Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE. Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

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1 Lezione PONTI E GRANDI TRUTTURE Prof. Pier Paolo Rossi Università degli tudi di Catania

2 Linee di influenza

3 Definizione Dicesi linea di influenza della grandezza G nella sezione, Il diagramma che indica con la sua ordinata generica (x) il valore della grandezza in esame in quando il carico F=1 agisce nella sezione di ascissa x. x F=1 (x) min max 3

4 Utilizzo Mediante le linee di influenza è possibile : valutare l effetto prodotto in una sezione da carichi mobili di vario tipo individuare le posizioni dei carichi per le quali si hanno i massimi ed i minimi valori della grandezza G cercata x F=1 (x) min max 4

5 Carico concentrato isolato La grandezza G=F è proporzionale all intensità del carico. La posizione del carico F per ci si ha il massimo (o minimo) valore della grandezza G è unica ed è quella della verticale corrispondente all ordinata massima (o minima) della linea di influenza. x F=1 (x) min max 5

6 Treno di carichi concentrati E possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per cui se 1, 2, 3 sono rispettivamente le ordinate sotto i carichi F 1, F 2, F 3 la grandezza G sarà data da : G i F i i x 1 F 1 =1 F 2 =1 F 3 =1 min (x) max (x) (x) 6

7 Carico distribuito Nel caso di carico variabile q(x) si ha : 2 G q( x) dx x1 Nel caso di carico uniformemente ripartito q si ha : G q dove è l area della linea di influenza sottostante la zona caricata. x x 1 x 2 q min (x) (x) max 7

8 Carico uniformemente distribuito Nel caso generale di carico uniformemente distribuito q è semplice l individuazione della posizione di q per cui G è massimo. e, infatti, si sposta di dx il carico dalla posizione per cui l effetto è massimo, si ha: d ( x)d x( x )dx x 1 (x) x 2 q max (x) 1 2 min Dovendosi avere un massimo, dovrà risultare : d 0 ( x1) ( x2) dx ovvero, le ordinate della l.d.i. alle estremità del carico sono uguali. 8

9 Carico uniformemente comunque segmentabile Nel caso frequente di carico uniformemente distribuito è quello di carico comunque segmentabile, cioè di valore q fissato, ma di estensione arbitraria ed eventualmente a tratti, che dovrà quindi essere disposto opportunamente in sede di verifica. q max min La disposizione del carico risulterà evidente dall esame delle linee di influenza, dovendosi caricare tutte le zone dello stesso segno. 9

10 Tracciamento Le linee di influenza possono essere tracciate con il metodo : DIRETTO INDIRETTO 10

11 Metodo diretto Il metodo diretto consiste nel costruire la linea di influenza per punti, calcolando G per diverse posizioni del carico. Più vicini sono i punti cui si dispone il carico e più preciso è l andamento delle linee di influenza. sezione considerata. Nel caso delle sollecitazioni può essere conveniente determinare dapprima le linee di influenza delle reazioni vincolari e poi calcolare da queste le sollecitazioni nella sezione considerata. 11

12 Metodo diretto trave semplicemente appoggiata x F=1 La linea di influenza (l.d.i.) delle reazioni vincolari è : A 1 L R A R B A B B l.d.i. di R A Equazioni di equilibrio R + R 1 RB L1x0 Linea di influenza delle reazioni l.d.i. di R B 1 R R x L A 1 B x L 12

13 Metodo diretto trave semplicemente appoggiata A x x s F=1 L B Linea di influenza del taglio V R x L A 1 V R x L B x x x x R A R B l.d.i. di V - + Linea di influenza del momento M L x x L x x l.d.i. di M + L x M xx x x x L 13

14 Metodo diretto trave a sbalzo M A A x x s F=1 L Linea di influenza del taglio V 1 V 0 x x x x R A l.d.i. di V l.d.i. di M + - Linea di influenza del momento M xx M 0 x x x x 14

15 Metodo diretto trave incastrata appoggiata M A A R A x x s F=1 L B R B Linea delle reazioni vincolari R R B 3 3 x 3 Lx L 1 2 R 1 A B x M R L x A B l.d.i. di R B + l.d.i. di R A + l.d.i. di M - A 15

16 Metodo diretto trave incastrata appoggiata R A x x s F=1 M A V RB A L B l.d.i. di V + - R B Linea di influenza del taglio V R A x x x x Linea di influenza del momento M R Lx xx B B x x M R Lx x x l.d.i. di M + 16

17 Metodo indiretto Il metodo indiretto fa uso dei principi di reciprocità (che sono validi nell ipotesi di validità del principio di sovrapposizione degli effetti) Primo principio (teorema di Betti): «Dati due insiemi di forze agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dal primo insieme per gli spostamenti indotti dal secondo è uguale al lavoro compiuto dalle forze del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo» econdo principio (teorema di Land Colonnetti): «Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro mutuo generalizzato è nullo» Terzo principio (teorema di Volterra): «Dati due insiemi di distorsioni agenti separatamente sulla struttura, i due lavori mutui generalizzati sono uguali» 17

