8. Matrice inversa 21 Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24

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1 Indice Mtrici e sistemi lineri. Mtrici Trspost di un mtrice, Mtrice digonle e mtrice unità, Mtrici tringolri,. Operzioni con le mtrici Addizioni di mtrici, Moltipliczione per un numero, Prodotto tr mtrici, Prodotto mtrice-vettore, 6. Determinnte 8. Proprietà dei determinnti 5. Sistemi lineri 6. Sistemi lineri omogenei 5 7. Sistemi tringolri superiori. Metodo di Guss 7 Trsformzioni di un sistem linere, 8 Il metodo di Guss, 9 8. Mtrice invers Risoluzione dei sistemi lineri con il metodo dell mtrice invers, 9. ormul di Lplce 5. Rngo di un mtrice 6. Teorem di Rouché-Cpelli 7. Risoluzione di un sistem 9 Comptibilità, 9 Unicità, Soluzioni, Quesiti di verific Lbortorio di informtic. Le mtrici su DERIE,. Operzioni con le mtrici,. Un esperimento,. Sistemi lineri, 5. Esercizi, 5 6. Progrmmi, 6 Esercizi 7 Mtrici. Operzioni tr mtrici, 7 Determinnti e loro proprietà, 8 Sistemi lineri, Sistemi lineri omogenei, Metodo di Guss, Mtrice invers, 6 Risoluzione di un sistem con il metodo dell mtrice invers, 8 ormul di Lplce, 9 Rngo di un mtrice, 5 Teorem di Rouché-Cpelli, 5 Discussione di un sistem linere prmetrico, 5 Soluzioni 56 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

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3 Mtrici e sistemi lineri Mtrici Un mtrice è un tbell di numeri disposti su righe e colonne. Per esempio l tbell: 7 5 costituisce un mtrice formt d due righe e d tre colonne; ess viene nche dett mtrice rettngolre. Se il numero delle righe è ugule quello delle colonne l mtrice si dice qudrt e il comune numero di righe e colonne si dice ordine dell mtrice qudrt. Per esempio: 7 5 è un mtrice qudrt o di ordine. L elemento di un mtrice pprtenente ll rig i e ll colonn j si indic con ij ; così, nell mtrice considert sopr, si h: = = 7 = 5 = In un mtrice qudrt l digonle contenente gli elementi,, prende il nome di digonle principle. Nell mtrice: 5 l digonle principle è formt dgli elementi =, =, =. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

4 Trspost di un mtrice Si definisce trspost dell mtrice qudrt A l mtrice, indict con A T, ottenut d A scmbindo le righe con le colonne. sempio A= A T 6 = Un mtrice si dice simmetric se coincide con l su trspost: A = A T cioè se sono uguli gli elementi simmetrici rispetto ll digonle principle. sempio A= = 7 A T Mtrice digonle e mtrice unità Un mtrice qudrt si dice digonle se sono nulli tutti gli elementi non pprtenenti ll digonle principle. L mtrice digonle con gli elementi dell digonle principle:,,... uguli si dice mtrice unità. Per l ordine l mtrice unità è: Per l ordine è: I = I = Mtrici tringolri Un mtrice tringolre superiore è un mtrice qudrt che h nulli tutti gli elementi che si trovno l di sotto dell digonle principle, come per esempio: 6 5 Anlogmente, un mtrice tringolre inferiore è un mtrice qudrt che h nulli tutti gli elementi che si trovno l di sopr dell digonle principle, come per esempio: 8 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

5 Operzioni con le mtrici Mtrici e sistemi lineri Sull insieme delle mtrici si possono definire numerose operzioni. Considerimo in questo prgrfo mtrici qudrte di ordine o. Addizione di mtrici DEINIZIONE Dte due mtrici A e B qudrte e dello stesso ordine, si definisce loro somm: C = A + B l mtrice C i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B: c ij = ij + b ij sempio A= B C A B = + = + = = 7 5 L somm di mtrici gode dell proprietà commuttiv e dell proprietà ssocitiv. L mtrice null, cioè l mtrice i cui elementi sono tutti zero, è l elemento neutro per l ddizione, e si indic con N. Si dice mtrice oppost di A l mtrice i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A. sempio A= A = L mtrice oppost di A si indic con A e si h: A + ( A) = N Moltipliczione per un numero DEINIZIONE Si definisce prodotto di un numero rele l per un mtrice A, l mtrice l A i cui elementi sono quelli di A moltiplicti per l. sempi 5 Dti A = e λ =, srà: A = 9 6 Dte le mtrici A= 6 B, si h: = e 7 A B= + 6 = 6 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

6 Proprietà dell somm tr mtrici qudrte dello stesso ordine e del prodotto di un mtrice per un numero rele Sino A, B, C tre qulsisi mtrici qudrte di ordine n e N l mtrice null dello stesso ordine, l e m due qulsisi numeri reli: somm tr due mtrici prodotto di un mtrice per un numero rele. A + (B + C) = (A + B) + C I. l (A + B) = la + lb. A + N = N + A = A II. (l + m) A = la + ma. A + ( A) = ( A) + A = N III. l (m A) = (l m) A. A + B = B + A I. A = A Prodotto tr mtrici DEINIZIONE Sino A e B due mtrici qudrte dello stesso ordine; si definisce loro prodotto righe per colonne: C = A * B l mtrice i cui elementi c hk si ottengono come somm dei prodotti degli elementi dell rig h-esim di A per gli elementi dell colonn k-esim di B. Così, se l ordine è, si h: c hk = h b k + h b k mentre, se l ordine è, si h un ltro ddendo: c hk = h b k + h b k + h b k sempi 7 Dte le mtrici: si h: c = ( ) + = c = ( ) ( ) + 5 = c = + = c = ( ) + 5 = e quindi: A= B = 5 A* B= * = Dte le mtrici: A= 6 B= 6 7 risult: ( ) A* B= ( ) = ( ) ( ) + + ( ) ( ) 7 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

7 9 Il consumo nnule medio di pne, crne, pesce (in kg) di fmiglie,,,, viene rppresentto dll mtrice: pne crnepesce A, = I prezzi (in euro l kg) degli stessi prodotti negli nni, 5 vengono rppresentti dll mtrice B 5 pne, 5, B = crne,, 5, pesce 6, 6 85, Gli elementi dell mtrice prodotto C = A*B, compost d righe e colonne, forniscono l spes totle di ciscun fmigli per ciscun nno. Per esempio, l elemento c del prodotto è l spes totle in euro dell fmigli nell nno : c = 5, + 5, + 8 6,6 = 56, euro l elemento c è l spes totle in euro dell fmigli nell nno 5: c = 5,5 + 5, ,5 = 5,5 euro Anlogmente, l second rig è formt dll spes totle dell fmigli in ciscun nno, l terz e l qurt riportno rispettivmente le spese delle fmiglie e per ciscun nno: 5 56, 5, 5 675, 6555, 9, 77, 5 7, 5, In generle, il prodotto tr mtrici non gode dell proprietà commuttiv, cioè i due prodotti: possono essere diversi. A * B e B * A sempi Riferendosi ll esempio 7 si ottiene inftti, scmbindo l ordine, un prodotto diverso d quello precedente: B* A= * = le, invece, l proprietà commuttiv nel cso seguente: 8 8 = * = * Il prodotto delle due mtrici, indipendentemente dll ordine, è ugule ll mtrice unità. edremo nel prgrfo 8 che ciscun delle mtrici scritte è l invers dell ltr. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 5

