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1 TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo equilatero ha i tre lati congruenti. TRIANGOLO ISOSCELE Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti (quindi il triangolo equilatero è a sua volta un tipo di triangolo isoscele) TRIANGOLO SCALENO Il triangolo scaleno ha tutti e tre i lati di differente lunghezza.

2 SULLA BASE DEGLI ANGOLI ABBIAMO: TRIANGOLI ACUTANGOLI tutti gli angoli sono minori di 90 TRIANGOLI RETTANGOLI hanno un angolo di 90 (angolo retto). I triangoli rettangoli possono essere scaleni oppure isosceli. TRIANGOLI OTTUSANGOLI hanno un angolo maggiore di 90 (angolo ottuso).

3 I PUNTI NOTEVOLI DEL TRIANGOLO

4 ALTEZZE DEL TRIANGOLO in un triangolo si chiama ALTEZZA il segmento che partendo da un vertice forma un angolo di 90 (un angolo retto) con il lato opposto. Questa altezza si dice RIFERITA a questo lato opposto. A B altezza riferita a BC proiezione H proiezione di AC di AB piede dell'altezza Il segmento AH, che partendo dal vertice A forma un angolo retto con il lato opposto BC si dice ALTEZZA RIFERITA AL LATO BC. Il punto H si dice PIEDE DELL'ALTEZZA AH, i segmenti BH e HC si dicono rispettivamente proiezioni dei lati AB e AC sul lato BC (base del triangolo). C

5 In un triangolo ci sono tre lati e tre vertici, per cui abbiamo anche TRE altezze, come mostra la figura qui sotto. Il triangolo ABC possiede tre altezze: 1) altezza AH riferita al lato BC 2) altezza BK riferita al lato AC 3) altezza CS riferita al lato AB S A O K B H C Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto chiamato ORTOCENTRO (O). L'Ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze di un triangolo.

6 OSSERVAZIONI SULLE ALTEZZE E SULL'ORTOCENTRO DEL TRIANGOLO La posizione dell'ortocentro dipende dal tipo di triangolo. Se disegnamo le tre altezze di un qualunque tipo di triangolo (acutangolo, ottusangolo, rettangolo...) possiamo osservare la posizione dell'ortocentro. Nei triangoli acutangoli l'ortocentro è SEMPRE INTERNO AL TRIANGOLO.

7 TRIANGOLI OTTUSANGOLI Nei triangoli ottusangoli le altezze formano un angolo retto con il lato opposto o con il suo prolungamento. L'ortocentro è sempre esterno al triangolo.

8 ALTEZZE E ORTOCENTRO NEI TRIANGOLI RETTANGOLI. ALTEZZE E ORTOCENTRO NEI TRIANGOLI RETTANGOLI cateto altezza riferita all'ipotenusa Ipotenusa ortocentro cateto Nei triangoli rettangoli due delle tre altezze coincidono con i lati più piccoli, chiamati cateti, la terza altezza parte da un vertice (quello formato dai due cateti) e forma un angolo retto con il lato maggiore, chiamato IPOTENUSA. L'ortocentro coincide con il vertice opposto all'ipotenusa, cioè quello che forma un angolo di 90 gradi.

9 CONCLUSIONI 1) L'altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento che partendo dal vertice opposto forma un agolo di 90 gradi con lo stesso lato (cioè, il segmento perpendicolare al lato di riferimento o al suo prolungamento, che parte dal vertice opposto). 2) Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto chiamato ortocentro (O), che può essere interno (nei triangoli acutangoli), esterno (nei triangoli ottusangoli), oppure coincidente con il vertice dell'angolo retto nei triangoli rettangoli.

10 LA BISETTRICE DI UN ANGOLO bisettrice vertice

11 LE TRE BISETTRICI DI UN TRIANGOLO A Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto chiamato INCENTRO incentro (I) L'incentro si trova sempre all'interno del triangolo B L'incentro si trova sempre alla stessa distanza dai tre lati. C 1) La bisettrice di un triangolo relativa a un determinato angolo è il segmento di bisettrice che lo divide in due parti uguali. 2) Un triangolo ha tre bisettrici, che si incontrano in un solo punto chiamato INCENTRO. 3) l'incentro è sempre interno al triangolo, ed è equidistante dai tre lati.

12 LE TRE MEDIANE DI UN TRIANGOLO E IL BARICENTRO Si dice MEDIANA il segmento che partendo da un vertice raggiunge il punto medio del lato opposto. Il punto medio di un lato è quello che lo divide in due parti uguali. A Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto che si chiama BARICENTRO, che è sempre INTERNO al triangolo. BARICENTRO (B) In qualunque triangolo il BARICENTRO divide ciascuna mediana in due parti, una delle quali è la metà dell'altra. B C Il BARICENTRO è il CENTRO DI GRAVITA' del triangolo, cioè il suo PUNTO DI EQUILIBRIO.

13 GLI ASSI DI UN TRIANGOLO E IL CIRCOCENTRO Si dice ASSE di un lato la retta che, passando per il suo punto medio, forma un angolo di 90 gradi con il lato stesso. Poichè un triangolo possiede tre lati, allora presenta anche TRE ASSI. A I tre assi di un triangolo si incontrano in un punto chiamato CIRCOCENTRO CIRCOCENTRO (C) B C

14 OSSERVAZIONI SUGLI ASSI E SUL CIRCOCENTRO La posizione del circocentro dipende dal tipo di triangolo. Nei triangoli acutangoli il circocentro è interno al triangolo Il circocentro è sempre equidistante dai vertici C

15 Nel triangolo rettangolo la posizione del circocentro coincide con il punto medio del lato maggiore (ipotenusa) A circocentro B C

16 NEI TRIANGOLI OTTUSANGOLI IL CIRCOCENTRO E' SEMPRE ESTERNO AL TRIANGOLO

17 A In un qualunque triangolo il circocentro è equidistante dai tre vertici. a = b = c a b c B C

18 Nel triangolo equilatero, ortocentro, incentro, baricentro e circocentro coincidono!

19 NEL TRIANGOLO ISOSCELE ORTOCENTRO, INCENTRO, BARICENTRO E CIRCOCENTRO NON COINCIDONO MA SI TROVANO ALLINEATI. Circocentro Baricentro Incentro Ortocentro

20 CRITERI DI CONGRUENZA Abbiamo visto che due angoli si dicono congruenti se sono perfettamente sovrapponibili. In generale, diremo che due figure geometriche sono congruenti quando sono perfettamente sovrapponibili.

21 Prendiamo due figure poligonali, F ed F' A A' C B G C' B' G' D F E F DUE FIGURE PIANE F ED F' SONO CONGRUENTI SE, SOVRAPPONENDOLE MEDIANTE UNO O PIU' MOVIMENTI CHE NON LE DEFORMINO, COINCIDONO PERFETTAMENTE. A A' D' F' E' F' C C' B B' G G' D D' E E' F F'

22 per esempio, due triangoli sono CONGRUENTI se, sovrapposti, coincidono perfettamente.

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