Equazioni di I e II grado

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1 Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA Equazioni di I e II grado 1 Introduzione ai polinomi Un incognita è un simbolo letterale che sta a simboleggiare un valore da determinare. Per indicare un incognita si usano di solito le lettere x, y, z e così via, ma in generale si può usare qualsiasi simbolo purché sia chiaro dal contesto. Una volta note le incognite, si può identificare cosa è un monomio: si tratta del prodotto tra incognite, elevate ciascuna ad una certa potenza, con un fattore detto coefficiente, che può essere a sua volta il prodotto tra un numero ed una parte letterale composta da variabili (indicate di solito con le lettere a, b, c o anche m, t... ). Ad esempio, in 1 3 bxy 2 il coefficiente è costituito dalla parte 1 3 b. Di norma, si usa scrivere prima il coefficiente delle incognite, e nel coefficiente si scrive prima la parte numerica. Nell esempio, dunque, 12 si scriverà prima di a 3 b. Si tratta in ogni caso di una convenzione, comunemente usata per rendere più chiara la scrittura. Il grado di un monomio è definito come la somma degli esponenti delle incognite: dunque, il grado di 1 3 bxy 2 è pari a 3, che è la somma dell esponente della x (che è 1) e dell esponente della y (che è 2). Un monomio di grado 0 è un monomio dove non compaiono incognite, come può essere 3a 2. Due monomi si possono facilmente sommare o sottrarre se hanno la stessa parte letterale, come ad esempio 7abx e bx. Il prodotto di due monomi consiste semplicemente nel prodotto della parte letterale e della parte numerica. Ad esempio: 3axy 2 bx = ( 3) 2 a ab x xy 2 = 6a 2 bx 2 y 2. Un polinomio è semplicemente la somma di più monomi, mentre il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi che lo compongono. Ad esempio, il polinomio 2x 2 +x 3 ha grado 2. Come convenzione, si è soliti scrivere i polinomi scrivendo prima i monomi (o, in questo caso, detti anche termini) di grado più elevato, e poi via via a scendere di grado. Pertanto, il monomio 1 + x 2 2x dovrebbe essere riordinato come x 2 2x + 1. Le operazioni più comuni con i polinomi sono la somma, la sottrazione ed il prodotto. Mentre le prime due operazioni sono intuitive, il prodotto è leggermente più complicato e sfrutta la proprietà distributiva dei polinomi. Partendo dal caso più semplice del prodotto di un monomio per un polinomio, si ha che il risultato consiste semplicemente nel prodotto del monomio con ciascuno dei termini che compongono il polinomio: 2x(3x 2 a 2 ) = 2x 3x 2 2x a 2 = 6x 3 2 x. 1