8 Il prodotto di un mtrice qudrt A per l mtrice unità I dello stesso ordine coincide con A: O sservzione A * I = I * A = A Il prodotto tr due mtrici qudrte non nulle può essere ugule ll mtrice null, come per esempio nel cso del prodotto: 5 7 = * Pertnto nel prodotto tr mtrici non vle l legge di nnullmento del prodotto. Prodotto mtrice-vettore Si A un mtrice qudrt di ordine e si v (v ; v ) un vettore di, cioè un coppi ordint di numeri reli. DEINIZIONE Si definisce prodotto di A per v il vettore: w = A v che h come elementi le somme dei prodotti degli elementi delle righe di A per i corrispondenti elementi di v. Si osservi che se l ordine è, indicte con (w ; w ) le componenti del vettore w, il prodotto v w = Av è il prodotto tr l mtrice A e il vettore colonn, cioè: v dove: Av = v w = v w w = v + v w = v + v sempio Il prodotto dell mtrice A = per il vettore v = ( ; ) 5 è il vettore: w = tle che: w w = ( ) + ( ) = w = ( ) + 5 = 7 quindi: w = ( ; 7) w = 5 * 6 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

9 Se l ordine è si vrà un ddendo in più: sempio w = v + v + v w = v + v + v w = v + v + v Il prodotto dell mtrice 7 A = 5 per il vettore v = (; ; ) è il vettore: w w = w w 7 = 5 * = 6 Struttur di gruppo dell insieme delle mtrici qudrte ( n ; +) Indichimo con ( n ; +) l insieme delle mtrici qudrte di ordine n in cui si stt introdott l operzione di ddizione tr mtrici. L ddizione in n è un operzione intern, cioè l somm di due mtrici qulsisi A e B di ordine n è ncor un mtrice di ordine n: " A, B Œ n, risult: A + B Œ n Quest proprietà si esprime dicendo che l insieme n è chiuso rispetto ll ddizione. Inoltre, l ddizione gode delle seguenti proprietà: ssocitiv (A + B) + C = A + (B + C) "A, B, C Œ n b esiste l elemento neutro (l mtrice null N) A + N = N + A "A Œ n c ogni elemento A Œ n h l elemento opposto (o reciproco) A Œ n, tle che: A + ( A) = A + A = N "A Œ n d commuttiv A + B = B + A "A, B Œ n Un insieme in cui è definit un operzione intern che gode delle proprietà, b, c si dice che è un gruppo rispetto ll operzione considert. Se vle nche l proprietà commuttiv d, si dice che è un gruppo commuttivo o belino. L insieme n rispetto ll ddizione, indicto con ( n ; +), è pertnto un gruppo commuttivo o belino. Struttur di spzio vettorile dell insieme n sull insieme Nell insieme n, delle mtrici qudrte di ordine n, considerimo le due operzioni: un legge di composizione intern: l ddizione tr due mtrici; un legge di composizione estern: l moltipliczione di un numero rele per un mtrice. L insieme n è un gruppo commuttivo rispetto ll ddizione tr mtrici. Inoltre il prodotto per un numero rele gode delle seguenti proprietà: I distributiv rispetto ll ddizione in n : l(a + B) = l A + lb "A, B Œ n, " l Œ RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 7

10 II distributiv rispetto ll ddizione in : (l + m) A = l A + m A "A Œ n, "l, mœ III ssocitiv l(m A) = (lm) A "A Œ n, "l, mœ I neutrlità rispetto, elemento neutro dell moltipliczione in A = A "A Œ n Un insieme in cui sino definite due operzioni, un intern, indict con +, rispetto ll qule l insieme si un gruppo commuttivo e un estern, indict con, che operi su e che god delle proprietà sopr elencte, si dice che è uno spzio vettorile. Pertnto l insieme ( n ; +; ) è uno spzio vettorile sull insieme dei numeri reli. Determinnte DEINIZIONE Dt un mtrice qudrt di ordine : A = si definisce determinnte di A, e si indic con det A, il numero rele: det A = ottenuto come differenz tr il prodotto degli elementi dell digonle principle e quello degli elementi dell ltr digonle. sempio Dt l mtrice A =, si h: det A = 5 ( ) = 6 5 In prticolre, il determinnte det I dell mtrice unità vle ; il determinnte di un mtrice digonle D = q p vle p q, ovvero il prodotto degli elementi dell digonle. DEINIZIONE Si, invece, A un mtrice qudrt di ordine : A = Si definisce determinnte di A il numero rele: det A = RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

11 Preprimo l tbell formt d A e dlle sue prime due colonne ripetute ll su destr: L formul del determinnte risult nlog qunto definito nel cso dell ordine, cioè: det A = somm dei prodotti reltivi lle digonli discendenti somm dei prodotti reltivi lle digonli scendenti L regol enuncit per il determinnte di ordine si chim regol di Srrus. sempio 5 Dt l mtrice: 5 SARRUS, mtemtico A = 7 frncese (798-86) 6 8 l tbell è: e di conseguenz: det A = = 87 Anche nell ordine l mtrice unità: I = h det I =, mentre qulsisi mtrice digonle: p D = q r h come determinnte det D = p q r, cioè il prodotto degli elementi dell digonle. Nonostnte l su compless definizione, il determinnte rispett sul prodotto di mtrici l semplice relzione: det (A * B) = det (A) det (B) = det (B * A) Le mtrici A * B e B * A, pur essendo in generle diverse, hnno lo stesso determinnte. Il determinnte di un mtrice tringolre è ugule l prodotto degli elementi dell digonle principle, per esempio: 6 = ( ) 5= 6 5 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 9

12 Proprietà dei determinnti Elenchimo or lcune proprietà dei determinnti.. Se tutti gli elementi di un rig o tutti quelli di un colonn dell mtrice A sono nulli, risult det A =. 6 Se: sempio si h det A =, det B =. A= 9 B = 7 6. Se si moltiplicno tutti gli elementi di un rig o tutti quelli di un colonn di A per un fttore, risult moltiplicto per lo stesso fttore nche il determinnte. 7 Se: sempio A = 5 8 si h det A = 8, mentre se si moltiplicno gli elementi dell second rig per si ottiene l m trice: B = 5 6 e risult det B = 5 = det A.. Se si scmbino tr loro due righe o due colonne il determinnte cmbi segno. 8 sempio Considerimo l mtrice: 5 7 A = 5 si h det A = 9; scmbindo l prim e l terz colonn si ottiene l mtrice: e risult det B = 9 = det A. 7 5 B = 5 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

