edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 1 La tensione sinusoidale di frequenza f =1kHz è espressa in forma binomiale:

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1 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no. Soluzione a pag.7 Una corrente alternata sinusoidale è espressa in forma binomiale come I 7 j5 [ A] si risalga alla sua forma trigonometrica..[ i( t ) 8,6 sin( ω t 5 ) A ] Esercizio no. Soluzione a pag.7 La tensione sinusoidale di frequenza f khz è espressa in forma binomiale: ( + j 9 ) Si scria la forma sinusoidale (trigonometrica) [ ( t ) 5 sin( 680t + 6 ) ]. Esercizio no. Soluzione a pag.7 Aendo la tensione ( t ) 6 7, sin( ω t + 6 6' ). isalire alla sua espressione binomiale. [ j 6 ]. + Esercizio no.4 Soluzione a pag.8 Due tensioni sinusoidali espresse dalle relazioni: 8 sin( ω t + 0 ) e 8 cos( ω t 0 ) + sono applicate ai capi di un bipolo. Scriere l espressione della tensione totale ai capi del bipolo. + Z [ ( t ) 5,44 sin( ω t + 45 ) ]. Esercizio no.5 Soluzione a pag.09 Ai capi di un impedenza Z ( 4 - j ) Ω è applicata una tensione ( t ) 5 sin( ωt + 0 ) si troi la corrente che i scorre e lo sfasamento fra corrente e tensione.. [ i( t ) 5 sin( ω t + 66 ) A θ 6, 86 ]

2 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.6 Soluzione a pag.0 In un bipolo d impedenza Z + j5 Ω scorre la corrente di espressione: i ( t ) 5 sin( ω t + ). Troare l espressione trigonometrica della tensione applicata ai capi del bipolo. [ ( t ) 9,5 sin( ω t + 7 ) m ]. Esercizio no.7 Soluzione a pag. La corrente i 0 sin( ω t 0 ) A percorre l induttanza L 4mH alla frequenza f 00Hz. Troare la tensione applicata ai sui estremi. [ 00 sin( ω t + 60 ) ]. Esercizio no.8 La reattanza offerta da un condensatore C quando è applicata la tensione 50Ω; si calcoli il alore della capacità e la corrente che scorre in essa. [ C µ F i 0 sin( ωt + 90 ) ]. Soluzione a pag. 4 sin( 0 t ) è di Esercizio no.9 Soluzione a pag. Un circuito è costituito da una resistenza kω in serie con un condensatore da C 00pF in esso scorre una corrente di alore efficace i 5 e pulsazione ω,5mrad/s. Troare la caduta di tensione ai capi della resistenza e quella ai capi della serie, disegnando i diagrammi ettoriali e temporali.. [ 5 5 ]

3 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.0 Soluzione a pag.4 Nel circuito dato, calcolare la tensione di uscita o e la corrente che scorre nel condensatore. E 0sin0 6 t 8kΩ 40kΩ 5kΩ C 00pF [ i,6 exp( j6 ),6 exp( j8 ) ]. 0 C Esercizio no. Soluzione a pag.5 Nel circuito illustrato determinare la corrente i che scorre nella resistenza. E 00sin0 4 t 5kΩ kω 8kΩ L H. 4 [ i,5 sin(0 t + 0 ) ] Esercizio no. Soluzione a pag.7 La corrente i assorbita dal ramo ohmico-capacitio del circuito illustrato è in anticipo di 64 rispetto alla tensione applicata 40 sin( ωt ) ; mentre la caduta di tensione ai capi del condensatore ale L 0 sin( ω t 0 ). Troare tutte le correnti disegnando il diagramma ettoriale completo.,8kω kω [ i 8,6 sin( ω t + 64 ) i 0 sin( ωt ) i 5 sin( ωt + 8 ) ].

