Rapporti e proporzioni

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1 Rapporti e proporzioni Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo. a b = a b a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo si chiama ANTECEDENTE, mentre il secondo CONSEGUENTE. Il rapporto fra due numeri si può rappresentare come: divisione: 3 2 rapporto 3 a 2 frazione: rapporto tre mezzi numero naturale o decimale: 3 2 = 1,5 rapporto 1,5 OSS: ogni rapporto dà luogo a un numero naturale o a un numero decimale. Proprietà INVARIANTIVA dei rapporti: Ogni rapporto non varia moltiplicando o dividendo i suoi termini per uno stesso numero diverso da zero. Esempio: = = 4 6 = 2 3 = 0, = = = 2 3 = 0, 6 Se in un rapporto si scambia l antecedente con il conseguente, si ottiene un nuovo rapporto, detto RAPPORTO INVERSO o RECIPROCO. Esempio: il rapporto inverso di è Regole per trovare l antecedente o il conseguente in un rapporto. Per trovare l antecedente: es. x = 1 + x = 1 + x = = Per trovare il conseguente: es. 1 + x = x = 1 + : x = = 1

2 RAPPORTO FRA GRANDEZZE OMOGENEE Due grandezze si dicono omogenee se è possibile confrontarle e stabilire se una di esse è maggiore o minore o uguale all altra. Due grandezze omogenee si esprimono quindi con la stessa unità di misura. Il rapporto tra due grandezze omogenee (se la seconda è diversa da zero) è uguale al rapporto fra le rispettive misure, riferite a una stessa unità di misura. Tale rapporto è un numero. Esempio: il rapporto tra la base di un rettangolo e la sua altezza AB = 10 cm BC = 4 cm Rapporto tra la base e l altezza: " " = " " " = due grandezze si dicono COMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero RAZIONALE, ovvero ammettono un sottomultiplo comune. Esempio: due lati di un rettangolo, altezza e ipotenusa di un triangolo,.. due grandezze si dicono INCOMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero IRRAZIONALE, ovvero non ammettono sottomultipli comuni. Esempio: lato e diagonale di un quadrato RAPPORTO FRA GRANDEZZE NON OMOGENEE due grandezze si dicono NON omogenee se non è possibile confrontarle e non possono essere espresse con la stessa unità di misura. il RAPPORTO FRA DUE GRANDEZZE NON OMOGENEE è il quoziente fra le loro misure ed è un altra grandezza non omogenea a quelle date e il cui valore dipende dalle unità di misura delle due grandezze date. 300km 60km = = 60 km Esempio: 5h h h PROPORZIONI PROPORZIONE è l uguaglianza di due rapporti. Quattro numeri formano una proporzione se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto. a e c ANTECEDENTI b e d CONSEGUENTI a e d ESTREMI b e c MEDI 2

3 Se una proporzione ha i medi uguali si dice CONTINUA e il termine medio si dice MEDIO PROPORZIONALE e l ultimo termine si dice TERZO PROPORZIONALE. PROPRIETÀ: 1. Proprietà fondamentale delle proporzioni: in ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi. a d = b c 9 : 14 = 27 : = Definizione di PROPORZIONE: Quattro numeri formano una proporzione se il prodotto del primo per il quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo. 2. Proprietà dell invertire: se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene una nuova proporzione. Scambio antecedente con conseguente Es. 3 : 6 = 7 : 14 6 : 3 = 14 : 7 b : a = d : c 3. Proprietà del permutare: se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi o entrambi, si ottiene una nuova proporzione. Scambio i medi a : c = b : d Scambio gli estremi d : b = c : a Scambio medi ed estremi d : c = b : a Es. 3 : 6 = 7 : 14 Scambio i medi 3 : 7 = 6 : 14 Scambio gli estremi 14 : 6 = 7 : 3 Scambio medi ed estremi 14 : 7 = 6 : 3 4. Proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) termine, come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto) termine. ( a + b) : a = ( c + d) : c I CASO: 3

