TRAGEDY OF COMMONS. p = x 1 + x x n

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1 TRAGEDY OF COMMONS Consideriamo un esempio che mette in evidenza come l altruismo ottiene più dell egoismo. Partiamo da un villaggio in cui abitano n allevatori; ogni estate gli allevatori portano le loro pecore a pascolare nei prati del villaggio. Gli n giocatori sono gli allevatori: G 1, G 2,..., G n. Ogni allevatore deve scegliere una strategia cioè, in questo caso, un numero di pecore da portare al pascolo. G 1 sceglie di allevare x 1 pecore; G 2 sceglie di allevare x 2 pecore; G n sceglie di allevare x n pecore. Indichiamo con f 1 (x 1, x 2,..., x n ) la funzione di utilità del primo giocatore, e supponiamo che si possa esprimere così: f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 v(x 1 + x x n ) cx 1 Il numero totale di pecore nel villaggio è: p = x 1 + x x n c è il costo per comprare ed allevare una pecora ed è indipendente dal numero di pecore possedute dall allevatore. Il valore che un allevatore ottiene portando al pascolo una pecora sui prati del villaggio, quando ci sono un totale di p pecore,è v(p) per ogni pecora. In altre parole: v(p) è il guadagno complessivo che si ha dall allevamento di una pecora se il numero totale di pecore è p. Poiché una pecora ha bisogno di un quantitativo minimo di erba per sopravvivere, vi è un numero massimo di pecore che possono essere portate a pascolare sui prati (chiamiamolo H). Quindi: v(p) > 0 per p < M v(p) = 0 per p M dove ricordiamo che p = x 1 + x x n (numero totale di pecore). Inoltre le prime pecore, che sono in numero ridotto, hanno molto posto per pascolare e quindi l aggiunta di un altra pecora non arreca molto danno 1

2 a quelle già esistenti; invece quando ci sono già molte pecore al pascolo (quasi a livello di sopravvivenza cioè p < M di poco) allora la presenza di un altra pecora peggiora sensibilemente lo stato delle altre. Formalmente, per p < M è v (p) < 0, v (p) < 0. v(0) non ha senso, ma non ha importanza, posso stabilire v(0) = a per poi parlare di continuità. Intuitivamente v all inizio è costante, poi deve calare. v : {1, 2,..., n} R, c << a (con poche pecore, gli allevatori devono guadagnare molto più di c, altrimenti ci rimettono). Studiamo ora il problema semplificato con 2 allevatori I, II: G = (X, Y, f, g) è il gioco, X = Y = [0, M] Supponiamo che I possa scegliere un qualunque numero reale di pecore (devo poter fare la derivata!!!). Chiamiamo: x = numero di pecore del primo giocatore; y = numero di pecore del secondo giocatore f(x, y) = xv(x + y) cx g(x, y) = yv(x + y) cy dove v(p) = v(x + y) è il guadagno complessivo che si ha dall allevamento di una pecora se il numero totale di pecore è p = x + y. La funzione v(p) è quella di prima, cioè Supponiamo p v(p) decrescente, derivabile e concava: 2

3 v (p) < 0, v (p) < 0 p [0, M] Queste ipotesi su v(p)mi permettono di dire che il guadagno prima decresce lentamente poi decresce velocemente... perché ognuno tende ad allevare il maggior numero di pecore ma... Cerchiamo di determinare il NE del gioco. Per definizione di NE, se (x, y) N E i giocatori non hanno alcun interesse a deviare, perché, se il primo giocatore (allevatore I) invece di x vuole portare al pascolo x+ qualcosa, allora ottiene di meno, perché, fissato y, il massimo è proprio x (simmetricamente per il giocatore II). Allora calcolo: f (x, y) = 0 x dove f(x, y)xv(x + y) cx, g (x, y) = 0 y g(x, y) = yv(x + y) cy f x (x, y) = v(x + y) + xv (x + y) c = 0 da cui segue g y (x, y) = v(x + y) + yv (x + y) c = 0 x = y cioè entrambi gli allevatori devono portare lo stesso numero di pecore al pascolo. (il risultato era prevedibile perché f, g sono tra loro simmetriche). v(2x) + xv (2x) = c Devo detrminare x tale che verifichi questa uguaglianza; voglio dimostrare che questa equazione (qualunque sia v) abbia una ed una sola soluzione x (0, M). Chiamo h(x) = v(2x) + xv (x); si ha h(0) = v(0) = a > c h(m) = v(2m) + Mv (M) < 0 < c Se h assume sia valori minori di c sia valori maggiori di c, deve trovare un punto in cui assume il valore c (ma tale punto sarà unico?) 3

4 Se dimostro che h (x) < 0 per ogni x, allora h è strettamente decrescente e il punto è unico. Si ha h (x) = 2v (2x) + v (x) + xv (x) < 0 quindi esiste uno ed un solo punto x (0, M) tale che v(2x) + xv (2x) = 0. Allora (x, x) è un candidato NE; devo ancora dimostrare che è proprio un punto di massimo, cioè: 2 f (x, x) < 0, x2 2 g (x, x) < 0 y2 e poi controllare sul bordo... Per semplificare i calcoli supponiamo: v(p) = a(1 p 2 /M 2 ) (cioè una parabola colla concavità rivolta verso il basso) v decrescente e concava (Nella realtà v dovrebbe decrescere più lentamente) v(0) = 0, v(m) = 0 v(2x) + xv (2x) = c v (p) = (a/m 2 ).2p Sostituendo in * p = 2x = x + x si ha a ) (1 4x2 ( M 2 + x a ) M 2.4x = c a 4ax M 2 4ax M 2 = c a x M 2 = c x 2 = )M 2, x = M con a < x < M/2 2 Calcoliamo ora quanto guadagnano effettivamente i due giocatori con questa scelta (cioè col NE). ( ) f(x, x) = f M, M = M.a 1 2M M 2 a c cm = 4

5 ( = M.a 1 1 ) cm M = Ma 8 cm = = ()M 8 M() f(x, x) = 2 g(x, x) = Cosa potrebbero ottenere se si mettessero d accordo? Cerco ora il massimo sociale, cioè quello che i due allevatori potrebbero ottenere mettendosi d accordo, cioè determino max(f(x, y) + g(x, y)) come funzione di due variabili, dove f(x, y) = xv(x + y) cx g(x, y) = yv(x + y) cy f(x, y)g(x, y) = (x + y)v(x + y) c(x + y) quindi dipende solo dal numero totale di pecore (come era logico aspettarsi). Posto p = x + y chiamo l(p) = l(x + y) = (x + y)v(x + y) c(x + y), quindi: l(p) = pv(p) cp l (p) = v(p) + pv (p) c = 0 v(p) + pv (p) = c Facendo i conti con v(p) = a(1 p 2 /M 2 ) ottengo p = M 3a = x + y cioè x + y = M ()/3a (vedi la retta in figura). Allora ogni allevatore potrebbe portare al pascolo (x + y)/2 quantità di pecore, cioè x = M 12a < x = M 5

6 per avere il massimo guadagnao sociale. Guadagno di ciascun allevatore ottenuto giocando il N E: f(x, x) = Guadagno massimo sociale: M() 2 = G f(x, x ) = 4M() 3 12a = G Risulta G > G (facendo i conti è G /(2G) 1.2). Se il primo giocatore ha interesse a tradire il patto con il secondo giocatore... Se rispettassero l accordo guadagnerebbero di più di quanto guadagnerebbero facendo ognuno i propri interessi. 6