I.14. Le forze conservative e l'energia potenziale

Transcript

1 I.14. Le foze consevative e l'enegia potenziale Ripendiamo la definizione di lavoo Il lavoo di alcune foze speciali Le foze consevative e la enegia potenziale L enegia potenziale pe le foze costanti, elastica e gavitazionale Quesiti di fine capitolo Quesiti dalle Olimpiadi della Fisica dalla definizione di lavoo elementae al lavoo come gandezza integale 14.1 Ripendiamo la definizione di lavoo IL LAVORO ELEMENTARE Nel capitolo 11 abbiamo incontato la definizione di lavoo come una gandezza che elaziona le foze con gli spostamenti e che si collega alla enegia cinetica. In questo capitolo la nozione di lavoo veà ipesa e collegata ad alte fome di enegia. Il lavoo elementae compiuto da una foza F duante uno spostamento infinitesimo l è pai al podotto dei moduli dei due vettoi pe il coseno dell'angolo ta di essi (il podotto scalae). L = F l cos (I.14.1) o, visto che moltiplicae pe il coseno vuol die calcolae la componente (poiezione), il lavoo elementae è pai al podotto della componente tangenziale della foza pe il modulo dello spostamento. L = F t l (1) (I.14.) A seconda che l'angolo sia acuto od ottuso il lavoo elementae isulta positivo o negativo IL LAVORO COME SOMMA DEI LAVORI ELEMENTARI Pe calcolae il lavoo elativo ad uno spostamento finito, si divide il cammino in tanti spostamenti piccoli e si calcolano i lavoi elementai elativi a ciascuno spostamento piccolo. Quindi si calcola il lavoo come somma di quelli elementai: L = L 1 + L L n = L i (I.14.3) Il calcolo così eseguito fonisce un isultato esatto se si utilizzano gli stumenti igoosi della analisi matematica, in caso contaio, opeando con quantità finite e non infinitesime si ottiene un valoe appossimato. Ricodiamo che la agione pe cui si dà la definizione di lavoo come somma di tanti lavoi elementai è legata al fatto che, così facendo, il teoema della enegia cinetica può essee applicato, olte che a spostamenti elementai, anche a spostamenti finiti IL SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL LAVORO In geneale la componente tangenziale della foza è una gandezza vaiabile. Pe calcolae gaficamente il lavoo si divide il pecoso l in tanti spostamenti elementai l lungo i quali si possa tattae la foza come 1 Si ossevi che F cos = F t ma anche che l cos = l F petanto il lavoo elementae può essee espesso sia come podotto della poiezione della foza sullo spostamento pe lo spostamento, sia come podotto della foza pe la poiezione dello spostamento sulla foza. La pima fomulazione è quella di uso più comune. Inolte, pe chi appezza il calcolo vettoiale, si può palae di podotto scalae ta i due vettoi e la cosa si ivela comoda quando la foza è espessa attaveso i vesoi degli assi e le componenti. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 1

2 costante e lo spostamento come ettilineo. Quindi si moltiplica il valoe della foza, elativo ad ogni intevallo, pe il coispondente spostamento e poi si sommano tutti i podotti come pevisto dalla (I.14.3). Il calcolo, così effettuato fonisce il valoe dell'aea della pate di figua a gadini (istogamma) che coisponde all'aea del diagamma tanto meglio quanto i valoi di l sono piccoli. Il pocesso è stato più volte utilizzato in cinematica pe tovae lo spazio pecoso dal diagamma della velocità, e in dinamica pe tovae l'impulso di una foza vaiabile e quindi non ci soffemiamo ulteiomente su di esso. Osseviamo che la gandezza che abbiamo calcolato contiene in un solo numeo infomazioni elative ad un inteo pecoso e che petanto, in geneale, se cambia il pecoso, senza che mutino i punti di patenza e di aivo, cambia anche il valoe del lavoo. In fisica si dice che le gandezze definite in questo modo hanno natua integale pe distinguele da quelle definite come appoti di incementi che si dice abbiano natua diffeenziale. Appatengono al pimo guppo l impulso di una foza, lo spazio pecoso calcolato attaveso la velocità, il lavoo. Appatengono al secondo guppo la velocità istantanea, la acceleazione, la intensità di coente, il gadiente, la densità. Nel coso di questo capitolo applicheemo la definizione geneale di lavoo al calcolo elativo a foze vaiabili paticolamente impotanti. F ~ t F t x 1 x x l aea del diagamma della foza tangenziale ifeita allo spostamento fonisce il lavoo una impotante iflessione sulle gandezze diffeenziali e su quelle integali in fisica x Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag.

