COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI"

Transcript

1 COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste n 0 tale che, per ogni n, m n 0, dx n, x m < ε. Uno spazio metrico X, d si dice completo se ogni successione di Cauchy a valori in X ammette ite. Si noti che in qualunque spazio metrico una successione convergente è di Cauchy segue dalla disuguaglianza triangolare, v. dimostrazione per successioni a valori reali. Sono esempi di spazi metrici completi: R n con la metrica euclidea; C [a, b] con la distanza d f, g = max t [a,b] ft gt ; C 1 [a, b] con la distanza df, g = d f, g + d f, g. Non sono completi i seguenti spazi metrici: Q con la distanza indotta dalla metrica euclidea di R; C [a, b] con la distanza d 1 f, g = b ft gt dt; a C 1 [a, b] con la distanza df, g = d f, g. Siano X, d e X, d due spazi metrici. isometria se 2. Isometrie e completamenti d fx, fy = dx, y Una funzione f : X X si chiama una per ogni x, y X. Un isometria è ovviamente iniettiva. Se tra due spazi metrici esiste una isometria biiettiva, si dice che essi sono isometrici. Definizione 2.1. Si chiama completamento di uno spazio metrico X, d una coppia X, d, f, dove X, d è uno spazio metrico completo e f : X X è un isometria con immagine densa in X. 1

2 2 COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI In queste ipotesi, fx X è uno spazio metrico isometrico a X. Si può dunque dire che un completamento di X è uno spazio metrico completo che contiene un sottospazio denso isometrico a X. Nel paragrafo 4 dimostreremo il seguente teorema. Teorema 2.2. Ogni spazio metrico X, d possiede un completamento. Inoltre, se X, d, f e X, d, g sono due completamenti di X, d, esiste un isometria biiettiva h : X X tale che g = f h. In particolare, X e X sono isometrici e h stabilisce una corrispondenza biunivoca tra fx X e gx X. 3. Enunciati preinari Lemma 3.1. Sia X, d uno spazio metrico. La funzione d è continua su X X, ossia, date due successioni x n n, x n n di elementi di X convergenti rispettivamente a x, x X, si ha dx n, x n = dx, x. Dimostrazione. Per la disuguaglianza triangolare, dx, x dx n, x n dx, x dx, x n + dx, x n dx n, x n dx, x n + dx, x n, e quindi dx, x dx n, x n = 0. Lemma 3.2. Sia A un insieme, e sia δ : A A [0, + una funzione tale che i δx, x = 0 x A, ii δx, y = δy, x x, y A, iii δx, z δx, y + δy, z x, y, z A. Allora la relazione x y δx, y = 0 è una relazione di equivalenza su A. Detto B l insieme quoziente A/, la funzione è ben definita su B B ed è una distanza. d [x], [y] = δx, y

3 COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 3 Dimostrazione. Le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva di si verificano facilmente. Per dimostrare la buona definizione di d occorre verificare che, se x x e y y, allora δx, y = δx, y. Per la iii, δx, y δx, x + δx, y + δy, y = δx, y, e allo stesso modo si dimostra che δx, y δx, y. Le proprietà della distanza su d si verificano facilmente. Lemma 3.3. Siano x n n N, y n n N due successioni di Cauchy a valori in uno spazio metrico. Allora la successione di numeri reali dx n, y n n N è convergente. Dimostrazione. Dimostriamo che i numeri a n = dx n, y n formano una successione di Cauchy in R. Usando la disuguaglianza triangolare del modulo in R e della distanza d, si ottiene che a n a m = dxn, y n dx m, y m = dx n, y n dx n, y m + dx n, y m dx m, y m dxn, y n dx n, y m + dxn, y m dx m, y m dy n, y m + dx n, x m. Dato ε > 0, esiste n 0 tale che, per ogni n, m n 0, risulti dy n, y m < ε e dx n, x m < ε. Quindi a n n è di Cauchy. Per la completezza di R si ha la tesi. Lemma 3.4. Siano X 1, d 1, X 2, d 2 due spazi metrici, con X 2 completo, e sia h una isometria definita su un sottoinsieme Z di X 1 a valori in X 2. Allora h ammette una e una sola estensione isometrica a Z. Dimostrazione. Dato x Z, si consideri una successione x n n di elementi di Z convergente a x. Allora x n n è di Cauchy, e dunque anche hx n è di Cauchy in X n 2, in quanto d 2 hxn, hx m = d 1 x n, x m. Siccome X 2 è completo, esiste hx n. Tale ite dipende solo da x e non dalla scelta della successione x n n. Sia infatti x n n un altra successione di elementi di Z convergente a x. Allora d 1 x n, x n = 0, e dunque anche d 2 hxn, hx n = 0. In conclusione, hx n = hx n. Poniamo allora hx = hx n. Dati due elementi x, x Z, siano x n n e x n n due successioni in Z convergenti rispettivamente a x e x. Per il Lemma 3.1 d 2 hx, hx = d 2 hxn, hx n = d 1 x n, x n = d 1 x, x. Chiaramente h è l unica possibile estensione continua di h a Z.

