Re = f (A) f. 2 ),,, f (af. n )}

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1 Trasformazioni delle misure e significanza delle statistiche

2 Trasformazione e Significanza delle Statistiche: *) Invarianza assoluta. *) Invarianza di riferimento. *) Invarianza di confronto. *) Schemi Riassuntivi.

3 Significanza e Trasformazioni delle Statistiche Data una S = {A, Re, f} f ed una S = {A, Re, f } f in cui f f = (f) ed A = {a 1, a 2, a n } per entrambi S ed S S

4 Per cui: Re = f(a) = {f(a 1 ), f(a 2 ),,, f(a n )} Re = f (A) f = {f (a 1 ), f (af 2 ),,, f (af n )}

5 Si dice che una statistica è significante se, calcolata su due sistemi numerici (S, S ) S ) entrambi omomorfi ad uno stesso sistema empirico A, essa rimane invariante cioè continua a descrivere la medesima caratteristica empirica.

6 Si sono rispettate, quindi, le proprietà della scala di misura, nello scegliere una statistica se essa rimane invariante, quando viene calcolata su un insieme numerico ottenuto per mezzo di una trasformazione permissibile.

7 La prova è : dato un insieme numerico, secondo una particolare scala di misura, e data una trasformazione permissibile, una statistica è significante per la scala, se, calcolata sull insieme numerico trasformato, essa rimane invariante, cioè, descrive la medesima caratteristica empirica.

8 Invarianza assoluta Siano date due scale di misura (S 1, S 2 ) appartenenti allo stesso SRE, sia detta la trasformazione che permette di passare da S 1 a S 2. Siano date le due statistiche (St 1, St 2 ) calcolate rispettivamente su S 1 ed S 2 si definisce invarianza assoluta quando il valore di una statistica non varia passando dalla prima unità di misura alla seconda.

9 In altri termini, si ha Invarianza assoluta se sussiste l uguaglianza fra St {f(a 1 ), f(a 2 ),,, f(a n )} e St {f (a 1 ), f (af 2 ),,, f (af n )} il valore di St è uguale a quello di St

10 Ad esempio I punti z sono Invarianti in senso Assoluto, di Riferimento e di Confronto per le Scale ad intervalli equivalenti. Dato che z = (X - Media) / s sapendo che tutti i suoi valori subiscono la modifica della costante moltiplicativa a...

11 un punto z, che dipende dalla Media e da s non varia il suo valore, se applicata una funzione lineare f(x) = 2x + 1 ai dati X = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 8 si ottiene X = {3, 5, 7, 9, 13, 17}

12 Con i seguenti valori: Media X = 4 e s = 2.38 Media X = 9 e s = 4.76 quindi. Z = (2-4) / 2.38 = -.84 z = (5-9) / 4.76 = -.84

13 Invarianza di riferimento Siano date due scale di misura (S 1, S 2 ) appartenenti allo stesso SRE, sia detta la trasformazione che permette di passare da S 1 a S 2. Siano ancora date le due statistiche (St 1, St 2 ) calcolate rispettivamente sulle su S 1 ed S 2 si può definire invarianza di riferimento quando S 1 = (S 2 ) => St 1 = (St 2 )

14 In altri termini, si ha Invarianza di Riferimento se sussiste che f(a k ) = St {f(a 1 ), f(a 2 ), f(a n )} f(a k ) = St {f (a 1 ), f (af 2 ), f (a n )} ossia, St si riferisce all elemento a k ed è trasformata secondo il criterio f = (f)

15 Ad esempio La Moda è Invariante di Riferimento per tutte le e per tutte le Scale. Siano dati su scala ordinale A = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 } X = {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5} 5 Sia data la funzione di trasformazione f(x) = x 2

16 applicando la trasformazione... X = {1, 4, 4, 9, 9, 9, 16, 25} da cui segue che Mo = 3 Mo = 9 Entrambe le mode (Mo, Mo ) ) sono Invarianti di Riferimento per la Scala Ordinale (lo stesso ragionamento è proponibile anche per la scala Nominale ed a Rapporti Equivalenti)

17 La Mediana è Invariante di Riferimento per le Scale Ordinali ed ad Intervalli. Siano dati su scala ordinale A {a1, a2, a3, a4, a5} Mdn = {4, 4, 5, 6, 7} 7 = 5

