La geometria euclidea

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1 Indice Geometria e misura unità 1 La geometria euclidea Enti e assiomi fondamentali 2 Semiretta e segmento 8 onfronto e operazioni fra segmenti 13 Ricorda 18 Esercizi di riepilogo 19 Scheda di autoverifica 25 Esercizi di recupero 260 Esercizi di potenziamento 262 VIII unità 2 Gli angoli Indice he cos è un angolo 28 La bisettrice di un angolo, 29; Vari tipi di angoli, 29 onfronto e operazioni fra angoli 35 ngoli complementari, supplementari ed esplementari 40 Ricorda 42 Esercizi di riepilogo 43 Scheda di autoverifica 49 Esercizi di recupero 263 Esercizi di potenziamento 265 unità 3 Rette parallele e perpendicolari Rette parallele 52 Un importante proprietà delle rette parallele, 53 Rette perpendicolari 56 sse, distanza e proiezioni ortogonali 59 Ricorda 64 Esercizi di riepilogo 65 Scheda di autoverifica 69 Esercizi di recupero 267 Esercizi di potenziamento 269 unità 4 Il sistema metrico decimale Il Sistema Internazionale di Misura 72 Lunghezza, superficie e volume 74 La lunghezza, 74; La superfi cie, 75; Il volume, 76 Massa, peso e capacità 82 Operazioni e problemi con le misure 86 Problemi con le misure decimali, 88

2 Ricorda 95 Esercizi di riepilogo 96 Scheda di autoverifica 105 Esercizi di recupero 271 Esercizi di potenziamento 273 unità 5 Sistemi di misura non decimali La misura delle ampiezze 108 Operazioni con le misure angolari 112 Riduzione in forma normale, 112; Riduzione nell unità di ordine inferiore, 112; Somma di misure angolari, 112; ifferenza di misure angolari, 113; Moltiplicazione di una misura angolare per un numero intero, 113; ivisione di una misura angolare per un numero intero, 113 La misura del tempo 117 Operazioni con le misure angolari, 117; Riduzione in forma normale, 118; Riduzione nell unità di ordine inferiore, 118; ddizione, 118; Sottrazione, 118; Moltiplicazione per un numero intero, 118; ivisione per un numero intero, 118 Ricorda 120 Esercizi di riepilogo 121 Scheda di autoverifica 131 Esercizi di recupero 276 Esercizi di potenziamento 279 IX Indice unità 6 I poligoni unità alla spezzata ai poligoni 134 Proprietà generali di un poligono 140 ongruenza e isoperimetria 145 Ricorda 148 Esercizi di riepilogo 149 Scheda di autoverifica 157 Esercizi di recupero 282 Esercizi di potenziamento I triangoli Il triangolo 160 lassifi cazione dei triangoli, 161; Il perimetro dei triangoli, 162 Triangoli congruenti 168 Primo criterio, 168; Secondo criterio, 169; Terzo criterio, 169 ltezze e ortocentro 172 isettrici e incentro 174 Mediane e baricentro 176 ssi e circocentro 178 Particolari proprietà 180 Ricorda 183 RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

3 Esercizi di riepilogo 184 Scheda di autoverifica 193 Esercizi di recupero 289 Esercizi di potenziamento 292 X unità 8 I quadrilateri I poligoni con quattro lati 196 I trapezi 199 I parallelogrammi 203 Il rettangolo, 203; Il rombo, 204; Il quadrato, 204 Il deltoide 211 Ricorda 213 Esercizi di riepilogo 214 Scheda di autoverifica 227 Esercizi di recupero 295 Esercizi di potenziamento 299 Indice unità 9 Le trasformazioni isometriche ongruenza e isometria 230 La traslazione 232 La rotazione 235 La simmetria centrale e assiale 238 La simmetria centrale, 238; La simmetria assiale, 239 omposizione di isometrie 245 Ricorda 248 Esercizi di riepilogo 249 Scheda di autoverifica 257 Esercizi di recupero 302 Esercizi di potenziamento 305 Verifichiamo... le competenze Utilizzare linguaggio e simboli matematici Eseguire calcoli aritmetici Risolvere problemi aritmetici Organizzare e rappresentare dati Usare il linguaggio grafico della matematica Misurare grandezze Risolvere problemi di geometria piana 332 In preparazione alle prove INVLSI 335 pparati 355 Soluzioni delle Schede di autoverifica 356 Glossario 359 Tavole numeriche 361

