Cenni sulla Gravitazione Universale

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1 Cenn sulla Gavtazone nvesale ) La oza gavtazonale Fno al 665 (anno n cu Netwon ntuì la legge della Gavtazone nvesale) pe spegae le nteazone de cop con la ea eano necessae: a) La oza peso F P mg esectata dalla ea su una massa m che ne povoca l moto d caduta lbea con acceleazone g 9,8 m/s, b) La oza centpeta F C d nteazone a la Luna e la ea, che pemette alla Luna d muoves su un obta quas ccolae ntono al cento della ea, con una acceleazone centpeta a L 0,007 m/s. Queste eano consdeate oze dvese popo a causa della dvesa acceleazone mposta a cop, (natt g a L 3600), sebbene avesseo: a) la stessa dezone (adale) b) lo stesso veso (veso l cento della ea). F C Newton notò seguent att spemental: ) detto l aggo delle ea e d l aggo dell obta della Luna ntono alla ea, l appoto Questo ende compatble l appoto a le acceleazon se s d assume che l ntenstà della oza dmnusca con la dstanza dalla ea come / F ) P mg g cost ovveo l ntenstà della oza aumenta lneamente con la massa m m m sulla quale agsce.

2 Queste due condzon spemental endono F P e F C ntepetabl con una sola oza F se questa ha una espessone F (M massa della ea) S tova con espeenze d laboatoo e con ossevazon astonomche che, date due masse m ed m, con m a dstanza da m, a loo esste una nteazone detta oza d gavtazone unvesale calcolable come: m m () F G con ˆ F F G 6, m 3 /kgs (costante d gavtazone unvesale). F F m m Il segno meno ndca che la oza è attattva. (pe esempo, F opposta a ˆ ). ) cceleazone gavtazonale. na massa m ad altezza h dalla supece della tea (d massa M ) sente della oza peso F mg ovveo della oza gavtazonale F G, entambe dette secondo la + h vetcale veso l cento della tea, ma: ( ) F F mg G ( + h) essendo >> h, mg G () M g G ossa l valoe d g è detemnato dal valoe d G, e M. Questa ntepetazone suggesce che g debba vaae con l altezza dalla supece teeste ed natt s tova spementalmente: h 0, g 9,806 m/s h 4000 m, g 9,794 m/s h 8000 m, g 9,78 m/s h 000 m, g 9,757 m/s La omula () pemette d calcolae l acceleazone d gavtà sulla supece d un qualsas copo celeste seco d massa M x e aggo x. Con l oppotuno valoe della massa e dal aggo s ottene pe la Luna g L,6 m/s, pe Mate g M 3,7 m/s, pe Gove g G 3, m/s ecc ; valo tutt vecat spementalmente.

3 3) La oza gavtazonale è consevatva Voglamo calcolae l lavoo g atto dalla oza gavtazonale F g duante lo spostamento d una massa m, nteagente con una massa M ema, da una poszone nzale ad una nale lungo una cuva Γ. F g G ˆ m dl θ dl F g + d ) dl dl cosθ d g, F g dl G ˆ dl G ) dl (3) g, G d G G. Qund l lavoo g atto dalla oza gavtazonale è ndpendente dal pecoso ma dpende solo dal punto nzale ed dal punto nale: la oza gavtazonale è consevatva. 4) L enega potenzale gavtazonale S può qund dene (ved eq. 6 della lezone Enega Potenzale ) una unzone enega potenzale gavtazonale g. Dalla (3) segue: (4) Δ F g dl G La vaazone d enega potenzale dpende uncamente dalla poszone del punto nale e del punto nzale. 3

