TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :,

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1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Un rsforzione geoeric del pino in sé è un corrispondenz iunivoc r i puni del pino P P, P P P è l igine di P rispeo ll rsforzione. Ad ogni puno P(,) corrisponde uno ed un solo P (,) e vicevers. Le equzioni di un rsforzione in generle srnno g f,,, dove f e g sono delle funzioni, li d rendere l ppliczione iunivoc. Esepi. è un rsforzione. s non è un rsforzione infi i puni P (,) e P (-,) corrisponde lo sesso puno P (,) e quindi non è un corrispondenz iunivoc. Trsforzione invers Essendo un rsforzione iunivoc, esise nche l rsforzione invers che si indic con con -, ovvero quell rsforzione che l puno P frà corrispondere il puno P. Esepio L rsforzione invers di è Puni unii, ree di puni unii, ree unie. Si definisce puno unio di un rsforzione quel puno P le che (P)P. Per rovre i puni unii s porre e e risolvere il sise. Esepio. D d cui P(,-) è il puno unio di. 6 6 D non ci sono puni unii Si definisce re di puni unii, quell re r che h ui i suoi puni unii rispeo ll rsforzione. D, si oengono coe soluzioni due ree coincideni l re - è un re di puni unii. D un rsforzione e d un curv Γ, le rsforzione rsforerà i puni P dell curv Γ in puni P, ppreneni d un curv Γ. Quindi un rsforzione rsforerà un curv in un curv Γ (Γ). D un generic rsforzione ffine c c ed un curv Γ di equzione coe si rov l equzione dell curv Γ (Γ)?, F Rice. si rov l rsforzione invers

2 (, ) (, ) c ϕ c ψ F, l sosiuzione ϕ,. si effeu nell equzione ψ (, ). si oiene dunque l equzione dell curv Γ (Γ) F ϕ,, ψ, ( ) Si dice re uni (d non confondere con re di puni unii) r, quell re che coincide con l su rsfor (r) r. Dovendo cercre le ree unie, ci si chiede llor quli sono le evenuli ree r q le cui rsfore r ( r) coincidno con le ree sesse? Per rispondere le dond il procedieno nurle poree essere. considero un re generic r q e rovo l equzione dell su rsfor r (), r seguendo il proocollo viso sopr. rovo l equzione dell re rsfor che in generle srà del ipo r q, in cui in generle e q dipendernno d e q. ipongo che le due ree coincidno (cioè r r ) q q e così deerino gli evenuli vlori di e q e di conseguenz le evenuli ree unie. Nel cso delle ree unie però è nche possiile iporre l condizione equivlene, nche se eno nurle, r () r in se ll considerzione se un re è uni, deve coincide con l su rsfor si uilizzndo l rsforzione dire che uilizzndo l rsforzione invers!! In se ques considerzione è nche possiile usre le funzioni dell rsforzione dire (è il procedieno che di solio si us!) per deerinre le ree unie q c ( c ) q I due procedieni evideneene sono equivleni prove verificrlo su degli esepi concrei! Osservzione qundo in un esercizio si richiede solo di deerinre le evenuli ree unie, il secondo procedieno è vnggioso perché non richiede l deerinzione dell rsforzione invers. Esepio. Si ved nche esepio pg.67 Vol. A D, rsforio l re generic r q. Coe? Al poso di e sosiuio i secondi eri delle equzioni dell rsforzione! r q ( ) q q ( ) Poiché le due ree devono coincidere dovreo porre le condizioni ( ) q q q q q q q q q q q q q q

3 L soluzione () ci dice che le ree prllele di equzione q (fscio iproprio) sono ue ree unie. L soluzione () ci dice che l re pricolre è un re uni (è in relà un re di puni unii, vedi esepio precedene). Clssificzione delle ffinià. Si dice ffinià ogni rsforzione di equzioni e c d f Si us porl nche in for ricile nel odo seguene c e d f Affinchè si un rsforzione deve essere inveriile, perno deve essere diverso d zero il deerinne dell rice A. c d Se de(a) >, l ffinià si dice dire. Se de(a) <, l ffinià si dice conrri o inverene. Se S è l re di un figur pin F e S è l re dell figur F rsfor nell ffinià S de ( A) d c S Se ccde per gli eleeni dell rice vlgono le condizioni c d d c r l rsforzione ffine è un siiliudine, con r rpporo di ffinià e r de( A) rsforo in A B, r ( A) rpporo di siiliudine, cioè se il segeno AB viene A B de AB Ogni siiliudine possiede le segueni proprieà conserv il rpporo r le lunghezze conserv le piezze degli ngoli rsfor ree perpendicolri in ree perpendicolri e ree prllele in ree prllele. Trsfor circonferenze in circonferenze Se F è l figur geoeric rsfor di F vlgono le segueni proprieà periero F periero F re F re F ² L coposizione di un ooei e di un isoeri è sepre un siiliudine. Ooei con cenro nellorigine degli ssi Di un nuero rele ed un puno P del pino l ooei di rpporo e di cenro O è quell rsforzione che ssoci P il puno P le che O P OP P(,) P(,)

