Quali condizionisi si possono richiedere sulla funzione interpolante?

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1 INTERPOLAZIONE Problema generale di INTERPOLAZIONE Dati n punti distinti ( i, i ) i=,..,n si vuole costruire una funzione f() tale che nei nodi ( i ) i=,..n soddisfi a certe condizioni, dette Condizioni di interpolazione Quali condizionisi si possono richiedere sulla funzione interpolante?

2 Esempio condizioni di interpolazione: la funzione deve passare per i punti assegnati in ciascun nodo i è assegnata una condizione sulla funzione interpolante n Interpolazione di Lagrange

3 Interpolazione di Lagrange: formulazione generale Sia F uno spazio di funzioni di variabile reale o complessa. Assegnati: n valori distinti reali o complessi { i } i=,..n n valori distinti reali o complessi { i } i=,..n Si cerca una funzione f() F tale che: f( i )= i i=,,n Condizioni di interpolazione di Lagrange Esempio condizioni di interpolazione: la funzione deve passare per i punti assegnati con una fissata tangente

4 In ciascun nodo sono assegnate condizioni sulla funzione f() e sulle sue derivate. 0 0 n- 0 n- n- n- n 0 n n 3 N.B..se è assegnata in un nodo la condizione sulla derivata di ordine q, deve essere assegnata anche la condizione sulle derivate dall ordine 0 fino a q-. Interpolazione di Hermite Interpolazione di Hermite: Formulazione generale Sia F uno spazio di funzioni di variabile reale o complessa. Assegnati n numeri interi {l i } i=,..n tali che Σ n i= l i = m+ n valori distinti reali o complessi { i } i=,..n m+ valori distinti reali o complessi { j i } i=,,n j=0,,,l i - Si cerca una funzione f F tale che: f (j) ( i )= j i i=,,n j=0,,,l i - Condizioni di interpolazione di Hermite

5 In ciascun nodo c è almeno una condizione sulla funzione o sulla derivata di qualunque ordine 0 0 n- 0 n- n- n 0 n n 3 Interpolazione di Hermite-Birkoff.quale forma può avere una funzione interpolante? OVVERO: quale spazio di di funzioni F utilizzare?

6 Esempio - -π/ - π/3 π/ Interpolazione mediante polinomio di quinto grado - -π/ - π/3 π/

7 Interpolazione mediante polinomio trigonometrico di quinto grado - -π/ - π/3 π/ un confronto Quale funzione scegliere?

8 In generale, la scelta della forma della funzione interpolante ovvero la scelta dello spazio F dipende : dalle caratteristiche del problema reale dal costo computazionale relativo alla costruzione ed alla valutazione della funzione interpolante.fissiamo lo spazio dei polinomi.. Costruiamo il il polinomio interpolante di Lagrange.è unico?

9 Esempio: Siano P, P due punti fissati. Esistono infinite parabole per P, P Ma una sola retta per P, P dati i i due punti che grado deve avere il il polinomio affinché la la curva interpolante sia univocamente determinata?

10 Quindi... ) Per m < (in generale m< n- ) Non esiste alcun polinomio interpolante ( tranne se i due punti hanno la stessa ordinata ) ) Per m = (in generale m=n- ) Esiste un unico polinomio di grado interpolante i due punti ( esiste un unica retta passante per due punti ) 3) Per m > (in generale m >n- ) Esistono infiniti polinomi di grado maggiore di interpolanti i due punti ( esistono infinite parabole, cubiche, etc. per due punti ) Teorema Dati n nodi distinti { i } i=,..n n valori corrispondenti { i } i=,..n il polinomio p() Π m tale che: p( i ) = i i=,,n è unico se: m = n-