4 4 COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 4. Dimostrazione del Teorema 2.2 La prima parte della dimostrazione consiste nella costruzione di un particolare completamento di X. Consideriamo a questo scopo l insieme C delle successioni di Cauchy di elementi di X. Date x n n, y n n C, poniamo 4.1 d xn n, y n n = dx n, y n. La funzione d : C C [0, + gode delle proprietà e della proprietà triangolare d x n n, x n n = 0, d xn n, y n n = d yn n, x n n, ma non vale in generale la proprietà d x n n, z n n d xn n, y n n + d yn n, z n n, d x n n, y n n = 0 = xn n = y n n. Sull insieme C introduciamo allora la relazione di equivalenza x n n y n n d x n n, y n n = 0 dx n, y n = 0. Poniamo X = C/ e consideriamo la distanza d ottenuta da d come indicato nel Lemma 3.2. Un elemento ξ di X è dunque una classe di equivalenza di successioni di Cauchy in X, cioè ξ = [ x n n ] per una opportuna successione di Cauchy xn n. Dato x X, indichiamo con x C la successione costantemente uguale a x e definiamo f : X X come fx = [x]. Lemma 4.1. L applicazione f è un isometria e la sua immagine è densa in X. Dimostrazione. Dati x, y X, si ha d [x], [y] = dx, y = dx, y = dx, y. Quindi f è un isometria. Sia ora ξ = [ x n n ] un elemento di X. Per ogni n consideriamo l elemento ξ n = [x n ] fx. Se dimostriamo che ξ = ξ n, otteniamo che fx è denso in X. Abbiamo d ξ, ξ n = d x k k, x n = k dx k, x n.

5 COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 5 Dato ε > 0, sia n 0 tale che dx k, x n < ε per ogni k, n n 0. Allora, se n n 0, d ξ, ξ n ε, e dunque d ξ, ξ n = 0. Manca solo la dimostrazione della completezza di X per concludere che X è un completamento di X. Lemma 4.2. Lo spazio X è completo. Dimostrazione. Sia ξ n n una successione di Cauchy in X. Per la densità di fx, per ogni n 1 esiste x n X tale che d ξ n, [x n ] < 1 n. La successione x n n così ottenuta è di Cauchy in X. Infatti dx n, x m = d [x n ], [x m ] dx n, ξ n + dξ n, ξ m + dξ m, x m < dξ n, ξ m + 1 n + 1 m. Dato ε > 0 esiste n 0 tale che d ξ n, ξ m < ε per ogni n, m n 0, e inoltre 1 n 0 < ε. Allora, se n, m n 0, si ha dx n, x m < 3ε. Poniamo allora ξ = [ x n n ] X e mostriamo che d ξ, ξ n = 0. La dimostrazione del Lemma 4.1 fa vedere che ξ = [x n ]. Si ha allora d ξ, ξ n d ξ, [x n ] + d [x n ], ξ n < d ξ, [x n ] + 1 n, e dunque d ξ, ξ n = 0. Passiamo ora all ultima parte dell enunciato del Teorema 2.2, relativa al fatto che due completamenti di X sono isometrici. Sia X, d, g un altro completamento di X, e consideriamo g f 1 : fx X gx X. Siccome f e g sono isometrie, anche g f 1 lo è. Per il Lemma 3.4, essendo X completo, g f 1 ammette un estensione isometrica h alla chiusura fx = X. Lo stesso vale per g f 1 1 = f g 1 : gx fx, che si estende a una isometria h definita sulla chiusura gx = X.

6 6 COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI Osserviamo allora che h h : X X è l identità su fx. Per densità, essa è l identità su tutto X. Analogamente, h h è l identità su X. Quindi h = h 1 e h è suriettiva.