4 Poché solo le deenze d enega potenzale hanno sgncato sco, pe semplcae le elazon s convene d sceglee l punto d emento all nnto,, ponendo G ( ) 0, dal atto che pe, 0. sulta che masse molto dstant a loo patcamente non nteagscono e qund l contenuto d enega potenzale del sstema è nullo. Dalla (4) segue: Δ 0 F g G dl (5) ( G ) L enega potenzale assocata alla oza gavtazonale a due massa nteagent m ed M è data dalla eq. (5), posto che nel punto d emento (masse a dstanza nnta) sa ()0. (codas che () è sempe una deenza spetto al punto d emento). Sgncato: un sstema composto da due masse, m ed M, poste a dstanza, ha una enega potenzale che è l lavoo necessao alla oza gavtazonale pe potae la massa m da poszone all ovveo ( ved oss. 3, lezone Enega Potenzale ) l lavoo atto da una oza applcata pe potae la massa m, con veloctà costante, dall n poszone. Poché la oza gavtazonale è attattva, l lavoo atto dalla oza applcata è negatvo ovveo l enega potenzale è negatva (ved eq. 5) L enega potenzale gavtazonale è posseduta da una massa n quanto occupa una poszone spetto ad una massa nteagente (enega assocata alla conguazone del sstema). Pochè mg è spegable n temn d oza gavtazonale, anche l espessone dell enega potenzale della oza peso (y) mgy è compatble con l espessone della () della oza gavtazonale. Inatt: G G ( + y) ; G G G + ( + y) ( + + y) G y ( + y) + y 4

5 Se y <<, >> GM codando che g y e posto G 0 y mgy GM + m y; Qund, l espessone mgy è compatble con la (5) pe y<<, ma mplca anche un cambo del punto d emento: da pe la (5) alla supece teeste (punto n g.) pe mgy. 5) L enega d un sstema d masse. Calcolamo l enega necessaa pe costue un sstema d pù (3) masse, (m, m, m 3 ) potandole da a dstanza ecpoca, 3, 3 come n gua. m m m Pe poszonae la pma massa m l lavoo della oza applcata è nullo. Pe poszonae la seconda massa m, che nteagsce oa con m, l lavoo atto della oza Gm applcata è m Δ, Pe poszonae la teza massa m 3, che nteagsce oa con m e m, l lavoo della oza Gm applcata è m3 Gmm 3 3 Δ + Δ. 3 Qund l enega posseduta del sstema ot è pa al lavoo totale pe costtulo: m m m m m m ot + 3 G 3 3 ot + + < L enega d un sstema d masse è negatva ossa pe sepaae le masse è necessao compee un lavoo esteno. 5

6 6) Cenn sulle obte Consdeamo un copo d massa m avente veloctà d modulo v n un punto a dstanza dal cento della ea (d massa M ). La sua enega meccanca saà: (6) EM G K + ( ) mv, poché () < 0, possamo avee: a) E M >0, b) E M < 0 c) E M 0, come caso lmte. Dscutamo te cas, usando l gaco dell enega potenzale gavtazonale: () E M > 0 0 K E M < 0 Caso a) E M > 0, La massa m può aggungee qualsas dstanza dalla tea (> ). Pe molto gande (al lmte pe ) l nluenza della tea dvene tascuable (F g 0, () 0) e la massa m s muoveà K d moto ettlneo unome con enega K mv l ovveo vl m Caso a) E M <0, La massa m può tovas solo a dstanza pe cu ()<E M ovveo può aggungee al pù una dstanza 0. Il sstema è legato, la massa potà eventualmente contnuae a muoves ntono alla tea mantenendo una poszone < < 0 (stablzzas n un obta). 6

7 Studae la condzone e l equazone delle obte è complcato; qu lmtamoc ad ntue che se la massa m aggunge una dstanza con veloctà v, pependcolae a F mv g e tale che Fg, la oza gavtazonale agsce da oza centpeta ed l moto della massa m dvene ccolae unome ntono alla ea con aggo ob.. ale condzone s aggunge qund se: mvob M GM G G v v ( ndpendente dalla massa m) ob ob ob ob ob ob Pe un obta ccolae sosttuendo n (6) K GM GM mvob m m G ob ; ob ob E K + ( ) G ob G ob G ob K In una obta ccolae, l enega totale è uguale ma d segno opposto all enega cnetca. Caso a) E M 0, Caso lmte. La massa m può aggungee qualsas dstanza dalla tea (> ) ma pe molto gande l nluenza della ea dvene tascuable e la massa m è lbea ma con veloctà nulla. Questa condzone c pemette d ntodue l concetto d veloctà d uga, v F : la mnma veloctà da mpmee ad un copo sulla ea pe alo allontanae dentvamente, al lmte, con veloctà nale nulla. G Pe m sulla supece teeste, la (6) dvene E M K + ( ) mvf 0 e c pemette d calcolae v GM F. (Questa omula con l cospondente valoe della massa e dal aggo vale pe qualsas copo celeste e s ha v F, km/s pe la ea, v F,38 km/s pe la Luna, v F 59,5 km/s pe Gove.) 7