Condensatore + - Volt

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1 1) Defnzone Condensaore Sruura: l condensaore è formao da due o pù superfc condurc, chamae armaure, separae da un maerale solane, chamao delerco. Equazon Caraersche: La ensone ra armaure è dreamene proporzonale alla carca presene sulle due armaure. Qund: Q() = C $ V() doe: Q = Carca n Coulomb V = ensone n Vol C = Capacà n Farad: Farad = Coulomb Vol Per esprmere la relazone ra ensone e correne, essono due forme d equazon: la forma negrale e la forma dfferenzale. a) Forma dfferenzale Consderamo le equazon S può qund screre che: Pochè C è una cosane, s ha che: Q = C $ V () = dq d () = d(c$v) d () = C $ d d Quesa è la forma dfferenzale dell equazone caraersca del condensaore. b) Forma negrale Consderamo la forma dfferenzale: S può rscrere come: E qund, rsolendo una equazone dfferenzale: () = C $ d d d d = 1 C $ () () = 0 1 C 0 (x)dx Quesa è la forma negrale dell equazone caraersca del condensaore. 2) Propreà 1) Il condensaore è un elemeno con memora Consderamo la forma negrale: () = 0 1 C 0 ()d S può commenare n queso modo: Tensone nell auale Tesnone Varazon d correne dall sane = sane nzale nzale 0 all auale sane Il condensaore ene percò defno un elemeno con memora: alor d ensone e correne non dpendono solo dalle condzon aual del crcuo, come aena per le ressenze, ma anche da alor passa che sono sa assun. 2) Il condensaore è un elemeno connuo S consder l equazone negrale del condensaore per deermnare l alore della ensone all sane : dopo un sane l equazone dena: () = 0 1 C 0 ( ) = 0 1 C 0 ()d ()d

2 Aggungamo sa a desra che a snsra la sessa quanà, coè: E oenamo quesa equazone: () = 0 1 C 0 ( ) () = 0 1 C 0 ()d ()d 0 1 C 0 ()d Che, spezzando l prmo negrale, s può rscrere come: ( ) () = 1 C ()d 1 C 0 ()d 1 C 0 ()d Che dena, semplfcando: Supponamo ora che l nerallo Qund s può anche screre che: ( ) () = 1 C ()d lm 1 d0 C ()d = 0 den sempre pù pccolo, e faccamo l lme: lm ( ) () = 0 d0 E dmosrao così che la funzone è connua per u emp pos. Il lme sopra ndcao sgnfca che è mpossble roare un grafco dsconnuo come l seguene: Queso è nece possble per elemen senza memora come le ressenze. 3) Energa Rcordamo alcune formule: Doe: P = poenza = ensone = correne E = energa C = capacà p() = () $ () E( 0, 1 ) = 1 0 p()d () = C $ d d Unendo le formule, s può screre che: E qund: L negrale ndefno rsula: E quello defno: E( 0, 1 ) = C $ 0 p() = () $ C $ d d 1 () $ d d $ d = C $ 0 1 E( 0, 1 ) = [ 1 2 $ C $ 2 ] 0 E( 0, 1 ) = 1 2 $ C $ [( 1 ) 2 ( 0 ) 2 ] 1 ()d Rsula edene che l energa mmagazznaa dpende solo dal alore nzale e fnale della ensone. Ogn ola che, l energa accumulaa è nulla. 1 = 0 Consderamo ora che l energa oale d un condensaore è daa da: E o = E 0 E Qund s può sosure e screre che: E o = E $ C $ ( 0) $ C $ ( 1) 2 Scuramene esse nel empo un sane T 0 nel quale l energa nzale E 0 e la ensone nzale V( 0) erano nulle. Queso sane corrsponde a quando l condensaore è compleamene scarco. Qund la precedene formula dena: E o () = 1 2 $ C $ ()2 Coè l energa oale nell sane è n funzone solo della ensone V alla quale n condensaore è sooposo.

