Social Network Analysis

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1 Social Network Analysis 1

2 Rappresentazione di una rete Dati due insiemi X ed Y, con elementi X = {x 1, x 2,, x n } ed Y = {y 1, y 2,, y n }, una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X Y tra i due insiemi, ossia un sottoinsieme dell insieme di coppie {(x 1, y 1 )(x 1, y 2 ),, (x 1, y n ), (x 2, y 1 ),, (x 2, y n ),, (x n, y n )}. 2

3 Rappresentazione tramite grafo A B A B D F C C H 3 D

4 Rappresentazione tramite grafo A B F H D C 4

5 Rappresentazione tramite matrice A B C D F A B C D H A B C D

6 Social Network Analysis: Teoria dei grafi Un grafo è composto da punti, detti nodi o vertici, e da linee, detti archi, spigoli o margini. Tipo di grafo (dipende dalla relazione): -semplice -digrafo (o grafo diretto) -grafo valutato -grafo segnato 6

7 Teoria dei grafi (grafi semplici) Numero totale dei punti: g Numero totale delle linee: q q è compreso tra 0 e g(g-1)/2, nel caso di un grafo semplice q è compreso tra 0 e g(g-1), nel caso di un grafo diretto Densità= q/(g(g-1)/2) nel caso di un grafo semplice 7

8 Teoria dei grafi Un grafo G può essere quindi descritto da un insieme V di nodi, ed un insieme E di coppie non ordinate di elementi in V; G = (V, E). Linea incidente (v è una estremità del nodo e) Punti adiacenti (nel caso due punti e ed f abbiano un estremità in comune) Grado di un punto (costituito dagli elementi del suo vicinato); si indica con d(v). Nel caso in cui d(v) = 0, allora il punto è isolato. 8

9 Teoria dei grafi Sottografo: si considerino G = (V, E) e H = (W, F). H è un sottografo di G nel caso in cui W V ed F E. Sottografo massimale: dato il sottoinsieme non vuoto di punti U, si può allora considerare la classe di tutti i sottografi in G dei quali U costituisca l insieme di punti. Il massimo è chiamato sottografo di G indotto da U, e consiste di tutte le linee in E in cui i due punti di incidenza sono entrambi in U. 9

10 Sottografi massimali In termini più concreti, un sottografo viene definito massimale rispetto ad una certa proprietà (ad esempio, la completezza) se tale proprietà si mantiene per il sottografo, ma non si mantiene se si aggiungono al sottografo nodi addizionali o linee incidenti con loro (appartenenti al grafo dal quale tale sottografo massimale è stato estratto). 10

11 Teoria dei grafi Una clique è definita quindi come un sotto-insieme di punti in cui ogni possibile coppia di punti è direttamente collegata da una linea. Quindi, Una componente è massimale e connessa Una clique è massimale e completa 11

12 c b a h d i g e j f 12

13 c b a h d i g e j f 13

14 c b a h d i g e j f 14

15 Teoria dei grafi Passeggiata: insieme ordinato e con ripetizioni di linee in E tale che ogni linea nella sequenza è diversa ed adiacente a quella che immediatamente la segue, ed il punto di adiacenza tra una linea e la precedente è diverso dal punto di adiacenza tra questa e la successiva Due o più passeggiate possono essere: -co-terminali -concatenabili Sentiero: una passeggiata in cui non vi sono termini ripetuti. Ciclo: una passeggiata senza ripetizione ed in cui il termine iniziale ed il termine finale corrispondano. 15

16 Teoria dei grafi Due punti sono detti connessi nel caso in cui tra loro esista almeno una passeggiata. Un grafo è detto connesso se considerati due suoi generici nodi, essi sono connessi. Componente: un massimale connesso Punto di taglio: se cancellando il punto v in G si ottiene un numero di componenti maggiori rispetto a quelle di G, allora il punto v è detto punto di taglio. Un grafo senza punti di taglio viene detto non separabile. 16

17 Teoria dei grafi Geodesica: il sentiero più corto esistente tra due nodi h d i g e j f 17

18 Qual è la geodesica tra il nodo e ed il nodo i? h d i g e j f 18

19 h d i g e j f 19

20 Teoria dei grafi Eccentricità di un nodo: la più ampia distanza geodesica tra un nodo ed ogni altro nodo Diametro di un grafo: la lunghezza della geodesica più ampia per ogni paio di nodi 20

21 Rete globale Ego-centred network -scelta di un ego -k-th order zone Variazioni 21

22 Proprietà strutturali delle reti Centralità e prestigio (*) Sottogruppi coesivi (*) Structural balance Affiliation networks Ruoli e posizioni Equivalenza strutturale, algebra relazione e blockmodels 22