4 1 Geometria e misura unità La geometria euclidea ontenuti Enti e assiomi fondamentali Semiretta e segmento onfronto e operazioni fra segmenti Prerequisiti apacità di osservare e confrontare Obiettivi onoscenze Gli enti fondamentali della geometria euclidea, le loro proprietà e le caratteristiche I concetti di semiretta e segmento e le loro caratteristiche bilità Individuare e rappresentare gli enti fondamentali della geometria Riconoscere e disegnare punti, rette, semirette, segmenti e spezzate Riconoscere e disegnare segmenti consecutivi, adiacenti, incidenti e coincidenti onfrontare segmenti Operare sui segmenti Materiali di matematica in Mappa interattiva udioripasso

5 Enti e assiomi fondamentali Osserviamo la realtà che ci circonda: VVENTUR 2 Geometria e misura una palla, un libro, una scatola, una matita, un bicchiere, un vaso, un quadro, una candela,. Ognuno di questi oggetti ha proprietà e caratteristiche che lo distinguono da un altro: la forma, la grandezza, il colore, il peso, la posizione che occupa, il materiale di cui è fatto, le trasformazioni che può subire,. Fra tutte le caratteristiche e proprietà che può avere un oggetto ci sono la forma, la grandezza e le trasformazioni che può subire; queste proprietà sono dette proprietà geometriche e se ne occupa la geometria. iciamo che: VVENTUR la grandezza la forma La geometria è la scienza che studia le proprietà geometriche dei corpi che ci circondano, cioè la forma e la grandezza e le trasformazioni che possono subire. le trasformazioni La geometria che adesso studieremo è detta euclidea, dal nome del grande matematico greco Euclide, vissuto nel III secolo a.. Euclide, nel suo trattato Elementi (vedi Nella storia ), fonda lo studio di tutta la geometria sugli enti fondamentali o primitivi, ovvero su tre entità geometriche non definibili ma da tutti intuitivamente comprensibili: il punto, la retta e il piano.

6 rriviamo a questi enti fondamentali osservando, ad esempio, le facce, gli spigoli e i vertici di un dado: un qualsiasi vertice del nostro dado ci dà l idea di punto; un qualsiasi spigolo ci dà l idea di retta; una qualsiasi faccia ci dà l idea di piano. spigolo retta vertice punto faccia piano Sono modelli materiali di punto il segno lasciato da una matita appuntita, un granello di sabbia ecc. Per indicare un punto si usano le lettere maiuscole dell alfabeto italiano:,,,. iciamo che: Esercizi pag. 19 Il punto, il primo ente fondamentale della geometria, è un concetto primitivo privo di effettiva definizione. Esso non ha alcuna dimensione. 3 Sono modelli materiali di retta la traccia lasciata da una matita che scorre diritta su un foglio, un sottile raggio di luce, la linea dell orizzonte ecc. Per indicare una retta si usano le lettere minuscole dell alfabeto italiano: a, b, c,. iciamo che: a 1. La geometria euclidea La retta, il secondo ente fondamentale, è immaginabile come un insieme continuo e infinito di punti avente sempre la stessa direzione. Essa ha una sola dimensione: la lunghezza. Sono modelli materiali di piano il pavimento di una stanza, la superficie di un foglio, il piano di un tavolo ecc. Per indicare un piano si usano le lettere minuscole dell alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta),. iciamo che: lunghezza Il piano, il terzo ente fondamentale, è immaginabile come un insieme continuo e infinito di rette. Esso ha due sole dimensioni: la lunghezza e la larghezza. Gli enti fondamentali ci hanno introdotto allo studio della geometria euclidea, che adesso approfondiremo con il metodo del grande Euclide, il metodo assiomatico-deduttivo. In che cosa consiste questo metodo? Il significato di assiomatico, evidente e certamente vero, e di deduttivo, derivato da un ragionamento logico e razionale, ci suggeriscono la risposta. larghezza RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

