Le sezioni piane del cubo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Le sezioni piane del cubo"

Transcript

1 Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del cubo o perpendicolari ai pini di simmetria del cubo. Richiamiamo alcuni fatti fondamentali relativi al gruppo delle trasformazioni ortogonali W che trasformano il cubo in sè. 1 W = 48 Sia W = W SO(3, R). Allora W = W ( 1)W W contiene le rotazioni di π rispetto ai sei assi congiungenti i punti medi di lati opposti, quelle di π, π, 3 π rispetto ai tre assi congiungenti i centri di facce opposte, quelle di π, 4 π rispetto ai quattro assi congiungenti 3 3 coppie di vertici opposti. W \ W contiene le riflessioni rispetto ai 3 piani mediani delle coppie di piani sostegno di coppie di facce opposte (Tipo I) e quelle rispetto ai 6 piani congiungenti coppie di spigoli opposti e ai tre piani (Tipo II). I tre piani del primo tipo sono mutuamente ortogonali. Due piani del π secondo tipo formano un angolo di: se hanno un asse di ordine 4 in comune; π se hanno in comune un asse di ordine 3. 3 Un piano del primo tipo e uno del secondo tipo si incontrano formando un angolo di: π se hanno un asse di ordine 4 in comune; π se hanno un 4 asse di ordine in comune. Assi di ordine 4 Sono gli assi per il centro e il centro di una faccia. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di simmetria rotatoria di ordine 4. Quindi deve essere un quadrato. 1 Si rimanda alla voce Octahedral symmetry dell enciclopedia Wikipedia per maggiori dettagli. 1

2 Assi di ordine 3 Sono gli assi per il centro del cubo e un vertice. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di simmetria rotatoria di ordine 3. Quando è un triangolo, deve essere equilatero. Non può essere un pentagono nè un quadrato. Possiamo avere degli esagoni; in particolare si hanno esagoni regolari quando il piano passa per l origine. Assi di ordine Sono gli assi per il centro e il punto medio di uno spigolo, ovvero gli assi che congiungono i due punti medi di due spigoli opposti. Una sezione con un piano perpendicolare ad uno di questi assi ha un gruppo di simmetria rotatoria di ordine. Possiamo dimostrare che è un rettangolo. In particolare può essere un quadrato. Si può definire una curva su ogni faccia tale che un piano perpendicolare alla faccia sega un quadrato se e solo se è tangente a questa curva. Tale curva è un asteroide. Piani di simmetria Intersecando ortogonalmente ad un piano di simmetria, per esempio il piano per due spigoli opposti, ottengo poligoni con un asse di simmetria: triangoli isosceli, trapezi isosceli. Posso anche ottenere dei particolari pentagoni ed esagoni. Si osservi che 1. Gli esagoni devono sempre avere i lati paralleli a coppie.. I pentagoni devono sempre avere due coppie di lati paralleli. In particolare non può esistere una sezione piana che sia un pentagono regolare. Tipi di sezioni piane Tra le sezioni piane di un cubo ci sono trangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni, oltre alle sezioni degeneri costituite da un solo punto e da un solo lato. Non ci possono evidentemente essere sezioni con un numero maggiore di lati in quanto il numero di facce del cubo è 6 e deve esserci al più una sezione su ogni faccia..1 Triangoli I triangoli devono necessariamente essere acutangoli e possono essere scaleni, isosceli ed equilateri. In una sezione piana triangolare i tre vertici della sezione stanno su lati che hanno in comune un vertice del cubo. Infatti un piano perpendicolare all asse congiungente due spigoli è parallela ad entrambi gli spigoli. Ma la sezioni che hanno angoli retti sono solo quelle perpendicolari ad una delle facce, ovvero parallele ad uno degli spigoli (vedi oltre).