11 Dimostrazione Siano p(), q() Π n- tali che: p( i ) = i q( i ) = i i=,..n i=,..n Dimostriamo che i due polinomi sono identicamente uguali. Posto: z() = p()- q() (z() Π n- ) Si ha: z( i ) = 0 i=,..n / )Se z( i ) = 0 i=,..n il polinomio ha n zeri distinti z() =a(- ) (- ) (- n ) a R ) Un polinomio non nullo di grado al più n- ha al più n- zeri distinti (Teorema fondamentale dell algebra) 3) L unico polinomio al più di grado n- che ha n zeri distinti è il polinomio identicamente nullo z() è il polinomio identicamente nullo cioè p()=q() /

12 Dimostrazione Se p() Π n- è il polinomio interpolante gli n punti: ( i, i ) i=,..n dovendo soddisfare le condizioni di interpolazione p( i ) = i i=,..n a 0 + a + + a n- n- = a 0 + a i + + a n- n- i = i a 0 + a n + + a n- n- n = n Sistema lineare di dimensione n /4 La matrice dei coefficienti di questo sistema è: V = n n n... n n Matrice di Vandermonde det( V ) = n ( i j > = j i j ) /4

13 Esistenza ed unicità del polinomio Esistenza ed unicità della soluzione del sistema lineare Dimostriamo che il sistema ammette una ed una sola soluzione 3/4 Poiché i nodi sono a due a due distinti allora det(v) 0 Il sistema è non singolare c.v.d Esiste un unica soluzione 4/4

14 .quali condizioni garantiscono l unicità del polinomio interpolante di Hermite? ESEMPIO 6 Traiettoria di una pallottola Una pallottola è sparata vero l alto dalla sommità di un edificio alto 00 m. Dopo 0 sec. dal lancio la pallottola raggiunge la massima altezza a 590. Disegnare la traiettoria della pallottola. Q (0,590) Q (0,00)

15 Come costruire la parabola che descrive la traiettoria della pallottola? L espressione della parabola è p() = a + b + c Sappiamo che p(0)=00 p(0)=590 Possono esistere Più parabole Q (0,590) II condizione I condizione Q (0,00) III condizione Sappiamo inoltre che il punto Q è il vertice della parabola Esiste una sola parabola

16 Si ottiene il sistema p( )= p( )= p ( )=0 a + b + c= a + b + c= a +b=0 c=00 00 a + 0 b + 00=590 0a+b=0 c=00 b=88 a=4.4 UNICA SOLUZIONE Interpolazione di Hermite n= nodi ( punti per cui deve passare la parabola) m=3 nodi condizioni di interpolazione (appartenenza dei due punti alla parabola + vertice nel primo) # condizioni = # incognite

17 TEOREMA Dati n nodi distinti { i } i=,..n n numeri interi positivi {l i } i=,..n tali che Σ n i= l i = m+ ed m+ valori { j i } con i=,,n j=0,,,l i - Il polinomio p () Π q tale che: p (j) ( i )= j i è unico se: q = m Dimostrazione Siano p(), q() Π m tali che: p (j) ( i ) = j i i=,..n j=0,,,l i - q (j) ( i ) = j i i=,..n j=0,,,l i - dimostriamo che i due polinomi sono identicamente uguali. Posto: z() = p()- q() (z() Π m ) dimostriamo che z() è un polinomio identicamente nullo. Si ha: z (j) ( i ) = 0 /

18 Un polinomio z Π m tali che: È necessariamente del tipo: z (j) ( i ) = j i i=,..n j=0,,,l i - z() =a(- ) l (- ) l (- n ) l n a R Cioè ammette n zeri distinti n rispettivamente con molteplicità : l, l,,l n Poiché Σ n i= l i =m+ e siccome z() ha la più grado m, z() è necessariamente il polinomio identicamente nullo. c.v.d / In generale Se poniamo F = Π m spazio dei polinomi di grado al più m Interpolazione polinomiale di Lagrange di Hermite

19 Sia per l interpolazione di Lagrange che per l interpolazione di Hermite l unicità della soluzione è garantita # condizioni = # incognite Metodi costruttivi del polinomio interpolante di di LAGRANGE

20 METODO DEI COEFFICIENTI INDETERMINATI p() Π n- p()= a 0 + a + + a n- n- Imponendo le condizioni di interpolazione p( i ) = i i=,..n p( ) = p( ) =.... p( n ) = n a 0 + a + + a n- n- = a 0 + a + + a n- n- = a 0 + a n + + a n- n n- = n Sistema di equazioni lineari di ordine n La matrice dei coefficienti di questo sistema è: V = n n n... n n det(v) = n (i j) j i> = j Matrice di Vandermonde ( mal condizionata!)