7 Il metodo assiomatico-deduttivo consiste nel porre alla base di una trattazione dei concetti universalmente accettati, gli enti fondamentali, e delle considerazioni evidenti e certamente vere, gli assiomi; da questi enti e assiomi, con ragionamenti logici e dimostrabili, arrivare a deduzioni vere con le quali completare la trattazione. asandoci su questo metodo, facciamo adesso alcune importanti considerazioni sulla retta esaminando gli assiomi euclidei che stanno alla base della nostra geometria. 1. Fissiamo un punto nel piano, quante rette passanti tutte per questo punto possiamo disegnare? Infinite. iciamo che: Per un punto passano infinite rette, o un fascio di rette. 4 Geometria e misura 2. Fissiamo due punti distinti e nel piano, quante rette passanti tutte per questi due punti possiamo disegnare? Una e una sola. iciamo che: Per due punti distinti passa una e una sola retta. 3. Fissiamo tre punti distinti, e nel piano, quante rette passanti tutte per questi tre punti possiamo disegnare? Se i tre punti sono allineati, una e una sola, se i tre punti non sono allineati, nessuna. iciamo che: Per tre punti allineati passa una e una sola retta, per tre punti non allineati non passa alcuna retta. 4. Fissiamo tre punti, e allineati e consideriamo l unica retta a che li unisce. Per quest unica retta a, quanti piani passano? Infiniti. iciamo che: a Per tre punti allineati, o per una retta, passano infiniti piani, ovvero un fascio di piani. 5. Fissiamo tre punti, e non allineati, quanti piani passano per questi tre punti? Passerà uno e un solo piano. Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

8 Ma poiché tre punti non allineati in un piano possono rappresentare una o due rette, diciamo che: Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. Per una retta e un punto fuori di essa passa uno e un solo piano. Per due rette che si incontrano in un punto passa uno e un solo piano. Esercizi pag. 19 nella storia Il più importante e ancora attuale libro di matematica che la storia ci tramanda si deve ad uno dei più grandi matematici della storia, il grande Euclide. opo la morte di lessandro Magno, lessandria d Egitto diventa il più importante centro culturale. Il suo Museo, con la ricchissima iblioteca, diventa uno dei più celebri istituti culturali dell antichità. Organizzato come le nostre università, nel Museo vi tengono lezioni professori pagati dallo Stato che si dedicano totalmente all insegnamento e alla ricerca scientifica. Euclide è uno di questi professori e spetta a lui il merito di aver fondato la Scuola matematica di lessandria. Fra le sue opere, che abbracciano non solo matematica, ma anche musica, astronomia e ottica, l opera principale, Stoikèia, ovvero Elementi, è formata da tredici libri e rappresenta il primo vero trattato a carattere espositivo-didattico della matematica. Il grande valore di quest opera è quello di aver rielaborato in forma chiara e sistematica tutto il lavoro compiuto in secoli di ricerca matematica, di aver dato un ordine agli argomenti, di aver introdotto la dimostrazione dei singoli teoremi che descrive, ma soprattutto di aver dato le fondamenta al metodo assiomatico-deduttivo. Euclide infatti ha posto alla base del suo studio alcuni enti e alcune considerazioni evidentemente certi, cioè assiomatici o indiscutibili, e da questi ha dedotto con ragionamenti logici tutte le conseguenze che saranno altrettanto logiche e vere. La geometria descritta in questa immensa opera, detta appunto euclidea, è quella ancora oggi studiata anche se non è, come vedremo più avanti, la sola geometria esistente. Particolare della Scuola di tene di Raffaello: Euclide intento a discutere di geometria con alcuni allievi. Una pagina degli Elementi di Euclide (manoscritto del 300) La geometria euclidea

