IL CALCOLO COMBINATORIO

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1 IL CALCOLO COMBINATORIO 0. Itroduzioe Oggetto del calcolo combiatorio è quello di determiare il umero dei modi mediate i quali possoo essere associati, secodo prefissate regole, gli elemeti di uo stesso isieme o di più isiemi. I molte applicazioi sorge il problema di sapere i quati modi possibili si può presetare u certo feomeo. Il problema, all appareza, sembra baale: ciò è vero se il umero degli elemeti presi i cosiderazioe è piccolo, ma quado questo umero è elevato si presetao delle difficoltà el formare tutti i raggruppameti possibili e seza cosiderare ripetizioi. Nelle applicazioi ci si può, per esempio, chiedere: I quati modi diversi si possoo scegliere tre libri da ua libreria che e cotiee 12? I quati modi si possoo scegliere tre umeri diversi, compresi tra 1 e 50, i modo che la loro somma sia divisibile per 4? Nel meù di u ristorate si può scegliere tra cique primi piatti, sei secodi e sette dessert: quati tipi di pasti, co almeo ua portata diversa, può sommiistrare il ristoratore? e così via. Il calcolo combiatorio oltre che a rispodere a domade del tipo precedete costituisce ache uo strumeto aritmetico che è di supporto idispesabile el Calcolo delle Probabilità poiché cosete di determiare il umero di eveti possibili (ma ache quelli favorevoli e cotrari) che si possoo verificare i ua prova. I defiitiva possiamo dire che il Calcolo combiatorio forisce quegli strumeti di calcolo per determiare il umero di aggruppameti che si possoo formare co u umero di oggetti presi da u isieme coteete oggetti ( ) secodo le modalità segueti: a) i oggetti possoo formare gruppi ordiati (che chiameremo disposizioi); b) i oggetti possoo formare gruppi o ordiati (che chiameremo combiazioi); c) se = otterremo dei gruppo ordiati che chiameremo permutazioi. 1

2 Esamiiamo i dettaglio questi raggruppameti. 1. Disposizioi semplici Cosideriamo u isieme A formato da elemeti distiti ed u umero. Si chiamao disposizioi semplici degli elemeti presi a a ( o disposizioi della classe ) u gruppo ordiato formato da degli elemeti dell isieme dato A i modo che valgao le segueti proprietà: 1. i ciascu raggruppameto figurao oggetti seza ripetizioe; 2. due di tali disposizioi si ritegoo diverse quado differiscoo per almeo u elemeto oppure per l ordie co cui gli stessi elemeti si presetao. Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti, della classe, si idica co il simbolo D, il cui valore è dato dal teorema (che o dimostreremo) seguete: Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti della classe, è uguale al prodotto di umeri iteri cosecutivi decresceti dei quali il primo è. Si ha cioè: e si dimostra che: D, = ( ) ( 2) ( +1) D, =! ( )! Il simbolo! si legge fattoriale e o è altro che il prodotto di umeri iteri decresceti a partire da e per defiizioe si poe 0! = 1. Così, ad esempio, se vogliamo calcolare D 7,3 ei due modi descritti, si ha: D 7,3 = = 210 D 7,3 = 7! (7 3)! =

3 2. Disposizioi co ripetizioe Cosideriamo u isieme costituito elemeti distiti ed u umero aturale seza alcua limitazioe superiore. Il problema che ci poiamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppameti distiti prededo oggetti i modo che: a) i ciascu raggruppameto figurao oggetti ed uo stesso oggetto può figurare, ripetuto, fio ad u massimo di volte; b) due qualsiasi raggruppameti soo distiti se uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro, oppure gli oggetti soo diversamete ordiati, oppure gli oggetti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. Il umero delle disposizioi co ripetizioe si idica co il simbolo D', e si dimostra che tale umero è dato da: D', =. Ad esempio, determiiamo quati umeri diversi di tre cifre si possoo formare co le ove cifre sigificative. È evidete che si tratta di disposizioi co ripetizioe di 9 elemeti della classe 3, per cui è: D' 9,3 = 9 3 = Permutazioi semplici Le permutazioi semplici altro o soo che le disposizioi di oggetti presi ad ad. ossia, dato u isieme di oggetti, si dicoo permutazioi di tali oggetti tutti i gruppi che si possoo formare co gli oggetti dati prededoli tutti. Se e deduce allora che le permutazioi semplici differiscoo soltato per l ordie co cui soo disposti gli oggetti distiti coteuti ei vari raggruppameti. Dalla defiizioe segue quidi che le permutazioi coicidoo co le disposizioi semplici di classe, quidi il calcolo delle permutazioi è uguale al calcolo del umero delle disposizioi semplici di elemeti di classe ; i pratica è: P = D, P = ( ) ( 2) 2 3