13 . Se due righe o due colonne di A hnno elementi uguli o proporzionli risult det A =. sempio 9 Se: A = 5 k 5k k Œ risult det A = 5k + 5k =. 5. Se si sommno gli elementi di un rig o di un colonn di A i corrispondenti elementi di un ltr rig o colonn di A il determinnte non cmbi. sempio Se: A = 9 8 risult det A = ; sommndo gli elementi dell prim rig con i corrispondenti elementi dell second rig si ottiene: e risult det B = = det A. B = Se gli elementi di un colonn (o di un rig) si decompongono in due ddendi, il determinnte di A è l somm dei due determinnti delle mtrici che hnno in tle colonn (in tle rig) i rispettivi ddendi. sempio Se: si h det A = 5; scomponendo gli elementi dell second colonn, si ottiene: det det det 9 = 6+ = 6 + det Inftti 5 = Se un colonn (o un rig) è combinzione linere delle ltre, il determinnte è nullo. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

14 sempio Nell mtrice: A = 5 6 si osserv che l ultim rig si ottiene moltiplicndo l prim rig per e sommndo con l second rig; si verific che det A =. 5 Sistemi lineri Nel corso degli studi è stto già ffrontto il problem dell risoluzione di sistemi lineri di due equzioni in due incognite: x + by = c x + by = c che può nche essere considerto come il problem dell intersezione di due rette. I metodi sviluppti srnno or rienunciti e generlizzti con il linguggio delle mtrici e dei loro determinnti. issimo l nostr ttenzione sui sistemi di tre equzioni in tre incognite: x + x + x = b x + x + x = b x + x + x = b I numeri,,..., si chimno coefficienti del sistem; i due indici posti stnno ppunto indicre l equzione e l incognit cui si riferiscono; i numeri b, b, b vengono detti termini noti. Indict con A l mtrice dei coefficienti: A = con x il vettore tre componenti: x (x ; x ; x ), con b il vettore ncor tre componenti: b (b ; b ; b ), possimo, ricordt l operzione di prodotto di un mtrice per un vettore, riscrivere il sistem nell form vettorile: A x = b Le due rette di equzioni x + by = c e x + b y = c sono incidenti se b b π, prllele se = k, b =kb, c π kc, coincidenti se =k, b =kb, c =kc, cioè se il sistem d esse formto h rispettivmente un sol soluzione, nessun soluzione, infinite soluzioni. Se il sistem mmette soluzioni, cioè se esistono terne di numeri (x ; x ; x ) che soddisfno tutte e tre le equzioni del sistem, questo si dice comptibile. Nturlmente, se non esistono soluzioni, il sistem si dice incomptibile. Un sistem comptibile che mmett un sol soluzione si dice determinto. Se det A π, si può enuncire il teorem di Crmer, qui riportto nell form riferit un sistem di tre equzioni in tre incognite. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

15 TEOREMA (TEOREMA DI CRAMER) Un sistem di tre equzioni in tre incognite: Ax = b l cui mtrice dei coefficienti bbi determinnte diverso d zero, è comptibile e determinto: l tern soluzione (x ; x ; x ) è espress dlle seguenti formule: x det A det A det A = x = x = det A det A det A essendo A, A, A le tre mtrici ottenute d A sostituendo rispettivmente l prim, l second o l terz colonn con il vettore b dei termini noti. sempio x+ x + x = 6 Risolvere il sistem: x+ x + x = x+ x + x = 6 Considerimo l mtrice A dei coefficienti: A = CRAMER Gbriel (Ginevr 7 Bgnoles, Nîmes, 75) M te m tico e filosofo svizzero, rivolse i suoi studi soprttutto lle cur ve lgebriche e lle loro singolrità e ll risoluzione dei sistemi lineri: lui si deve l regol risolutiv, che port il suo nome, con il metodo dei determinnti. Poiché: det A = + + = 6 π si può pplicre il teorem di Crmer. Essendo: Quindi l tern soluzione è: A A det A 6 = 6 si h: 6 = si h: 6 6 A = si h: 6 = 6 det A = 5 det A = x = = ; x = = ; x 6 6 = = 6 Se det A = il sistem può essere incomptibile o nche comptibile e non determinto. sempi Dto il sistem: x + x + x = x x x = 5x + x x = RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

16 dett A l mtrice dei coefficienti: A = 5 risult det A =, quindi il sistem non è determinto. Si osserv che l terz equzione è combinzione linere delle ltre due (si ottiene moltiplicndo per l prim equzione e sommndol ll second membro membro); è quindi sufficiente considerre il sistem formto dlle prime due equzioni: x + x + x = x x x = h determinnte diver- nelle incognite x e x, visto che l mtrice dei coefficienti di x e x : so d zero. Posto x = l(l Œ ), bst risolvere il sistem: x + x = λ x x = + λ Il sistem è dunque comptibile, m indeterminto. Le infinite soluzioni sono dte d: x = λ; x = 7 λ; x = λ ( λ ) 5 Non è comptibile il sistem: x x = x+ x x = x x + 8x = 7 Esso, non solo non è determinto in qunto il determinnte dell mtrice dei coefficienti è nullo, m è nche impossibile. Inftti, mentre il primo membro dell terz equzione è combinzione linere dei primi due membri delle prime due equzioni: x x + 8x = x x (x + x x ) 6 non è così per i secondi membri: π 7. Discutere, l vrire di k Œ, l comptibilità del sistem: Considerimo l mtrice A dei coefficienti: x y = x + ( + k) y z = x kz = A= + k k Si h: det A = k k + Per k π e k π, si h det A π, quindi il sistem è determinto: l unic soluzione si clcol con l regol di Crmer. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

17 Per k = il sistem divent: x y = x y z = x +z = Si osserv che l terz equzione si ottiene moltiplicndo l prim equzione per 6, l second per e sommndo membro membro. È sufficiente quindi considerre il sistem formto dlle prime due equzioni nelle incognite x e y, visto che il determinnte dell mtrice dei coefficienti: è diverso d zero, porre z = l(l Œ ) e risolvere il sistem: x y= x y= + λ Il sistem è dunque comptibile e h infinite soluzioni: x = l y = l z = l Per k = il sistem divent: x y = x + y z = x z = Anche in questo cso il sistem è comptibile; bst osservre che l terz equzione si ottiene sommndo le prime due membro membro, porre z = l(l Œ ) e considerre il sistem: che risolto fornisce le infinite soluzioni: x y= x+ y= + λ λ λ x= + y= z= λ 6 Sistemi lineri omogenei Se il vettore dei termini noti è il vettore nullo: A x = il sistem si dice omogeneo. È evidente che i sistemi omogenei sono comptibili, inftti hnno lmeno l soluzione x =, x =, x =. Se inoltre det A π llor il sistem è nche determinto e quindi non esistono ltre soluzioni oltre l soluzione (; ; ) che si dice volte bnle. Se invece det A = si possono trovre ltre terne soluzione: esse vengono dette utosoluzioni del sistem. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 5