23 Proprietà strutturali delle reti 23

24 Centralità Distinzione tra: -punto localmente centrale: quando ha un gran numero di connessioni con gli altri punti del suo vicinato; -punto globalmente centrale: quando ha una posizione di importanza strategica nella struttura complessiva della rete. 24

25 Centralità Degree Centrality: C' D ( n i ) d( n ) = i,0 C' ( n D i g 1 ) 1. Con n indichiamo uno specifico attore entro la rete; con d(n i ) il suo grado. Con g indichiamo invece il numero di attori che compongono la rete. Un attore è prominente se i legami che ha con gli altri attori nella rete lo rendono particolarmente visibile all interno di questa. 25

26 Centralità e f j k n a g b m c o d h l q p 26

27 Centralità a,b,c g,m Altri nodi Assoluta Normalizzata 0,33 0,13 0,07 27

28 Centralità In-Degree Centrality: C d I di ( ni ) = g 1 Out-Degree Centrality: C d O do ( no ) = g 1 28

29 Centralità Un nodo può essere Isolato se d I (n i ) = d O (n i ) = 0; Trasmettitore se d I (n i ) = 0 e d O (n i ) > 0; Ricevitore se d I (n i ) > 0 e d O (n i ) = 0; Ordinario se d I (n i ) > 0 e d O (n i ) > 0. 29

30 30 Closeness centrality (indice di centralità globale) Centralità 1 ) ( ',0 ), ( 1 ) ( ' 1 < = = i C g j j i i C n C n n d g n C Un attore viene definito centrale se può interagire velocemente con gli altri Rispetto alla notazione precedente, d(n i, n j ) indica la distanza geodesica tra l attore n i e l attore n j.

31 Centralità Beetweennes centrality (indice globale di centralità) C B j< k g jk ( n i ) / g ( ni ) =,0 CB 1 ( g 1)( g 2) / 2 jk Rispetto alla notazione precedente, per i distinti da j e k, g jk (n i ) rappresenta il numero di geodesiche tra n j e n k che collegano l attore i, mentre g jk, il numero totale di geodesiche tra n j e n k Un attore è centrale se è situato tra le geodesiche degli altri attori (ha quindi una grande influenza interpersonale e controlla gli scambi tra gli altri attori). Quindi, un punto è visto come dipendente da un altro se i percorsi che lo connettono agli altri punti passano attraverso quest ultimo. 31

32 Centralità e f j k n a g b m c o d h l q p 32

33 Centralità e f j k n a g b m c o d h l q p 33

34 Centralità a,c b g,m j,k,l Altri punti Centralità locale relativa Centralità locale assoluta 0,33 0,33 0,13 0,07 0,07 Centralità globale relativa Centralità globale assoluta 0,35 0,45 0,40 0,31 0,26 34

35 Centralizzazione C A = g i= 1 max [ C g i= 1 A [ C ( n*) C A A ( n ( n*) C A i )] ( n i,0 )] C A 1 dove C A( n*) = max i C A( ni ) Se C A =C D (n i ), allora il denominatore è uguale a (g-1)(g-2) 35

36 Centralizzazione j k k g m b g b m l j l

37 Componenti e clique La nozione di clique è già stata definita. Esistono diversi modi di operazionalizzare tale concetto: una clique può essere vista come un gruppo di individui reciprocamente collegati o come sacche ad alta densità. Concetti elementari: -sotto-grafo -componente Componenti forti vs. Componenti deboli (in grafi diretti) Componenti semplici (in un grafo non diretto) 37

38 Cliques 38

39 Cliques Problemi della definizione di clique: -è avara (stingy): è sufficiente la mancanza di una linea perché un sottografo non sia una clique -le clique sono spesso troppo limitate -le clique spesso si sovrappongono -Le clique non sono robuste -L ampiezza di una clique è dipendente dal grado di un nodo 39

40 Cliques Sono quindi stati introdotte diverse condizioni che indeboliscono le clique in modo da risolvere i problemi di ristrettezza della loro definizione: -un primo tipo di soluzione si basa sul concetto di diametro e di raggiungibilità (k-clique, n- clique, n-clan) -un secondo tipo di soluzione si basa sul fatto che un sottogruppo è tale quando risulta essere particolarmente coeso rispetto al resto del network di appartenenza (Lambda set) 40

