Risultati esperienza sul lancio di dadi Ho ottenuto ad esempio:

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1 Dado B (6): Somma A+B (9):

2 Faccia n Eventi frequenza relativa f n f F f /100= /100= /100= /100=0.28 Il risultato ottenuto riflette il fatto che le facce del dado sono tutte equamente accessibili

3 Come differisce il risultato ottenuto da quello atteso? Ci aspettavamo: Faccia n Eventi frequenza relativa x F x f x = F x / N /100= /100= /100= /100=0.28 F 1 =F 2 =F 3 =F Infatti, se N è il numero di lanci, assumo che: F P x = lim x N "# N P x ha significato di probabilità Il risultato ottenuto riflette il fatto che le facce del dado sono tutte equamente accessibili

4 ! Sia x i il numero corrispondente alla faccia uscita nel lancio i-esimo. Possiamo calcolare il valor medio dei risultati ottenuti come: oppure: x = x = x max # x= x min x max # x= x min N " i=1 N x " F x F x x i = K+1 = 100 = " " " " = 2.58

5 Il valore atteso sarà: x = lim N "# = x max % x= x min x max % x= x min x max % f = x min x $ P x P x x max x $ F x ( N) =L % F x N x= x min ( ) x max = % x $ P x =L x= x min OK? =1$ $ $ $ 0.25 = 2.5

6 !! Sarà utile definire la grandezza = = x max $ x= x min N $ i=1 ( x i # x) 2 N (x # x) 2 % F x =L = (1" 2.58)2 # 24 + (2 " 2.58) 2 # 22 + (3 " 2.58) 2 # 26 + (4 " 2.58) 2 # "1.133 N =L =K scarto quadratico medio dal valor medio dei dati

7 !! Ancora meglio la grandezza = = x max $ x= x min N $ i=1 ( x i # x) 2 N #1 (x # x) 2 % F x N #1 =L =L = (1" 2.58)2 # 24 + (2 " 2.58) 2 # 22 + (3 " 2.58) 2 # 26 + (4 " 2.58) 2 # " Deviazione Standard =K

8 La deviazione standard σ x ci fornisce un indicazione della larghezza della distribuzione dei valori ottenuti (rappresentata con l istogramma) attorno al valore medio x. x = 2.58 x A = 2.5 #1.139 " A =?!

9 La deviazione standard σ x fornisce dunque un indicazione della discrepanza tra valore ottenuto e valore medio x che potrò attendermi ad ogni singolo lancio. x = 2.58 x A = 2.5 #1.139 " A =? Come ottenerla?!

10 ! Risultati esperienza sul lancio di dadi Per calcolare il valore atteso: " A = lim N #$ = lim N #$ x max & x max & x= x min N & i=1 ( x i % x) 2 N %1 =L (x % x) 2 ' F x ( N) N = (x % x) 2 ' P x x= x min "1.118 =L Deviazione Standard attesa per il dado a (4 facce)

11 ! Risultati esperienza sul lancio di dadi! In alternativa, poiché (come è facile verificare direttamente) si ha: 2 # x 2 $ x 2 il valore atteso può essere ottenuto dai momenti primo e secondo della distribuzione limite attesa. " A = x 2 A # x A " A = 7.5 # $ Deviazione Standard attesa per il dado A (4 facce)

12 Ora ho tutti i parametri di riferimento. Sono soddisfatto del risultato ottenuto? E normale o sorprendente? x = 2.58 x A = 2.5 #1.139 " A #1.118!

13 Sono soddisfatto del risultato ottenuto? E normale o sorprendente? Per il confronto sulla base dei parametri considerati, serve ancora almeno un riferimento che mi dia una scala per le discrepanze della media. x = 2.58 x A = 2.5 #1.139 " A #1.118!

14 ! Sarà utile introdurre la grandezza = N che corrisponde alla deviazione standard per il valore medio su N risultati ottenuti. Nel nostro caso si ha: = = # 0.11 Deviazione standard della media per il risultato dei 100 lanci del dado A!