18 7 sempi Il sistem omogeneo: h mtrice dei coefficienti: x x = x + x = x+ x + x = A = e risult det A = π. Il sistem h l unic soluzione: x = x = x = 8 Il sistem omogeneo: h mtrice dei coefficienti: x+ x x = x+ x = x+ x+ 5x = A = 5 e risult det A =. Il sistem mmette, oltre ll soluzione bnle: x = x = x = nche utosoluzioni. Poiché l terz equzione è combinzione linere delle ltre due (si ottiene moltiplicndo l second per due e sommndo con l prim), bst considerre il sistem formto dlle prime due equzioni nelle incognite x, x : x + x x = x + x = visto che il determinnte dell mtrice è diverso d zero, porre x =l Œ e risolvere il sistem: x Le infinite soluzioni del sistem l vrire di l Œ sono: In prticolre, per l = si ottiene l soluzione: + x = λ x = λ 5 x = λ x = λ x = λ x = x = x = 6 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

19 9 Discutere, l vrire di k Œ, il sistem omogeneo: kx y kz = x ( k ) y + z= x ky = Clcolimo dpprim il determinnte dell mtrice A dei coefficienti; risult: det A = k + k Per k π e k π si h det A π, quindi il sistem è determinto, mmettendo solo l soluzione bnle: x = y = z = Per k =, il sistem si scrive: x y + 6z = x + y + z = x + y = Si osserv che l terz equzione si ottiene moltiplicndo l prim per e l second per e sommndo membro membro; bst quindi considerre il sistem formto dlle ultime due equzioni nel- 9 le incognite y e z, visto che il determinnte dell mtrice dei coefficienti: è diverso d zero. Posto x = l(l Œ ), il sistem si scrive: Le soluzioni sono: y+ z= λ y = λ λ λ x= λ y= z= Per k = il sistem divent: x y z= x + z= x y = Con procedimento nlogo si ottengono le soluzioni: x= λ y= λ z= λ 7 Sistemi tringolri superiori Metodo di Guss Gli lgoritmi proposti nel seguito sono considerti sotto l limitzione di tre equzioni in tre incognite per semplicità. Il titolo del prgrfo si riferisce l cso di sistemi con mtrice dei coefficienti con gli elementi posti l di sotto dell digonle principle tutti nulli, mtrice quindi determint dl tringolo superiore : x + x + x = b x + x = b x = b RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 7

20 Si cominci dll ultim equzione: Sostituendo nell penultim il vlore x trovto, si h: quindi: Sostituendo nell prim equzione i vlori di x e x trovti, si h: x x b = b = b x b + = b b x = b b b L risoluzione di sistemi tringolri (inferiori o superiori) non richiede lgoritmi specili: è un risoluzione dirett! O sservzione Qunto detto sopr richiede che: π π π Se per esempio fosse stto =, è evidente che il sistem srebbe stto incomptibile meno che nche b non fosse zero. Tenuto presente che, nel cso di un mtrice A tringolre (superiore o inferiore), si h: det A = l richiest che i tre coefficienti sino diversi d zero non ppre sorprendente. È noto, dl teorem di Crmer, che i sistemi di tre equzioni in tre incognite sono risolubili qulunque sino i termini noti se e solo se det A π. Nell ipotesi π, π e π, si può dividere l prim equzione per, l second per e l terz per ; il sistem si riduce llor x + c x + c x = d x + c x = d x = d 8 Trsformzioni di un sistem linere Le trsformzioni possibili di un sistem linere sono: ) moltiplicre (o dividere) membro membro un equzione del sistem per un fttore non nullo; b) ddizionre (o sottrrre) d un equzione un qulsisi ltr equzione (dello stesso sistem). Tli trsformzioni cmbino l mtrice dei coefficienti m, se ess vev determinnte diverso d zero, tle risult nche il determinnte dell nuov mtrice. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

21 Il metodo di Guss Le soluzioni di un sistem di tre equzioni in tre incognite possono essere ricercte medinte un procedimento di eliminzioni successive detto metodo di Guss. Dto il sistem: x + x + x = b x + x + x = b x + x + x = b moltiplichimo l prim equzione per e l second per e quindi sottrimole tr loro. L equzione che così si ottiene non h più il termine in x. Anlogmente, moltiplichimo l prim equzione per e l terz per e quindi sottrimole; l equzione che così si ottiene è nch ess priv del termine in x. Con le due operzioni indicte bbimo trsformto il sistem in un ltro equivlente, nel qule tuttvi l second e l terz equzione non contengono l incognit x : x + x + x = b x + x = b x + x = b Nturlmente i coefficienti ecc. sono diversi di precedenti ecc. A questo punto moltiplichimo l second equzione per e l terz per e sottrimole; l equzione che così si ottiene non h più nenche l incognit x : si trtt di un equzione nell sol x. Il sistem si present or nell form dett mtrice tringolre superiore: x + x + x = b x + x = b x = b Dll terz equzione, lmeno se π, è possibile ricvre: b x = Se ne sostituisce il vlore nell second e d ess, lmeno se π, si ricv x. Trovte x e x, si sostituirnno nell prim equzione dll qule, lmeno se π, si ricv x. GAUSS, Krl riedrich (Brunswick 777 Gotting 855) Mtemtico, fisico, stronomo e geodet tedesco, si occupò di tutti i rmi delle m temtiche pure e pplicte, l scindo ovunque trcce del suo ec - cezionle ingegno; per i suoi studi e i risultti conseguiti, i suoi contempornei lo chimrono princeps m - themticorum. Iniziò giovnissimo d occuprsi di teori dei numeri; le successive ricerche di lt ritmetic lo portrono elborre l prim dimostrzione rigoros del teorem fondmentle dell lgebr. ornì un metodo generle per l risoluzione delle equzioni binomie e in generle l decomposizione in fttori semplici del binomio x n+ nel cso che n + si primo. In stronomi studiò nuovi metodi per il clcolo delle orbite dei pineti e delle comete. In fisic mtemtic elborò i teoremi generli reltivi lle zioni fr poli mgnetici, tr i quli le proposizioni fondmentli dell teori del potenzile legti l suo nome. r le sue numerosissime opere ricordimo le Disquisitiones rithmetice del 8, primo trttto moderno di teori dei numeri, e Theori motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem mbientium. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 9

22 Il metodo di Guss pertnto consente di stbilire il seguente TEOREMA Ogni sistem di n incognite, con mtrice dei coefficienti determinnte diverso d zero, può essere trsformto in un sistem mtrice tringolre superiore con digonle principle ftt di tutti uno. sempi Risolvere con il metodo di Guss il sistem: x+ x + x = x x + x = x x x = Moltiplichimo l prim equzione per e sottrimol dll second; si ottiene: x + x = Anlogmente, moltiplichimo l prim equzione per e sottrimol dll terz; si ottiene: 7x 5x = Il sistem rest trsformto così nel sistem equivlente: Moltiplichimo or l second equzione per 7 e l terz per e sottrimo membro membro ottenendo: 6x = 6 fi x = Quindi il sistem può scriversi in modo equivlente: d cui, rislendo e sostituendo, si ottiene: x = x = Quindi l tern soluzione è (; ; ). x + x + x = x + x = 7x 5x = x + x+ x = x+ x = x = Risolvere con il metodo di Guss il sistem: x y+ 7z= 5x y + z = 8 x+ y z= Si h, moltiplicndo l prim equzione per 5 e sottrendol dll second: x y+ 7z= y z= x+ y z= sottrendo dll l x y+ 7z= 7y 7z= 7y 7z= RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

