ELEMENTI CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO DELLE PROBABILITA' VARIABILI CASUALI TEORIA DEI GIOCHI

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1 ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO DELLE PROBABILITA' VARIABILI CASUALI TEORIA DEI GIOCHI SABO

2 ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Dato u isieme di elemeti a 1, a 2, a 3,..., a è possibile da questo otteere dei sottoisiemi, tutti tra loro diversi, i base alla scelta e all'ordiameto co cui vegoo presi gli elemeti. Il calcolo combiatorio studia i diversi modi co cui è possibile costruire dei sottoisiemi partedo da u isieme di elemeti, prededo ogi volta u certo umero di essi. Ua prima grossa distizioe che si può fare per questi gruppi è tra: gruppi semplici (sottoisiemi seza ripetizioe) formati da elemeti che si presetao o più di ua volta; gruppi co ripetizioe (sottoisiemi co ripetizioe) formati da elemeti che possoo presetarsi più di ua volta. Approfodedo poi lo studio si può otare che ogi gruppo può essere diversificato dagli altri o per come soo posizioati gli elemeti al suo itero o per la scelta degli elemeti stessi o per etrambe le cose. Si fa distizioe, i tal caso, tra: Disposizioi (semplici e composte); Permutazioi (semplici e composte); Combiazioi (semplici e composte). Prima, però, di passare alle varie defiizioi è opportuo teer presete la seguete regola base: Siao A 1, A 2, A 3,..., A degli isiemi di elemeti, il umero dei gruppi di elemeti che si possoo formare i modo che il primo elemeto del gruppo appartega ad A 1, il secodo ad A 2,..., l'-mo ad A è dato dal prodotto del umero di elemeti preseti i ciascuo degli isiemi. Esempio: si hao 4 pallie rosse, 5 azzurre, 2 biache, 6 verdi; il umero di gruppi che si possoo formare co tali elemeti è dato dal prodotto delle pallie rosse per le azzurre per le biache per le verdi: = 240 cioé, voledo utilizzare tutte le pallie a disposizioe, si possoo formare 240 gruppi differeti. 1

3 DISPOSIZIONI SEMPLICI Dati elemeti distiti, si dicoo disposizioi semplici, di classe k, degli elemeti (k < ) tutti i gruppi che si possoo formare co gli elemeti prededoe k di essi, i modo che ogi gruppo differisca dagli altri per almeo uo degli elemeti oppure per l'ordie co cui essi soo coteuti: D,k = (-1)(-2)...[-(k-1)] Esempio: si cosideri u isieme formato da 4 colori: biaco, giallo, rosso, verde; si vuole sapere quati gruppi di tre colori tra loro diversi è possibile formare ( = 4; k = 3): come primo colore è possibile scegliere uo qualuque, per cui si hao 4 possibilità di scelta; ua volta fissato il primo colore, per la scelta del secodo ci soo tre possibilità; la terza scelta, ifie è solo tra due possibilità, essedo rimasti solo due colori Scelta 1 colore 4 possibilità Scelta 2 colore 3 possibilità Scelta 3 colore 2 possibilità I defiitiva è come se si scegliesse il primo colore da u isieme di 4 elemeti, il secodo da u isieme di 3 elemeti, il terzo da u isieme di due elemeti. Per la regola base il umero delle disposizioi è, quidi, dato da: D 4,3 = = 24 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Dati elemeti distiti, si dicoo disposizioi co ripetizioe, di classe k, tutti i gruppi che si possoo formare co gli elemeti (i ciascuo dei quali uo stesso elemeto può presetarsi fio a k volte), i modo che ogi gruppo differisca dagli altri o per u elemeto o per l'ordie o per la ripetizioe (i questo caso si può avere ache k > ) D',k = k Esempio: si cosideri u isieme formato da 4 colori: biaco, giallo, rosso, verde; si vuole sapere quati gruppi di tre colori è possibile formare ( = 4; k = 3): per risolvere il problema si cosideri che ogi elemeto scelto per formare u gruppo ua volta preso sia poi rimesso ell'isieme, ciò porta al seguete schema: e, quidi, risulta: Scelta 1 colore 4 possibilità Scelta 2 colore 4 possibilità D' 4,3 = = 4 3 = 64 Scelta 3 colore 4 possibilità 2