4 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 4 Esercizio no. Soluzione a pag.8 Nella cella C illustrata, determina per quale frequenza la tensione di uscita 0 è sfasata in anticipo di 60 rispetto alla tensione di ingresso i. C nf 5 kω [ f 78 Hz ]. Esercizio no.4 Soluzione a pag.9 Il circuito di figura funziona con ω 000r/s con i 0 in alore efficace. icaa 0 in modulo e fase, disegna il diagramma ettoriale e le forme d onda in ingresso e in uscita. C µ F kω. [ 7,07 45 ] 0 o Esercizio no.5 Soluzione a pag.0 Nel circuito illustrato L0 mh kω i 0 icaare o in modulo e fase per ω 00krad/s.. [ 7,07 45 ] 0 o 4

5 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 5 Esercizio no.6 Soluzione a pag.. Nel circuito illustrato: 8 kω L60 mh i0, f0 khz i L? i? -j4. j46,7 [ i 0.45e i 0,e ] L Disegna inoltre il grafico ettoriale di, i, i L ed i. Esercizio no.7 Soluzione a pag. Nel circuito illustrato con 4Ω ed LmH calcola la frequenza che dee aere la tensione, affinché la corrente che scorre nel circuito sia sfasata di 45 rispetto ad essa. [ f Hz]. Esercizio no.8 Soluzione a pag. Nel circuito 6 efficaci quando i( t ) 6 sin( 0 t ). La tensione applicata ai capi della serie è 60 in anticipo rispetto la corrente impressa; troa L ed. [ 707Ω L.H ]. Esercizio no.9 Soluzione a pag. f khz C 0.µF C 0.µF 470Ω 0Ω 680Ω Nel circuito, troa l impedenza equialente ista dal generatore e l angolo di sfasamento fra tensione e corrente erogate dal generatore.. [ Z 6Ω φ 80 ] 5

6 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 6 Esercizio no.0 Soluzione a pag.4 E 40 47Ω 68Ω X L 00Ω X L 75Ω X L 45Ω Troa tutte le correnti. [ i 406 i 8 i i 5]. L L Esercizio no. Soluzione a pag.5 Nel circuito di figura, calcola la corrente che scorre in ciascun ramo.. E f 5kHz C 0.µF C 0.05µF C 0.µF 0Ω 80Ω [ i 8.7 i 5. i 67. i 6.7 ] Esercizio no. Soluzione a pag.7. f MHz E 0 Ω kω L 50µH L 00µH Troa la tensione su ciascun bipolo. [ ] L L 6

7 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 7 Esercizio no.:soluzione La corrente è data nella forma: I 7 j5 [ A] Il modulo della corrente : I ,6 A 5 La fase : θ atg 5 7 La forma polare sarebbe I 8,6e j5 8,6 5 A La forma trigonometrica: i ( t ) 8,6 sin( ω t 5 ) A Esercizio no.:soluzione La tensione sinusoidale è data nella forma: Il modulo della tensione: + 9 ( + j 9 ) La fase : θ atg 6 La forma polare sarebbe 5e j6 5 < 6 la pulsazione ω πf π r / s La forma trigonometrica: ( t ) 5 sin( 680 t + 6 ) Esercizio no.:soluzione La tensione sinusoidale è data nella forma: ( t ) 6 7, sin( ω t + 6 6' ) Il modulo ale 6,7 l angolo formato con l asse reale è di 6 6 Traducendo i 6 da gradi sessagesimali a centesimali ,4 Il alore della parte reale e immaginaria ( 6,4) ( 6,4) 6 a 6 7, cos parte reale b 6 7, sin parte immaginaria + j6 7

8 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 8 Esercizio no.4:soluzione I due generatori algono 8 sin( ω t + 0 ) 8 cos( ω t 0 ) La tensione risultante dee essere la somma delle due: +, trattandosi di una somma conerrà riportare le due tensioni in forma binomiale. Per la tensione applichiamo la regola: cos(x) sin(x + 90 ) 8cos( ωt - 0 ) 8sin( ωt ) 8 sin( ωt + 60 ) a 8cos0 8 6,9 b 8 sin ,9 + j 4 c 8cos d 8 sin60 8 6, j6,9 aremo per cui: + ( 6,9 + j4) + ( 4 + j6,9 ) 0,9 j0, 9 + il modulo della tensione risultante: 0,9 + 0,9 5, 44 0,9 la fase della tensione risultante: θ atg 45 0,9 la forma sinusoidale risultante: ( t ) 5,44 sin( ω t + 45 ) 8

