che, differez delle disposizioi semplici, i questo cso o cot l ordie i cui gli oggetti vegoo rggruppti e quidi due gruppi differiscoo esclusivmete per gli oggetti i essi coteuti Pertto il umero di gruppi di persoe costituibili prtire d 5 rgzzi soo il umero di disposizioi semplici di 5 rgzzi presi gruppi di diviso per il umero di permutzioi dei studeti preseti i ciscu gruppo: D 5,! 5 65 Defiizioe 55 Dti oggetti distiti, si dicoo combizioi semplici di oggetti di clsse (co, co tutti gli oggetti presi l mssimo u sol volt) tutti i rggruppmeti di oggetti che si possoo formre i modo che due rggruppmeti differisco per gli oggetti preseti i essi Quidi due gruppi formti dgli stessi oggetti soo lo stesso gruppo (si pesi d u squdr di clcio, piuttosto che i gruppetti di rgzzi che soo iterrogti) Il umero di combizioi semplici di oggetti di clsse viee idicto co C, e si h C, D,! Pgi di 5

3 Si osservi che, moltiplicdo C, umertore e deomitore per ( )! si h C, D,! I defiitiv, ( )( )( + )! ( )( )( + )( )!!( )!!( )! C,!( )! 6 Combizioi co ripetizioe Defiizioe 66 Dti oggetti distiti, si dicoo combizioi co ripetizioe di oggetti di clsse ( può essere mggiore, miore o ugule d ) tutti i rggruppmeti di oggetti che si possoo formre, che ripetedo u oggetto fio volte, i modo che due rggruppmeti differisco per gli oggetti Ache i questo cso è importte osservre che, come detto ell defiizioe, u rggruppmeto può essere formto dllo stesso oggetto ripetuto fio volte Il umero di combizioi co ripetizioe di oggetti di clsse viee idicto co C, e si h C, C +, ( )( )( + )! 7 Coefficiete biomile Il simbolo C,, utilizzto per idicre il umero di combizioi semplici di oggetti di clsse, viee che idicto co il simbolo seguete che si legge semplicemete su : C,!( )! Si osservi che vlgoo le segueti proprietà:,, +, + +,, Il ome coefficiete biomile deriv dl ftto che l potez -esim di u biomio ( + b) può essere espress i modo comptto come ( + b) b dove soo proprio i coefficieti dei vri termii Per esempio, ( + b) è ( + b) Osservdo che ( ) i defiitiv si h b b + b + + b + b + b b + b!!!!!!!! b +!!!! 6!!!!!!!!!!!, ( + b) + b + 6 b + b + b, b + che equivle clcolre l potez di u biomio utilizzdo i coefficieti del Trigolo di Trtgli Si osservi che l potez del biomio permette che di clcolre come ( + b) co b : 8 Esercizi Le soluzioi ed lcue risoluzioi soo riportte di seguito gli esercizi Quti umeri di cifre, tutte distite, si possoo formre co i umeri, 5, 6, 7, 9? Quti umeri di cifre, che comicio per 5 e che soo formti d cifre tutte distite, si possoo formre co i umeri, 5, 6, 7, 8, 9? Qute prole di 5 lettere distite si possoo formre co u lfbeto di lettere? Quti grmmi esistoo dell prol MISSISSIP- PI? Quti di questi comicio per M e termio per S? Pgi di 5