9 6Geometria e misura acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. he cosa è la geometria? 2. ompleta. Punto, retta e piano sono..... Il punto è., esso ha dimensione. La retta è, essa ha dimensione. Il piano è, esso ha dimensioni. 3. Rispondi alle seguenti domande. Quante rette passano per un punto?.... Quante rette passano per due punti distinti?..... Quante rette passano per tre punti allineati?.. Quante rette passano per tre punti non allineati? ompleta. Per tre punti allineati, o per una retta, passano piani. 5. Rispondi alle seguenti domande. Quanti piani passano per tre punti non allineati?. Quanti piani passano per una retta e un punto fuori di essa?... Quanti piani passano per due rette che si incontrano in un punto?... verifica le tue abilità. 6. Osserva le figure e scrivi alcune loro proprietà geometriche e non geometriche. Proprietà non geometriche: Proprietà geometriche: Proprietà non geometriche: Proprietà geometriche: Proprietà non geometriche: Proprietà geometriche: Proprietà non geometriche: Proprietà geometriche:

10 7. Nella figura data disegna: tutte le rette che passano per il punto ; tutte le rette che passano per i punti e ; tutte le rette che passano per i punti, e. 8. Nella figura data disegna: tutte le rette che passano per il punto ; tutte le rette che passano per i punti e ; tutte le rette che passano per i punti, e. Esercizi pag Osserva la figura e individua le rette a, b, c e d sapendo che: le rette a e b hanno in comune il punto ; le rette b e c hanno in comune il punto ; le rette c e d hanno in comune il punto ; le rette a e d hanno in comune il punto. 1. La geometria euclidea 10. isegna tre rette a, b e c tali che: a e b abbiano in comune il punto ; c e b abbiano in comune il punto ; a e c non abbiano alcun punto in comune. 11. isegna quattro rette a, b, c e d tali che: b e c abbiano in comune il punto ; a abbia in comune con b il punto e in comune con c il punto ; d abbia in comune con b il punto e in comune con c il punto. 12. isegna tutti i piani che passano per i punti dati nella figura a fianco.

11 Semiretta e segmento Se disegniamo una retta r e su di essa un punto, osserviamo che la retta r viene divisa dal punto in due parti, ciascuna delle quali inizia dal punto, si trova da parti opposte rispetto ad e continua all infinito dall altra parte. hiamiamo queste due parti in cui la retta viene divisa dal punto semirette di origine. Semiretta Semiretta r Queste due semirette di origine hanno la stessa direzione, uguale a quella della retta r, ma verso opposto. iciamo che: 8 La semiretta è ciascuna delle parti in cui una retta viene divisa da un punto che si dice origine della semiretta; essa è quindi ancora infinita, ha un inizio ma non una fine, e ha una sola dimensione: la lunghezza. Geometria e misura Su una retta r disegniamo adesso due punti e e consideriamo le tre parti in cui la retta resta divisa da questi due punti. Semiretta Segmento Semiretta a verso sinistra abbiamo una semiretta, da verso destra un altra semiretta, tra queste due semirette una parte di retta limitata dai due punti e. hiamiamo quest ultima parte di retta segmento di estremi e, lo indichiamo con e diciamo che: Il segmento è una parte finita di retta limitata da due punti che si dicono estremi del segmento. Esso ha quindi un inizio, una fine e una sola dimensione: la lunghezza. r onsideriamo due segmenti e osserviamone la posizione. Se i segmenti e hanno un estremo in comune, si dicono consecutivi: Se i segmenti e sono consecutivi e appartengono alla stessa retta, si dicono adiacenti: Se i segmenti e hanno in comune un punto che non è un loro estremo, si dicono incidenti: P Se i segmenti e hanno entrambi gli estremi in comune, si dicono coincidenti:

12 esempi 1. Nella figura a fianco: i segmenti e sono incidenti; i segmenti e E sono consecutivi. E 2. Nella figura a fianco: i segmenti e sono adiacenti; i segmenti e sono consecutivi. ue o più segmenti consecutivi formano una particolare figura geometrica detta poligonale o spezzata. Esercizi pag. 19 I segmenti che formano la spezzata sono i lati della spezzata, gli estremi dei vari segmenti sono i vertici della spezzata, il primo e l ultimo vertice sono gli estremi della spezzata. lato estremi vertice Una spezzata si indica scrivendo in successione le lettere dei suoi vertici, quella che abbiamo disegnato è la spezzata EF. Una spezzata può essere aperta, chiusa, semplice o intrecciata. Si dice: aperta se il primo e l ultimo segmento non sono consecutivi (i due estremi quindi non coincidono); chiusa se il primo e l ultimo segmento sono consecutivi (i due estremi quindi coincidono); semplice se i segmenti non si incontrano in alcun altro punto oltre gli estremi; intrecciata se i segmenti si incontrano in altri punti oltre gli estremi. E F 9 1. La geometria euclidea Spezzata semplice aperta Spezzata semplice chiusa Spezzata intrecciata aperta Spezzata intrecciata chiusa

13 acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. ompleta. La semiretta è. che si dice della semiretta; essa è e ha una sola.. : la ompleta. Il segmento è una che si dicono del segmento. Esso è. e ha una sola. : la Quando due segmenti si dicono consecutivi? Quando due segmenti si dicono adiacenti?.... Geometria e misura 5. Quando due segmenti si dicono incidenti?.. 6. Quando due segmenti si dicono coincidenti?. 7. ompleta. Si chiama spezzata ompleta. Una spezzata si dice: aperta se ; chiusa se ; semplice se ; intrecciata se.. verifica le tue abilità. 9. Osserva la figura, quante sono le semirette aventi l origine nel punto P? 10. Individua tutte le parti in cui le rette a, b, c e d vengono divise dai loro punti di intersezione. P a b c d

14 Indica le semirette e i segmenti che si individuano nelle figure date nei seguenti esercizi Per ogni coppia di segmenti assegnati individua se sono consecutivi, adiacenti o incidenti. 15. Esercizi pag La geometria euclidea isegna un segmento consecutivo e uno adiacente per ciascun segmento dato.

15 acciamo il punto Nei seguenti esercizi individua tutti i segmenti a due a due consecutivi e a due a due adiacenti E E O Segmenti consecutivi: Segmenti adiacenti: Segmenti consecutivi: Segmenti adiacenti: 12 Geometria e misura 21. Osserva la figura e scrivi tutti i segmenti consecutivi al segmento. F H G 23. Osserva le figure e individua i vari tipi di spezzata. E L N M 22. Osserva la figura e scrivi tutti i segmenti adiacenti al segmento. E I L M F G 24. isegna nel riquadro una spezzata semplice chiusa, una spezzata intrecciata chiusa, una spezzata semplice aperta e una spezzata intrecciata aperta.

16 onfronto e operazioni fra segmenti he cosa significa confrontare due segmenti? ati due segmenti qualsiasi, e, confrontarli significa stabilire se hanno la stessa lunghezza o quale dei due ha lunghezza maggiore. Per far ciò bisogna sovrapporre i segmenti senza deformarli e in modo da far coincidere un estremo, ad esempio, e osservare l altro estremo. Se anche l altro estremo coincide, i due segmenti hanno la stessa lunghezza e si dicono congruenti: = Se l altro estremo non coincide e l estremo del segmento è interno al segmento, il segmento è minore di : < Esercizi pag Se l altro estremo non coincide e l estremo del segmento è esterno al segmento, il segmento è maggiore di : > per riflettere 1. La geometria euclidea Sovrapporre due segmenti senza deformarli non è del tutto semplice, per confrontare due segmenti, e, si ricorre quindi all uso del compasso. Osserva: si apre il compasso in modo da far coincidere le due punte con gli estremi del segmento ; mantenendo fissa l apertura, si porta il compasso sul segmento facendo coincidere una punta con l estremo, l altra punta del compasso può: coincidere con, i due segmenti si dicono congruenti: = ; essere interna a, il segmento è minore di : < ; essere esterna a, il segmento è maggiore di : >. RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