4 Il nuero è deo rpporo di ooei. L equzione dell rsforzione è ϖ O, Per l ooei coincide con l idenià Per - l ooei coincide con l sieri cenrle rispeo d O Per il ceno O è l unico puno unio dell ooei di rpporo. L ooei ingrndisce o ripicciolisce un figur lscindone l for inler Se > l ooei ingrndisce l figur Se < l ooei ripicciolisce l figur Se > due puni corrispondeni si rovno sull sess seire di origine O. Se > due puni corrispondeni pprengono seiree oppose di origine O. Ooei con cenro C( c, c ) qulunque. Trsforzione che ssoci l puno P il puno P le che C P CP ess può essere vis coe l risulne di re rsforzioni un rslzione di veore v( c, c ), un ooei di cenro O e rpporo e un rslzione di veore v ( c, c ). L equzione dell rsforzione è ( C ) C ϖ C, ( C ) C se si pone p C ( ) q C l ooei ssue l for p ϖ C, q Looei h puni unii? Si, lunico puno unio è il cenro di ooei. Proprieà un ooei rsfor un segeno in un segeno proporzionle un ooei conserv le piezze degli ngoli un ooei rsfor un re in un re d ess prllel Isoerie Se invece per gli eleeni dell rice vlgono le condizioni c d d c l rsforzione ffine è un isoeri. Vi sono quro ipi di isoerie l sieri ssile, l sieri cenrle, l rslzione, l rozione. Se il deerinne vle l isoeri è un rslzione, un sieri cenrle o un rozione. Vle - nel cso dell sieri ssile. Sieri cenrle di cenro C(,). L equzione dell rsforzione è σ C Sieri cenrle rispeo ll origine degli ssi. L equzione dell rsforzione è σ O

5 L sieri cenrle h puni unii? Si, il cenro di sieri. h ree unie? Si, ue le ree pssni per il cenro sono glolene unie. è unffinià? Si, è unffinià dire. Sieri ssile di sse r Fiss nel pino un re r, l sieri ssile rispeo ll re r è quell rsforzione geoeric che ogni puno P f corrispondere il puno P, nel seipino opposo rispeo r e le che r si sse del segeno PP, ossi r pss per il puno edio di PP PP è perpendicolre r. L re r è de sse di sieri. Rispeo d un sse prllelo ll sse () L equzione dell rsforzione è σ Rispeo d un sse prllelo ll sse () L equzione dell rsforzione è σ Rispeo ll iserice del prio e del erzo qudrne L equzione dell rsforzione è σ Rispeo ll iserice del secondo e del quro qudrne L equzione dell rsforzione è σ Sieri rispeo ll re q Per oenere l equzione dell sieri rispeo d un generic re r del pino si sfruno lcune proprieà dell sieri ssile Il puno edio del segeno PP ppriene ll re r q Il coefficiene ngolre di PP deve essere l opposo del reciproco di q q L sieri ssile h puni unii? Si, lsse di sieri (re punulene uni). h ree unie? Si, ue le ree perpendicolri llsse di sieri (ree glolene unie). è unffinià? Si, è unffinià indire. è involuori? si, perché linvers coincide con se sess. Trslzione di veore v(,)

6 Considerio un generico puno A del pino e considerio il veore v (, ) pplico d A, cioè fccio coincidere con A il prio esreo di v e chiio A il puno del pino coincidene con il secondo esreo. L rslzione di veore v è quell rsforzione geoeric che ssoci l puno A il puno A Le equzioni dell rsforzione sono L rslzione h puni unii? Si, se il veore è nullo (in l cso diven unidenià). h ree unie? Si, ue le ree prllele l veore sono glolene unie. le ree corrispondeni sono prllele. l coposizione di due rslzioni è un rslzione vene per veore il veore so dei due veori delle rslzioni. è unffinià? è involuori? Si, è unffinià dire. No, perché linvers non coincide con se sess. GLISSOSIMMETRIA Si chi glissosieri l coposizione di un sieri cenrle con un rslzione di veore prllelo llsse sierico.