3 Teorema 1 Sia π C un triangolo isoscele. Allora π è perpendicolare ad un piano di tipo II. Dimostrazione Siano A, B, C i vertici del triangolo e assumiamo che AB = AC. Siano l 1, l, l 3 gli spigoli di C intersecati da π in A, B e C rispettivamente e sia V 4 il vertice del cubo comune a l 1, l ed l 3. Siano V 1, V e V 3 gli altri vertici del cubo su l 1, l ed l 3 rispettivamente. Da AB = AC segue V 4 C = V 4 B e quindi CB è ortogonale alla bisettrice l dei lati l ed l 3. Sia V 5 il vertice del cubo su l diverso da V 4. Sia σ =< V 1, V 4, V 5 >. Il piano σ è un piano di simmetria di tipo II. σ e π sono ortogonali in quanto σ contiene CB che è ortogonale a π essendo ortogonale alle sue due rette V 4, M e A, M Corollario 1 Sia π C un triangolo equilatero. Allora π è ortogonale ad un asse di ordine 3. Dimostrazione Siano A, B, C i vertici del triangolo e siano l 1, l, l 3 gli spigoli di C intersecati da π in A, B e C rispettivamente e sia V 4 il vertice del cubo comune a l 1, l ed l 3. Per il Teorema 1, π è perpendicolare a tutti e tre i piani di simmetria del secondo tipo passanti per V 4 e quindi è perpendicolare alla loro intersezione r = OV 4, dove O è il centro del cubo C e quindi è un asse di ordine 3. Teorema Un trangolo π C deve necessariamente essere acutangolo Dimostrazione Una sezione piana è un triangolo se e solo se interseca i tre spigoli l 1, l, l 3 uscenti da un vertice V del cubo. Siano A, B, C le intersezioni del piano con l 1, l, l 3. Sia r 1 la perpendicolare a AB per V e sia H 1 la sua intersezione con la retta per A e B. Essendo AB l ipotenusa del triangolo rettangolo ABV, H 1 è interno al segmento AB. Per il teorema delle tre perpendicolari, AB è ortogonale al piano r 1, l 3 e quindi la retta per C e H 1, appartenendo a questo piano, deve essere ortogonale a AB in H 1. Pertanto H 1 è anche il piede della perpendicolare condotta da C a AB e, come abbiamo già osservato, è interno ad AB. Quasto vale anche per il piede della perpendicolare condotta da B ad AC e per il piede della perpendicolare condotta da A a BC. Essendo il piede di ognuna delle tre perpendicolari interno al relativo segmento, il triangolo é necessariamente acutangolo. 3

4 . Quadrilateri Una sezione che intersechi quattro facce di un cubo ne interseca almeno due che sono parallele. Allora in ogni quadrilatero sezione, almeno una coppia di lati deve essere parallela. Teorema 3 π C è un rettangolo se e solo se π è parallelo ad uno spigolo di C. Dimostrazione Supponiamo che π C sia un rettangolo. Siano F 1 e F due facce incidenti del cubo che intersecano π e contengano un vertice. Sia r la retta sostegno dello spigolo comune a F 1 e F e siano α 1 e α i semipiani passanti per r e contenenti F 1 ed F. Siano s 1 = α 1 π e s = α π. Sia P = s 1 s. Per ipotesi s 1 e s si intersecano ortogonalmente in P. Sia t la semiretta di α 1 ortogonale a r in P. La direzione di t coincide con quella di uno degli spigoli del cubo. Se t = s 1, π è parallelo a t e quindi è parallelo ad uno degli spigoli del cubo. Se t è diverso da s 1, s è perpendicolare a due semirette distinte di α 1 quindi la sua direzione coincide con la direzione perpendicolare ad una delle facce del cubo, ovvero alla direzione di uno degli spigoli del cubo. Come prima segue quindi che il piano π è parallelo ad uno degli spigoli del cubo. Il viceversa è ovvio Osserviamo che il Teorema 3 si può anche enunciare così: π C è un rettangolo se e solo se π è perpendicolare a una faccia C. Lemma 1 Ogni sezione piane con un angolo retto è necessariamente un rettangolo Dimostrazione Se ci fosse un angolo rettangolo in π C, ragionando come nella dimostrazione del Teorema 3 si dimostra che il piano π è parallelo ad uno degli spigoli e quindi interseca in un rettangolo. Corollario Se una sezione piana è un trapezio rettangolo è un rettangolo. Osservazione 1 Se π C è un rettangolo, uno dei suoi lati è congruente allo spigolo del cubo. L altro lato ha lunghezza compresa tra 0 e. Ci sono quadrati (piani ortogonali a due facce ovvero ortogonali a uno spigolo e anche ortogonali a una singola faccia ma tangenti ad un asteroide), rettangoli (piani ortogonali a una faccia), parallelogrammi non rombi, rombi (per esempio quello passante per due vertici opposti del cubo e per il punto medio di un lato non adiacente ad alcuno dei due vertici, trapezi isosceli e trapezi scaleni. 4