17 Oltre a confrontare due segmenti, può essere necessario saper determinare il segmento somma o il segmento differenza di due segmenti dati o anche il multiplo o il sottomultiplo di un segmento. Vediamo come operare. Siano MN e PQ i due segmenti di cui si vuole determinare la somma. Riportiamoli entrambi su una retta in modo che risultino adiacenti, resta individuato il segmento MQ, che è il segmento somma di MN e PQ, e si scrive: MQ = MN + PQ M M P N P N Q Q Se si vuole determinare la somma di più di due segmenti, dati in un certo ordine, si determina la somma del primo e del secondo, poi la somma del segmento ottenuto con il terzo e così via di seguito. 14 Geometria e misura Siano e i due segmenti non congruenti di cui si vuole determinare la differenza. Riportiamoli entrambi su una retta in modo da far coincidere l estremo di con l estremo di, resta individuato il segmento, che è il segmento differenza di e, e si scrive: = ato un segmento, ad esempio il segmento, possiamo disegnare più segmenti congruenti alla somma di due, tre, segmenti tutti congruenti al segmento. Osserva. Possiamo scrivere = 2 e EF = 3 e diciamo che: è multiplo di secondo il numero 2; EF è multiplo di secondo il numero 3. E F Viceversa, possiamo scrivere = 1 2 e = 1 EF e diciamo che: 3 è sottomultiplo di secondo il numero 2; è sottomultiplo di EF secondo il numero 3. In generale: Un segmento è multiplo di un segmento E secondo il numero n se = ne. Un segmento E è sottomultiplo di un segmento secondo il numero n se E = 1 n.

18 acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. Se sovrapponendo due segmenti e in modo tale che coincida con, osserviamo che anche coincide con, come sono i due segmenti?. 2. Se sovrapponendo due segmenti e in modo tale che coincida con, osserviamo che l estremo è interno al segmento, come sono i due segmenti?. 3. Se sovrapponendo due segmenti e in modo tale che coincida con, osserviamo che l estremo è esterno al segmento, come sono i due segmenti?. 4. Segna il completamento esatto. Un segmento è multiplo di un segmento E secondo il numero n se: = ne E = n = 1 n E E = 1 n Esercizi pag verifica le tue abilità. onfronta le coppie di segmenti assegnati nei seguenti esercizi e inserisci al posto dei puntini il simbolo >, < o =. 5. F L G P M 1. La geometria euclidea E H N GH EF LM NP 6. F L M G H N E P GH EF LM NP 7. isegna tre segmenti, ed EF tali che > e > EF. Qual è la giusta relazione fra ed EF? Segnala. < EF > EF = EF 8. isegna tre segmenti, ed EF tali che < ed EF >. Qual è la giusta relazione fra ed EF? Segnala. < EF > EF = EF

19 acciamo il punto 9. isegna nell apposito riquadro: due segmenti e adiacenti e tali che = ; due segmenti EF e GH consecutivi e tali che EF < GH; due segmenti NM e PQ incidenti e tali che NM > PQ. 10. onfronta i segmenti dati e sistemali in ordine decrescente. E F 16 Geometria e misura 11. onfronta i segmenti assegnati e metti il simbolo <, > o = al posto dei puntini. + E; EF + GH FG; + + GH + E; FG + GH EF + E. 12. ati i segmenti, ed FG, disegna il segmento MN tale che: MN = + FG 13. ati i segmenti, ed FG, disegna il segmento MN tale che: MN = ( FG) + ( FG) F E F H G G F G 14. ati i segmenti, e E, disegna sul tuo quaderno i segmenti richiesti. E F + ; + EF; + EF; + + EF. 15. ati i segmenti, e E, disegna sul tuo quaderno, se possibile, i segmenti richiesti. E F ; EF; EF;. 16. isegna un segmento e il suo multiplo secondo il numero 3. ompleta poi le seguenti scritture: =, =.

