Claudio Arbib Università di L Aquila. Ricerca Operativa. Reti di flusso

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1 Claudio Arbib Università di L Aquila Ricerca Operativa Reti di flusso

2 Sommario Definizioni di base Flusso di un campo vettoriale Divergenza Integrale di Gauss-Greene Flusso in una rete Sorgenti, pozzi e nodi di transito Circolazioni e potenziali Il problema del flusso ottimo Problemi con funzione costo separabile Problemi concavi e lineari Gerarchia dei problemi di flusso ottimo

3 Definizioni di base Sia x(u) = (x 1,, x p ) un campo vettoriale in u = (u 1,, u p ) R p Siano S una superficie in R p e n(u) il versore normale a S in u. x 1 x p div(x) = + + u 1 u p divergenza di x ϕ(x, S) = S x(u) n(u)ds flusso di x attraverso S Integrale di Gauss-Greene: S chiusa W volume racchiuso da S ϕ(x, S) = W div(x)dw n(u) x u S

4 Flusso in una rete In questo caso si assume che il campo vettoriale x sia diverso da solo sugli archi di una rete, rappresentata come un grafo G = (V, E) con n nodi e m archi. Se la rete è conservativa, dato un qualsiasi arco uv, il flusso in uv si mantiene costante. Il campo x diviene un vettore con componenti associate agli archi di G: x R m distribuzione di flusso x 3 x x 1 S x 7 x x 5 x 4 L integrale di Gauss-Greene diventa una sommatoria e in ogni punto ϕ(x, S) eguaglia la differenza tra il flusso uscente da S e quello entrante in S.

5 Flusso in una rete Se si riferisce l integrale volumetrico della divergenza a un volume unitario contenente il punto u, si può scrivere Esempio: div u (x) = ϕ(x, S) div(x) = S divergenza di x nel punto u flusso uscente da u flusso entrante in u div(x) = (4 1 + ) ( 3 + ) = 4 Poiché nei punti interni di ogni arco la divergenza del campo x è nulla, i suoi valori significativi sono solo quelli associati ai nodi di G. Questi vengono raccolti in un vettore che rappresenta il bilancio del flusso ai nodi: div(x) R n divergenza della distribuzione x

6 Sorgenti, pozzi e nodi di transito G = Si può esprimere la divergenza di x in forma compatta utilizzando la matrice di incidenza nodi-archi G del grafo G. div(x) = Gx x x3 43 x 4 x 5 Nell esempio, x = (,, 4, 3,,,, ) div 1 (x) = ( 1,,,, 1,,, ) x = ( + ) = div 3 (x) = (, 1,, 1,,,, ) x = ( + 3) = 1 div 4 (x) = (,, 1, 1,, 1, 1, ) x = ( ) = x 51 x 54 x 1 x 3 flusso uscente dalla rete 3 1 flusso entrante nella rete transito pozzo sorgente

7 Circolazioni La somma delle componenti della divergenza è sempre nulla (rete conservativa flusso entrante = flusso uscente). Si definisce circolazione una distribuzione di flusso x a divergenza identicamente nulla (solo nodi di transito). G = x 51 5 x 54 x 5 x 1 x 4 4 x 43 x-4 4 x 3 3 La distribuzione banale x = è una circolazione, ma una circolazione non è necessariamente banale.

8 Potenziali Si dice potenziale un qualsiasi vettore y R n (Ad esempio, div(x) è un potenziale). La differenza di potenziale è un vettore y R m. La componente di y associata al generico arco uv E è y uv = y v y u Si ha evidentemente y = ye G Proprietà: per ogni distribuzione di flusso x e ogni potenziale y si ha x y = ygx = y div(x) Inoltre x e y sono ortogonali per ogni y se e solo se x è una circolazione.

9 Il problema del flusso ottimo Consiste nel determinare una coppia di vettori x* e y*, appartenenti a determinate regioni ammissibili Φ e Ω, che rappresentino una distribuzione e un potenziale in una rete e minimizzino una data funzione f (x, y): min f (x, y) div(x) = y x Φ R m y Ω R n

10 Funzione di costo separabile La funzione f (x, y) si dice separabile se può essere espressa come somma di funzioni dipendenti individualmente dal valore del flusso in ciascun arco o del potenziale in ciascun nodo: f (x, y) = Σ uv E f uv (x uv ) + Σ u V f u (y u ) Esempio: la forma lineare f (x, y) = cx + c y è evidentemente separabile. Esempio: la forma quadratica x T Ax, con A R m m, non è in genere separabile in quanto x T Ax = Σ h E Σ k E a hk x h x k contiene termini misti, cioè dipendenti da flussi in archi distinti.

11 Gerarchia dei problemi di flusso ottimo CPM CPM flusso flusso ottimo ottimo CPM CPM duale duale flusso flusso con con costo costo separabile flusso con costo flusso con costo lineare lineare taglio taglio min min matching perfetto bipartito cammino min min flusso flusso max max