3 14. Il lavoo di alcune foze speciali F P 1 x x 1 O P LE FORZE COSTANTI Le foze costanti sono quelle foze che in ogni punto dello spazio hanno la stessa diezione, veso e intensità. Esempi di foze costanti sono il peso, quando si consideano egioni spaziali piccole e, in eletticità, le foze podotte dai campi unifomi. Le foze costanti hanno la popietà che il lavoo da esse compiuto non dipende dal paticolae pecoso seguito, ed è pai al modulo della foza pe la componente dello spostamento nella diezione della foza. Vogliamo calcolae il lavoo compiuto dalla foza F pe spostae il suo punto di applicazione dal punto P 1 a P lungo un geneico pecoso cuvilineo. Poiché lungo un pecoso cuvilineo cambiano gli angoli ta foza e spostamento dividiamo il pecoso in tanti pecosi elementai l e calcoliamo il geneico lavoo elementae. Se consideiamo un asse x oientato come la foza, possiamo ossevae che il geneico lavoo elementae: L = F l cos = F x e petanto: x L = L i = F x i = F x i = F x = F (x x 1 ) Dunque, nel caso di foze costanti, in valoe e segno, e pe qualsiasi pecoso seguito: L P1 = F (x x P 1 ) (I.14.4) F el F el x 1 x F est il lavoo della foza elastica è caatteizzato dalla diffeenza di temini quadatici x 14.. LA FORZA ELASTICA La foza elastica è una foza di ichiamo, cioè una foza che si oppone sempe agli spostamenti ispetto alla posizione di equilibio. Pe questa agione la si descive solitamente attaveso una coodinata spaziale che descive popio quegli spostamenti. F el = k x (I.14.5) dove k appesenta la costante elastica. L'andamento di tale foza è appesentato in Figua attaveso una etta di coefficiente angolae negativo passante pe l oigine. Il lavoo eseguito da tale foza pe lo spostamento x = x x 1 è pai all'aea sotto la cuva (aea del tapezio tatteggiato con valoe negativo): L el = aea tapezio = F 1 + F L el = k x 1 k x x = k x 1 + k x (x x 1 ) (I.14.6) Quando x > x 1, cioè quando si allunga la molla, la foza elastica fa un lavoo negativo e vicevesa. Si tatta di una popietà geneale. In effetti, quando aumenta la distanza ta copi che si attiano, le foze di attazione hanno poiezioni negative sugli spostamenti. Quindi una foza attattiva compie un lavoo negativo mente le foze epulsive agiscono nel veso degli spostamenti e quindi poducono lavoi positivi. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 3

4 14..3 IL LAVORO DELLA FORZA GRAVITAZIONALE NEL CASO DI SPOSTAMENTO RADIALE Nel icavae il valoe del lavoo di una foza elastica non ci sono state difficoltà peché l'aea inteessata ea quella di un tapezio, ma calcolae il lavoo della foza gavitazionale pesenta qualche difficoltà matematica in più. Supponendo che due masse m 1 e m poste a distanza 1 vengano allontanate da 1 a ci poponiamo di calcolae il lavoo compiuto dalla foza gavitazionale (attattiva) duante questo spostamento. Le difficoltà deivano dal fatto che queste foze dipendono dall'inveso del quadato della distanza, e petanto il diagamma è cuvilineo, come si vede in figua in cui si è appesentato il diagamma della funzione 1 che, a meno di una costante moltiplicativa, cioè di un cambiamento di scala, appesenta anche l'andamento della foza gavitazionale (e come vedemo più avanti anche della foza elettica) al vaiae della distanza ta le masse. Attaveso conoscenze di analisi matematica si può dimostae che l'aea acchiusa dalla cuva y = 1 x ta due suoi punti di ascissa x 1 e x è pai a 1 x 1 1 x e petanto, poiché sia G che le masse sono delle costanti e possono essee potate fuoi dal segno di sommatoia, si ha che il lavoo è dato da G m 1 m moltiplicato pe l'aea della funzione 1 m 1 m F 1 1 si dimosta tamite l'analisi matematica che l aea della funzione 1 vale e ciò ci consente di calcolae il lavoo della foza gavitazionale e di quella elettica Possiamo dunque concludee che. nel caso in cui il pecoso sia di tipo ettilineo e adiale, ci si muova cioè lungo la diezione di un aggio vettoe: L = L i = G m 1 m = G m 1 m 1 = G m 1 m aea L = G m 1 m (I.14.7) Il segno del lavoo isulteà positivo nei pocessi di avvicinamento e negativo nei pocessi di allontanamento. Osseviamo infine che il lavoo compiuto dalla foza gavitazionale è del tutto indipendente dal fatto che si sposti il copo 1 o il copo, ciò che conta è solo il movimento elativo. m l P SE LO SPOSTAMENTO NON È RADIALE, NON CAMBIA NULLA Calcoliamo oa il lavoo della foza gavitazionale nel caso in cui lo spostamento non sia ettilineo e la massa si muova lungo un pecoso cuvilineo qualsiasi, come in figua (da P 1 a P ). Il pecoso viene suddiviso in tanti spostamenti infinitesimi l e lungo ciascuno di questi spostamenti il lavoo compiuto, come si evince dalla figua, vale: L = F l cos = F Ma questa equazione è del tutto analoga a quella già applicata pe gli spostamenti adiali e petanto pota ancoa al isultato (I.14.7). m P 1 l 1 m 1 Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 4 m 1