Completezza e compattezza

Completezza e compattezza 1 Completezza e compattezza Spazi metrici completi Data una successione x : N X, j x j, una sua sottosuccessione è la composizione x ν, ove ν : N N è strettamente crescente. Data una successione (x j )

Dettagli

Complementi sugli Spazi Metrici Maurizio Cornalba Dipartimento di Matematica, Università di Pavia 10/11/2005 (revisione 15/5/2015)

Complementi sugli Spazi Metrici Maurizio Cornalba Dipartimento di Matematica, Università di Pavia 10/11/2005 (revisione 15/5/2015) Complementi sugli Spazi Metrici Maurizio Cornalba Dipartimento di Matematica, Università di Pavia 10/11/2005 (revisione 15/5/2015) Scopo di queste note è quello di integrare in parte il testo di C. Kosniowski:

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 1 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 1 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 1 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.1, 3.2,

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 2 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.5, 3.6,

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che

Dettagli

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata

Dettagli

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x. ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,

Dettagli

Alcune nozioni di calcolo differenziale

Alcune nozioni di calcolo differenziale Alcune nozioni di calcolo differenziale G. Mastroeni, M. Pappalardo 1 Limiti per funzioni di piu variabili Supporremo noti i principali concetti algebrici e topologici relativi alla struttura dello spazio

Dettagli

SPAZI METRICI COMPLETI

SPAZI METRICI COMPLETI Capitolo 1 SPAZI METRICI COMPLETI Sia dato uno spazio metrico (X, d). Definizione 1.1 Una successione {x n } si dice successione di Cauchy se ε > 0 n 0 n, m n 0 = d(x n x m ) < ε (1.1) Esercizio 1.1 Dimostrare

Dettagli

SPAZI TOPOLOGICI. La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile.

SPAZI TOPOLOGICI. La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile. SPAZI TOPOLOGICI La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile. Definizione 1 Uno spazio topologico (X, τ) è una coppia costituita da un insieme X e da una famiglia τ

Dettagli

Numeri cardinali. Definizione 1.1 Due insiemi A e B, non vuoti, si dicono equipotenti, e si scrive A B, se esiste un applicazione f : A B biunivoca.

Numeri cardinali. Definizione 1.1 Due insiemi A e B, non vuoti, si dicono equipotenti, e si scrive A B, se esiste un applicazione f : A B biunivoca. Numeri cardinali 1 Insiemi equipotenti e cardinalità Partiamo da un semplice esempio. Sia A = {a, b, c, d, e, f} l insieme delle prime sei lettere dell alfabeto. Che tipo di operazione facciamo per concludere

Dettagli

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI MAURIZIO CORNALBA L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I un insieme di insiemi. Il prodotto i I A i è l insieme di tutte le applicazioni α : I i I A i

Dettagli

Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI

Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI Avvertenza: questo è l inizio di un testo pensato come supporto al corso di Matematiche Complementari I ed ancora

Dettagli

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti

Dettagli

3. Successioni di insiemi.

3. Successioni di insiemi. 3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua

Dettagli

Il teorema di Stone Weierstrass

Il teorema di Stone Weierstrass APPENDICE B Il teorema di Stone Weierstrass Definizione B.1. Siano X un insieme non vuoto e A un sottospazio vettoriale dello spazio delle funzioni a valori reali (risp. complessi) su X. Si dice che A

Dettagli

Topologia generale. Geometria course outline and diary of notes day by day. Warning: notes very likely contain typos! March 31, 2014.

Topologia generale. Geometria course outline and diary of notes day by day. Warning: notes very likely contain typos! March 31, 2014. Topologia generale Geometria course outline and diary of notes day by day Warning: notes very likely contain typos! March 31, 2014 Contents I Topologia 2 1 Lesson 1 2 1.1 Definizione di una topologia.......................................

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1

Dettagli

Capitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni

Capitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni Capitolo 1 Gli strumenti Consideriamo un insieme X. In geometria siamo abituati a considerare insiemi i cui elementi sono punti ad esempio, la retta reale, il piano cartesiano. Più in generale i matematici

Dettagli

Il Teorema di Kakutani

Il Teorema di Kakutani Il Teorema di Kakutani Abbiamo visto, precedentemente, il seguente risultato: 1 Sia X uno spazio di Banach. Se X è separabile, la palla è debolmente compatta. B X = {x X x 1} Il Teorema di Kakutani è un

Dettagli

CAPITOLO SECONDO APPLICAZIONI TRA INSIEMI E RELAZIONI DI EQUIVALENZA

CAPITOLO SECONDO APPLICAZIONI TRA INSIEMI E RELAZIONI DI EQUIVALENZA CAPITOLO SECONDO APPLICAZIONI TRA INSIEMI E RELAZIONI DI EQUIVALENZA 1 Applicazioni tra insiemi Siano A, insiemi. Una corrispondenza tra A e è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A ; Se D

Dettagli

1 Funzioni reali di una variabile reale

1 Funzioni reali di una variabile reale 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f

Dettagli

13 LIMITI DI FUNZIONI

13 LIMITI DI FUNZIONI 3 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la nozione di ite a funzioni reali di variabile reale. Definizione caratterizzazione per successioni) Si ha fx) = L x 0, L R) se e solo se per ogni successione a n x 0 con

Dettagli

INSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X).

INSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). INSIEMI Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). Sia A = {A λ : λ Λ} una famiglia di insiemi. Definiamo: unione A = A λ è l insieme U tale

Dettagli

Consideriamo il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) ai valori iniziali:

Consideriamo il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) ai valori iniziali: Capitolo 1 PROBLEMI INIZIALI PER ODE Consideriamo il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) ai valori iniziali: { y (t) = f(t, y(t)), t t f (1.1) y( ) = y 0 dove f : [, t f ] R m R

Dettagli

Topologia, continuità, limiti in R n

Topologia, continuità, limiti in R n Topologia, continuità, limiti in R n Ultimo aggiornamento: 18 febbraio 2017 1. Preliminari Prima di iniziare lo studio delle funzioni di più variabili, in generale funzioni di k variabili e a valori in

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica

Dettagli

i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;

i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva; 1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma

Dettagli

Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi

Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi ESERCIZI DI GEOMETRIA 3 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Spazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale

Spazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale Spazi di Funzioni Docente:Alessandra Cutrì Spazi vettoriali normati Uno spazio Vettoriale V si dice NORMATO se è definita su V una norma, cioè una funzione che verifica: v 0 e v = 0 v = 0 λv = λ v λ R(o

Dettagli

Appunti del Corso Analisi 1

Appunti del Corso Analisi 1 Appunti del Corso Analisi 1 Anno Accademico 2011-2012 Roberto Monti Versione del 5 Ottobre 2011 1 Contents Chapter 1. Cardinalità 5 1. Insiemi e funzioni. Introduzione informale 5 2. Cardinalità 7 3.

Dettagli

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 Corso integrato di Matematica per le scienze naturali ed applicate Materiale integrativo Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine, via delle Scienze

Dettagli

Capitolo 1. Spazi quoziente. 1.1 Spazi quoziente

Capitolo 1. Spazi quoziente. 1.1 Spazi quoziente Capitolo 1 Spazi quoziente 1.1 Spazi quoziente Siano (S, A ) uno spazio topologico, Σ una relazione di equivalenza definita in S e p la proiezione canonica di S su S/Σ. Posto S = S/Σ definiamo topologia

Dettagli

GAAL: Capitolo dei prodotti scalari

GAAL: Capitolo dei prodotti scalari GAAL: Capitolo dei prodotti scalari Teorema di Rappresentazione rappresentabile Aggiunto Autoaggiunto Unitariamente diagonalizzabile Teorema spettrale reale Accoppiamento Canonico Forme bilineari Prodotti

Dettagli

Massimo limite e minimo limite di una funzione

Massimo limite e minimo limite di una funzione Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie

Dettagli

1 Soluzione degli esercizi del capitolo 4

1 Soluzione degli esercizi del capitolo 4 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio degli esercizi del capitolo 4 Esercizio 4. (pag. 47) Sia X =,,3,4} e sia R la relazione su X così definita: R = (,),(,),(,),(,),(,4),(3,3),(4,)}.

Dettagli

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)

Dettagli

FUNZIONI. }, oppure la

FUNZIONI. }, oppure la FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,

Dettagli

(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora +

(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora + 1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se : (1) A; (2) se A

Dettagli

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate e limiti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA ANALISI FUNZIONALE. Dispensa del Corso di Metodi Matematici della Fisica

INTRODUZIONE ALLA ANALISI FUNZIONALE. Dispensa del Corso di Metodi Matematici della Fisica INTRODUZIONE ALLA ANALISI FUNZIONALE Dispensa del Corso di Metodi Matematici della Fisica (versione estesa, 25 febbraio 2011) Prof. Marco Boiti a.a. 2010-2011 2 Indice 1 Spazi Metrici 5 1.1 Insiemi Aperti.