4 PERMUTAZIONI SEMPLICI Dati elemeti, si dicoo permutazioi semplici degli elemeti tutti i gruppi che si possoo formare prededo ogi volta tutti gli elemeti (i questo caso è = k) D, = (-1)(-2)...[-( -1)] P = (-1)(-2) solitamete si scrive: P =! [! = fattoriale]; per il calcolo di! valgoo le segueti posizioi:! = (-1)! ; 1! = 1 ; 0! = 1 Esempio: si cosideri u isieme formato da 4 colori: biaco, giallo, rosso, verde si vuole sapere quati gruppi distiti di 4 colori oguo è possibile formare: dallo schema risulta e quidi: Scelta 1 colore 4 possibilità Scelta 2 colore 3 possibilità Scelta 3 colore 2 possibilità Scelta 4 colore 1 possibilità 4! = 4321 = 24 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE Si hao quado tra gli elemeti ce e soo m ugali (m ); i questo caso, o potedo distiguere la posizioe che gli m elemeti occupao all'itero dei vari gruppi, si avrebbero delle permutazioi uguali tra loro cotro l'asserto che vuole gruppi distiti. Per elimiare tale icoveiete, bisoga dividere il umero totale delle permutazioi per il umero delle permutazioe degli m elemeti uguali: P (m)! m! Più i geerale, se tra gli elemeti ce e soo idetici tra loro, idetici tra loro, idetici tra loro e così via, risulta: P (,,,... )!!!!... 3

5 COMBINAZIONI SEMPLICI Dati elemeti distiti ( 2), si dicoo combiazioi semplici, di classe k (k < ), tutti igruppi che si possoo formare co gli elemeti prededoe k di essi, i modo che ogi gruppo differisca dagli altri per almeo u elemeto (i gruppi devoo essere formati da elemeti tutti diversi tra loro) molto più usata per le combiazioi è la formula: dove il termie k k poe per covezioe: C,k D,k k!! C,k k! ( k)! ( 1) ( 2)... (k 1) k! (Legge dei tre fattoriali) che si legge " su k" è detto coefficiete biomiale; da teer presete che si 1 ; 1 ; 0 1 Altre due particolarità o leggi di cui gode il coefficiete biomiale soo: la Legge delle classi complemetari: k - k la Legge di Stiefel: k k - k COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Dati elemeti distiti, si dicoo combiazioi co ripetizioe di classe k (i questo caso può essere ache k > ), tutti i gruppi che si possoo formare co gli elemeti (i ciascuo dei quali uo stesso elemeto può essere ripetuto fio a k volte), i modo che ogi gruppo differisca dagli altri per almeo u elemeto o per le ripetizioi co cui u elemeto si preseta: ( 1) ( 2)... (k 1) C',k k! 4

6 SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO Si sa che lo sviluppo di u biomio di grado è u poliomio ordiato secodo le poteze decresceti del primo termie e cresceti del secodo termie; orbee, il coefficiete biomiale permette di calcolare la parte umerica dei moomi costitueti il poliomio secodo la formula di Newto: a b a 1 a b 2 a b... k a b k k 1 1 a b b 5