23 Perciò il sistem si riduce un sistem di due equzioni in tre incognite che si può scrivere: x y= 7z+ 7y= 7z Il sistem è comptibile, m indeterminto. Posto z = l, clcolndo prim y e successivmente x, si ottengono, l vrire di l Œ, le infinite soluzioni: 7 x = λ + y = λ z = l 7 7 che si possono nche scrivere nel modo seguente: x = l + y = 7l z = 7l 8 Mtrice invers DEINIZIONE Se A è un mtrice qudrt di ordine n, si chim mtrice invers di A, e si indic con A, un mtrice di ordine n, se esiste, tle che: A * A = A * A = I dove I indic l mtrice unità di ordine n. Si osservi che l definizione è nlog quell di reciproco di un numero (inftti reciproco di è tle che = = ) e che l su esistenz è ssicurt dll condizione π. In nlogi, si può provre che esiste ed è unic l mtrice invers dell mtrice A se det A π. n = Se det A π, il sistem: x + x = b x + x = b per il teorem di Crmer h un sol soluzione: x b det b b A A b = = + det det det A x b det b b A A b = = + det det det A L mtrice: A = det A det A det A det A si chim mtrice invers dell mtrice A, poiché risult: A * A = A * A = I RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

24 Inftti: det A det A det A det A = e det A det A det A = det A Inoltre è fcile verificre che det A =. det A Or, considerto il generico elemento hk dell mtrice: A = se sopprimimo l rig h-esim e l k-esim colonn che incrocino l elemento stesso e cmbimo segno se h + k è dispri, determinimo il cosiddetto complemento lgebrico dell elemento hk, che indicheremo con A hk. Risult quindi: A = A = A = A = L mtrice invers dell mtrice A può quindi essere scritt: A A A det A det A = A A det A det A sempio Determinre l mtrice invers dell mtrice A =. 5 Risult: det A = π. Poiché: A =, A = 5, A =, A =, si h: A 5 = e det A =. Provimo or che A * A = A * A = I. Inftti, moltiplicndo righe per colonne: 5 5 = * e 5 5 * = n = Considert l mtrice: A = il complemento lgebrico dell elemento hk è il determinnte del secondo ordine che si ottiene sopprimendo l rig h-esim e l colonn k-esim e cmbindo segno se h + k è dispri. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

25 Così, per esempio: Considerimo or il sistem di equzioni in incognite: Se det A π, l unic soluzione è: x A = det b det b b = det A x + x + x = b x + x + x = b x + x + x = b A = det = b A A b A A b A + + det det det A x b det b b = det A = + det b A A b A A b A + det det A x b det b b = b A A A b A A b A = + + det det det det A L mtrice: A = A A A det A det A det A A A A det A det A det A A A A det A det A det A è l mtrice invers dell mtrice A, poiché risult A * A = A * A = I. Rissumendo, per ottenere l mtrice invers di A si può procedere l modo seguente:. formre un mtrice che h per elementi i complementi lgebrici A hk degli elementi hk ;. considerre l trspost dell mtrice ottenut (scmbire le righe con le colonne);. dividere ciscun elemento dell mtrice così ottenut per det A. sempio Considert l mtrice: si h che det A =. Poiché: A = A = 7 A = A = 5 A = A = A = A = A = A = RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

26 l mtrice invers è: 7 A = 5 e risult: det A =. Risoluzione dei sistemi lineri con il metodo dell mtrice invers Considerimo un sistem in cui il numero delle equzioni si ugule l numero delle incognite scritto nell form vettorile Ax = b Se det A π il sistem mmette un sol soluzione e l mtrice A h l su invers A -. Moltiplicndo entrmbi i membri dell precedente uguglinz sinistr per A si h: ed essendo A * A = I, si h: che fornisce l soluzione del sistem. A [Ax] = A b x = A b sempio Considerto il sistem: x+ x + x = x x = x+ x + x = si h det A =. L mtrice invers clcolt nell esempio precedente è l seguente: A 7 = 5 quindi 7 x = ( x; x; x )= 5 d cui: x 7 x = ( ) = ; = + + ( ) = ; x = + ( ) = 6 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

27 9 ormul di Lplce Mtrici e sistemi lineri DEINIZIONE Il determinnte di un mtrice qudrt di ordine n è ugule ll somm dei prodotti di un rig (o colonn) qulsisi per i rispettivi complementi lgebrici. Nel cso n = l sserto è ovvio. erifichimo nel cso n = prendendo in considerzione l prim rig; si h: A + A + A = ( ) ( ) + ( ) = = + + = det A L formul osservt è dett formul di Lplce per determinnti. 5 sempio Clcolimo il determinnte dell mtrice: A = 5 7 Si h: det A = 5 det det det = LAPLACE Pierre-Simon de (79-87) Astronomo e m temtico frncese, uno dei mssimi scienziti frncesi dell epoc npoleonic. L su oper è legt i suoi studi di stronomi e meccnic celeste. In cmpo mtemtico compì fondmentli ricerche di nlisi infinitesimle, sull teori delle serie, sull integrzione delle equzioni differenzili. = ( 5) ( 6 5) + (9 + 7) = = 6 O sservzione L formul di Lplce permette di clcolre il determinnte di un mtrice di ordine servendosi dei determinnti di tre mtrici di ordine. Sotto questo punto di vist l formul suggerisce l definizione di determinnte per mtrici di ordine nche mggiore di, come somm dei prodotti degli elementi di un rig per i rispettivi complementi lgebrici. Così per un mtrice di ordine l formul conduce ll somm dei prodotti dei quttro elementi di un rig per i rispettivi complementi lgebrici, che comportno il clcolo di quttro determinnti di mtrici di ordine. sempio 6 Clcolimo il determinnte dell mtrice qudrt di ordine : A = 5 sviluppndo secondo gli elementi dell terz rig: Essendo: A det A = A + A = det 5 A = det 5 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 5

28 si h: quindi: A = A = det A = Rngo di un mtrice Introducimo or un nuovo concetto, il rngo di un mtrice, strettmente collegto con l risolvibilità di un sistem linere. Un mtrice m n è un tbell numeric formt d m righe ed n colonne del tipo: n n A = m m mn Scelte d rbitrio p righe e p colonne di A, l mtrice qudrt formt d tli righe e colonne si dice estrtt d A. Il determinnte dell mtrice estrtt prende il nome di minore. sempio 7 Dll mtrice: 8 = si possono estrrre mtrici di ordine : mtrici di ordine, per esempio: e mtrici di ordine formte d ciscun elemento di A DEINIZIONE Si definisce rngo (o crtteristic) di un mtrice A l ordine più lto rispetto l qule esistono mtrici qudrte estrtte d A con determinnte diverso d zero. sempi 8 6 Il rngo dell mtrice A considert nell esempio precedente è. Inftti, mtrici estrtte d A con p > non ce ne sono e del resto l mtrice: 8 A = 5 7 h determinnte 5 π. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