5 Possiamo petanto concludee che, il lavoo compiuto dalla foza gavitazionale duante uno spostamento cuvilineo non dipende dalla foma della taiettoia, ma solo dai vettoi posizione iniziale e finale e ha l'espessione data dalla equazione (I.14.7). Se si pesta attenzione alla deduzione della popietà di indipendenza dal cammino si nota che essa è stata dedotta sfuttando il fatto che la foza ha diezione adiale e ciò ci pota a concludee che tutte le foze diette veso un punto fisso (foze centali) godono della popietà che il lavoo è indipendente dal pecoso indipendentemente dalla legge che ne govena la intensità. R T h m M QUANDO SI PUÒ CONSIDERARE COSTANTE LA FORZA PESO NEL CALCOLO DEL LAVORO? Esecizio: Dato un eoe pefissato stabilie ento quale dimensione spaziale si possa consideae costante la foza peso agli effetti del calcolo del lavoo. Supponiamo che un copo di massa m venga sollevata ad una quota h dalla supeficie teeste. Ponendo m 1 = m e m = M T (massa della tea), 1 = R T (aggio teeste) e = R T + h si ottiene l'espessione del lavoo compiuto dalla foza di gavità: L gav = G m M T R + G m M T T R T + h = G m M h T R T (R T + h) (I.14.8) Nel caso in cui l'altezza h sia molto minoe del aggio teeste si può assumee che sia R T + h R T e si aiva a: L gav G m M T h R = m g h (I.14.9) T La deivazione pecedente è complicata, ma ha peò il vantaggio di consentie la stima dell'eoe che si commette usando l'equazione appossimata al posto di quella esatta. Pe esempio, se supponiamo che l'eoe massimo debba essee infeioe all'1%, avemo (indicando con L app e L esa il valoe esatto e quello appossimato del lavoo): L app L esa L esa = L app L esa 1 = G m M T h R T h G m M T R T (R T + h) 1 = R T + h R T 1 = h R 0.01 T Dunque in calcoli elativi al lavoo compiuto dalla foza gavitazionale, sino ad una altezza h = 0.01 R T = ' km, si può utilizzae l'espessione appossimata con un eoe infeioe all'1 %. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 5