7 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Eveto: fatto che può risultare vero o falso; può assumere le segueti modalità: eveto certo: eveto impossibile: eveto icerto: fatto che deve verificarsi ecessariamete; fatto che o ha possibilità di verificarsi; fatto per il quale o è possibile dire a priori se si verifica o meo. Probabilità: misura il grado di possibilità del verificarsi di u eveto. I pratica la probabilità si prefigge di tradurre i termii umerici il fatto che si realizzi, ed i quale misura, u eveto icerto. Ciò porta ad associare ad u eveto E u umero p(e) compreso tra il valore 0 (misura dell'eveto impossibile) ed il valore 1 (misura dell'eveto certo). TEORIA CLASSICA DELLA PROBABILITÀ Probabilità: rapporto tra il umero dei casi favorevoli, m, al verificarsi dell'eveto ed il umero dei casi equipossibili, (casi che hao tutti la stessa possibilità di verificarsi). p(e) = m m = 0 p(e) = 0 eveto impossibile m = p(e) = 1 eveto certo 0 m 0 p(e) 1 eveto probabile Probabilità dell'eveto cotrario: m = umero di casi favorevoli = umero di casi equipossibili - m = umero di casi cotrari _ p( E ) = q(e) = - m = 1 - m = 1 - p(e) Teorema fodametale della Probabilità: p(e) + q(e) = 1 6

8 TEORIA FREQUENTISTICA DELLA PROBABILITÀ Frequeza Relativa: rapporto tra il umero di volte, r, che si verifica u eveto ed il umero di prove idipedeti,, eseguite tutte elle stesse codizioi f = r La frequeza può assimilarsi alla probabilità i base alla: Legge Empirica del Caso i u gra umero di prove, tutte uguali ed eseguite elle stesse codizioi, ciascuo degli eveti possibili si maifesta co ua frequeza relativa che è approssimativamete uguale alla sua probabilità e l'approssimazioe è tato maggiore quato più grade è il umero delle prove effettuate. lim = r = p(e) Probabilità: valore limite a cui si avvicia sempre più la frequeza via via che il umero delle prove eseguite diveta sempre più grade. TEORIA SOGGETTIVA DELLA PROBABILITÀ Probabilità: misura del grado di fiducia che u idividuo coerete attribuisce, secodo le sue iformazioi ed opiioi, al verificarsi di u eveto. coereza: stima del grado di fiducia effettuata ell'itervallo (0,1). ua defiizioe più operativa è: Probabilità: rapporto tra il prezzo, s, che u idividuo reputa equo pagare per poter ricevere il compeso, S, el caso che si verifichi u certo eveto p(e) = s S 7

9 GIOCO DEL LOTTO Da u'ura coteete umeri ( = 1,..., ) se e estraggoo m; calcolare la probabilità che tra gli m umeri estratti se e ottegao k prefissati. casi equipossibili: soo dati dalla combiazioe di elemeti presi a gruppi di m m =! m! - m! C,m = casi favorevoli: si ottegoo elimiado dall'ura i k umeri prefissati e cosiderado le C (-k),(m-k) = combiazioi che si ottegoo da (-k) elemeti presi a gruppi di (m-k) - k ( - k)! m - k = - k! = (m - k)! - k m k! m k! k! i pratica per i casi favorevoli si suppoe che i k umeri prefissati siao elemeti fissi che etrao comuque i combiazioe co gli altri elemeti. Probabilità: rapporto tra casi favorevoli e casi equiprobabili: p = m - k m - k = m! - k!! m - k! Esempio: calcolare la probabilità che esca u tero sulla ruota di Napoli = 90; m = 5; k = 3 5! 90-3! p = 90! 5-3! = 0,

10 TEOREMI SULLA PROBABILITÀ Eveto Uioe: dati due eveti, A e B, l'eveto uioe C è vero se è vero almeo uo dei due eveti, è falso se soo falsi etrambi gli eveti C = A B Eveto Itersezioe: dati due eveti, A e B, l'eveto itersezioe C è vero se soo veri i due eveti; è falso se è falso almeo uo dei due eveti: C = A B. b. tali cocetti soo estedibili ache al caso i cui gli eveti soo più di due. Eveti Icompatibili: eveti tali che il verificarsi dell'uo esclude i modo assoluto il verificarsi dell'altro. Eveti Compatibili: eveti tali che il verificarsi dell'uo o esclude il verificarsi dell'altro; possoo essere dipedeti o idipedeti. Eveti Idipedeti: eveti compatibili tali che il verificarsi dell'uo o iflueza il verificarsi dell'altro. Eveti Dipedeti: eveti compatibili tali che il verificarsi dell'uo iflueza il verificarsi dell'altro. 9