29 9 L mtrice: h determinnte nullo perché l terz rig è l somm delle ltre due, mentre l mtrice estrtt di ordine h determinnte non nullo. Quindi il rngo di B è ugule. Il rngo dell mtrice: B = 6 C = 8 è ugule in qunto, essendo le righe proporzionli, tutte le mtrici estrtte di ordine e di ordine hnno determinnte nullo. O sservzione Si osservi che ciscun rig (o colonn) di un mtrice può considerrsi come un vettore. È possibile che i vettori rig (o colonn) sino linermente indipendenti o dipendenti (vedi.). Nei tre esempi precedenti, nell mtrice A i tre vettori rig sono linermente indipendenti, nell mtrice B i primi due vettori rig sono linermente indipendenti mentre il terzo vettore rig dipende linermente dgli ltri due, infine nell mtrice C un solo vettore rig è indipendente. Sussiste il seguente teorem: TEOREMA In un mtrice il numero di vettori rig linermente indipendenti coincide con il numero di vettori colonn linermente indipendenti e coincide con il rngo. Possimo dunque dre un ltr definizione di rngo: Il rngo di un mtrice è il numero di righe (o colonne) linermente indipendenti. Teorem di Rouché-Cpelli ROUCHÉ Eugène (8-9) Considerimo il sistem di tre equzioni in tre incognite: x + x + x = b x + x + x = b x + x + x = b e ponimo: = ( ; ; ) = ( ; ; ) = ( ; ; ) b = (b ; b ; b ) Mtemtico frncese, i suoi prin cipli lvori rigurdno lo sviluppo in serie delle funzioni, l teori delle equzioni lgebriche, il clcolo delle probbilità. CAPELLI Alfredo (Milno 855 Npoli 9) Mtemtico, pro fessore di lgebr prim ll università di Plermo e dl 886 quell di Npoli. I suoi studi furono rivolti soprttutto ll nlisi lgebric. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 7

30 Dire che il sistem inizile è comptibile corrisponde dire che il vettore b è combinzione linere, con opportuni coefficienti x, x e x, dei tre vettori, e : x + x + x = b Qunto osservto corrisponde riconoscere che l inizile sistem h soluzione se il vettore b dei termini noti è linermente dipendente di tre vettori dti dlle tre colonne dei coefficienti. In ltri termini, ffinché il sistem si comptibile, il numero di vettori linermente indipendenti tr, e e tr,, e b deve essere lo stesso, perché quest ultimo deve essere combinzione linere dei primi tre. Questo insieme di osservzioni fornisce un rispost esuriente l problem dell decisione sull esistenz o meno di soluzioni per un sistem linere. L questione è trsformt nel clcolo del rngo di due mtrici, l mtrice A dei coefficienti del sistem: A = dett nche mtrice incomplet del sistem e l mtrice B dei coefficienti e dei termini noti: b B = b b TEOREMA (TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI) Condizione necessri e sufficiente ffinché un sistem di equzioni lineri mmett soluzioni è che l mtrice dei coefficienti e l mtrice dei coefficienti e termini noti bbino lo stesso rngo. sempio Considerimo il sistem: Poiché l mtrice incomplet: x y= 5 x+ 5y= 5x+ 6y= h rngo, essendo diverso d zero il minore di ordine formto dlle prime due righe, e l mtrice complet: RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

31 h nch ess rngo, in qunto il minore di ordine, cioè il determinnte dell mtrice stess, è ugule zero, il sistem h soluzioni; per clcolrle bst considerre il sistem: le cui soluzioni sono: x y= 5 x+ 5y= 9 9 x= y= Risoluzione di un sistem Illustrimo brevemente i pssi fondmentli, suggeriti di risultti precedenti (teoremi di Rouché-Cpelli e di Crmer), per rispondere lle seguenti domnde: il sistem ssegnto è comptibile? l soluzione è unic? quli sono le soluzioni? Comptibilità L rispost è nel teorem di Rouché-Cpelli: occorre che il rngo dell mtrice complet e quello dell mtrice incomplet sino uguli. Questo ccde certmente nei sistemi qudrti con mtrice dei coefficienti determinnte diverso d zero, qulunque sino i termini noti. Se il sistem non è qudrto o, pur essendo qudrto, l mtrice dei coefficienti h determinnte zero, l condizione di comptibilità di Rouché-Cpelli coinvolge i termini noti. È giusto osservre che i sistemi omogenei sono nturlmente sempre comptibili. sempio Si dto il sistem qudrto d ordine : x+ y= h x+ y= k L mtrice dei coefficienti h determinnte zero e rngo. L mtrice complet: h k può vere rngo oppure second dei vlori di h e k. Così, se h = e k =, l mtrice complet h rngo perché in ess si trov il minore formto dll second e terz colonn che h determinnte π. Se invece k = h si riconosce fcilmente che l mtrice complet h nch ess rngo. Inftti è evidente che, stnte l proporzionlità dei primi membri, l unic possibilità che il sistem ssegnto si comptibile è che sino ltrettnto proporzionli i secondi membri. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 9

32 Unicità L questione è subordint ll vere ottenuto rispost positiv ll domnd precedente. Supponimo quindi di lvorre con un sistem per il qule l mtrice dei coefficienti e l mtrice complet bbino lo stesso rngo r. Possono verificrsi due csi: ) il rngo r è ugule l numero delle incognite; b) il rngo r è minore del numero delle incognite. Nel primo cso c è unicità, nel secondo no. sempio Considerimo il sistem d ordine : x+ y= h x+ y= h Il rngo r in questo cso è ; si hnno due incognite quindi non c è unicità dell soluzione! Inftti il sistem equivle, in questo cso, ll sol prim equzione: x + y = h l qule equivle nche x = h - y Possimo dre d y un vlore rbitrrio l e ricvre: x = h l Il sistem quindi h le infinite soluzioni: x = h l, y = l per ogni l Œ Soluzioni L questione dell determinzione esplicit delle soluzioni è subordint ll vere ottenuto rispost positiv ll prim domnd. Supponimo quindi di lvorre con un sistem per il qule l mtrice dei coefficienti e l mtrice complet bbimo lo stesso rngo r. Dire che l mtrice dei coefficienti del sistem h rngo r vuol dire che certe sue fortunte r righe e certe sue fortunte r colonne offrono un minore con determinnte diverso d zero. Scrtimo dl sistem tutte le equzioni che non rientrno nelle r righe fortunte. Simo ridotti questo punto un sistem con r equzioni. In esse portimo secondo membro tutte le incognite, se ce ne sono, che non rientrno nelle r colonne fortunte di cui sopr, cioè se il numero delle incognite del sistem è superiore r. Dimo ciscun di tli incognite eccedenti r vlori rbitrri l, m ecc. Simo ridotti questo punto un sistem di Crmer : r equzioni; r incognite; mtrice dei coefficienti determinnte diverso d zero. Questo sistem si risolve ppunto come il teorem di Crmer insegn. Se il numero delle incognite del sistem super r, tli soluzioni tuttvi dipendernno dgli rbitrri vlori l, m ecc. che bbimo ttribuito lle incognite eccedenti portte secondo membro. Avremo in questo cso infinite soluzioni. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