9 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 9 Esercizio no.5:soluzione Z ( 4 - j ) Ω la tensione ( t ) 5 sin( ω t + 0 ) Possiamo troare la corrente i applicando la legge di Ohm: essendo una diisione fra due quantità ettoriali può essere opportuno usare la forma polare: 5e j0 i Z per l impedenza Z il modulo ale Z Ω la fase θ atg 6, 86 4 ù j0 5 e i 5 exp( j0 + j6,86 Z 5 e j6,86 ) 5 e j 66,86 i ( t ) 5 sin( ω t + 66 ) A lo sfasamento fra tensione e corrente α66,86-06,86 ma poteamo arriarci anche considerando la forma binomiale di : 5 5cos0 + j5 sin0 5 + j,65 + j,5,65 + j,5 (,65 + j,5 )( 4 + j ) 86,6 + j65 + j50 + i Z 4 j ( 4 j )( 4 + j ) 6 j 9 j 7,5 86,6 + j65 + j50 7,5 49, + j5 i, j4,6 A dalla forma binomiale di i, abbiamo, il suo modulo i,96 + 4,6 5 4,6 la sua fase : θ atg 66, 9,96 9

10 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 0 Esercizio no.6:soluzione Il bipolo ha impedenza Z + j5 Ω la corrente ale i ( t ) 5 sin( ω t + ). Applicando la legge di Ohm: Z i ; trattandosi di una moltiplicazione è opportuno usare la forma polare; quindi per il bipolo Z aremo: Z ,8Ω (modulo) 5 j59 Z atg 59 (fase) Z 5,8 e Ω j mentre per la corrente i: i 5 e Z i 5,8e j59 5e j 9,5 exp ( j7 ) m ( t ) 9,5 sin( ω t + 7 ) m ma era possibile usare anche la forma binomiale, dato che la corrente i era esprimibile come: i 5cos + j5 sin 4,89 + j,04 Z i ( + j5) ( 4,89 + j,04) 4,67 + j, + ( 4,67 5,) + j(, + 4,45) 9,47 + j7,57 m j4,45 + j 5, il modulo di 9,47 + 7,57 9, 5 7,57 la fase di : atg 7 9,47 0

11 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.7:soluzione i 0 sin( ω t 0 ) A L 4mH f 00Hz.? Applichiamo la legge di Ohm: jx i con L i 0 e j0 mentre la reattanza induttia: jx L jω L jπfl jπ j5 [ Ω ] si tratta di un numero immaginario, come tale rappresentabile sul piano di gauss come un ettore completamente collocato sull asse immaginario. per la rappresentazione polare jx L 5 e j90 quindi aremo: jx L i 5 e j90 0 e j0 00 e j60 [ ] in forma trigonometrica: 00 sin( ω t + 60 ) come si nota la tensione è in anticipo sulla corrente di 90.

12 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.8:soluzione 4 Con sin( 0 t ) si ha X C 50Ω; è richiesta C ed i. La pulsazione ω è nota come ω 0 6 rad/s ; dato che X C otteniamo: ω C 6 C 0 F µ F 4 ω X 0 50 C dal punto di ista ettoriale una reattanza capacitia come X C j50 Ω è un ettore collocato sull asse immaginario del piano di Gauss, con erso negatio; mentre la tensione ale e ha fase 0 ; quindi è collocata sull asse reale con erso positio. In forma polare: j90 X 50 e mentre applicando la legge di Ohm: C I X C 50 e j90 j90 e 50 0,0 e j90 0 e j90