11 TEOREMA DELLA PROBABILITÀ TOTALE Caso di Eveti Icompatibili dati due eveti A e B, la probabilità dell'eveto uioe A B è pari alla somma delle probabilità dei sigoli eveti: p(a B) = p(a) + p(b) il teorema è estedibile ache al caso di più eveti; i particolare, se gli eveti soo a due a due icompatibili ed uo di essi deve ecessariamete verificarsi, l'eveto uioe è l'eveto certo: p(e 1 E 2...E ) = p(e i ) = 1 (vedi i proposito il teorema fodametale p + q = 1). Caso di Eveti Compatibili dati due eveti A e B, la probabilità dell'eveto uioe A B è pari alla somma delle probabilità dei sigoli eveti dimiuita della probabilità dell'eveto itersezioe A B: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B). b. questo caso cotiee come caso particolare quello precedete; se, ifatti, gli eveti soo tra loro icompatibili risulta A B = 0 e, quidi, p(a B) = 0 ache i questo caso il teorema è estedibile a più eveti; così, ad esempio, el caso di tre eveti A, B, C si ha: p(abc) = p(a) + p(b) + p(c) - p(ab) - p(bc) + - p(abc). b. i pratica la probabilità dell'eveto uioe si ricoosce dal fatto che el problema è citata la cogiuzioe "o" (calcolare la probabilità che accada questo o che accada quello). 10

12 Esempio: caso a) caso b) u'ura cotiee 100 pallie umerate da 1 a 100; calcolare la probabilità che estraedo ua pallia si scelga u umero: a) divisibile per 10 o 13; b) divisibile per 10 o 8. eveto A: umeri divisibili per 10 = 10 eveto B: umeri divisibili per 13 = 7 p(a) + p(b) = eveto A: umeri divisibili per 10 = 10 eveto B: umeri divisibili per 8 = 12 AB = = AB 0 (almeo due umeri i comue) p(a) + p(b) - p(a B) = =

13 TEOREMA DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA Caso di Eveti Idipedeti dati due eveti A e B, la probabilità dell'eveto itersezioe, AB, è pari al prodotto delle probabilità dei sigoli eveti: p(ab) = p(a) * p(b) il teorema resta valido ache se gli eveti soo più di due: p(e 1 E 2...E ) = P(E 1 ) *p(e 2 ) *...*p(e ) = p(e i ) Caso di Eveti Dipedeti dati due eveti A e B tali che B sia codizioato da A (probabilità di B subordiata al verificarsi di A), la probabilità dell'eveto itersezioe, A B, è pari al prodotto della probabilità di A per la probabilità codizioata di B: p(ab) = p(a) * p(b/a) da questa regola deriva, poi, che: p(b / A) = p A B p(a) cioé la probabilità dell'eveto codizioato può essere vista come il rapporto tra i casi favorevoli all'eveto itersezioe ed i casi favorevoli all'eveto codizioate. Il teorema cotiua ad essere valido ache se gli eveti soo più di due: p(e 1 E 2...E ) = P(E 1 ) * p(e 2 /E 1 ) * p(e 3 / E 1 E 2 ) *... * p(e / E 1 E 2...E -1 ) = p(e i ) essedo l'ultimo fattore, p(e / E 1 E 2...E -1 ), la probabilità che si attribuisce all'eveto E quado risultao veri tutti gli -1 eveti che lo precedoo.. b. i pratica la probabilità dell'eveto itersezioe si ricoosce dal fatto che el problema è citata la cogiuzioe "e" (calcolare la probabilità che si verifichi questo eveto e quell'eveto). Esempio: da u'ura coteete 17 pallie biache, 8 rosse, 5 verdi, si estraggoo successivamete 2 pallie. Calcolare la probabilità che etrambe le pallie estratte siao biache ell'ipotesi che: a) dopo la prima estrazioe, la pallia estratta viee rimessa ell'ura; b) dopo la prima estrazioe, la pallia estratta o viee rimessa ell'ura. 12