2 Invece, il prodotto di due polinomi consiste nella somma dei prodotti di ciascuno dei monomi del primo fattore con il secondo fattore. Con un esempio: (x + y)(2x 2 xy) = x(2x 2 xy) + y(2x 2 xy) = = 2x 3 x 2 y + 2x 2 y xy 2 = = 2x 3 + x 2 y xy 2. Infine, ci sarebbe la divisione polinomiale, ma si tratta di un operazione più complessa che verrà spiegata in seguito. Una prassi molto comune con i polinomi consiste nel raggruppare tutti i termini che hanno la stessa parte incognita, anche se non si possono sommare direttamente. Quest operazione pertanto si effettua tramite il raccoglimento a fattor comune, che consiste nell operazione inversa del prodotto per un monomio. Ad esempio, nel polinomio 2x 2 + 3x ax + 2 sarebbe opportuno raggruppare i termini 3x e ax, pertanto si raccoglie il fattore x e si ottiene 2x 2 + (3 a)x + 2. Svolgendo nuovamente i calcoli ci si accorge che l espressione è equivalente. 2 Equazioni di primo grado ad una incognita Un equazione consiste nell uguaglianza di due espressioni in cui compaiono delle incognite. Quando si dice equazione di primo grado, di secondo grado e così via, le espressioni si intendono come polinomi. Il grado di un equazione di tipo polinomiale è ovviamente il massimo grado dei polinomi che la compongono. Alcune equazioni, che apparentemente non sembrano polinomiali, possono essere ricondotte ad esse tramite certe trasformazioni. Nella nostra trattazione, avremo sempre a che fare con equazioni ad una sola incognita, denotata solitamente con x. Le equazioni di primo grado consistono dunque in un uguaglianza di polinomi, almeno uno dei quali di primo grado. Ogni equazione di primo grado può essere ricondotta nella forma ax + b = 0, dove x è l incognita, mentre a e b sono numeri reali 1 o altre variabili. Ricondurre un espressione in una certa forma consiste nell effettuare operazioni che mirano a semplificare l espressione, in modo che si possa riconoscere nella forma voluta. Le equazioni di primo grado possono essere sempre risolte a patto che il coefficiente a sia diverso da 0, nel qual caso la soluzione è data da x = b. Se dunque a 0, a l equazione si dice determinata: è cioè possibile trovare un numero finito (cioè, non infinito) di soluzioni dell equazione. Nel nostro caso, una soluzione. Nel caso in cui capiti che, una volta semplificate le espressioni, si abbia a = 0, si può avere che b sia uguale a 0, oppure che non lo sia. Nel primo caso, saremmo giunti all uguaglianza 0 = 0, che è sempre vera indipendentemente dal valore che possiamo 1 L insieme dei numeri reali, denotato con R, consiste in tutti i numeri comunemente intesi: interi, decimali, positivi, negativi, razionali (cioè che è possibile scrivere come frazione), irrazionali (come 2 e π),... 2

3 attribuire ad x. Questo significa che x può assumere qualsiasi valore reale, e pertanto l equazione si dice indeterminata. Infine, se b non è nullo, si giunge all uguaglianza 0 = b, che è sempre falsa dato che b 0. Dunque, nessun valore attribuibile ad x può renderla vera e l equazione si dice pertanto impossibile. 2.1 Equazioni fratte Un equazione fratta è un equazione in cui le incognite compaiono al denominatore delle frazioni che compongono l equazione. Fatte alcune debite considerazioni, esse si possono ricondurre ad equazioni dove le incognite non compaiono più al denominatore, e pertanto si possono risolvere più semplicemente. Consideriamo ad esempio l equazione: x x x x 2 = 2. Prima di procedere alla risoluzione, si deve notare che i denominatori sono variabili, e pertanto ci possono essere dei valori per la x che li annullano, facendo perdere di significato l equazione. Dunque, bisogna imporre che i denominatori x + 2 e x 2 siano diversi da 0, cioè bisogna imporre x e x 2 0. A questo punto si può procedere con la risoluzione: si portano tutti i termini al primo membro, si calcola il minimo comune multiplo e si riunisce tutto sotto un unica frazione: x(x 2) (1 x)(x + 2) 2(x + 2)(x 2) = 0. (x + 2)(x 2) Si può ora notare che, avendo imposto che x + 2 e x 2 non siano nulli, il denominatore si può eliminare dall equazione, riducendoci al caso di una comune equazione polinomiale, che possiamo comodamente risolvere: x(x 2) (1 x)(x + 2) 2(x + 2)(x 2) = 0 x 2 2x x 2 + x 2 + 2x 2x = 0 x + 6 = 0 x = 6. Dunque siamo arrivati alla soluzione x = 6. Ora bisogna verificare che tale soluzione non contraddica le imposizioni fatte prima riguardanti i denominatori: sostituendo 6 alla x nelle relazioni x e x 2 0, si ottiene rispettivamente 0 e 8 0, che sono vere e dunque la soluzione x = 6 è accettabile. Consideriamo ora l equazione Come prima, imponiamo 3x + 2 x + 2 3x + 26 x 2 = 3x 1 x 2. x + 2 0, x 2 0 e x 2 = 0. 3