4 II CASO: ( a + b) : b = ( c + d) : d Es. 3 : 6 = 7 : 14 (3+6) : 3 = (7 + 14) : 7 (3 + 6) : 6 = (7 + 14) : 14 9 : 3 = 21 : 7 9 : 6 = 21 : Proprietà dello scomporre: se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo (e quindi il terzo è maggiore del quarto), la differenza fra il primo e il secondo sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). I CASO: ( a b) : a = ( c d) : c ( a b) : b = ( c d) : d II CASO: OSSERVAZIONE: se il primo termine è minore del secondo, si deve applicare la PROPRIETA DELL INVERTIRE e poi quella dello SCOMPORRE. Es. 3 : 6 = 7 : 14 Non possiamo applicare la proprietà dello scomporre perché 3 < 6. Quindi prima applichiamo la proprietà dell invertire: 6 : 3 = 14 : 7 (6-3) : 6 = (14-7) : 14 (6-3) : 3 = (14-7) : 7 3 : 6 = 7 : 14 3 : 3 = 7 : 7 L uguaglianza di tre o più rapporti costituisce una SUCCESSIONE DI RAPPORTI UGUALI. Per le successioni di rapporti uguali, vale la PROPRIETÀ DEL COMPORRE: la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al suo conseguente. = e : f ( a + c + e) : ( b + d + f ) = a : b I CASO ( a + c + e) : ( b + d + f ) = c : d II CASO ( a + c + e) : ( b + d + f ) = e : f III CASO Esempio: 4 : 2 = 6 : 3 = 8 : 4 Propr. Del comporre: ( ) : ( ) = 4 : 2 18 : 9 = 4 : 2 CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO DI UNA PROPORZIONE Data una proporzione con un termine incognito, risolverla significa trovare il valore di quel termine applicando le proprietà delle proporzioni. 4

5 I CASO: calcolo di un ESTREMO incognito 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒙 Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 𝑥 = 𝑏 𝑐, quindi 𝑥 =. In ogni proporzione un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l altro estremo. 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 = 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 Esempio: 𝑥 16 = 5 20 𝑥 = " " = " " =4 II CASO: calcolo di un MEDIO incognito 𝒂 𝒃 = 𝒙 𝒅 Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑥, quindi 𝑥 =. In ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l altro medio. 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 Esempio. 4 𝑥 = 5 20 𝑥 = = 80 5 = 16 III CASO: proporzione CONTINUA 𝒂 𝒙=𝒙 𝒅 Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑑 𝑥 = 𝑎 𝑑 𝑥 = 𝑎 𝑑 In ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla radice quadrata del prodotto degli estremi. 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 IV CASO: calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la differenza e il rapporto. Es: 𝑎 + 𝑏 = 28 e = = posso scriverlo come proporzione: 𝑎 𝑏 = 3 4 applico la PROPRIETÀ DEL COMPORRE: 𝑎 + 𝑏 𝑎 = 𝑎 = 𝑎= = 12 7 𝑏 = 28 𝑎 = = 16 oppure 𝑎 𝑏 = 3 4 applico la PROPRIETÀ DEL COMPORRE: 𝑎 + 𝑏 𝑏 = 𝑏 = 𝑏= = 16 7 𝑎 = 28 𝑏 = = 12 Analogamente per la differenza si applica la proprietà dello scomporre V CASO: usare la proprietà del comporre e dello scomporre. 5

6 Esempio: 5 x : x = x + x : x = (12 + 8) 8 5 x = 20 8 x = = x : x = x x : x = (7 3) 3 20 x = 4 3 x = 20 3 = 15 4 VI CASO: usare la proprietà del permutare e del comporre. Esempio: 8 x : 9 = x 3 8 x : x = x + x : x = (9 + 3) 3 8 x = 12 3 x = = 2 6

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