18 Applicando la funzione di trasformazione f(x) = x 2 / 2 si ha che A {a1, a2, a3, a4, a5} Mdn = {4, 4, 5, 6, 7} 7 = 5 Mdn = {8, 8, 12.5, 18, 24.5}=12.5 da ciò si evince che: 5 2 / 2 = 12.5

19 La Media è Invariante di Riferimento per le Scale ad Intervalli. Siano dati quindi A {a1, a2, a3, a4, a5, a6} Media = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 8 = 4

20 Applicando la funzione di trasformazione f(x) = 2x + 1 si ha che Media = {3, 5, 7, 9, 13, 17} = 9 da ciò si evince che: 9 = 2 (4) + 1

21 Invarianza di Confronto Siano date due scale di misura (S 1, S 2 ) appartenenti allo stesso SRE, sia detta la trasformazione che permette di passare da S 1 a S 2. Siano ancora date le due statistiche (St 1, St 2 ) calcolate rispettivamente sulle due unità di misura S 1 ed S 2.

22 Si definisce invarianza di confronto quando, dati due campioni di misure tratti dalla medesima popolazione (con uguale statistica) questa non varia se ai campioni viene applicata una trasformazione permissibile.

23 Ovvero, siano dati due campioni di misure (C 1 e K 1 ) e facenti riferimento alla scala di misura S 1. Siano anche dati altri due campioni (S 2, K 2 ) ottenuti dalle trasformazioni della scala di misura S 1 in S 2. Siano ancora dati i valori delle statistiche calcolati sui quattro campioni.

24 Allora se è vero, come è vero, che StC 1 = StK 1 anche StC 2 = StK 2.

25 In altri termini: sia data l uguaglianzal fra le statistiche St {f(a 1 ), f(a 2 ),,, f(a n )}= = St {f(b 1 ), f(b 2 ),,, f(b n )}

26 segue che (dopo opportuna trasformazione ) ) si ha St {f (a 1 ), f (af 2 ),,, f (af n )} = = St {f(b 1 ), f(b 2 ),,, f(b n )}

27 Ad esempio... La Moda, oltre ad essere Invariante di Riferimento lo è anche di Confronto per tutte le e per tutte le Scale. Siano date su scala ordinale Mo 1 = {1, 2, 2, 3} 3 = 2 Mo 2 = {1, 2, 2, 5} 5 = 2

28 Applicando la funzione di trasformazione f(x) = x 2 si ottiene: Mo 1 = {1, 4, 4, 9} 9 = 4 Mo 2 = {1, 4, 4, 25} = 4

29 Tutte le mode (Mo 1, Mo 1, Mo 2, Mo 2 ) sono Invarianti di Confronto per la Scala Ordinale (lo stesso ragionamento è proponibile anche per la scala Nominale ed a Rapporti Equivalenti)

30 La Mediana, oltre ad essere Invariante di Riferimento,è anche Invariante di Confronto per le Scale Ordinali ed ad Intervalli. Siano dati su scala ordinale Mdn 1 {5, 6, 7} 7 = 6 Mdn 2 = {4, 6, 7} 7 = 6

31 Applicando la funzione di trasformazione f(x) = 2x + 2 si ha che Mdn 1 {12, 14, 16} = 14 Mdn 2 = {12, 14, 16} = 14 da ciò si evince che: = 14

32 La Media, oltre ad essere Invariante di Riferimento, è anche Invariante di Confronto per le Scale ad Intervalli. Siano dati quindi Media X1 = {2, 3, 4} 4 = 3 Media X2 = {2, 4} 4 = 3

33 Applicando la funzione di trasformazione f(x) = 2x + 1 si ha che Media X1 = {5, 7, 9} 9 = 7 Media X2 = {5, 9} 9 = 7 da ciò si evince che: = 7

34 La Deviazione Standard è Invariante di Confronto per le Scale ad Intervalli. Siano dati quindi: S {1, 2, 3, 4, 6, 8} 8 = 2.38 Media = 4

35 Applicando la funzione di trasformazione f(x) = 2x + 1 si ha che S {3, 5, 7, 9, 13, 17} = 4.76 Media = 9 da ciò si evince che: = 4.76