4 Si può notare che x 2 è il prodotto di x 2 per x + 2, pertanto si tratta di un imposizione ridondante, e si può trascurare. Procediamo ora alla risoluzione: 3x + 1 3x + 26 x + 2 x 2 3x 1 x 2 = 0 (3x + 1)(x 2) 3x 26 (3x 1)(x + 2) x 2 = 0 3x 2 6x + x 3x 26 3x 2 6x + x + 2 = 0 13x 26 = 0 x = 2. La soluzione x = 2 non è accettabile, perché annulla il denominatore x + 2 facendo perdere di significato l equazione. Dunque, l equazione è impossibile. 2.2 Esercizi Risolvere le seguenti equazioni di primo grado ad un incognita. 1. 2(3x 7) = 3(1 x) 8x. 2. (x 1)(x + 1) + 2(1 3x) = (x + 2)(x 3) (2x 1) + 3x = 5 + x (x 1) + 1 ( 1 ) (x + 1) + x 2 2 = 1 2x. ( 1 ) 5. (3x + 1) (x + 1) = x. 2 1; 2; imp.; 1; ind. Risolvere le seguenti equazioni fratte riconducibili ad equazioni di primo grado x + 2 x 2 x x + 1 = x + x + 12 x. x + x x x 1 = x 2x + 1 x 2 + 2x + x + 1 2x = 1. 3 x x 2 x 2 = 1 x 2 3x ; imp.; ind. per x 0, 2; imp. 3 Equazioni di secondo grado ad una incognita Le equazioni di secondo grado si possono sempre ricondurre alla forma ax 2 + bx + c = 0.

5 Come sempre x è l incognita, mentre a, b e c sono valori reali. Si impone che a 0, perché in caso contrario ci si ridurrebbe ad un equazione di primo grado. Il coefficiente c si dice termine noto. Le equazioni di secondo grado hanno due soluzioni: caratteristica delle equazioni di grado n, in generale, è che abbiano sempre n soluzioni. Tuttavia, può capitare che non tutte le n soluzioni siano reali. In generale, però, le equazioni di grado dispari ad una incognita ed a coefficienti reali hanno almeno una soluzione reale. Nel caso in cui c = 0, l equazione si riduce a ax 2 + bx = 0: per risolverla, si raccoglie la x: x(ax + b) = 0. Le equazioni di secondo grado di questo tipo si dicono spurie. La ricerca delle soluzioni consiste nel trovare tutti i valori per l incognita che soddisfano l uguaglianza. Se dunque il primo membro è uguale a 0, può essere uguale a zero il primo fattore (cioè x) o il secondo fattore (cioè ax + b). Nel primo caso arriviamo alla soluzione x = 0, mentre nel secondo ci riconduciamo all equazione di primo grado ax + b = 0, che fornisce la soluzione x = b/a. Poi c è il caso in cui b = 0, e si ha l equazione ax 2 +c = 0. Si tratta di un equazione pura. Per risolverla si porta il termine noto al secondo membro e si divide per a (che, per ipotesi, non è zero): x 2 = c a. A questo punto si estrae la radice quadrata di entrambi i membri: x = ± Il simbolo ± è stato usato perché, di fatto, anche il corrispondente negativo di c/a è soluzione dell equazione. Da notare, ovviamente, che affinché la soluzione abbia significato è necessario che c a non sia negativo, nel qual caso sarebbe impossibile estrarre la radice quadrata. In ogni caso, per le equazioni di secondo grado ad un incognita in cui i coefficienti non sono mai nulli (cioè se l equazione è completa) esiste una formula risolutiva generale (che è naturalmente valida anche per i casi precedenti), che è data da c a. x 1,2 = b ± b 2 ac e la cui dimostrazione viene comunemente data nei libri di algebra delle superiori. La quantità b 2 ac che compare sotto la radice viene detta discriminante e si indica con la lettera greca maiuscola ( delta ). L importanza del discriminante è fondamentale per determinare la natura delle soluzioni dell equazione: se > 0, le soluzioni sono reali e distinte; se = 0, le soluzioni sono reali e coincidenti; se < 0, le soluzioni sono complesse e coniugate. Nell ultimo caso, ci basti sapere che non esistono soluzioni reali dell equazione e, per quanto ci interessa, l equazione è dunque impossibile. Nel caso in cui = 0, allora si ha che l espressione polinomiale altro non è che il quadrato di un binomio. 5