14 caso a) eveto A: prima pallia biaca = 17 A B = due pallie biache eveto B: secoda pallia biaca = 17 ( = = 30) p = p(a) p(b) = = = 0,3211 caso b) eveto A: prima pallia biaca = 17 A B = due pallie biache eveto B: secoda pallia biaca = 16 ( A = = 30) ( B = = 29) p = p(a) p(b / A) = = = 0,

15 TEOREMA DI BAYES calcola la probabilità di u eveto E che può essere origiato da diverse cause H i (i = 1,) tra loro icompatibili e delle quali soo ote le probabilità (H i ). I pratica risolve il problema: supposto che si sia verificato l'eveto E, qual'è la probabilità che esso sia stato origiato dalla causa H i. p(h / E) = i p(h ) p(e / H ) i 1 i p(h ) p(e / H ) p(h i /E): probabilità che la causa Hi abbia geerato l'eveto E; p(h i ): probabilità che agisca la causa H i ; p(e/h i ): probabilità che l'eveto E si verifichi i dipedeza della causa H i ; p(h i ) * p(e/hi): probabilità che agisca la causa H i e che, subordiatamete a tale fatto, si verifichi l'eveto E. i i i. b. si tega presete che, essedo le cause tra loro icompatibili, deve risultare: i1 p(h /E) = 1 i Esempio: tre ure, esteramete idetiche, hao la seguete composizioe: ura di tipo A, coteete 4 pallie rosse e 6 pallie gialle; ura di tipo B, coteete 7 pallie rosse e 3 pallie gialle; ura di tipo C, coteete 5 pallie rosse e 5 pallie gialle; Calcolare la probabilità che, estraedo ua pallia rossa, essa provega dall'ura di tipo A. p(a) = probabilità che sia rossa da A = 4/10 p(b) = probabilità che sia rossa da B = 7/10 p(c) = probabilità che sia rossa da C = 5/10 p(e/a) = probabilità che l eveto si geerato da A = 1/3 p(e/b) = probabilità che l eveto si geerato da B = 1/3 p(e/c) = probabilità che l eveto si geerato da C = 1/3 p(a / E) = = 4 16 = 0,25 14

16 1 DADO VARIABILI CASUALI Cosiderado il lacio di due dadi, il risultato che si ottiee sommado le due facce è certamete ua variabile; per di più i valori che essa assume dipedoo dal caso ed oguo di essi può presetarsi co ua certa probabilità, ioltre il verificarsi di u valore esclude automaticamete il verificarsi di u altro valore (eveti icompatibili). Somma Numero Probabilità 2 DADO Facce Volte di Verifica / / / /36 totale degli eveti el lacio /36 di due dadi: /36 eveti equiprobabili /36 spazio degli eveti 9 4 4/ / / /36 umero di volte p eveti equiprobabili Si può allora dire che la somma delle facce di due dadi è ua variabile casuale. Variabile Casuale: variabile che può assumere u certo valore all itero di u isieme di valori tra loro icompatibili ed aveti oguo ua certa probabilità di verificarsi V v 1, v 2, v 3,..., v p,p,p,...,p, (p i = 1) ; p(v = v i ) = p i ; 0 p(v = v i ) 1 Geeralizzado il problema, se esiste ua fuzioe F(x) rappresetata da: F(X = x i ) = p i (i=1,2,3,...,) avete per domiio l isieme degli x i e per codomiio l isieme delle probabilità p i, tale fuzioe rappreseta la distribuzioe di probabilità della variabile casuale x. 15