20 17. isegna un segmento e il suo multiplo secondo il numero 6. ompleta poi le seguenti scritture: =, =. 18. isegna un segmento e il suo sottomultiplo secondo il numero 4. ompleta poi le seguenti scritture: =, =. 19. isegna un segmento e il suo sottomultiplo secondo il numero 5. ompleta poi le seguenti scritture: =, =. ompleta le affermazioni date nei seguenti esercizi. 20. Se = 5 allora =. 22. Se = 7 allora =. 21. Se = 1 7 ; allora =. 23. Se = 1 allora =. 5 Esercizi pag. 19 Per ciascuno dei segmenti dati nei seguenti esercizi disegna i segmenti richiesti = 2 ; EF = = 3 ; EF = = 4 ; EF = = ; EF = ati i segmenti e disegna sul tuo quaderno, se possibile, i segmenti richiesti. 29. ati i segmenti EF e MN disegna sul tuo quaderno, se possibile, i segmenti richiesti La geometria euclidea E F M N + ; 3; 1 4 EF MN; 1 2 EF; 2MN 30. ati i segmenti, ed EF disegna sul tuo quaderno, se possibile, i segmenti richiesti. E F + ; 3 ; + EF; + EF; 1 EF; EF; ; 1 2EF; 3 EF; EF; 1 EF ; 2 EF.

21 ricorda 1 La geometria è la scienza che studia le proprietà geometriche dei corpi che ci circondano, cioè la forma e la grandezza e le trasformazioni che possono subire. Il punto è il primo ente fondamentale della geometria e non ha alcuna dimensione. La retta è il secondo ente fondamentale, è immaginabile come un insieme continuo e infinito di punti avente sempre la stessa direzione e ha una sola dimensione: la lunghezza. Il piano è il terzo ente fondamentale, è immaginabile come un insieme continuo e infinito di rette e ha due sole dimensioni: la lunghezza e la larghezza. 18 Geometria e misura Per un punto passano infinite rette, o un fascio di rette. Per due punti distinti passa una e una sola retta. Per tre punti allineati passa una e una sola retta, per tre punti non allineati non passa alcuna retta. Per tre punti allineati, o per una retta, passano infiniti piani, ovvero un fascio di piani. Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. Per una retta e un punto fuori di essa passa uno e un solo piano. Per due rette che si incontrano in un punto passa uno e un solo piano. 2 3 La semiretta è ciascuna delle parti in cui una retta viene divisa da un punto che si dice origine della semiretta; essa è quindi ancora infinita, ha un inizio ma non una fine, e ha una sola dimensione: la lunghezza. Il segmento è una parte finita di retta limitata da due punti che si dicono estremi del segmento. Esso ha quindi un inizio, una fine e una sola dimensione: la lunghezza. 4 ue o più segmenti consecutivi formano una poligonale o spezzata. Essa può essere: aperta se il primo e l ultimo segmento non sono consecutivi (i due estremi quindi non coincidono); chiusa se il primo e l ultimo segmento sono consecutivi (i due estremi quindi coincidono); semplice se i segmenti non si incontrano in alcun altro punto oltre gli estremi; intrecciata se i segmenti si incontrano in altri punti oltre gli estremi.

22 esercizi di riepilogo 1. Esaminando un bicchiere, Federica ha detto che: è di vetro. è alto 12 cm. è di colore azzurro. pesa 12 g. è cilindrico. è fragile. Quali delle affermazioni di Federica possono essere considerate proprietà geometriche del bicchiere? Segnale. 2. ella figura a fianco scrivi una proprietà non geometrica e una proprietà geometrica. Proprietà non geometrica:. Proprietà geometrica:.. Teoria da pag. 2 a pag Segna le proprietà geometriche che riguardano le figure assegnate. I due libri: hanno colore diverso. hanno la stessa forma. hanno lo stesso spessore. I due palloncini: hanno forma diversa. hanno lo stesso colore. hanno grandezza diversa La geometria euclidea ola I due barattoli: hanno la stessa forma. sono di materiale diverso. hanno la stessa capacità. 4. Osserva i seguenti disegni e individua in essi gli enti geometrici fondamentali. LTTE