13 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.9:soluzione Nel circuito kω e C00pF, i5 e ω,5mrad/s. Osserando il disegno aremo per la legge di Ohm: I e X I C si drorà poi applicare la legge di Kirchoff: + C C i C X C I j i j ω C, j 5, j 0 + C ( 5 j 0) con atg 5 5 questi sono, tuttaia, i alori efficaci delle grandezze cercate per la forma trigonometrica algono i alori massimi: M sin( ωt + φ ) sin( ωt + φ ) 5 sin(,5 0 5 ) 5, sin(,5 0 5 ) mentre risulta in fase con la corrente i di cui assumiamo la fase φ0 6 6 sin( ω t ) 5 sin(,5 0 6 ), sin(,5 0 6 )

14 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 4 Esercizio no.0:soluzione E 0sin0 6 t 8kΩ 40kΩ 5kΩ C 00pF o? Una possibilità, consiste nel semplificare col teorema di Theenin la parte di rete a monte del condensatore. Il generatore equialente dato che stiamo considerando è un partitore di tensione: E EQ Dato che A ( // ) + ( // E ) // ,8 kω E ( // ) 5,8 A E 0,5 mentre + ( // ) 8 + 5,8 EQ ( // // ) 5,6 kω + EQ 4

15 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 5 La reattanza capacitia ale: X C j j 6 ωc j 0 8 j0 kω mentre la O ale: I C E EQ EQ + X,5,exp C ( j6 ),5 5,6 j0,6 exp( j6 ) O X C I C,6e j 6 0 e j 90,6 e j 8 La situazione dei ettori Sul piano di Gauss È illustrata a fianco. Esercizio no.:soluzione E 00sin0 4 t 5kΩ kω 8kΩ L H i? Osseriamo come sia possibile ridisegnare il circuito nel seguente modo: 5

16 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 6 Ora sarà possibile semplificare la parte di circuito a monte del taglio indicato, ad esempio col teorema di Theenin. L impedenza equialente si ottiene cortocircuitando l unico generatore di tensione e osserando ai capi del taglio effettuato quale è il alore dell impedenza che si ede. Dato che la pulsazione di funzionamento è di 0 4 rad/s X L jωl j0 Ω 4 j0 kω Dapprima possiamo effettuare il parallelo // P,07 kω poi sarà possibile mettere tale resistenza in parallelo con l induttanza X L. Z EQ P P X + X,07, j94,,8 + 09,4 L L + j0 j0 j0,86 kω j0 7, (,07 j0) (,07 + j0) (,07 j0) j94, 9,4 + j Il generatore equialente si ottiene alutando la tensione a uoto ai capi del circuito da semplificare: Il parallelo fra e la reattanza X L ci permetterebbe di ridurre il circuito ad un semplice partitore di tensione. Z // X L 8 j0 8 + j0 j j0 j80 ( 8 j0) ( 8 + j0) ( 8 j0) Poi razionalizzando: j640 j j640 Z 4, j,9 kω Adesso possiamo applicare la regola del partitore: Z EEQ E + Z 4,8 00 9,8 + + j,9 j,9 kω Eseguendo i calcoli.. 6

17 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 7 E EQ 00 ( 4,8 + j,9 ) ( 9,8 j,9 ) 47 j8 7, + j8, j 5, 6, ( 9,8 + j,9 ) ( 9,8 j,9 ) ,8 0, 8 j9,5 E EQ ( 50 + j8 7, ) kω è possibile ora ricollegare il circuito semplificato al carico. i E + Z EQ 50 + j 8 7, 50 j 8 7, +,8 + j 0,86 4,8 EQ + i (, + j, ) la corrente i è dunque un ettore di modulo pari a: i, +,,5, mentre la fase ale i atg 0, Esercizio no.:soluzione Con 40 sin( ωt ), L 0 sin( ω t 0 ),8kΩ kω Per la legge di Kirchoff nel tratto ohmico capacitio: + c si tratta di una somma ettoriale La forma binomiale di c : C 0 cos( 0 ) + quindi: j0 sin( 0 ) 8, j 0,6 + c > , j 0,6 > 40 8, + j 0,6,8 + j 0,6 5,6,8 + 0,6 5,6 i 8,6 quindi è:,8 j 64 i 8,6e 8,6 cos(64 ) + j8,6 sin(64 ) 7, + j7 7, 8,6 sin( ω t + 64 ) Per la legge di Ohm la i è immediatamente calcolata: i sin( c ω j 8 t ) i i + i 7, + j 7 7, 5 e 5 sin( ω t + 8 ) 7