21 Formula di Lagrange Esempio: Siano P (, ), P (, ) punti del piano. Costruiamo il polinomio p() interpolante P, P. Poniamo p() = l () + l () con l (), l () polinomi di primo grado. Di che tipo devono essere i polinomi l () e l ()? Dalle condizioni di interpolazione p( ) = l ( ) + l ( ) = p( ) = l ( ) + l ( ) = 0 0 l ( )=0 l ( )=0 l ( )= l ( )= l l ()= a (- ) ()= b (- ) l ( )= a ( - ) = l ( )= b ( - )= a=/( - ) b=/( - )

22 Cioè: p() = ( ( ) ) + ( ( ) ) IN GENERALE: p() = l () + l () n l n () FORMULA DI LAGRANGE con l i () ( ) j j= ( ) = n j i i j i -mo polinomio fondamntale di Lagrange Complessità computazionale della formula di Lagrange l () i ( i = n i = (i i j j ) ) ( n )(A+ M ) complessità computazionale di un polinomio fondamentale di Lagrange n p() = l () n [( n )(A + M ) + M ] i = i i complessità computazionale della formula di Lagrange T (n) = O(n )

23 Formula di Lagrange nodi ( i, i) punto di valutazione z formula di Lagrange Complessità computazionale T (n) = O(n ) p(z) valore del polinomio in z E se si vuole cambiare il punto di valutazione z? Osservazione La formula di Lagrange p() = l () + l () nl n () valuta il polinomio contemporaneamente alla sua determinazione cambiare punto di valutazione Rifare tutti i calcoli (Complessità computazionale T (n) = O(n ) )

24 MA se si conoscessero i coefficienti, quanto costerebbe valutare il polinomio? L algoritmo di Horner valuta un polinomio con una complessità T(n)=O(n) Obiettivo: Separare il calcolo dei coefficienti del polinomio di Lagrange dalla valutazione del polinomio stesso Assegnato il punto P=(, ) FORMULA DI NEWTON Qual e il polinomio P (0) ()= a 0 di grado 0 che interpola P? Imponendo la condizione di interpolazione P (0) ( )= a 0 = P (0) ()=

25 Assegnato ora il punto P=(, ) Qual e il polinomio P () () di grado che interpola P (oltre che P )? (, ) P (0) ()= incognita P () () = P (0) () + a (- ) = +a (- ) Determiniamo a imponendo che la retta passi oltre che per (, ) anche per (, ): = P () ( ) = +a ( - ) a = () P () = a0 + a( ) a 0 = con a =

26 P () () = P () () +a (- )(- ) = a 0 +a (- ) +a (- )(- ) incognita Qual e il polinomio P () () di grado che interpola P3 (oltre che P e P )? P () ()= +a (- ) Assegnato ora il punto P3=( 3, 3 ) ( 3,, 3 ) Determiniamo a imponendo che la retta passi oltre che per (, ) e (, ) anche per ( 3, 3 ): ) )( ( a ) ( a a () P 0 () + + = con 0 a a = = a = 3 = P () ( 3 ) = + a (- ) +a (- )(- ) a =

27 FORMULA DI NEWTON IDEA: costruire il polinomio P (k-) interpolante k punti ( i, i ) i=,,k a partire dal polinomio P (k-) interpolante k- punti ( i, i ) i=,,k- P (k-) () = P (k-) () + Q() k=,,... con Q() = a k- (- )(- )...(- k- ) e P (0) ()= FORMULA DI NEWTON P()=a 0 +a (- )+ +a n- (- ) (- n- ) a a a 0 = = = Osservazione I coefficienti del polinomio dipendono solo dai nodi di interpolazione: In generale come calcolare a k?