5 Lemma Un quadrilatero π C è un trapezio isoscele (non rettangolo) se e solo se π è perpendicolare ad uno dei piani di simmetria del secondo tipo del cubo. Dimostrazione Muovendo il piano parallelamente a sè stesso si trasforma il trapezio in un triangolo isoscele. Si usa quindi il Teorema 1 Commento : Caratterizzazione dei rombi. Quali rombi si ottengono? (possibili rapporti tra le diagonali). Procedendo come per i triangoli isosceli si dimostra che i rombi sono le sezioni con piani ortogonali e piani di tipo II che sono quadrilatere. Allora il rapporto tra la diagonale maggiore e la diagonale minore varia nell intervallo [1, 3 ]. I rombi si possono anche descrivere guardando le proiezioni. Si fissi una faccia. La proiezione del rombo sarà il parallelogramma ABCD, dove i vertici stanno su una coppia di lati paralleli. Sia a = AB e b = BC. Sia BC il lato della sezione che appartiene alla faccia su cui sto proiettando. Allora, il lato della seizione che viene proiettato su AB ha, per il teorema di Pitagora, lunghezza 1 + a. Perché la sezione sia un rombo, deve essere 1 + a = b e ABC deve essere un triangolo rettangolo e il parallelogramma ABCD deve essere tale che A è il piede della perpendicolare ad AC condotta da B. Osserviamo per curiosità che il quadrato di area maggiore che si può iscrivere in un cubo non è una sezione piana, ma è parte propria di una sezione esagonale. 5

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

C6. Quadrilateri - Esercizi

C6. Quadrilateri - Esercizi C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

Geometria euclidea. Alessio del Vigna

Geometria euclidea. Alessio del Vigna Geometria euclidea Alessio del Vigna La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione sono il punto,

Dettagli

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti. Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema

Dettagli

In un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo

In un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo In un triangolo si dice altezza relativa a un lato il segmento di perpendicolare al lato condotta dal vertice opposto. Si dice mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato

Dettagli

Geometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre

Geometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione

Dettagli

Costruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )

Costruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi ) Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente

Dettagli

I TRIANGOLI. Esistono vari tipi di triangoli che vengono classificati in base ai lati e agli angoli.

I TRIANGOLI. Esistono vari tipi di triangoli che vengono classificati in base ai lati e agli angoli. I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli o vertici e da tre lati. Il triangolo è la forma geometrica con il minor numero di lati perché tre è il numero minimo di lati con cui si può

Dettagli

DIEDRI. Un diedro è convesso se è una figura convessa, concavo se non lo è.

DIEDRI. Un diedro è convesso se è una figura convessa, concavo se non lo è. DIEDRI Si definisce diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due semipiani che hanno la stessa origine, compresi i semipiani stessi. I due semipiani prendono il nome di facce del diedro

Dettagli

GEOMETRIA. Congruenza, angoli e segmenti

GEOMETRIA. Congruenza, angoli e segmenti GEOMETRIA Per affermare che un triangolo è isoscele o rettangolo oppure che un quadrilatero è un parallelogramma o un rettangolo o un rombo o un quadrato o un trapezio o un trapezio isoscele, c è sempre

Dettagli

C5. Triangoli - Esercizi

C5. Triangoli - Esercizi C5. Triangoli - Esercizi DEFINIZIONI 1) Dato il triangolo in figura completare al posto dei puntini. I lati sono i segmenti,, Gli angoli sono,, Il lato AB e l angolo sono opposti Il lato AB e l angolo

Dettagli

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD.