18 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 8 Esercizio no.:soluzione Bisogna troare per quale frequenza la tensione di uscita 0 è sfasata in anticipo di 60 rispetto alla tensione di ingresso i. Con: C nf 5 kω Si tratta di un partitore di tensione con 0 i 0 i + X C + jωc possiamo fare l ipotesi arbitraria che i abbia alore unitario e non abbia parti immaginarie: i sin( ωt ) per il rapporto 0 / i aremo: + jωc jωc + jωc moltiplico sopra e sotto per il complesso coniugato del denominatore: jωc( jωc ) ( + jωc )( jωc ) j ( ωc ) + ( ωc ) + jωc ( ωc ) + jωc + ( ωc ) è un numero complesso la cui fase dee essere imposta a 60 : θ atg 60 ωc tg60 ωc ω Ctg60 ω ,54 r/s ω 749,54 f 78,44 π π Hz con questo alore di frequenza la tensione di uscita risulterà sfasata in anticipo di 60 rispetto a quella di ingresso. 8

19 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 9 Esercizio no.4:soluzione Con ω 000r/s con i 0 in alore efficace. icaare 0 in modulo e fase, disegnando il diagramma ettoriale e le forme d onda in ingresso e in uscita. C µ F kω Anche in questo caso applichiamo la regola del partitore: jωc + jωc + jωc 0 i 0 i i è assimilabile ad un numero complesso con parte immaginaria nulla. essendoci il problema di eseguire una diisione è opportuno ricondurre tutti i numeri alla loro forma polare. Il denominatore dienta 6 j45 + jω C + j j e da cui : 0 0 e j45 7,07e j45 cioè 0 ha modulo 7,07 ed è sfasato in ritardo di 45 rispetto a i che consideriamo abbia fase 0. 9

20 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 0 Esercizio no.5:soluzione L0 mh kω i 0 icaare o in modulo e fase per ω 00krad/s. Dalla regola del partitore di tensione 0 0 j i 0 jωl + jωl j0 0 + j0 j j + j staolta decido di non usare la forma polare e moltiplico numeratore e denominatore per i omplesso coniugato del denominatore che è j. j0( j ) j0 j 0 0( + j ) 0 ( 5 + ( + j )( j ) + j5 ) il modulo della tensione di uscita ,07 5 o atg

21 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.6:soluzione Calcolo la della reattanza capacitia: 8 kω L60 mh i0, f0 khz i L? i? X L ωl πfl π Ω eseguire il parallelo fra ed X L : L j90 7,54 kω X L 8 ( j7.54 ) j60, 60.e Z 5,48e j4, + X 8 + j j7.54 e j46,7 è palese che si dee usare la legge di Ohm per calcolare. Z i 5,48e j46,7 0..e j46,7 poi: j46,7. e L j90 X L 7.54e i 0.45e - j4. con.e i 8 j46,7 0,e j46,7

22 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.7:soluzione 4Ω LmH Calcolare la frequenza che dee aere la tensione, affinché la corrente che scorre nel circuito sia sfasata di 45 rispetto ad essa. L impedenza complessia è Z + jx L data la relazione Z i se assumiamo che i abbia fase 0 sarà: jφ X L Ze i con φ 45 atg per essere erificata dee essere: L ωl 4 ω f 0. 0 Hz L πl π 0 X Hz Esercizio no.8:soluzione 6 efficaci quando i( t ) 6 sin(0 t ). La tensione applicata ai capi della serie è 60 in anticipo rispetto la corrente impressa; troare L ed. Prima di tutto dobbiamo osserare come il alore efficace di i sia i i max 6 ale la Z i con Z + jx L e quindi si può dire ora Z i 6 6 / Ze e jφ X L i con φ 60 atg j60 kω (cos60 + j sin60 ) ( j. ) kω 707 Ω L X L. 0 X ω L L ω 0. H