18 Metodo indiretto (teorema di Betti generalizzato): «Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dalle forze e distorsioni del primo insieme per gli spostamenti e sollecitazioni indotti dal secondo insieme è uguale al lavoro compiuto dalle forze e distorsioni del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo» 18

19 Primo principio di reciprocità i consideri una struttura, e due insiemi di forze e che su di essa possono agire. ' F i i faccia agire prima l insieme 1 (forze ) ' F i '' F j 1 2 '' i faccia agire poi l insieme 2 (forze F j ) ' F i '' F j ' v i Il lavoro compiuto da tale insieme è : L 1 Fv ' ' 1 i i 2 i '' v j Il lavoro compiuto da tale insieme è : L 1 Fv '' '' 2 j j 2 j 19

20 Primo principio di reciprocità Durante l azione delle ' le sono presenti in tutto il loro valore. F i ' F i 3 '' F j spostamenti indotti dal sistema di forze 2 in corrispondenza dei punti di applicazione del sistema di forze 1 '' v i Quindi le forze compiono un ulteriore lavoro : L ' F i Fv ' '' 12 i i i Pertanto, il lavoro totale è : L 12 L 1 L 2 L12 ( se agisce prima il sistema 1 e poi il sistema 2 ) 20

21 Primo principio di reciprocità e si ipotizza di fare agire prima il sistema 2 e poi il sistema 1 si ha: L 21 L 1 L 2 L21 dove : L F v '' ' 21 j j j spostamenti indotti dal sistema di forze 2 in corrispondenza dei punti di applicazione del sistema di forze 1 e il sistema è conservativo L 1+2 =L 2+1 e quindi : L L 21 12, da cui Primo principio (teorema di Betti): «Dati due insiemi di forze agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dal primo per gli spostamenti indotti dal secondo è uguale al lavoro compiuto dalle forze del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo» 21

22 Metodo indiretto linee di influenza degli spostamenti Per il primo principio di reciprocità (teorema di Betti) l abbassamento v s della sezione per un carico verticale posto in P è uguale all abbassamento v p della sezione P per il carico posto in. F v F v ' '' '' ' P P x s x p x p F=1 x s F=1 P P ' v '' v P Quindi, il diagramma degli spostamenti v in al variare dell ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. dello spostamento v in ) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla forza unitaria in. 22

23 Metodo indiretto linee di influenza degli spostamenti Per il primo principio di reciprocità (teorema di Betti) la rotazione sp della sezione per un carico verticale unitario posto in P è uguale all abbassamento V p della sezione P per la coppia unitaria posta in. Fv M ' '' '' ' P P x p P F=1 M A =1 x p P s v p Quindi, il diagramma della rotazione in al variare dell ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. della rotazione in ) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla coppia unitaria in. 23

24 econdo principio di reciprocità i consideri una struttura, e due insiemi di forze i e distorsioni che su di essa possono agire. 1 2 i faccia agire prima l insieme 1 (forze ) F i F k k i faccia agire poi l insieme 2 ( ) F i k ' v i Il lavoro compiuto da tale insieme è : L 1 Fv ' 1 i i 2 i '' k Il lavoro compiuto da tale insieme è : L 1 '' 2 k k 2 k 24

25 econdo principio di reciprocità Per il teorema di Betti generalizzato F Fv F v ' '' ' '' '' ' '' ' i i k k j j h h i k j h '' j 0 ' h 0 Dunque, essendo e deve essere : i Fv ovvero : L ' '' ' '' i i k k k, da cui econdo principio (teorema di Land Colonnetti): «Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro mutuo generalizzato è nullo» 25

26 Metodo indiretto linee di influenza delle sollecitazioni Per il secondo principio di reciprocità (teorema di Land Colonnetti) la sollecitazione (N, M, V) nella sezione per un carico verticale posto in P è uguale all abbassamento v p della sezione P per una distorsione (che compie lavoro per la caratteristica cercata) posta in. x p x s F=1 x s x p P P M =1 s M p Quindi, il diagramma del momento flettente M in al variare dell ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. di M in ) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla distorsione angolare unitaria in. 26

27 Metodo indiretto linee di influenza delle sollecitazioni Per il secondo principio di reciprocità (teorema di Land Colonnetti) la sollecitazione (N, M, V) nella sezione per un carico verticale posto in P è uguale all abbassamento v p della sezione P per una distorsione (che compie lavoro per la caratteristica cercata) posta in. x p x s F=1 x s x p P P V s =1 V p Quindi, il diagramma del taglio V in al variare dell ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. di M in ) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla distorsione trasversale unitaria in. 27