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue

Dettagli

Quadrilateri. Il Parallelogramma

Quadrilateri. Il Parallelogramma Il Parallelogramma 2. Fai clic su Ic3 e scegli Retta per due punti : disegna la retta a. 3. Fai clic su Ic2 e scegli Nuovo Punto : fai clic fuori dalla retta a 4. Fai clic su Ic4 e scegli Retta parallela

Dettagli

Proprietà di un triangolo

Proprietà di un triangolo Poligono con tre lati e tre angoli. Proprietà di un triangolo In un triangolo : I lati e i vertici sono consecutivi fra loro; La somma degli angoli interni è 180 ; La somma degli angoli esterni è 360 Ciascun

Dettagli

Indice del vocabolario della Geometria euclidea

Indice del vocabolario della Geometria euclidea Indice del vocabolario della Geometria euclidea 1 Postulati di appartenenza: piano, retta e punto nello spazio Punto, retta, piano nello spazio Punto, retta nel piano Punto nella retta Punto esterno alla

Dettagli

I Triangoli e i criteri di congruenza

I Triangoli e i criteri di congruenza I Triangoli e i criteri di congruenza 1 Le caratteristiche di un triangolo Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni I punti

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 17-24 Ottobre 2005 INDICE 1. GEOMETRIA EUCLIDEA........................ 2 1.1 Triangoli...............................

Dettagli

I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo

I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME............................... ME............................. Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 2 6 7 9 Calcola la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 11,2 cm e 1 cm. [1,7 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura cm, un cateto è dell ipotenusa. Calcola

Dettagli

N. Domanda A B C D. circonferenza in quattro parti la base del triangolo isoscele che genera il cono

N. Domanda A B C D. circonferenza in quattro parti la base del triangolo isoscele che genera il cono 1 Se in un triangolo circocentro e incentro coincidono allora esso come è? 2 Un angolo di un triangolo misura 50 gradi. Quanto misrano gli altri due angoli? 3 In un trapezio avente l'area di 320 m^2 le

Dettagli

GEOMETRIA CLASSE IV B A.S.

GEOMETRIA CLASSE IV B A.S. GEOMETRIA CLASSE IV B A.S. 2014/15 Insegnante: Stallone Raffaella RETTA, SEMIRETTA E SEGMANTO La retta è illimitata, non ha né inizio né fine. Si indica con una lettera minuscola. La semiretta è ciascuna

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 3 4 5 6 7 8 9 Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30, il cateto minore misura 6 m. Calcola il perimetro e l area del triangolo. [8,39 m; 31,18 m ] Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto

Dettagli

Le caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni

Le caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono

Dettagli

Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data:

Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: www.matematicamente.it Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: 1. Quali tra le seguenti sono proprietà del parallelogramma?. ciascuna diagonale lo divide in due triangoli uguali. gli angoli

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è lunga 16 cm e la proiezione sull ipotenusa di un cateto è lunga 4 cm. Calcola l area del triangolo. [544 cm

Dettagli

Corso di Matematica - Geometria. Geometria - 0. Ing. L. Balogh

Corso di Matematica - Geometria. Geometria - 0. Ing. L. Balogh Geometria - 0 Triangoli qualunque somma degli angoli interni, calcolo del perimetro e dell area Oggetti Vertici Lati Angoli Altezza Raggio Simbolo A, B, C a, b, c,, h S, r Perimetro = + + Somma angoli

Dettagli

GEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P

GEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non

Dettagli

Test di Matematica di base

Test di Matematica di base Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione

Dettagli

GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche

GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell

Dettagli

LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.

LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 2 3 applicazioni al triangolo rettangolo Calcola il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che l ipotenusa e l altezza ad essa relativa sono lunghe rispettivamente 3 cm e 16,8 cm. [8 cm;

Dettagli

AREE DEI POLIGONI. b = A h

AREE DEI POLIGONI. b = A h AREE DEI POLIGONI 1. RETTANGOLO E un parallelogramma avente quattro angoli retti, i lati opposti uguali e paralleli, le diagonali uguali non perpendicolari che si scambiano vicendevolmente a metà. Def.

Dettagli

Superfici e solidi di rotazione. Cilindri indefiniti

Superfici e solidi di rotazione. Cilindri indefiniti Superfici e solidi di rotazione Consideriamo un semipiano α, delimitato da una retta a, e sul semipiano una curva g; facendo ruotare il semipiano in un giro completo attorno alla retta a, la curva g descrive

Dettagli

Postulati e definizioni di geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una

Dettagli

I QUADRILATERI. d tot. = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2 S I. = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S E = IL TRAPEZIO

I QUADRILATERI. d tot. = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2 S I. = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S E = IL TRAPEZIO I QUADRILATERI Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati. Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti

Dettagli

Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI

Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele, scaleno CLASSIFICAZIONE RISPETTO