4 cioè: il umero delle permutazioi di elemeti distiti è uguale al prodotto dei primi umeri aturali (escluso lo zero). Ricorredo alla defiizioe di fattoriale, possiamo ache dire che: il umero delle permutazioi semplici di elemeti distiti è dato dal fattoriale del umero, ossia: P =! Gli aagrammi altro o soo che le permutazioi che si ottegoo da ua parola variado solo il posto delle lettere. Ad esempio, co la parola ROMA (composta da 4 lettere) si ottegoo aagrammi. P 4 = 4! = 42 = Permutazioi di elemeti o tutti diversi Nel paragrafo precedete abbiamo supposto che gli elemeti dell isieme fossero tutti distiti. Suppoiamo ora che di questi elemeti ve e siao uguali tra loro ( ). Ci propoiamo allora di ( ) trovare il umero delle loro permutazioi che idicheremo co P. Iiziamo co u esempio. Cosideriamo la parola ORO che cotiee due lettere uguali. Abbiamo visto che il umero di aagrammi di ua parola (co lettere tutte diverse) di tre lettere è dato da: P 3 = 3! = 3 2 = 6 Nel caso della parola ORO i possibili aagrammi distiti soo soltato: ORO ROO OOR cioè soo tre e o sei come ci si sarebbe aspettato, cioè soo i umero miore di P. I geerale, voledo calcolare le permutazioi di oggetti i cui ve e siao idetici fra loro, si ottiee u umero di permutazioi dato da: ( ) P! P = =. a! a! 4

5 Nel ostro caso quidi è: P (2) 3 3! ! 2 Se poi, data ua parola di lettere ella quale ua lettera è ripetuta volte, u altra volte, ecc. o, più i geerale, dato u isieme di elemeti dei quali soo uguali fra loro, uguali fra loro, ecc., il umero delle permutazioi distite co elemeti ripetuti che si possoo otteere è dato da: (,,...)! P =. a! b!... Ad esempio, se prediamo i cosiderazioe la parola MATEMATICA osserviamo che elle 10 lettere i essa coteute, la lettera M si ripete 2 volte ( = 2), la lettera A si ripete 3 volte ( = 3) e la lettera T si ripete 2 volte ( = 2). Il umero di aagrammi distiti che si possoo costruire co essa è dato da: P (2,3,2) 10 10! ! 3! 2! Combiazioi semplici Dato u isieme di elemeti, si dicoo combiazioi semplici degli elemeti presi a a (o di classe ) tutti i gruppi di elemeti, scelti fra gli dell isieme dato, i modo che ciascu gruppo differisca dai restati almeo per uo degli elemeti i esso coteuti (seza cosiderare, quidi, l ordie degli elemeti). Da otare la differeza fra disposizioi e combiazioi (semplici): metre elle disposizioi si tiee coto dell ordie, elle combiazioi semplici, ivece, si cosiderao distiti solo quado due i raggruppameti differiscoo almeo per u elemeto. Per determiare il umero delle combiazioi semplici di elemeti di classe, e che idichiamo co il simbolo C,, ci serviamo della formula: C, = D, P 5