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

1.1. Spazi metrici completi

1.1. Spazi metrici completi SPAZI METRICI: COMPLETEZZA E COMPATTEZZA Note informali dalle lezioni 1.1. Spazi metrici completi La nozione di convergenza di successioni è centrale nello studio degli spazi metrici. In particolare è

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Norme Una norma in R n è una funzione. : R n R tale che x 0 x R n ; x = 0 x = 0; αx = α x ; x

Dettagli

Somma diretta di sottospazi vettoriali

Somma diretta di sottospazi vettoriali Capitolo 8 Somma diretta di sottospazi vettoriali 8.1 Introduzione Introduciamo un caso particolare di somma di due sottospazi vettoriali: la somma diretta. Anche questo argomento è stato visto nel corso

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

Indice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche

Indice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche Indice 1 Cenni di logica 2 Elementi di teoria degli insiemi 3 Relazioni e funzioni 4 Strutture algebriche Silvia Pianta - Laura Montagnoli Geometria I - Prerequisiti - UCSC A.A. 2015/2016 1 / 36 1. Cenni

Dettagli

Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA

Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 9/04/203 TOPOLOGIA Mostrare che uno spazio infinito con la metrica discreta non può essere compatto Soluzione: Per la metrica discreta d : X X

Dettagli

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0. Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

8. Completamento di uno spazio di misura.

8. Completamento di uno spazio di misura. 8. Completamento di uno spazio di misura. 8.1. Spazi di misura. Spazi di misura completi. Definizione 8.1.1. (Spazio misurabile). Si chiama spazio misurabile ogni coppia ordinata (Ω, A), dove Ω è un insieme

Dettagli

1 Relazione di congruenza in Z

1 Relazione di congruenza in Z 1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo

Dettagli

Corso di Analisi Matematica

Corso di Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili

Dettagli

Corso di ALGEBRA (M-Z) INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI E RETICOLI

Corso di ALGEBRA (M-Z) INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI E RETICOLI Corso di ALGEBRA (M-Z) 2013-14 INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI E RETICOLI Sia P un insieme non vuoto. Una relazione d ordine su P è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva. La coppia (P,) si

Dettagli

Calcolo integrale. Regole di integrazione

Calcolo integrale. Regole di integrazione Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su

Dettagli

1 Il valore assoluto p-adico

1 Il valore assoluto p-adico 1 Il valore assoluto p-adico Definizione 1.1. Siano a, b Z. Se a divide b scriveremo a b, altrimenti scriveremo a b. Con (a, b) indichiamo il massimo comun divisore di a e b. Sia x Z e p un numero primo.

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 4 Sommario. Dimostriamo il Teorema di Completezza per il Calcolo dei Predicati del I ordine. 1. Teorema di Completezza Dimostriamo il Teorema

Dettagli

Vettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Vettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Vettori e matrici Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utentiunifeit/lorenzopareschi/ lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi Univ Ferrara

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1 SPAZI METRICI Nel piano R 2 o nello spazio R 3 la distanza fra due punti è la lunghezza, o norma euclidea, del vettore differenza di questi due punti. Se p = (x, y, z) è un vettore in coordinate ortonormali,

Dettagli

Lavoro di Gruppo - I

Lavoro di Gruppo - I Lavoro di Gruppo - I Fulvio Bisi 1 Anna Torre 1 1 Dipartimento di Matematica - Università di Pavia Stage Orientamento 14 giugno 2016 Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di Gruppo I Stage 14 giu 2016 1

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Massimo A. Picardello BOZZA 10.11.2011 21:24 i CAPITOLO 1 Successioni

Dettagli

LEZIONE 30. Se x = 1 si dice che x è un versore. Se poi y = (y 1,..., y n ) R n poniamo. Ricordiamo che vale la cosiddetta disuguaglianza triangolare

LEZIONE 30. Se x = 1 si dice che x è un versore. Se poi y = (y 1,..., y n ) R n poniamo. Ricordiamo che vale la cosiddetta disuguaglianza triangolare LEZIONE 30 30.1. Insiemi aperti e chiusi in R n. Nel corso di Analisi sono state introdotte alcune nozioni di topologia di R, come la nozione di aperto, di chiuso, di punto d accumulazione. Lo scopo di

Dettagli

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni

Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni 1 Caso particolare: x 3 + px + q = 0....................... Caso generale: x 3 + bx + cx + d = 0..................... 4 3 Esercizi.....................................

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4

Dettagli

Appunti di topologia generale.