41 Cliques n-cliques: si considera un valore di cut-off, n, che corrisponde alla lunghezza massima della geodesica che connette una coppia di attori entro un sottogruppo. Un n-clique è un sottografo massimale entro il quale la distanza geodesica più grande non è maggiore di n. Problemi: -una n-clique può avere un diametro maggiore di n -una n-clique può essere disconnessa (essendo connessi tra loro tramite nodi esterni alla n-clique) Perciò, n-cliques are not as cohesive as we might like for studying subgroups (Alba & Moore, 1979). 41

42 Cliques E possibile introdurre alcune modifiche al concetto di n- clique: -n-clans: ogni n-clique che include coppie di nodi escludendo le geodesiche che richiedono non-membri del sottografo -n-club: un sottografo massimale entro il quale la distanza tra tutti i nodi entro il sottografo è minore o uguale ad n: quindi, data la definizione di massimale, noi abbiamo un n- club quando nessun nodo che abbia una distanza geodesica minore o uguale ad n da tutti i membri del sottografo può essere aggiunto al sottografo. 42

43 Cliques a 2-cliques: a,b,c,d,e b,c,d,e,f b c 2-clan: b,c,d,e,f d f e 2-club: a,b,c,d a,b,c,e b,c,d,e,f 43

44 Cliques Sono state inoltre proposte delle alternative che richiedono che tutti I membri del sottogruppo siano adiacenti ad un numero minimo di altri membri del sottogruppo. k-plexes: un sottografo massimale che contiene g nodi entro in quali ogni nodo è adiacente a non meno di g s k nodi nel sottografo. k-cores: un sottografo entro il quale ogni nodo è adiacente almeno ad un minimo di membri k di altri nodi nel sottografo 44

45 Structural balance Questa idea nasce con gli studi di Fritz Heider (1946) sulla cognizione individuale delle situazione sociali, ed in particolare su come l atteggiamento o le opinioni di un individuo coincidano con quelle di altre entità sociali con cui si relaziona: In the case of two entities, a balanced state exists if the [ties] between them [are] positive (or negative) in all aspects In the case of three entities, a balanced state exists if all three possible [ties] are positive in alla respects, or if two are negative, and one positive. In generale, un gruppo si dice strutturalmente bilanciato se, qualora esista un legame positivo tra due attori sociali, allora questi due attori sociali sono consistenti nelle loro valutazioni di tutti gli altri attori sociali. 45

46 Structural balance + - a a a b c b c b c a a b c b c a a a b c b c b c 46

47 Structural balance + - a a a b c b c b c a a b c b c a a a b c b c b c 47

48 Structural balance Per vedere se un grafo è bilanciato, è necessario calcolare il segno del ciclo: se è positivo, allora il ciclo è bilanciato. In generale, un grafo segnato è bilanciato se e solo se tutti i suoi cicli hanno segno positivo. 48

49 Structural balancing b c b c a d a d g e g e f f 49

50 Structural balancing and clustering Un grafo segnato è suddivisibile in cluster se è è possibile partizionare i nodi del grafo in un numero finito di sottoinsiemi tali che ogni linea positiva unisce due nodi entro uno stesso sottoinsieme ed ogni linea negativa unisce due nodi entro sottoinsiemi differenti. Tali sottoinsiemi sono detti cluster. Un grafo segnato è suddivisible in cluster se e solo se il grafo non contiene cicli che hanno esattamente una linea negativa. 50

51 Structural balancing and clustering f e a d b c Si hanno quattro cicli di lunghezza 3 (abf, bcf, cef, cde), tre cicli di lunghezza 4, un ciclo di lunghezza 5 ed un ciclo di lunghezza 6. Il grafo non è bilanciato, dato che due dei quattro cicli da 3 hanno segno negativo. Nessuno di questi cicli contiene una sola linea negativa, quindi il grafo è clusterable. 51

52 Structural balancing and clustering a f b e c d 52

53 Structural balancing and clustering f e a b c Esistono differenti modi di clusterizzare un grafo: un grafo con clusterizzazione non univoca è sicuramente un grafo incompleto. Se il grafo è completo, allora ha un unico modo di essere clusterizzato. d 53

54 Ruoli e posizioni 54

55 Equivalenza Strutturale Cos è un ruolo? Un ruolo è determinato dal pattern di relazioni che intercorrono tra attori sociali Lorrain, White (1971): The total role of an individual in a social system has often been described as consisting of sets of relations of various types linking this person as ego to sets of others 55

56 Equivalenza Strutturale Alla base del concetto di ruolo, c è quello di equivalenza: Equivalenza strutturale: due individui x e y sono strutturalmente equivalenti se hanno esattamente gli stessi collegamenti verso e da altri membri della rete. es a e b sono strutturalmente equivalenti se e solo se - arc, allora brc - dta, allora dtb.(lorrain, White, 1971) 56