Dettagli

Confronto fra angoli La dimensione dell angolo è l ampiezza in base all ampiezza gli angoli si dicono:

Confronto fra angoli La dimensione dell angolo è l ampiezza in base all ampiezza gli angoli si dicono: Confronto fra angoli La dimensione dell angolo è l ampiezza in base all ampiezza gli angoli si dicono: congruenti (uguali) maggiore minore la somma di due angoli la ottieni portandoli ad essere consecutivi

Dettagli

TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo:

TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo: TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo equilatero ha i tre lati

Dettagli

1B GEOMETRIA. Gli elementi fondamentali della geometria. Esercizi supplementari di verifica

1B GEOMETRIA. Gli elementi fondamentali della geometria. Esercizi supplementari di verifica Gli elementi fondamentali della geometria Esercizi supplementari di verifica Esercizio 1 a) V F Si dice linea retta una qualsiasi linea che non ha né un inizio né una fine. b) V F Il punto è una figura

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:

Dettagli

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio. TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.

Dettagli

I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due.

I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. A D B H C K Una particolarità del parallelogramma è che mantiene le sue caratteristiche anche quando

Dettagli

SCHEMA RIASSUNTIVO SUI QUADRILATERI

SCHEMA RIASSUNTIVO SUI QUADRILATERI SCHEMA RIASSUNTIVO SUI QUADRILATERI ( a cura della prof.sa Carmelisa Destradis ) SI CHIAMA QUADRILATERO UNA FIGURA PIANA CON QUATTRO LATI E QUATTRO ANGOLI. LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI QUALUNQUE QUADRILATERO

Dettagli

lato obliquo trapezio isoscele Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Ogni parallelogramma ha... D α + β π

lato obliquo trapezio isoscele Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Ogni parallelogramma ha... D α + β π Ripasso Scheda per il recupero Trapezi e parallelogrammi OMNE he cos è un trapezio? RISOSTE Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli: i lati paralleli si chiamano basi del

Dettagli

Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza

Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza Def: 1. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della La circonferenza si dice circoscritta al poligono.

Dettagli

I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI

I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI 1. Il parallelogramma ESERCIZI 1 A Disegna un parallelogramma ABCD, la diagonale BD e i segmenti AK e CH, perpendicolari a BD. Dimostra che il quadrilatero AHCK è un parallelogramma.

Dettagli

1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati?

1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? 1 Nuovi assiomi 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? ) Sono dati quattro punti non complanari a tre a tre non allineati, quanti piani generano? ) Quante coppie

Dettagli

Chi ha avuto la sospensione di giudizio, deve aggiungere:

Chi ha avuto la sospensione di giudizio, deve aggiungere: CLASSE 1A Gli esercizi sono sul quaderno di recupero allegato al libro di testo: Esercizi da 80 a 94 pagina 49 Esercizi da 101 a 105 pagina 52-53 Esercizi da 108 a 118 pagina 52-53 Esercizi da 37 a 61

Dettagli

I solidi. Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri.

I solidi. Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati solidi rotondi.

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.

Dettagli

MATEMATICA: Compiti delle vacanze Estate 2015

MATEMATICA: Compiti delle vacanze Estate 2015 MATEMATICA: Compiti delle vacanze Estate 2015 Classe II a PRIMA PARTE Ecco una raccolta degli esercizi sugli argomenti svolti quest anno: risolvili sul tuo quaderno! Per algebra ho inserito anche una piccola

Dettagli

REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE

REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE Ogni formula di calcolo delle aree dei poligoni può essere espressa tramite una frazione avente al numeratore un prodotto di due valori e un unico valore al denominatore.

Dettagli

Allenamenti di Matematica

Allenamenti di Matematica rescia, 3-4 febbraio 2006 llenamenti di Matematica Geometria 1. Il trapezio rettangolo contiene una circonferenza di raggio 1 metro, tangente a tutti i suoi lati. Sapendo che il lato obliquo è lungo 7

Dettagli

I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due.

