Le sezioni piane del cubo

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1 Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del cubo o perpendicolari ai pini di simmetria del cubo. Richiamiamo alcuni fatti fondamentali relativi al gruppo delle trasformazioni ortogonali W che trasformano il cubo in sè. 1 W = 48 Sia W = W SO(3, R). Allora W = W ( 1)W W contiene le rotazioni di π rispetto ai sei assi congiungenti i punti medi di lati opposti, quelle di π, π, 3 π rispetto ai tre assi congiungenti i centri di facce opposte, quelle di π, 4 π rispetto ai quattro assi congiungenti 3 3 coppie di vertici opposti. W \ W contiene le riflessioni rispetto ai 3 piani mediani delle coppie di piani sostegno di coppie di facce opposte (Tipo I) e quelle rispetto ai 6 piani congiungenti coppie di spigoli opposti e ai tre piani (Tipo II). I tre piani del primo tipo sono mutuamente ortogonali. Due piani del π secondo tipo formano un angolo di: se hanno un asse di ordine 4 in comune; π se hanno in comune un asse di ordine 3. 3 Un piano del primo tipo e uno del secondo tipo si incontrano formando un angolo di: π se hanno un asse di ordine 4 in comune; π se hanno un 4 asse di ordine in comune. Assi di ordine 4 Sono gli assi per il centro e il centro di una faccia. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di simmetria rotatoria di ordine 4. Quindi deve essere un quadrato. 1 Si rimanda alla voce Octahedral symmetry dell enciclopedia Wikipedia per maggiori dettagli. 1

2 Assi di ordine 3 Sono gli assi per il centro del cubo e un vertice. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di simmetria rotatoria di ordine 3. Quando è un triangolo, deve essere equilatero. Non può essere un pentagono nè un quadrato. Possiamo avere degli esagoni; in particolare si hanno esagoni regolari quando il piano passa per l origine. Assi di ordine Sono gli assi per il centro e il punto medio di uno spigolo, ovvero gli assi che congiungono i due punti medi di due spigoli opposti. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di simmetria rotatoria di ordine. Possiamo dimostrare che è un rettangolo. In particolare può essere un quadrato. Si può definire una curva su ogni faccia tale che un piano perpendicolare alla faccia sega un quadrato se e solo se è tangente a questa curva. Tale curva è un asteroide. Piani di simmetria Intersecando ortogonalmente ad un piano di simmetria, per esempio il piano per due spigoli opposti, ottengo poligoni con un asse di simmetria: triangoli isosceli, trapezi isosceli. Posso anche ottenere dei particolari pentagoni ed esagoni. Si osservi che 1. Gli esagoni devono sempre avere i lati paralleli a coppie.. I pentagoni devono sempre avere due coppie di lati paralleli. In particolare non può esistere una sezione piana che sia un pentagono regolare. Tipi di sezioni piane Tra le sezioni piane di un cubo ci sono trangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni, oltre alle sezioni degeneri costituite da un solo punto e da un solo lato. Non ci possono evidentemente essere sezioni con un numero maggiore di lati in quanto il numero di facce del cubo è 6 e deve esserci al più una sezione su ogni faccia..1 Triangoli I triangoli devono necessariamente essere acutangoli e possono essere scaleni, isosceli ed equilateri. In una sezione piana triangolare i tre vertici della sezione stanno su lati che hanno in comune un vertice del cubo. Infatti un piano perpendicolare all asse congiungente due spigoli è parallela ad entrambi gli spigoli. Ma la sezioni che hanno angoli retti sono solo quelle perpendicolari ad una delle facce, ovvero parallele ad uno degli spigoli (vedi oltre).

3 Teorema 1 Sia π C un triangolo isoscele. Allora π è perpendicolare ad un piano di tipo II. Dimostrazione Siano A, B, C i vertici del triangolo e assumiamo che AB = AC. Siano l 1, l, l 3 gli spigoli di C intersecati da π in A, B e C rispettivamente e sia V 4 il vertice del cubo comune a l 1, l ed l 3. Siano V 1, V e V 3 gli altri vertici del cubo su l 1, l ed l 3 rispettivamente. Da AB = AC segue V 4 C = V 4 B e quindi CB è ortogonale alla bisettrice l dei lati l ed l 3. Sia V 5 il vertice del cubo su l diverso da V 4. Sia σ =< V 1, V 4, V 5 >. Il piano σ è un piano di simmetria di tipo II. σ e π sono ortogonali in quanto σ contiene CB che è ortogonale a π essendo ortogonale alle sue due rette V 4, M e A, M Corollario 1 Sia π C un triangolo equilatero. Allora π è ortogonale ad un asse di ordine 3. Dimostrazione Siano A, B, C i vertici del triangolo e siano l 1, l, l 3 gli spigoli di C intersecati da π in A, B e C rispettivamente e sia V 4 il vertice del cubo comune a l 1, l ed l 3. Per il Teorema 1, π è perpendicolare a tutti e tre i piani di simmetria del secondo tipo passanti per V 4 e quindi è perpendicolare alla loro intersezione r = OV 4, dove O è il centro del cubo C e quindi è un asse di ordine 3. Teorema Un trangolo π C deve necessariamente essere acutangolo Dimostrazione Una sezione piana è un triangolo se e solo se interseca i tre spigoli l 1, l, l 3 uscenti da un vertice V del cubo. Siano A, B, C le intersezioni del piano con l 1, l, l 3. Sia r 1 la perpendicolare a AB per V e sia H 1 la sua intersezione con la retta per A e B. Essendo AB l ipotenusa del triangolo rettangolo ABV, H 1 è interno al segmento AB. Per il teorema delle tre perpendicolari, AB è ortogonale al piano r 1, l 3 e quindi la retta per C e H 1, appartenendo a questo piano, deve essere ortogonale a AB in H 1. Pertanto H 1 è anche il piede della perpendicolare condotta da C a AB e, come abbiamo già osservato, è interno ad AB. Quasto vale anche per il piede della perpendicolare condotta da B ad AC e per il piede della perpendicolare condotta da A a BC. Essendo il piede di ognuna delle tre perpendicolari interno al relativo segmento, il triangolo é necessariamente acutangolo. 3