3 S può screre anche che: E o () = 1 2 $ C $ 2 S può concludere qund che l condensaore non dsspa energa, ma la può mmagazznare 4) Se la ensone è cosane, l condensaore equale a un crcuo apero. Per dmosrarlo, rcordamo che: Se () = () = C $ d d, la sua deraa è nulla, perchè la deraa d una cosane è sempre nulla. 5) Condensaor n sere C 1 C Sono da due condensaor n sere C 1 e C 2. Araerso ess scorre una correne, e su d ess c sono le enson 1 e 2. La enson oale a cap della sere è daa da: V o = V 1 V 2 Qund, rcordando la forma negrale dell equazone per condensaor, s ha che: coè o V o = 0 1 C 1 0 ()d 1 C 2 0 ()d V o = 0 1 C 1 1 C 2 $ 0 ()d Da cu s deduce che la capacà equalene della sere è: 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 Fscamene sgnfca che all aumenare de condensaor n sere, la capacà oale dmnusce. 6) Condensaor n parallelo 1 2 Sono da due condensaor n parallelo C 1 e C 2. Araerso ess scorrono le corren 1 e 2 e è applcaa la ensone. La correne oale che passa a cap del parallelo è daa da: I o = 1 2 Rcordando la forma dfferenzale, s può screre: I o = C 1 $ d d C 2 $ d d coè: I o = (C 1 C 2 ) $ d d Da cu s deduce che la capacà oale è: C o = C 1 C 2

4 3) Il condensaore nel crcuo E dao un crcuo conene solo elemen lnear, a eccezone d un condensaore (fgura d snsra). Allora l nseme de componen lnear può essere sosuo da un Equalene d Theenn, collegao al condensaore (fgura d desra). R C s() R C Consderamo l crcuo d desra. S può applcare la KVL: V = R $ I s() V R V C = 0 () = C $ d Rcordando la legge d Ohm: e l equazone caraersca del condensaore: d, s può screre nella precedene KVL che: Coè: Ponendo, coè = C $ R eq s() R $ C $ dv C() d V C () = 0 dv C (T) d 1 $ V C () 1 s() = 0 =(Capacà)$(Ressenza equalene del crcuo) Quesa è l equazone dfferenzale che descre la ensone d un condensaore nsero n un crcuo n cu u gl alr elemen sono lnear. Bsogna ora rsolere quesa equazone. E un equazone dfferenzale lneare d prmo grado non omogenea. S può screre pù genercamene come: V() 1 V() s() = 0 Per rsolere quesa equazone, bsogna rsolere un Problema d Cauchy: Per rsolere l equazone dfferenzale assocaa al problema d Cauchy s può ulzzare un formula semplce: La soluzone è daa da: y() = e p(s)ds 0 $ y 0 0 q(s) $ e s p(u)du 0 ds Nel nosro caso, s ha che: Qund la soluzone rsula: p(s) = 1 q(s) = 1 s() V() = e 1 d $ K 1 $ s() $ e 1 d Che, semplfcaa, dena: V C () = K $ e 1 1 $ e 1 $ 0 s() $ e 1 d Se calcolamo l alore della funzone per =0, s oene che: x(0)=k E qund K è la condzone nzale del crcuo. Qund d può screre che: V C () = V c (0) $ e 1 1 $ e 1 $ 0 s() $ e 1 d

5 Generaor cosan Consdero la precedene formula: V C () = V c (0) $ e 1 1 $ e 1 $ 0 s() $ e 1 d Suppongo che s() sa cosane, coè che s()=s. La precedene formula dena: V C () = V c (0) $ e 1 1 $ e 1 $ S $ 0 e 1 d Solgendo l negrale defno s oene che: V C () = V c (0) $ e 1 1 $ e 1 $ S $ $ e 1 E qund: V C () = V c (0) $ e 1 e 1 $ S $ e 1 Per, s oene che: x( ) = S Qund s può rscrere la precedene formula come: V C () = V c (0) $ e 1 e 1 $ V c ( ) $ e 1 E solgendo passagg s oene che: V C () = [V c (0) V c ( )] $ e 1 V c ( ) Elemeno qualsas del crcuo Per calcolare la ensone d un elemeno qualsas del crcuo s ulzza un formula analoga a quella del condensaore: = C $ R eq V K () = V K (0 ) $ e 1 e 1 $ V K ( ) $ e 1 Doe:, coè ha lo sesso alore d quella ulzzaa nell equazone del condensaore V = ensone a cap dell elemeno K Noa: la ensone V(0) a calcolaa n 0, perchè se l elemeno lneare non è connuo, da 0 a 0 porebbero esserc de sal d ensone. Queso problema non sussse per l condensaore, che nece è un elemeno connuo. Cò sgnfca che la ensone a suo cap non subsce sbalz da 0 a 0.