15 Sono soddisfatto del risultato ottenuto? E normale o sorprendente? La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenuta nella scala di riferimento per le discrepanze della media. x = 2.58 x A = 2.5 # 0.11 #1.139 " A #1.118

16 Dado B (6): Sono soddisfatto del risultato ottenuto? E normale o sorprendente? La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenuta nella scala di riferimento per le discrepanze della media. x = 3.72 x B = 3.5 # 0.19 #1.897 " B #1.700

17 Somma A+B (9): Sono soddisfatto del risultato ottenuto? E normale o sorprendente? La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenuta nella scala di riferimento per le discrepanze della media. x = 6.3 x A +B = 6 # 0.22 # " A +B # 2.035

18 Per inserire i vostri dati ottenuti con il lancio dei dadi, andate al sito:

19 Il modulo on-line non sostituisce la relazione, che è da fare secondo la traccia suggerita in un documento dedicato (che troverete sul sito La traccia prevede in particolare quanto descritto nel seguito della presentazione.

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21 Nel plot 1 dovreste aver osservato una distribuzione uniforme dei valori su tutta l area del grafico. E il segnale che ciascuna misura risulta indipendente dalla successiva e dalla precedente. Questo ci permette di estrarre un valor medio, una deviazione standard ed una deviazione dalla media Risultato dado Numero tiro di Dado Sebbene la cosa sembri una banalità vedremo che in alcune delle esperienze successive questa condizione non è verificata, questo rende molto più problematica l estrazione delle osservabili statistiche

22 Nei plot 2, 3 e 4 Dovreste aver osservato una riduzione delle fluttuazioni con il crescere del numero dei tiri di dado Valor Medio # tiri dado Deviazine standard # tiri dado Osservate che la deviazione standard rimane sostanzialmente costante con il numero di tiri e che, in generale, bastano pochi tiri per avere una stima ragionevole del suo valore Osservate che la deviazione dalla media tende a zero e, diversamente alla deviazione standard, diminuisce all aumentare del numero di tiri. Per la somma dei dadi, gli andamenti dovranno essere ovviamente analoghi

23 Media Dadi media dadi discrepanza errore I due dadi sono uguali? Indipendentemente dal fatto che siano truccati o meno Misura sperimentale arb. units = t = x 1 2 m1 2! +! 2 m2 bisogna usare la Misura sperimentale deviazione dalla media 0 < t < 1 Le due misure sono certamente consistenti i dadi sono uguali 1 < t < 2 Ho tra il 5-30% di probabilità che le due misure siano consistenti Le due misure sono consistenti - i dadi sono uguali 2 < t < 3 Ho tra lo 0.3-5% di probabilità che le due misure siano consistenti Le due misure con molta probabilità non sono consistenti - i dadi con molta probabilità NON sono uguali - sarebbe opportuno fare ulteriori misure t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che le due misure siano consistenti Le due misure non sono consistenti - i dadi NON sono uguali Media Dadi Accelerazione di Gravità (m/s2) Dado 1 Dado 2 Dado 1 Dado arb. units

24 La misura è riprodotta dalla teoria? Valore Atteso Misura sperimentale Valore Atteso Misura sperimentale media dadi media dadi arb. 2units arb. 2units 3 4 t = x teo! m1 1 bisogna usare la deviazione dalla media 0 < t < 1 La teoria ed i dati sono consistenti 1 < t < 2 Ho tra il 5-30% di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti 2 < t < 3 Ho tra lo 0.3-5% di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti

25 ANALISI DEI RISULTATI Se osservo che i due dadi NON sono uguali Perché i due dadi non sono uguali? Leggete il diario della misura log-book Metodo : Le due misure sono state svolte in maniera differente? Li ho tirati in maniera differente? La superficie su cui ho lanciato i due dadi era differente? E successo qualcosa tra le due misure? Altre buone idee? Se non trovo una motivazione di metodo DEVO concludere che i due dadi sono diversi tra loro

26 ANALISI DEI RISULTATI Se la teoria non predice il risultato della misura Difetto nella teoria: la teoria ha trascurato qualche effetto importante o le approssimazioni fatte non sono valide Se trovo un difetto nella teoria o qualche approssimazione di troppo allora correggo la teoria e rifaccio il confronto con i dati sperimentali. Se non riesco a trovare una motivazione fisica, può essere presente un errore sistematico? Rifaccio la misura con una strumentazione differente Cerco irregolarità o inconsistenze nei dati sperimentali Controllo la strumentazione usata su un effetto NOTO Altre buone idee? Se trovo un errore sistematico, lo correggo e rifaccio il confronto con la teoria Ovviamente nel caso dei dadi non può esistere un errore sistematico Nel caso la non consistenza rimanga devo concludere che il modello NON è valido Nel caso specifico il dado non è equiprobabile, è truccato