4 5 Qute soo le tere che si possoo formre co i 9 umeri del lotto? 6 I quti modi si possoo mettere i fil 5 persoe? 7 I quti modi si possoo mettere i fil rgzzi e rgzze? 8 I quti modi si possoo mettere i fil rgzzi e rgzze i modo che i rgzzi sio tutti vicii tr loro e le rgzze tutte vicie tr loro? 9 I quti modi si possoo mettere i fil rgzzi e rgzze i modo che le rgzze sio tutte vicie tr loro? Verific l seguete idetità Risolvere l equzioe Qute prtite di clcio vegoo complessivmete disputte (tr dt e ritoro) el cmpioto itlio 8 squdre? (Esme di stto Liceo Scietifico PNI,, sessioe ordiri) Clcolre se esiste u umero turle per il qule risulti 8576 (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio,, sessioe supplettiv) Si cosideri u dt estrzioe i u determit Ruot del Lotto Clcolre qute soo le possibili ciquie che cotegoo i umeri e 9 (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio,, sessioe ordiri) 5 U professore iterrog i suoi lui due ll volt Stbilire qute possibili coppie diverse può iterrogre spedo che l clsse è compost d lui (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio, scuole itlie ll estero,, sessioe ordiri) 6 Dti gli isiemi A {,,,} e B {,b,c}, qute soo le ppliczioi (fuzioi) di A i B? (Esme di stto Liceo Scietifico PNI,, sessioe ordiri) 7 U clsse è formt d 7 lui: 5 femmie e mschi Si deve costruire u delegzioe di 5 lui, di cui femmie e mschi Qute soo le possibili delegzioi? (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio, 5, sessioe supplettiv) 8 All file dei m pii prtecipo 8 tleti, fr i quli figuro i ostri mici Atoio e Pietro Clcolre il umero dei possibili ordii di rrivo che registrio i ostri due mici tr i primi clssificti (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio,, sessioe supplettiv) 9 I quti modi persoe possoo disporsi su dieci sedili llieti? E ttoro d u tvolo circolre? (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio,, sessioe supplettiv) Il umero delle combizioi di oggetti presi è ugule l umero delle combizioi degli stessi oggetti presi Si trovi (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio e PNI,, sessioe ordiri) Dimostrre l seguete formul: + dove e soo umeri turli tli che < < Ess spieg u delle regole sulle quli è bst l costruzioe del Trigolo di Trtgli (d Niccolò Fot, detto Trtgli, 55 circ 557): eucirl (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio, 5, sessioe supplettiv) Se > e,, soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio e PNI,, sessioe ordiri) Si dimostri l idetità: + + co e turli e > (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio e PNI, 9, sessioe ordiri) Come si defiisce ( fttorile) e qule e è il sigificto el clcolo combitorio? Qul è il suo legme co i coefficieti biomili? Perché? (Esme di stto Liceo Scietifico PNI, 5, sessioe ordiri) 5 Si risolv l equzioe: 5 (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio, 7, sessioe ordiri) 6 Si risolv l disequzioe: ( ) > 5 ( ) (Esme di stto Liceo Scietifico ordirio, 7, sessioe supplettiv) Pgi di 5

5 Soluzioe/risoluzioe degli esercizi Siccome le cifre dei umeri devoo essere tutte distite ed due umeri formti dlle stesse cifre differiscoo se l ordie delle cifre è diverso, si trtt di u disposizioe semplice di 5 oggetti di clsse : D 5, 5 6 L prim cifr è 5, le ltre possoo essere scelte tr le rimeti 5 cifre m queste cifre devoo essere diverse tr loro, quidi i umeri possibili soo le disposizioi semplici 5 oggetti di clsse : D 5, 5 Essedo le lettere distite e siccome prole differiscoo per l ordie delle lettere preseti i esse, si trtt dell disposizioe semplice di oggetti di clsse 5: D, L prol MISSISSIPPI è formt d lettere, di cui quelle ripetute soo S, I e P, pertto il umero dei suoi grmmi è P,,!!!! 65 Quto si fisso l prim letter M e l ultim S rimgoo 9 lettere di cui S, I e P, pertto il umero dei suoi grmmi è P,, 9 9!!!! 6 5 Ogi umero può essere estrtto u sol volt, ioltre elle tere o cot l ordie di estrzioe, pertto soo le combizioi semplici di 9 oggetti presi gruppi di : D 9, ! 97! 6 ( 9 ) !!(9 )! 7 Si osservi che, comuque, si trtt di mettere i fil 7 persoe diverse, ossi di permutzioi semplici di 7 oggetti: P Si osservi, zitutto, che mettere prim i rgzzi e poi le rgzze è u possibilità, metre mettere prim le rgzze e poi i rgzzi è u ltr Cocetrimo sull prim: i rgzzi si possoo mettere i! modi e le rgzze i! modi, quidi i totle le permutzioi soo!! Ricorddo che e!( )! ( )!( )! ( )!( + )! ( )!( + )( )! si h ( ) + ( )!( )! + ( )!( + )( )! ( + ) + ( )!( + )( )! ( + + ) ( + )!( )! + +!( )! + + Prim di tutto bisog ssicursi che l espressioe bbi sigificto, ossi che e sio dei turli o egtivi pertto le codizioi di esistez soo {, N! Ricorddo che si ( )!( + )!! h ( )!! ( )( )! ( ) ( )!! 5 5 Siccome, per le codizioi di esistez, deve essere, l uic soluzioe ccettbile è ! 688 e 9! Si pesi come si costruisce il trigolo di trtgli l livello, dove il coefficiete ( prte il primo e l ultimo) è l somm dei coefficieti e otteuti l livello 7 Si proced come l solito Si ved l teori , N Pgi 5 di 5

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