6 Nel caso in cui nel coefficiente b si possa mettere in evidenza il fattore 2, cioè si possa scrivere come 2 per una certa espressione k (vale a dire b = 2k), la formula risolutiva si semplifica leggermente: x 1,2 = k ± k 2 ac a La quantità sotto radice è parti ad un quarto di, è cioè il. 3.1 Regola dei segni o di Cartesio Un modo semplice per determinare se le soluzioni di un equazione di secondo grado completa sono positive o negative consiste nell uso della regola dei segni (o regola di Cartesio). Essa consiste nel considerare il segno dei coefficienti dell equazione di secondo grado: ad esempio, nell equazione 2x 2 x 3 = 0 i coefficienti sono nell ordine 2, 1 e 3, e dunque i segni sono rispettivamente +, e ancora. Ora si considera se il segno cambia oppure no passando al successivo. Il primo segno del nostro esempio è +, mentre il secondo è e dunque è diverso: in questo caso si ha una variazione. Il terzo segno è ancora, che quindi è uguale al secondo: dunque abbiamo una permanenza. La regola di Cartesio afferma che, nel caso in cui 0, ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva, mentre ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa. Si tratta di un accorgimento utile per la verifica dei risultati. Nel nostro esempio, dunque, abbiamo una soluzione positiva ed una negativa. Risolvendo l equazione, infatti, si ottiene x 1,2 = 1 ± = 1 ± Somma e prodotto delle soluzioni = { 3/2 1 Consideriamo ora le soluzioni generali dell equazione di secondo grado: x 1 = b + La somma delle due soluzioni è data da e x 2 = b x 1 + x 2 = b + + b Il prodotto delle due soluzioni invece è dato da ( b + )( b ) x 1 x 2 = = b2 a 2 = b2 (b 2 ac) a 2 = b + b = 2b = b a. = ( b + )( b ) a 2 = = b2 b 2 + ac a 2 = ac a 2 = c a. 6

7 Dunque, nella forma generale dell equazione di secondo grado, se mettiamo in evidenza a si ottiene ( a x 2 + b a x + c ) = 0. a A questo punto si può notare che il coefficiente di x in questa nuova forma è pari all opposto della somma delle due soluzioni, mentre il termine di grado 0 è pari al prodotto delle due soluzioni. Questa osservazione è particolarmente utile nel caso di equazioni in cui a = 1. Ad esempio, l equazione x 2 3x + 2 = 0 può essere risolta mentalmente pensando a due numeri la cui somma sia 3 ed il cui prodotto sia 2. Come ulteriore aiuto, si può sfruttare la regola di Cartesio per determinare il segno delle soluzioni. Ovviamente, questo metodo può essere sfruttato anche al contrario: una volta noti somma e prodotto di due numeri, è possibile conoscere tali numeri con un equazione di secondo grado. Supponiamo dunque che la somma di due numeri sia s e che il prodotto sia p: allora i due numeri sono soluzione dell equazione x 2 sx + p = 0. Ad esempio, se la somma fosse 68 ed il prodotto 1035, basta risolvere l equazione x 2 68x = 0. Le due soluzioni sono quindi (tramite la formula ridotta) 3.3 Esercizi x 1,2 = 3 ± = 3 ± 11 = { 5 23 Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado ad un incognita. 1. x 2 12x + 35 = x 2 12x + 9 = x 2 = 3(x + 1) + x.. 9x = 6x x = 6 x 1 x. ; imp.; 5, 2 3 5, 7; 2, 3 2 ; 1 2, 3 2 Trovare due numeri noti la loro somma e prodotto, mediante un equazione di secondo grado. 1. s = 12, p = s = 3, p = s = 38, p = 72.. s = 2, p = , 3; 8, 5; 36, 2; 61, 37 7

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