6 ossia: C, = ( )... ( ) ( )... 2 ( ) Da questa formula si ricava che il umero delle combiazioi di oggetti di classe è dato dal quoziete di fattori iteri, cosecutivi, decresceti a partire da ed il prodotto di fattori iteri, cosecutivi, decresceti, a partire da. La ( ) la possiamo scrivere ache sotto u altra forma; ifatti, moltiplicado umeratore e deomiatore per il fattore ( )! si ottiee: C, = ( )... ( ) ( )!! ( )! C, = ( )... ( ) ( ) ( )... 2.!( )! Essedo il umeratore di questa frazioe uguale ad scrivere:!, possiamo C, =!.! ( )! 6. Combiazioi co ripetizioe si possoo predere i cosiderazioe ache le combiazioi co ripetizioe. Cosideriamo u isieme formato da elemeti e fissiamo u umero (seza alcua limitazioe superiore): ci propoiamo di costruire i possibili raggruppameti distiti prededo elemeti dell isieme dato i modo che: a) i ciascu raggruppameto figurio elemeti dell isieme dato potedovi uo stesso elemeto figurare più volte fio ad u massimo di volte; b) due raggruppameti soo distiti se uo di essi cotiee almeo u elemeto che o figura ell altro, oppure gli elemeti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. 6

7 Cosideriamo, ad esempio, l isieme: A = a, b, c Le combiazioi di classe 2, co ripetizioe, soo: (a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c) (soo sei). Le combiazioi di classe 3, co ripetizioe, soo: (a, a, a) (a, a, b) (a, a, c) (a, b, b) (a, b, c) (a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c) (soo 10). La formula che dà il umero delle combiazioi co ripetizioe di elemeto di classe è: C ', ( )!.! ( )! Nell esempio precedete si ha: C ' 3,2 (3 2 )! 4! ! (3)! 2! 2! C ' 3,3 (3 3 )! 5! ! (3 )! 3! 2! Coefficieti biomiali e poteza di u biomio Il umero delle combiazioi semplici, C, è spesso idicato co il simbolo seguete: che si legge «su» e viee detto coefficiete biomiale perché se e fa uso ello sviluppo della poteza di u biomio. Per defiizioe è quidi:! C,! ( )! 7

8 Per la covezioe 0! = 1, ha sigificato ache la scrittura! 1 0. I base a questa uova defiizioe possiamo dire che il 0!! umero delle combiazioi co ripetizioe è dato dalla: C ',. Cosideriamo due umeri reali qualuque a e b. Soo ote le formule: (a +b) 1 = a + b (a +b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a +b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 e così via. Aalizzado il calcolo della geerica poteza di u biomio otiamo che tutti gli sviluppi soo dei poliomi omogeei e completi, di grado uguale all espoete della poteza. Ordiado gli sviluppi secodo le poteze decresceti di uo dei due moomi, otiamo che i loro coefficieti soo umeri del seguete prospetto che oi chiamiamo Triagolo di Tartaglia e che i fracesi chiamao Triagolo di Pascal: per la cui costruzioe è sufficiete osservare che ogi riga iizia e termia co 1 e gli altri valori si ottegoo come somma dei due elemeti sovrastati. Questo triagolo può essere scritto el modo seguete co lo sviluppo della poteza secodo Newto, il quale, ella sua dimostrazioe, fa uso delle combiazioi: 8

9 Sussiste il teorema: qualuque siao i due umeri a e b e l itero positivo, si ha: æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ( a+ b) = ç a a b a b... ab b 0 + ç 1 + ç ç -1 ç è ø è ø è ø è ø è ø 2 2 cioè lo sviluppo di (a + b) è u poliomio omogeeo di grado el complesso delle due variabili a e b che, ordiato secodo le poteze decresceti di a (e cresceti di b e viceversa) ha per coefficieti i umeri: 0 = 1,, 2,, = 1. Lo sviluppo della poteza del biomio co il metodo di Newto può essere scritto i maiera più compatta el modo seguete: æ ö ( a+ b) = å ç a b ( ) 0 è ø Per otteere lo sviluppo di (a b) basterà sostituire ella ( ) al termie b il valore b e teere coto che a b risulterao positivi o egativi a secoda che l espoete di b sia pari o dispari, cioè possiamo scrivere la formula: æö ( a- b) = å (-1) ç a b. 0 è ø 9

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