28 Definizione: [, ] = differenza divisa del primo ordine [,,..., ] k = [,,..., ] [,,..., ] 3 k k differenza divisa di ordine k- k- Proprietà fondamentale delle differenze divise: Detta i,i,..., ik una permutazione degli indici,,..,k Esempi: [ ] [ ] =,,..., k i, i,..., ik non è importante l ordine con cui vengono interpolati i nodi [ ] [ ] = [,,3 ] = [ 3,, ],,

29 Teorema: Dati n nodi distinti { i } i=,..n n valori corrispondenti { i } i=,..n Detto P()=a 0 +a (- )+ +a n- (- ) (- n- ) il polinomio interpolante di Lagrange a k = [ k- ] k=0,,..,n- i coefficienti del polinomio di Lagrange sono differenze divise Dimostrazione (per induzione) Siano: P (k-) () polinomio interpolante i nodi,,, k (per ip. di induzione) P (k-) () = P (k-) () + [ k ](- ) (- k- ) P (k-) k- Q (k-) () polinomio interpolante i nodi,, k+ (per ip. di induzione) Q (k-) () = Q (k-) () + [ k+ ](- ) (- k ) Q (k-) k-

30 Consideriamo il polinomio: ( R() = )Q (k-) () ( k + k )P () (k-) k+ R() k Poiché R( i )= i i=,,k+ ( R() interpola i nodi,,, k+ ) Per l unicità del polinomio interpolante R() = P (k) () per il principio di identità dei polinomi coefficiente di grado massimo di P (k) () coefficiente di grado massimo di R() coincide a k = [... k+ ] k + [... k ] [,..., ] = k +

31 Algoritmo costruttivo delle differenze divise a 0 nodo a nodo [ ] a nodo [ 3 ] [ 3 ] a3 nodo [ 4 ] [ 4 ] [ 3 4 ] a 4 nodo [ 5 ] [ 5 ] [ 3 5 ] [ ] Complessità computazionale della formula di Newton calcolo di a calcolo di a calcolo di a 3 differenza divisa differenze divise 3 differenze divise calcolo di a n- n- differenze divise Totale = n- = n(n-)/ differenze divise n(n ) T(n) = M ( A + ) = O( n )

32 nodi (i,i ) formula di Newton Formula di Newton T (n) = O(n ) E se si vuole cambiare il punto di valutazione z? coefficienti algoritmo di Horner z punto di valutazione T (n) = O(n) Solo algoritmo di Horner T (n) = O(n) p(z) valore del polinomio in z E se si vuole aggiungere un nodo? nodo nodo [ ] nodo [ 3 ] [ 3 ] nodo [ 4 ] [ 4 ] [ 3 4 ] nodo [ 5 ] [ 5 ] [ 3 5 ] [ ] a 5 nodo [ 6 ] [ 6 ] [ 3 6 ] [ ] [ ] calcolo del solo coefficiente a 5 T(n)=O(n)

33 Algoritmo di Horner per la valutazione dei polinomi Si vuole valutare un polinomio p() di grado n in un punto z. Esempio: p() = a 0 + a + a + a a n n Idea dell algoritmo L algoritmo si basa sull idea di calcolare il valore del polinomio nell indeterminata, mediante successive messe in evidenza.

34 Esempio Un polinomio di grado 3 P()=a a + a + a 0 può scrivere nella forma: (a 3 + a + a ) + a 0 e ancora come: ((a 3 + a ) + a ) + a 0. Da cui si ricava una semplice relazione per ricorrenza: = a3 * ; = + a; 3 = * ; 4 = 3 + a; 5 = 4 * ; 6 = 5 + a0;

35 In generale p()= an n + + a a + a + a 0 avremo: = an * ; = + an-; n- = n- * ; n = n- + a0. In matlab function p=valnewton(a,,val) n=length(); nval=length(val); p=a(n)*ones(,nval); for i=n:-: p=p.*(val-(i))+a(i); end