17 Come tutte le fuzioi, ach essa è suscettibile di ua rappresetazioe grafica; costruedo, ifatti, u piao cartesiao sulle cui ascisse soo posti i valori assuti dalla variabile casuale e sulle cui ordiate soo poste le relative probabilità si ha la curva di distribuzioe di probabilità. grafico relativo ad ua distribuzioe discreta di probabilità perché V può assumere solo valori iteri. grafico di ua distribuzioe cotiua di probabilità, perché V può assumere tutti i valori i R + Naturalmete i base ai valori assuti dalla variabile casuale si può avere ua curva defiita a tratti (distribuzioe di probabilità discreta) oppure ua curva cotiua (distribuzioe di probabilità cotiua). Le variabili casuali, dette ache variabili aleatorie o variabili stocastiche, rappresetao ua parte fodametale del calcolo delle probabilità e soo molti i problemi di atura probabilistica il cui studio coduce alla cosiderazioe di variabili casuali. Si cosideri ora il seguete problema: FUNZIONE DI RIPARTIZIONE calcolare la probabilità che, el lacio di due dadi, la somma delle facce risulti miore di 5. X /36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/ p X 5 p X 2 p X 3 p X il calcolo è stato effettuato utilizzado il teorema della probabilità totale (applicato ad eveti icompatibili). I pratica, si soo cumulate (sommate) le probabilità dei sigoli valori, disposti i ordie crescete, che può assumere la variabile casuale; ciò porta al cocetto di fuzioe di ripartizioe o fuzioe cumulativa di probabilità: 1 6 Fuzioe di Ripartizioe: fuzioe F(x) che esprime la probabilità che ua variabile casuale X assuma u valore o superiore ad x F(x) = p(x x) = p s (s=1,2,...,i) 16

18 risulta: x < x 1 F(x) = 0 0 F(x) 1 x x F(x) = 1 fuzioe cotiua [x, Graficamete la fuzioe ripartizioe viee rappresetata el piao cartesiao poedo sulle ascisse i valori x i e sulle ordiate i valori di F(x) otteuti sommado progressivamete le relative p i; se la fuzioe è cotiua risulta: F(x) = P(X a) = F(a) State la difficoltà di aalizzare la distribuzioe di probabilità di ua variabile casuale è opportuo aalizzarla attraverso parametri che evidezio i modo sitetico le sue caratteristiche; idicado co: p ( X x ) = F(x) f(a) a cetro: zoa di massima probabilità di ua variabile casuale (valore più probabile che essa può assumere); dispersioe: grado co cui le probabilità si dispogoo itoro al cetro; è possibile defiire la distribuzioe di probabilità di ua variabile casuale attraverso due parametri: valore medio: (valore atteso o speraza matematica) previsioe teorica del risultato che si può avere effettuado u gra umero di prove; è dato dalla somma dei prodotti dei valori assuti dalla variabile casuale per le rispettive probabilità: E(x) = x 1 p 1 + x 2 p x p = x i p i = Per defiire l altro parametro che evidezia la dispersioe di ua variabile casuale è ecessario itrodurre il cocetto di: scarto: (o scostameto) differeza di ogi valore assuto dalla variabile casuale dal valor medio s i = (x i - ) (i = 1,2,...,) che evidezia la variabilità (valori o tutti uguali) di ua variabile casuale. 17

19 È logico, poi, ipotizzare che il più attedibile idicatore del grado di variabilità, e quidi della dispersioe, si possa otteere calcolado il valor medio degli scarti; tuttavia, risultado essi simmetrici rispetto alla media, il loro valor medio è ullo. Per ovviare a ciò, si calcola il valor medio del quadrato degli scarti; si defiisce così la: variaza: valor medio degli scarti al quadrato Var( X) x p x p... x p x p i i spesso i alterativa alla variaza si utilizza lo: scarto quadratico medio: (s.q.m.) radice quadrata della variaza Var( X) Esempio: determiare qual è il valore che ha più probabilità di verificarsi el lacio di due dadi e dire, ioltre, quale grado di variabilità ha la variabile casuale associata. E(X) m = 7 s 1 = 2-7 = -5 s 2 = 3-7 = -4 s 3 = 4-7 = -3 s 4 = 5-7 = -2 s 5 = 6-7 = -1 s 6 = 7-7 = 0 s 7 = 8-7 = 1 s 8 = 9-7 = 2 s 9 = 10-7 = 3 s 10 =11-7 =4 s 11 =12-7= 5 18