33 sempio Considerimo il sistem: L mtrice dei coefficienti: x+ y+ z+ w= x y+ z+ w= x y+ z+ w= 6 h rngo, come si riconosce osservndo che l terz rig è esttmente il doppio dell second. Lo stesso dicsi per l mtrice complet: Il sistem è quindi comptibile. Le prime due righe e le prime due colonne sono quelle fortunte secondo il linguggio convenzionle usto sopr; esse forniscono un minore nell mtrice dei coefficienti: con determinnte π. Sceglimo quindi dl sistem le prime due equzioni, scrtimo cioè l terz: Successivmente portimo secondo membro le incognite che non figurno nelle colonne fortunte, ttribuendo loro i vlori rbitrri z = l e w = m: Risolvimo il sistem di Crmer rimsto: 6 x+ y+ z+ w= x y+ z+ w= x+ y= λ μ x y= λ μ x = λ μ y = + λ Le soluzioni del sistem inizile sono le seguenti: x = λ μ y = + λ z = l w = m qulunque sino i numeri reli l e m. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

34 Quesiti di verific Il prodotto dell mtrice A = vettore v(; ) è il vettore: (5; ) c ( ; 6) per il Per ulteriore segretezz ciscun messggio di lettere è invito in codice come M * C, dove: C = b ( ; 5) d ( ; ) Se l gente riceve l mtrice: Dt l mtrice A = clcolre l mtrice A * A = A e verificre qule delle seguenti relzioni è estt: det A = det (A ) c (det A) > det (A ) b (det A) = det (A ) d (det A) < det (A ) Il prodotto righe per colonne tr mtrici è commuttivo? Giustificre l rispost, considerndo le mtrici: A= B = llor il messggio è: SANO c INO b ARO d CANE Per quli vlori di e b l mtrice b b 6 + b h rngo? b =, b = =, b = Se x z y t = 8 5 llor: c d =, b = =, b = b c d x =, y =, z =, t = x =, y =, z =, t = x =, y =, z =, t = x =, y =, z =, t = 8 Il sistem omogeneo: x+ y z= x y z= x+ y+ z= 5 6 Se x z y 5 = t llor x, y, z, t sono nell ordine:,,, c non si possono determinre b 5 d nessun ; delle precedenti In un codice cifrto, ogni letter è sostituit con il numero corrispondente ll posizione nell lfbeto itlino; così, per esempio, BENE divent l mtrice: M = b c h l sol soluzione x = y = z = h infinite soluzioni non h soluzioni L invers dell mtrice A = è: c 5 5 b d non esiste RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

35 Lbortorio di informtic. Le mtrici su DERIE Comndi DERIE MATRICE SOLE SOLUTIONS ROW_REDUCE Un mtrice si può ssegnre su DERIE con due procedimenti equi v lenti: d Author, scrivendo esplicitmente i vettori righe dell mtrice: così per ssegnre l mtrice si deve scrivere: 5 [[, ],[, 5]] l ltro procedimento si vvle dell tendin Mtrici, che propone prim un box per numero di righe e di colonne, e successivmente (fig. ), un box in cui scrivere i termini dell mtrice. Per esempio, per ssegnre l mtrice sinistr si compil il box destr: igur Dto l OK, l mtrice viene scritt sull pgin d Algebr, per esempio l primo rigo: per drle un nome, per esempio A, indispensbile per usre l mtrice, bst scrivere, sempre d Author A:= # Le mtrici identità di ordine n, mtrici qudrte d ordine n con sull digonle principle e ltrove, sono costruite utomticmente d DERIE con il comndo IDENTITY_MATRIX(n).. Operzioni con le mtrici Assegnte due mtrici A e B si possono costruire con DERIE: A, comndo lph*a; A + B, comndo A + B; A B, comndo A*B; A n, comndo A^n; Av, con A mtrice e v vettore, comndo A*v. Tutto come con l lgebr dei numeri reli..., tutto trnne l divisione! Si provi d ssegnre, d Author, A/B, e se ne chied l semplificzione, cioè il risultto. DERIE proporrà un mtrice (che certnente non si potev prevedere) che corrisponde d ver letto A/B come A*B^( ) vendo dto B^( ) il significto di mtrice invers di B. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

36 . Un esperimento Assegnt un mtrice A, per esempio e ssegnto un vettore v due componenti, possimo considerre i vettori A*v, A*A*v, A*A*A*v,... che si ottengono trsformndo, ritrsformndo e ritrsformndo ncor v trmite l mtrice A. L esperimento consiste nell indgre sulle direzioni che tli trsformti ssumono: per eseguire meglio l indgine possimo normlizzre tli vettori, cioè dividerli ciscuno per l propri lunghezz, operzione che non lter l direzione m consente nzi di studirl meglio evitndo di dover lvorre con vettori troppo grndi o troppo piccoli. L costruzione di tli trsformti-normlizzti si f con il comndo DERIE: A^n*v/ A^n*v Il comndo vector(a^n*v/ A^n*v, n,, ) consente di vedere direttmente i primi trsformti (il primo, per n = è il vettore v stesso). DERIE consente nche di disegnre tli vettori: bst selezionre gli vettori clcolti e chiederne il grfico.. Sistemi lineri L soluzione di un sistem si può chiedere DERIE, come per l ssegnzione di un mtrice, con diversi procedimenti equivlenti. Considerimo i vri procedimenti reltivmente l sistem d Author, con il comndo SOLE, scrivendo esplicitmente il sistem: SOLE([ x + 5 y + z =,...], [x, y, z]) d Author, con il comndo SOLUTIONS, scrivendo nlogmente: SOLUTIONS([ x + 5 y + z =,...], [x, y, z]) L differenz tr SOLE e SOLUTIONS st nell form in cui vengono offerte le soluzioni: x = Ÿ y = 8 Ÿ z = il primo [, 8, ] il secondo, che present quindi il vettore delle soluzioni; x+ 5y+ z= x y+ z= x+ y z= dll tendin Solve, ssegnndo il numero di equzioni e di incognite e scrivendo, esplicitmente, le equzioni del sistem nel box che viene proposto; il box d compilre con le equzioni del sistem è riportto in figur ; igur. Il box in cui ssegnre le equzioni del sistem. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