I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. A D B H C K Una particolarità del parallelogramma è che mantiene le sue caratteristiche anche quando

Dettagli

Anno 1. Quadrilateri

Anno 1. Quadrilateri Anno 1 Quadrilateri 1 Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere i problemi legati all utilizzo dei quadrilateri. Forniremo la definizione di quadrilatero e ne analizzeremo le proprietà e le

Dettagli

ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI

ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente

Dettagli

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA Poligoni Inscritti ad una circonferenza: Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza e gli

Dettagli

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 1. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI 1 A Disegna un triangolo ABC di altezza CH relativa ad AB. Fissa un segmento ED minore di CH. Determina il

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione Test di autovalutazione Test 0 10 0 30 0 0 0 70 80 90 100 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle alternative. n onfronta le tue risposte con le soluzioni.

Dettagli

TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda

TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda 1 Una sola tra le seguenti proposizioni è FALSA Quale? A Se due punti A e B hanno la stessa ascissa, il coefficiente angolare della retta che li contiene non è definito

Dettagli

CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO

CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO Appunti di geometria ASSIOMI 15. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza 16. Tutte le rette del piano sono congruenti tra loro; così come tutti i piani,

Dettagli

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE. Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti

Dettagli

C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora - Esercizi

C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora - Esercizi C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora - Esercizi EQUIVALENZA DI FIGURE GEOMETRICHE E CALCOLO DI AREE 1) Dimostra che ogni mediana divide un triangolo in due triangoli equivalenti. 2) Dato un parallelogramma

Dettagli

C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi

C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dare la definizione di luogo geometrico. 2) Indicare almeno due luoghi geometrici. 3) Dare la definizione di asse di un segmento come

Dettagli

I QUADRILATERI. = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2. d tot. = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S I = 360 S E 1. IL TRAPEZIO

I QUADRILATERI. = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2. d tot. = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S I = 360 S E 1. IL TRAPEZIO I QUADRILATERI Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati. Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli AB // DC AD // BC Teorema : se ABCD è un parallelogramma allora ciascuna diagonale lo

Dettagli

Lezione introduttiva allo studio della GEOMETRIA SOLIDA

Lezione introduttiva allo studio della GEOMETRIA SOLIDA Lezione introduttiva allo studio della GEOMETRIA SOLIDA Geometria solida Lo spazio euclideo è un insieme infinito di elementi detti punti e contiene sottoinsiemi propri ed infiniti : le rette e i piani..

Dettagli

Costruzioni inerenti i triangoli

Costruzioni inerenti i triangoli Costruzioni inerenti i triangoli D ora in poi indicheremo con a, b e c i tre lati del triangolo di vertici A, B e C, in modo che a sia opposto al vertice A, b al vertice B e c al vertice C Costruzione

Dettagli

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Area dei poligoni. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA.

Area dei poligoni. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA. Area dei poligoni AREA DEI POLIGONI 1 Def: si dice area di una superficie piana la parte delimitata di piano che essa occupa. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA. Proprietà:

Dettagli

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 12

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 12 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 12 PARTE SECONDA GEOMETRIA SOLIDA UNA PREMESSA Diversi esperti di Didattica della Matematica ritengono che l approccio migliore, per la

Dettagli

APPUNTI DI GEOMETRIA SOLIDA

APPUNTI DI GEOMETRIA SOLIDA APPUNTI DI GEOMETRIA SOLIDA Geometria piana: (planimetria) studio delle figure i cui punti stanno tutti su un piano Geometria solida: (stereometria) studio delle figure i cui punti non giacciono tutti

Dettagli

C = d x π (pi greco) 3,14. d = C : π (3,14) r = C : (π x 2)

C = d x π (pi greco) 3,14. d = C : π (3,14) r = C : (π x 2) circonferenza rettificata significa messa su una retta è un segmento che ha la stessa lunghezza della circonferenza formule: C = d x π (pi greco) 3,14 d = C : π (3,14) r = C : (π x 2) area del cerchio

Dettagli

24/03/2012 APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA LEZIONE 2-3. definizione 26-29/3/2012

24/03/2012 APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA LEZIONE 2-3. definizione 26-29/3/2012 PPUNTI DI GEOMETRI EULIDE LEZIONE 2-3 26-29/3/2012 definizione un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni un triangolo è un l

Dettagli

Costruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 )

Costruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 ) Costruzioni geometriche. ( Teoria pag. 81-96, esercizi 141 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda ; due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente

Dettagli

Geometria. Rudimenti della Logica e della Matematica. Marzo Geometria Marzo / 18

Geometria. Rudimenti della Logica e della Matematica. Marzo Geometria Marzo / 18 Geometria Rudimenti della Logica e della Matematica Marzo 2013 Geometria Marzo 2013 1 / 18 La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente della misura della terra o più in concreto,

Dettagli

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LA SIMMETRIA ASSIALE Definizione: il simmetrico P di un punto P, rispetto alla simmetria assiale di asse r gode delle seguenti proprietà: P e P sono equidistanti da r e il

Dettagli

Gli angoli adiacenti agli angoli interni si dicono angoli esterni del poligono convesso.