20 TEORIA DEI GIOCHI Giochi di Sorte: giochi il cui esito dipede fodametalmete dal caso. Nei giochi di sorte si puta ua somma S i base ad ua probabilità p di vicere; è possibile, quidi, cosiderare ua variabile casuale che assume valore S co probabilità p e valore 0 co probabilità q = 1 - p, il cui valore medio è: = Sp + 0q = Sp da ciò si ha: Speraza Matematica: prodotto della somma S per la probabilità p di vicere E = Sp rappreseta, i effetti, la previsioe della vicita media che u giocatore ha effettuado u umero ifiito di giocate. Geeralizzado, i caso di somme S i (i = 1,2,...,) ogua avete probabilità di essere vita p i (i = 1,2,...,), tra loro icompatibili, la speraza matematica totale è: E S p S p... S p S p T i1 i i p i1 i 1 ; 0 p 1 i GIOCHI A DUE GIOCATORI Giochi i cui la vicita di u giocatore è rappresetata dalla perdita dell'altro: A: puta la somma S A co ua probabilità di vicere p e di perdere q B: puta la somma S B co ua probabilità di vicere q e di perdere p A vice la somma S B e paga la somma S A = - S A B vive la somma S A e paga la somma S B = - S B E(A) = S B p - S A q E(B) = S A q - S B p = -( S B p - S A q) = - E(A) da ciò discede che la speraza matematica di u giocatore è opposta a quella dell'altro. Si ricava, ioltre, che se la speraza matematica di u giocatore è ulla lo è ache quella dell'altro e ciò porta alla defiizioe di: Gioco Equo: gioco i cui la speraza matematica complessiva di ci ciascu giocatore è ulla E(A) = S B p - S A q = 0 ; E(B) = S A q - S B p = 0 da tale defiizioe risulta: S B p - S A q = 0 S B p = S A q S A / S B =p/q S A : S B = p : q S A : p = S B : q 19

21 Gioco Equo: gioco i cui la somma putata è proporzioale alla probabilità di vicita. Dalla proporzioe S A : S B = p : q applicado la proprietà del compoedo si ha: p : (p+q) = S A : (S A +S B ) ed essedo: p + q = 1 e S A + S B = S T si ha: p : 1 = S A : S T S A = p S T Gioco Equo: gioco i cui la somma putata è la speraza matematica del mote premi. (quest'ultima defiizioe è alla base dei calcoli di alcui tipi di assicurazioe). Le cosiderazioi fatte restao valide ache se ci soo più somme i gioco o se il gioco si svolge tra più giocatori ricordado che le probabilità di vicita delle sigole somme o dei sigoli giocatori soo relative ad eveti tra loro icompatibili e, quidi, il gioco è sottoposto alla legge della probabilità totale. Quado uo dei giocatori agisce da professioista, cioé orgaizza e gestisce il gioco (Stato, Compagie di assicurazioi), l'equità del gioco agisce a suo sfavore perché, essedo ulla la vicita media (E = 0), restao a suo carico le spese di orgaizzazioe e di gestioe. E' ecessario, i tal caso, prevedere u caricameto per le somme i gioco (perdita dell'equità del gioco) affiché il professioista o risulti i perdita e possa per altro avere u giusto guadago dall'attività svolta. E' questo ciò che succede per le varie lotterie gestite dallo Stato o per le compagie di assicurazioi che fao pagare somme superiori a quelle che sarebbero ecessarie. Esempio di gioco o equo: ella rulette la somma che si vice se esce u umero è di 35 volte la posta. Detta k la posta i gioco, p = 1/37 la probabilità di vicere, q = 36/37 la probabilità di perdere, la speraza matematica del giocatore è: 1 E 35k k 36 k da cui si vede che avedosi u valore egativo il gioco è svataggioso per il giocatore. 20