Appunti di topologia generale. INDICE 1 Appunti di topologia generale. Prima parte del corso di Geometria II Diego Matessi. Versione del 9 Marzo 2010 Indice 1 Dagli spazi metrici alla topologia 2 Richiami sugli spazi metrici..........................................

Dettagli

Topologie deboli. Capitolo 5. Topologia debole

Topologie deboli. Capitolo 5. Topologia debole Capitolo 5 Topologie deboli Topologia debole Sia X uno spazio di Banach. La continuità delle applicazioni lineari f : X R, dipende, per definizione, dalla topologia che si considera su X. Abbiamo definito

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI February 19, 2005 1 Premessa DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI Alberto Zanardo 1 L operazione di riduzione del sistema dei numeri reali al sistema dei numeri naturali viene spesso chiamata aritmetizzazione

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Cenni di programmazione ricorsiva. Appunti per gli studenti di Programmazione I e Laboratorio (corsi A-B)

Cenni di programmazione ricorsiva. Appunti per gli studenti di Programmazione I e Laboratorio (corsi A-B) Cenni di programmazione ricorsiva Appunti per gli studenti di Programmazione I e Laboratorio (corsi A-B) Corso di Laurea in Informatica Università di Pisa A.A. 2009/10 R. Barbuti, P. Mancarella Indice

Dettagli

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim

Dettagli

ESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte).

ESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte). ESERCIZI SU FUNZIONI. 1) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita y = f(x)= x +1 se x 0 -x 2 +1 se x < 0. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile

Dettagli

1 Relazioni. Definizione Una relazione R su un insieme A si dice relazione d ordine se gode delle proprietà 1), 3), 4).

1 Relazioni. Definizione Una relazione R su un insieme A si dice relazione d ordine se gode delle proprietà 1), 3), 4). 1 Relazioni 1. definizione di relazione; 2. definizione di relazione di equivalenza; 3. definizione di relazione d ordine Definizione Una corrispondenza tra due insiemi A e B è un sottoinsieme R del prodotto

Dettagli

Prima lezione. Gilberto Bini. 16 Dicembre 2006

Prima lezione. Gilberto Bini. 16 Dicembre 2006 16 Dicembre 2006 Vediamo alcune nozioni di teoria ingenua degli insiemi. Vediamo alcune nozioni di teoria ingenua degli insiemi. Un insieme è una collezione di oggetti di cui possiamo specificare una proprietà

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle probabilità per il corso di Laurea in Ingegneria per la parte di Elementi

Dettagli

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica Facoltà di Ingegneria Precorso di Matematica Parte I : Fondamenti di Matematica 1. Teoria degli insiemi e cenni di logica Il concetto di insieme costituisce l elemento fondante di gran parte delle esposizioni

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

Il lemma di Baire e i teoremi di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso.

Il lemma di Baire e i teoremi di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso. Il lemma di Baire e i teoremi di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso. SEMINARIO 2 AM310 a cura di Sara Rossicone e Maria Chiara Timpone 1 Lemma di Baire Definizione 1 (Spazio di Banach).

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo. Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione

Dettagli

ALGEBRA 1 PB-Z X. 25 V 2012

ALGEBRA 1 PB-Z X. 25 V 2012 ALGEBRA 1 PB-Z X. 25 V 2012 Esercizio 1. Sia A un dominio d integrità unitario e a ideali principali. Si mostri che, per un ideale di A, esser massimale è equivalente a esser primo ( 1 ). Soluzione. La

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

I2. Relazioni e funzioni

I2. Relazioni e funzioni I2. Relazioni e funzioni I2. Relazioni Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Esempio I2. Dati gli insiemi ={ldo, runo, Carlo} e ={nna, arbara} si consideri la relazione, espressa in

Dettagli

Il sistema dei numeri reali

Il sistema dei numeri reali Il sistema dei numeri reali Appunti per il corso di Analisi Matematica 1, C.L. Matematica e C.L. Fisica, Università di Parma a.a. 015/16 Marino Belloni & Stefano Panizzi 1 Relazioni d ordine Dato un insieme

Dettagli

COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI

COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI Si vuole arrivare alla descrizione completa dell insieme dei numeri reali R per via assiomatica partendo dall insieme dei numeri naturali N e passando attraverso

Dettagli

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012 Analisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 212 Indice Capitolo 1. Programma 5 Capitolo 2. Convergenza uniforme 7 1. Convergenza uniforme e continuità 7 2. Criterio di Abel Dirichlet

Dettagli

Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg è uno dei fondamenti della meccanica quantistica, e stabilisce che non è possibile ottenere nello stesso tempo

Dettagli