Gli angoli adiacenti agli angoli interni si dicono angoli esterni del poligono convesso. Poligoni In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due

Dettagli

POLIGONI: PROPRIETÀ E FORMULE PER IL CALCOLO DI PERIMETRO E AREA. Poligono formato da 3 angoli e 3 lati. Nessuna diagonale.

POLIGONI: PROPRIETÀ E FORMULE PER IL CALCOLO DI PERIMETRO E AREA. Poligono formato da 3 angoli e 3 lati. Nessuna diagonale. POLIGONI: PROPRIETÀ E FORMULE PER IL CALCOLO DI PERIMETRO E AREA NOME E FIGURA PROPRIETÀ FORMULE TRIANGOLO Poligono formato da 3 angoli e 3 lati. Nessuna diagonale. P=somma delle misure dei 3lati SCALENO

Dettagli

IL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati.

IL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati. IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. FORMULE AREA: Il triangolo è equivalente a metà parallelogramma. A = (b x h) : da cui: b= A : h e h= A : b TRIANGOLO RETTANGOLO (a, b cateti; c

Dettagli

Unità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli

Unità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli 10 Unità Didattica N 22 I triangoli U.D. N 22 I triangoli 01) Il triangolo ed i suoi elementi 02) Uguaglianza di due triangoli 03) Primo criterio di uguaglianza dei triangoli 04) Secondo criterio di uguaglianza

Dettagli

LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.

LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra

Dettagli

LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO: CENNI DI TEORIA ED ESERCIZI

LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO: CENNI DI TEORIA ED ESERCIZI LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO: CENNI DI TEORIA ED ESERCIZI SPAZIO: l insieme di tutti i punti. PUNTI ALLINEATI: punti che appartengono alla stessa retta PUNTI COMPLANARI: punti che appartengono allo stesso

Dettagli

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli AB // DC AD // BC Teorema : se ABCD è un parallelogramma allora ciascuna diagonale lo

Dettagli

QUADRILATERI. È dunque possibile pensare ad un quadrilatero come alla parte di piano delimitata da quattro rette a due a due incidenti.

QUADRILATERI. È dunque possibile pensare ad un quadrilatero come alla parte di piano delimitata da quattro rette a due a due incidenti. QURILTERI efinizione: un quadrilatero (o quadrangolo) è un poligono di quattro lati. ue lati non consecutivi di un quadrilatero sono detti opposti. ue angoli interni di un quadrilatero non adiacenti ad

Dettagli

Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 5 Poliedri Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia

Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 5 Poliedri Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 5 Poliedri Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia Poliedri Un poliedro è un solido delimitato da una superficie formata da

Dettagli

POLIGONI E NON POLIGONI: elementi caratteristici, proprietà e relazioni.

POLIGONI E NON POLIGONI: elementi caratteristici, proprietà e relazioni. POLIGONI E NON POLIGONI: elementi caratteristici, proprietà e relazioni. Il problema dell altezza. Clara Colombo Bozzolo, Carla Alberti,, Patrizia Dova Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica Direttore

Dettagli

QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE

QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE relativo a GEOMETRIA PIANA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI a cura di Mariacristina Fornasari, Daniela Mari, Giuliano Mazzanti, Valter Roselli, Luigi Tomasi 1) Nel piano

Dettagli

1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi.

1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi. Dimostrazioni Risoluzione 1) Le circonferenze Γ e Γ' (e Γ'') sono tangenti P appartiene alla retta tangente comune t PA, PB (e PB*) sono tangenti PA = PB (= PB*) Non ha importanza se le due circonferenze

Dettagli

C7. Circonferenza e cerchio

C7. Circonferenza e cerchio 7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio

Dettagli

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere

Dettagli

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0. CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere

Dettagli

TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO:

Dettagli