37 Informtic con il metodo di Guss, comndo ROW_REDUCE, per il qule occorre ssegnre l mtrice dei coefficienti e quell (il vettore) dei termini noti. Il risultto si vede in figur. 5 A: =, B: = igur. Il comndo ROW_REDUCE(A, B). 5. Esercizi. Assegnte le mtrici determinre: ) le potenze A, A,..., A 6 ; b) l mtrice invers; c) le mtrici A, A,..., A 6. A = b,, b, c c. Assegnt l mtrice B = determinre per ogni n Πle potenze B n. RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 5

38 . Assegnto il sistem x+ y= { λ x+ y= b ) determinre per quli l,, b è comptibile; b) esminre in tli csi che rpporto pssi tr il modulo del vettore delle soluzioni e il modulo del vettore dei termini noti.. Assegnti i due sistemi collegti determinre il sistem d essi corrispondente. Av = w, Dv = c Bw = c 5. Assegnt l mtrice A = e ssegnto un primo vettore v, determinre le direzioni che ssumono i vettori Av, A v, A v,... l crescere dell esponente. 6. Progrmmi Il progrmm di questo Lbortorio rigurd l ssegnzione di due mtrici e l determinzione dell loro somm e del prodotto: l propost nei tre linguggi QBASIC, PASCAL e C++ iut d pprezzre i diversi modi con i quli memorizzre nel computer le mtrici. 6 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

39 esercizi Mtrici e sistemi lineri Mtrici. Operzioni tr mtrici Quesiti. Dre l definizione di mtrice, mtrice qudrt e mtrice trspost e simmetric.. Quli vlori si devono dre d e b ffinché l mtrice A = b si simmetric? Un mtrice simmetric può essere rettngolre? ( ). Dt l mtrice A, che cos si può dire dell mtrice ( A) T?. Considerte due mtrici qudrte A e B dello stesso ordine n e un numero rele l, come si definiscono e di quli proprietà godono le operzioni A + B e la? 5. Considerte due mtrici qudrte A e B dello stesso ordine n, come si definisce il prodotto A * B? le l proprietà commuttiv? le l legge di nnullmento del prodotto? 6. Indicre quli vlori si devono dre d, b, c ffinché risulti: b = 6. c 6 T 5 7 Dti: A = B = l = l = 5 determinre: ) l A; l A; l B; l B b) A + B c) A B d) l A + B e) l A l B Dte le due mtrici: A = 5 e 5 6 B = 9 determinre le mtrici A + B; A B; A + B. Dte le due mtrici A e B, determinre le mtrici A * Be B* A. A = 5 B = A * B = 5 ; B 5 * A = 6 A = B = A * B = 8 ; B * A = 6 5 A = B = A * B = 6 ; B * A = A = B = 6 A * B = 7 ; B * A = RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 7

40 7 Dte le mtrici: A = e B = clcolre le mtrici A *B; B *A; A ; B ; A *B ; (A *B). A * B = ; B * A = 6 ; 5 8 A = 8 ; B = ; 6 A * B = 6 6 ;(A * B) = 6 8 Se X e Y sono due mtrici qudrte di ordine e determinre X e Y. 5 X Y = X Y = 6 5 X = ; Y = Determinnti e loro proprietà ero o flso?. Se in un mtrice qudrt si scmbino tr loro due righe, il determinnte dell mtrice rimne inlterto.. Se in un mtrice qudrt gli elementi di un colonn si sommno i corrispondenti elementi di un ltr colonn moltiplicti per uno stesso numero, il determinnte rimne inlterto. x xy y Il determinnte dell mtrice A = x x+ y y :. è ugule zero se x = y. è ugule 8 se x y = 5. è ugule solo se x = e y = Si h: 6. + b b+ c c+ b c det p+ q q+ r r+ p det x+ y y+ z z+ x = p q r x y z 7. det 6 6 = 8. Se A, B, C sono tre mtrici qudrte dello stesso ordine: A B= A C B= C. 9. Se A e B sono due mtrici qudrte dello stesso ordine d A B= segue che un delle due mtrici (A oppure B) è l mtrice null.. Se A e B sono due mtrici qudrte invertibili dello stesso ordine, dette A e B le loro inverse, llor l mtrice invers del prodotto A * B è l mtrice prodotto B * A. 8 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic

41 Clcolre il vlore dei seguenti determinnti ; 8; 9; 7; esercizi 5 5 ; ; ; erificre che: det senα senβ senγ cosα cosβ = sen( β γ) + sen( γ α) + sen( α β) cosγ b c d e f 5 Se det d e f k qunto vle? k = det b c g h i g h i 6 Dte le mtrici: verificre che: ) det A det B = det (A * B ) = det (B * A ) b) (det A) = det A ; (det B) = det B c) det A det B = det (A * B ) A= B e = Dimostrre, senz clcolrli, che sono nulli i determinnti delle seguenti mtrici [Nell second rig si può scrivere = +, 5 = +, 6 = +, nell terz rig 7 = + 6, 8 = + 6, 9 = + 6, quindi scomponendo il determinnte nell somm di due determinnti...] RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic 9

42 x y z Spendo che det 5 =, determinre senz svilupprlo il vlore di ciscuno dei seguenti determinnti. x y z det 5 x y z det x+ 5 y z+ 5x 5y 5z det 5 x y z det x+ 5 y z+ x+ y+ z+ Sistemi lineri Quesiti. Dopo ver fornito le definizioni di sistem linere comptibile, incomptibile, determinto, enuncire il teorem di Crmer per un sistem linere di tre equzioni in tre incognite.. Se det A =, qunte soluzioni può vere il sistem Ax = b? Qunte soluzioni può vere un sistem linere di due equzioni in tre incognite?. È determinto un sistem linere in cui un equzione si combinzione linere di ltre due?. Cos succede lle soluzioni di un sistem linere se: si cmbi l ordine delle equzioni che compongono il sistem; si moltiplic un delle equzioni (o tutte) per un numero diverso d zero; si sostituisce un delle equzioni un su combinzione linere con un ltr equzione del sistem? x+ y = Rispondere lle domnde riferendosi l sistem x y = Risolvere i seguenti sistemi (si suggerisce di incolonnre le incognite come si vede negli esercizi -7) x y = x + y = 5x+ y = x + y = 5 x y = x y = x y + z = x + y z = [Posto z = l(l Œ ), il sistem si scrive: x y = λ { x + y = + λ d cui, sommndo membro membro ] ; 9; x = 7 ; y = 7 x = 7 5 ; y = +λ; z =λ (λ ) x y+ z= x+ y 6z= [Si osservi che i coefficienti delle vribili dell second equzione si ottengono d quelli dell prim moltiplicndoli per, m ciò non ccde per i termini noti ] nessun soluzione x+ y z= x y+ z= x y+ z= 7 [Si osservi che l terz equzione è combinzione linere delle prime due ] 5 λ+ x = ; y = 8λ ; z =λ (λ ) 7 7 x+ z= x+ y+ z= x y+ z= [Sottrendo dll prim l terz equzione si ottiene y = ] x = 5; y = ; z = RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lmberti, L. Mereu, A. Nnni - Nuovo Lezioni di Mtemtic