23 esercizi di riepilogo onsidera i gruppi di punti assegnati nei seguenti esercizi. ongiungili a due a due e determina il numero di rette che si possono disegnare E Sulla retta assegnata disegna tre punti distinti, e. Geometria e misura In quante parti viene divisa la retta? ome si chiamano tali parti?.... Osserva le figure dei seguenti esercizi e completa le relazioni con i simboli,, e a a a; a; a; a; a; a; a; ;. ; ; ; a. Nei seguenti esercizi segna i completamenti esatti. 12. I due segmenti sono adiacenti. consecutivi. né l uno né l altro. 13. I due segmenti sono adiacenti. consecutivi. né l uno né l altro. 14. I due segmenti sono adiacenti. consecutivi. né l uno né l altro.

24 scheda di autoverifica 1. La geometria euclidea Nome... ognome... lasse ompleta. Gli enti fondamentali su cui si basa la geometria euclidea sono:, e. 2. Quante e quali dimensioni ha: a. il punto b. la retta c. il piano 3. Segna il completamento esatto. Per un punto: a. passano infinite rette. b. passa una sola retta. c. non passa alcuna retta Segna il completamento esatto. Per due punti distinti: a. passano infinite rette. b. passa una sola retta. c. non passa alcuna retta. 5. Segna il completamento esatto. Per tre punti allineati: a. passano infiniti piani. b. non passa alcun piano. c. passa un solo piano. 6. Segna il completamento esatto. Per tre punti non allineati: a. passano infiniti piani. b. non passa alcun piano. c. passa un solo piano. 7. Segna il completamento esatto. iascuna delle parti in cui una retta viene divisa da un punto si chiama: a. spezzata. b. semiretta. c. segmento. 8. Vero o falso? Scrivilo accanto a ciascuna affermazione. a. ue segmenti che hanno un estremo in comune si dicono incidenti. b. ue segmenti consecutivi e che appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti. c. ue segmenti con in comune un punto che non è un loro estremo si dicono coincidenti.

25 scheda di autoverifica 9. Osserva la figura e segna l affermazione esatta. a. È una spezzata semplice aperta. b. È una spezzata intrecciata aperta. c. È una spezzata semplice chiusa. d. È una spezzata intrecciata aperta. 10. Osserva la figura e segna l affermazione esatta. a. Sono due segmenti adiacenti. b. Sono due segmenti incidenti. c. Sono due segmenti consecutivi. d. Sono due segmenti coincidenti Osserva la figura e segna l affermazione esatta. E F a. Il segmento EF è la somma dei segmenti e. b. Il segmento EF è la differenza dei segmenti e. c. Il segmento EF è un multiplo dei segmenti e. 12. Osserva la figura e segna l affermazione esatta. a. Il segmento è maggiore del segmento. b. Il segmento è multiplo del segmento. c. Il segmento è sottomultiplo del segmento. 13. Osserva la figura e segna l affermazione esatta. a. Il segmento è multiplo del segmento secondo il numero 3. b. Il segmento è multiplo del segmento secondo il numero 2. c. Il segmento è sottomultiplo del segmento secondo il numero 2. ssegnati 1 punto per ogni risposta esatta. Punteggio conseguito... / 17 Se il tuo punteggio è inferiore a 12, svolgi gli esercizi di recupero, altrimenti passa agli esercizi di potenziamento che trovi in fondo al volume.

26 Esercizi di recupero Una consistente serie di esercizi, unità per unità, fi nalizzati al recupero delle nozioni matematiche acquisite. La gradualità delle diffi coltà e i numerosi esercizi guidati consentono un agevole percorso di apprendimento. Esercizi di potenziamento Una consistente serie di esercizi, unità per unità, fi nalizzati al potenziamento delle nozioni matematiche acquisite e completati da esercizi tratti, in gran parte, dalle Olimpiadi della Matematica.