7 Trsforzioni Trslzione di veore v (, ) Sieri cenrle di cenro C(,) Sieri cenrle di cenro C (, ) Sieri ssile di sse () Sieri ssile di sse Sieri ssile di sse () Sieri ssile di sse h h Sieri ssile di sse Sieri ssile di sse - Sieri ssile di sse q q q Rozione di cenro C(,) e α 9 Rozione di cenro C(,) e α 9 ( ) ( ) Rozione di cenro C(,) e α 9 Rozione di cenro C(,) e α 9 ( ) ( ) Rozione ngolo α cenro C(,) cosα sinα sinα cosα Rozione ngolo α cenro C(,) cos α sinα ( )sin α cosα Ooei di cenro C(,) e rpporo Ooei di cenro C(,) e rpporo Dilzione ( ) ( ) h In un Dilzione Are h Are In un ooei Are Are

8 Esepi Prole Ruore l iperole equiler di equzione di α 5 rispeo ll origine. cosα sinα Scri l generic rozione R e l su invers R - cosα sinα sinα cosα sinα cosα cos α sinα sin α cosα io che e l su invers - Prole Trslre l prol Do che V(,) VO (, ) Scri l rslzione del veore VO. Dove V è il verice e O l origine degli ssi ( ) ( ) 8 Prole Trslre l funzione Scri l rslzione π sin cos del veore AB (,) π π π π sin( ) cos( ) sin cos cos sin sin

9 Prole Trovre l rsforzione che rsfor l prol γ nell prol γ Sieri cenrle di cenro il puno edio r i due verici Prole 5 L curv γ è sieric rispeo d un cenro? Si C (,) il cenro di sieri incognio. L sieri rispeo ll origine O(,) è d d o σ Perno l sieri rispeo l cenro C è d d Se h un cenro l curv si rsfor per sieri in se sess Uguglindo i coefficieni corrispondeni Quindi il cenro è C(/,). Se desso effeuio l rslzione di veore CO L equzione dell curv diven (equzione cnonic di un ellisse con fuochi sull sse )

10 Esercizi vri su ooeie, siiliudini, ffinià ) De le equzioni dell ffinià, rov e in odo che r si rsfori in s. [ -] Trov evenuli puni fissi dell rsforzione. Ci sono ree unie? ) Deerin le ffinià del ipo li che il segeno di esrei A(), B() si rsfori in un segeno vene l sess lunghezz e perpendicolre l precedene per esse deve inolre vlere l rsforzione P() P (,). d c 5 5 α α ) Disegn il rsforo del ringolo di verici A(,6), B(7,), C(, ) rverso l ooei di rpporo ½ e cenro l origine. Quli sono le proprieà invrini di le ooei? H puni fissi? Re fiss? Ree unie? ) Un ooei rsfor A(,-) in A (,) e B(,) in B di ordin -8. Scrivi le equzioni dell ooei, deerin il cenro, il rpporo e l sciss di B. Clcol poi il rpporo r i segeni AB e A B. ), (, 8 B A AB C 5) Trov per quli vlori di le segueni equzioni sono quelle di un siiliudine inverene di rpporo 5 [ ±] sono quelle di un ffinià [de(a) ] sono quelle di un cenro-ffinià [ ] sono quelle di un ffinià equivlene dire [ipossiile] sono quelle di un ffinià equivlene inverene[ ] Successivene deerin puni fissi e re fiss dell rsforzione in ciscun cso. 6) Scrivi le equzioni dell siiliudine dire le che A(-,) A (-,-), O(,) O (,). Deerin periero e re del rsforo del ringolo AOC, con C(). Deerin poi d qule ooei e d qule isoeri ess si copos. 5 / 5 S p 7) Cosruisci le equzioni dell siiliudine copos d un sieri di cenro il puno (,) e d un ooei di rpporo ( -) e cenro l origine. Trovne il puno unio. Coponi poi le due rsforzioni in ordine inverso e verific che il puno unio non coincide in generle con il precedene. 8) È d l prol P di equzione. Rppresenl grficene. Successivene ) deerin le equzioni dell rsforzione T oenu dll coposizione dell rslzione di veore e dll rozione di 9 in senso orrio e con cenro l origine. ( v ) Applic ll prol P l rsforzione T e rppresen l nuov prol. Deerin le equzioni dell rsforzione T oenu coponendo in ordine inverso rslzione e rozione. T T

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