28 Metodo indiretto linee di influenza delle sollecitazioni L A a B x s x d b F=1 P C D Esempio Trave appoggiata con sbalzo. x s a/l x d /L x s /L 1 x d b/l Linea di influenza di V per la sezione x d a/l x s x s x d /L x d x s b/l Linea di influenza di M per la sezione 28

29 Metodo indiretto linee di influenza delle sollecitazioni L A B C x s 3 x d D F=1 E P F Esempio Trave Gerber x s /L x d /L 1 Linea di influenza di V per la sezione 3 x s x d Linea di influenza di M per la sezione 3 29

30 Metodo indiretto linee di influenza delle reazioni x p F=1 P A C D R B v=1 Esempio Trave isostatica Linea di influenza della reazione R B (x) 30

31 Metodo indiretto linee di influenza delle reazioni M B =1 F=1 Esempio A B C P D Trave continua =1 (x) Linea di influenza della reazione M B 31

32 Metodo indiretto linee di influenza delle reazioni A x p F=1 P B (x p ) Carichi indiretti Quando le strutture secondarie sono costituite da travi semplicemente appoggiate, la l.d.i. cercata di ottiene da quella della struttura principale supposta direttamente caricata congiungendo con tratti rettilinei tutte le ordinate di detta linea posti sulla verticale per i punti di applicazione del carico. Infatti : =R A A + R B B Poiché R A e R B variano linearmente, anche seguirà la stessa legge essendo una combinazione lineare dei primi due. 32

33 Metodo indiretto sollecitazioni massime e minime F=1 A B C M + max D P E F (x) + =1 33

34 Metodo indiretto sollecitazioni massime e minime F=1 A B C M - max D P E F (x) + =1 34

35 Metodo indiretto sollecitazioni massime e minime F=1 M - max A B C D P E F =1 (x) 35

36 Metodo indiretto sollecitazioni massime e minime Calcolando le l.d.i. per un certo numero di sezioni e riportando in corrispondenza di ciascuno di queste sezioni il valore massimo o minimo dell ente si hanno i diagrammi dei massimi e dei minimi relativi a quel carico variabile. x 1 x 2 e a questi diagrammi si sommano quelli relativi ai carichi permanenti si hanno i diagrammi dei massimi e dei minimi assoluti. Carico uniforme segmentabile A L B A L B x 1 /L l.d.i. di V qx 2 2L 1 - Diagramma dei massimi e minimi di V x 2 /L + qx L 36

37 uperfici di influenza

38 uperfici di influenza Tutte le superfici di influenza si possono ottenere con opportune derivazioni dalla funzione di influenza della freccia di inflessione w, calcolata nel punto (x 0,y 0 ) in cui si vogliono eseguire le verifiche. Per esempio : w w 2 2 mx D x 2 y 2 w w 2 2 qx D x x 2 y 2 3 Es dove : D 2 ( rigidezza flessionale della piastra )

39 uperfici di influenza Il problema quindi si riconduce al calcolo della deformata w(x,y,) per un carico unitario posto in (x 0,y 0 ). La deformata si ottiene risolvendo l equazione differenziale del 4 ordine : w w w q x x y y D 3 Es dove : D 2 ( rigidezza flessionale della piastra ) 12 1 I vari metodi di calcolo delle superfici di influenza si differenziano nel modo di risolvere questa equazione. 39

40 uperfici di influenza m x m xy m x ad un estremo vincolato m y ad un estremo libero Proiezione isometrica di una superficie di influenza del momento q x q x ad un estremo vincolato q y ad un estremo libero tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, pringer Verlag, Wien, New York. 40

41 uperfici di influenza y y x x uperficie di influenza del momento flettente m y all appoggio di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti uperficie di influenza del momento flettente m x al centro di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, pringer Verlag, Wien, New York. 41

42 uperfici di influenza Tra tutti i metodi si ricorda quello di Pucher che ha fornito le superfici di influenza per piastre rettangolari con diversi rapporti dei lati e diversamente vincolate. L utilizzazione pratica delle superfici di influenza è legata al fatto che esse sono le stesse per piastre di dimensioni diverse purché aventi lo stesso rapporto tra i lati. Una volta in possesso di tabelle o grafici che forniscano le superfici di influenza per una piastra di riferimento di lati l x e l y tale che sia ly ly lx lx si dovrà calcolare il rapporto di similitudine : kl l l l 0 0 y y x x e ridurre in scala il carico. Il carico lineare avrà nella piastra di riferimento la lunghezza s/k mentre il carico ripartito graverà su una superficie ridotta pari a A/k². 42

43 uperfici di influenza uccessivamente a Pucher, Homberg e Ropes hanno fornito superfici di influenza piastre di lunghezza infinita continue su più appoggi e a spessore variabile. 43

44 uperfici di influenza x y tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, pringer Verlag x 44

45 uperfici di influenza x y x tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, pringer Verlag 45

46 FINE 46