23 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi Esercizio no.9:soluzione f khz C 0.µF C 0.µF 470Ω 0Ω 680Ω Troare l impedenza equialente ista dal generatore e l angolo di sfasamento fra tensione e corrente erogate dal generatore. C p C + C 0.µ F X p j j j65. 5 Ω 7 πfc π 0 0 p + + s 480 Ω Chiaramente l impedenza ista dal generatore è il parallelo fra la resistenza troata e la reattanza capacitia. -j90 j ,e Z 6e - j0 480 j ,58e - j80 Ω quindi se assumiamo la corrente i erogata dal generatore, in fase con l asse reale, per la : E Z i la E dorebbe aere fase -80. Se portiamo la E sull asse reale la i sarà rispetto ad essa in anticipo di 80.

24 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 4 Esercizio no.0:soluzione E 40 47Ω 68Ω X L 00Ω X L 75Ω X L 45Ω Troare le correnti. Il circuito può essere anche isto così: Prima calcolo il parallelo fra e X L. j X L j e j5 Z p 56.e 46 + j55 + jx 68 + j00 e L j90 j. Ω lo metto in serie con. j9 + Z p j. 9 + j. 98.4e Z poi abbiamo la serie Z. j90 X L + X L j75 + j45 j0 0e Z Ω Ω è eidente che la tensione E si troa ai capi di entrambi i bipoli Z e Z. per cui: i E Z 40e 98.4e j0 j e j9 A 406e j9 4

25 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 5 Oiamente il passaggio della i sopra il parallelo Z X // produce la tensione p : p L j5 j9 p Z pi 56.e 0.406e.8e j6 Quindi: j6 p.8e j6 i 0,5e 5e 68 j6 i L X p L.8e 00e j6 j90 0,8e j74 8e j74 da ultimo: i E Z 40e 0e j0 j90 0.e j90 e j90 Esercizio no.:soluzione Nel circuito di figura, calcola la corrente che scorre in ciascun ramo. E f 5kHz C 0.µF C 0.05µF C 0.µF 0Ω 80Ω Troare le correnti. Il circuito assegnato, può anche essere isto come: 5

26 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 6 Può essere ridotto come nel modo illustrato, con: C C + C e p µ Il alore della reattanza capacitia X p : X ωc πfc π s Ω 0 p 6 p p π oiamente, dal punto di ista ettoriale X p j9, Ω Il parallelo fra s e C p, produce la seguente impedenza: F 9, Ω Z j90 j50 9, 004e s // X p j j9, 5.5e 9,e - j85.6 Ω ( j9 )Ω La reattanza per C : X 4 0 j j j 7 πfc π π j06 Ω i E Z + X j9. j06 j45. j45. j0.87 A j8.7 -j85.6 j90 z iz 9,e 0.087e,5e j4.4 Notiamo come z si troi ai capi della X, della X e della serie s. Applicheremo la legge di Ohm in tutti e tre i casi. X 0 j j j 6 πfc π π j πfc j π X 6 j48. Ω j. Ω 6

27 edutecnica.it Circuiti in alternata -Esercizi 7 j4.4 z.5e j94.4 i 0,05e 5.e j90 X.e j94.4 j4.4 z.5e j94.4 i 0,067e 67.e j90 X 48.e j4.4 z.5e j4.4 i 0,0067e A 6.7e 50 s j94.4 j4.4 Esercizio no.:soluzione f MHz E 0 Ω kω L 50µH L 00µH Troare la tensione su ciascun bipolo. Calcolo le reattanze: X X j fl jπ j90 + jx + j68 j68 68e jπfl jπ j68 Ω π j56 Ω Z j5 + jx j56 605e Z Ω Ω i i E Z E Z 0 68e 0.605e j90 6e j5 j90 6.e j5 j90 i 0.06e 0.5 j90 j90 L i X 0.06e 68e 0 i 6.e j5 6. e j5 j5 j90 L i X 6.e.56e 7.8e j9 7