57 Block Models Sulla base dell equivalenza strutturale, è possibile costruire un modello della struttura del network secondo il criterio del ruolo: Gli individui strutturalmente equivalenti hanno la stessa posizione nella rete. E' possibile partizionare i membri di una rete multipla in gruppi di persone tali che tutti gli individui assegnati allo stesso blocco sono strutturalmente equivalenti. Il blocco diventa pertanto rappresentativo della posizione sociale che ogni suo membro ha nella struttura sociale. 57

58 Block Models Sia T = {T 1,..., T b } un modello a blocchi per un insieme B di blocchi (tale che T sia una rete multipla su B), e sia R = {R 1,..., R p } sia una rete multipla su un insieme X = {1,.., n}. Sia f un mappaggio tra l'insieme X sull'insieme B dei blocchi in B. Per ogni blocco b in B, sia n b il numero degli elementi i in X per ogni f(i) = b. Allora T è a) un fat-fit per R se e solo se (i, j) in R k, per ogni i, j in X tale che f(i) = b e f(j) = c; k = 1,..., p; (Breiger, 1975) b) un lean-fit per R se e solo se (i, j) in R k, per alcuni i, j in X tale che f(i) = b e f(j) = c; k = 1,..., p; c) un α-blockmodel per R se se (b, c) in T k se e solo se (i, j) in R k per almeno αn b n c coppie di elementi (i, j) tali che f(i) = b e f(j) = c; k = 1,..., p; (es, α = 0.5) d) un (α 1,..., α p ) -blockmodel per R se se (b, c) in T k se e solo se (i, j) in R k per almeno α k n b n c coppie di elementi (i, j) tali che f(i) = b e f(j) = c; k = 1,..., p; 58

59 Equivalenze Equivalenza automorfica: due individui x e y sono automorficamente equivalenti se e solo se esiste qualche automorfismo per il quale sono equivalenti(winship, 1988). (ma anche equivalenza regolare, inboundoutbound equivalence etc.) 59

60 Ruolo Dato un modello astratto, come descrivere la struttura di ruolo di un intero gruppo? Costruendo l algebra di ruolo di un gruppo L obiettivo è to understand the interrelations among relations within concrete social groups By interrelation among relations is meant the way in which relations among the members of a social system occur in characteristic bundles and how these bundles of relations interlock and determine one another.(lorrain, White, 1971) 60

61 Ruolo Dato il tipo di rete, è possibile costruire tipi differenti di algebre: Rete globale Ego-centred network Partial ordered semigroup Local role algebra, truncated algebra, Role algebra 61

62 Come costruire un algebra per una complete social network Alla base, c è l operazione di composizione. Secondo Lorrain & White (1971), l'operazione di composizione (o concatenazione) rappresenta the basic logic of interlock in the system of relationship. Secondo Pattison (1993) compound relations are claimed to define the paths which social processes flow: those whom they link may or may not be aware of it. Lorrain (1972) sostiene che any concatenation of social relationship is itself a social relationship, whether perceived or not. es. Relazione F Relazione H 1) Si crea la relazione composta FH FH ={(A,A), (B,B), (C,A), (C,B), (C,C), (D,D)} tramite elencazione (più semplicemente, si può calcolare il prodotto delle matrici). 62

63 Come costruire un algebra per una complete social network Si nota che: -vi sono possibili infinite combinazioni (F, H, FH, HF, FHF, HHF, FFF, HHH, HFHF etc.). - è possibile operare un confronto tra tutte le relazioni, primitive e composte, controllando che una non sia contenuta nell altra. Es. H F 63

64 Come costruire un algebra per una complete social network 2)Si costruisce, secondo la relazione, un ordine parziale Proprietà riflessiva, transitiva, asimmetrica 3) Si eliminano le relazioni composte ridondanti, definite attraverso l assioma di qualità. Let W e V be binary relations on X. Define W = V iff W V and V W 64

65 Come costruire un algebra per una complete social network 4)Considerando le relazioni primitive come elementi, e la composizione come caratteristica di questa struttura, si crea un semigruppo (parzialmente ordinato). Un semigruppo è una struttura formata da un dominio X ed un operazione binaria caratteristica O, tale che O sia interna ad X ed associativa. 65

66 Cosa permette di fare questo tipo di analisi? Tramite l utilizzo della struttura algebrica, è possibile effettuare confronti tra gruppi Ricavare strutture più semplici che descrivano tale gruppo (fattorizzazione) Definizione astratta delle strutture di ruolo es. White, 1973 studio della determinazione dei clan tra aborigeni Australiani 66

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