4 . Quadrilateri Una sezione che intersechi quattro facce di un cubo ne interseca almeno due che sono parallele. Allora in ogni quadrilatero sezione, almeno una coppia di lati deve essere parallela. Teorema 3 π C è un rettangolo se e solo se π è parallelo ad uno spigolo di C. Dimostrazione Supponiamo che π C sia un rettangolo. Siano F 1 e F due facce incidenti del cubo che intersecano π e contengano un vertice. Sia r la retta sostegno dello spigolo comune a F 1 e F e siano α 1 e α i semipiani passanti per r e contenenti F 1 ed F. Siano s 1 = α 1 π e s = α π. Sia P = s 1 s. Per ipotesi s 1 e s si intersecano ortogonalmente in P. Sia t la semiretta di α 1 ortogonale a r in P. La direzione di t coincide con quella di uno degli spigoli del cubo. Se t = s 1, π è parallelo a t e quindi è parallelo ad uno degli spigoli del cubo. Se t è diverso da s 1, s è perpendicolare a due semirette distinte di α 1 quindi la sua direzione coincide con la direzione perpendicolare ad una delle facce del cubo, ovvero alla direzione di uno degli spigoli del cubo. Come prima segue quindi che il piano π è parallelo ad uno degli spigoli del cubo. Il viceversa è ovvio Osserviamo che il Teorema 3 si può anche enunciare così: π C è un rettangolo se e solo se π è perpendicolare a una faccia C. Lemma 1 Ogni sezione piane con un angolo retto è necessariamente un rettangolo Dimostrazione Se ci fosse un angolo rettangolo in π C, ragionando come nella dimostrazione del Teorema 3 si dimostra che il piano π è parallelo ad uno degli spigoli e quindi interseca in un rettangolo. Corollario Se una sezione piana è un trapezio rettangolo è un rettangolo. Osservazione 1 Se π C è un rettangolo, uno dei suoi lati è congruente allo spigolo del cubo. L altro lato ha lunghezza compresa tra 0 e. Ci sono quadrati (piani ortogonali a due facce ovvero ortogonali a uno spigolo e anche ortogonali a una singola faccia ma tangenti ad un asteroide), rettangoli (piani ortogonali a una faccia), parallelogrammi non rombi, rombi (per esempio quello passante per due vertici opposti del cubo e per il punto medio di un lato non adiacente ad alcuno dei due vertici, trapezi isosceli e trapezi scaleni. 4

5 Lemma Un quadrilatero π C è un trapezio isoscele (non rettangolo) se e solo se π è perpendicolare ad uno dei piani di simmetria del secondo tipo del cubo. Dimostrazione Muovendo il piano parallelamente a sè stesso si trasforma il trapezio in un triangolo isoscele. Si usa quindi il Teorema 1 Commento : Caratterizzazione dei rombi. Quali rombi si ottengono? (possibili rapporti tra le diagonali). Procedendo come per i triangoli isosceli si dimostra che i rombi sono le sezioni con piani ortogonali e piani di tipo II che sono quadrilatere. Allora il rapporto tra la diagonale maggiore e la diagonale minore varia nell intervallo [1, 3 ]. I rombi si possono anche descrivere guardando le proiezioni. Si fissi una faccia. La proiezione del rombo sarà il parallelogramma ABCD, dove i vertici stanno su una coppia di lati paralleli. Sia a = AB e b = BC. Sia BC il lato della sezione che appartiene alla faccia su cui sto proiettando. Allora, il lato della seizione che viene proiettato su AB ha, per il teorema di Pitagora, lunghezza 1 + a. Perché la sezione sia un rombo, deve essere 1 + a = b e ABC deve essere un triangolo rettangolo e il parallelogramma ABCD deve essere tale che A è il piede della perpendicolare ad AC condotta da B. Osserviamo per curiosità che il quadrato di area maggiore che si può iscrivere in un cubo non è una sezione piana, ma è parte propria di una sezione esagonale. 5