6 14.3 Le foze consevative e l'enegia potenziale ESISTONO FORZE PER LE QUALI IL LAVORO NON DIPENDE DAL PERCORSO MA SOLO DAGLI ESTREMI Nei paagafi pecedenti abbiamo visto che esistono delle foze (quelle costanti, quella elastica, quella gavitazionale e quella elettica) pe le quali il lavoo compiuto, nel caso di spostamenti qualsiasi, non dipende dalla foma della taiettoia pecosa dalla paticella su cui si applica la foza, ma solo dalle coodinate iniziali e finali. Le foze che godono di una popietà del genee sono dette consevative. Le foze consevative godono di un'alta popietà del tutto equivalente a quelle appena enunciata: il lavoo compiuto da una foza consevativa lungo una taiettoia chiusa è nullo. Pe dimostalo consideiamo una taiettoia chiusa e su di essa due punti qualsiasi A e B. Indichiamo con L (1) e L () i lavoi coispondenti ai pecosi (1) e (). Dalla definizione di foza consevativa segue che quando il copo si muove da A a B il lavoo non dipende dal pecoso seguito e petanto L (1) = L (). Cosa accade del lavoo quando si pecoe uno stesso pecoso in senso inveso? Poiché compiendo il pecoso inveso si invetono tutti gli spostamenti elementai, mente le foze non cambiano, si invetono anche tutti i lavoi elementai e petanto se indichiamo con L ' il lavoo lungo il pecoso inveso saà L ' = L. Se indichiamo con L il lavoo elativo alla geneica taiettoia chiusa Ο avemo che: L Ο = L (1) + L ' () = L (1) L () = L (1) L (1) = 0 (I.14.10) LE FORZE D ATTRITO SONO DISSIPATIVE Nel agionamento pecedente abbiamo ipotizzato che le foze non cambiasseo al cambiae di veso dello spostamento; ma esiste una categoia di foze (quelle d attito) che hanno sempe la stessa diezione dello spostamento e veso opposto. Petanto le foze d attito sono sicuamente non consevative. Anzi possiamo affemae che il lavoo da esse compiuto cesce al cescee dello spazio pecoso ed è sempe negativo. Il valoe minimo (in senso assoluto) si avà pe gli spostamenti di lunghezza minima, cioè pe i pecosi ettilinei. foze consevative: il lavoo non dipende dal paticolae pecoso foze consevative: il lavoo lungo un pecoso chiuso è zeo A B UNA PROPRIETÀ DELLE FORZE CONSERVATIVE: IL LAVORO SI PUÒ SEMPRE SCRIVERE COME DIFFERENZA Le foze consevative godono di una teza popietà molto impotante che saà utilizzata a fondo pe definie la enegia potenziale: il lavoo compiuto pe andae da un punto ad un alto qualsiasi dello spazio può sempe essee scitto come diffeenza di due gandezze dipendenti solo dal punto di patenza e dal punto di aivo. il lavoo come diffeenza di due quantità dipendenti solo dal punto di patenza e di aivo Il temine consevativo si ifeisce al fatto che quando agiscono solo foze consevative, come vedemo, l enegia si conseva. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 6

7 A B Indichiamo geneicamente con A e B i punti di patenza e di aivo e consideiamo un punto abitaio, ma fissato, che saà usato come punto ifeimento pe misuae la nuova gandezza che ci appestiamo a definie. Indichiamo con G tale punto. Poiché L A B non dipende dal pecoso potemo scivee che: L = L + L = L L A B A G G B A G B G (I.14.11) G l enegia potenziale viene definita come il lavoo (lungo un pecoso qualsiasi) compiuto da una foza consevativa che sposta il suo punto di applicazione dal punto consideato sino ad un ifeimento pefissato se cambia il ifeimento tutte le enegia cambiano di una stessa quantità e dunque le diffeenze di enegia non cambiano LA DEFINIZIONE DI ENERGIA POTENZIALE Intoduciamo oa una nuova gandezza fisica che chiameemo enegia potenziale ponendo pe definizione: U A = L (3) A G (I.14.1) La nuova gandezza U gode delle due seguenti popietà: L A B = U A U B = U (I.14.13) il lavoo di una foza consevativa pe andae da un punto ad un alto non dipende dal pecoso e si può scivee come vaiazione, cambiata di segno, di una nuova gandezza, detta enegia potenziale, che dipende solo dal punto iniziale e finale. U G = L G G = 0 (I.14.14) la enegia potenziale vale zeo nel punto peso come ifeimento pe la sua definizione Peché enegia? Peché potenziale? La nozione di enegia è stata associata alla capacità di mettee in gioco del lavoo e in questo caso abbiamo una gandezza pe la quale si ha a che fae con un lavoo (quello della foza consevativa) il cui valoe dipende dalla posizione (pe questa agione la si chiama anche enegia posizionale). Il temine potenziale fa ifeimento al fatto che la enegia potenziale si possa tasfomae in enegia cinetica gazie al lavoo della foza consevativa e ci imanda alla distinzione aistotelica ta atto e potenza LA DIPENDENZA DELLA DEFINIZIONE DAL RIFERIMENTO Cosa accade alla enegia potenziale se si cambia il punto G di ifeimento? Ovviamente la enegia potenziale cambia, ma cambia di una stessa quantità pe tutti i punti dello spazio. Se infatti indichiamo con G ' il nuovo punto di ifeimento avemo che: U ' A = L A G ' = L A G + L G G ' = U A + L G G ' (I.14.15) Dunque, se si cambia il ifeimento, la enegia potenziale di un geneico punto dello spazio cambia di una quantità costante pai al lavoo necessaio pe andae dal vecchio ifeimento al nuovo ifeimento. 3 Ci si potebbe chiedee cosa c'enti la ichiesta della consevatività con la definizione che abbiamo appena dato. La isposta è molto semplice, anche se non immediata: se la foza non fosse consevativa il lavoo dipendeebbe dal pecoso e dunque U non saebbe definita in maniea univoca, peché il suo valoe dipendeebbe dal pecoso seguito pe andae dal punto al ifeimento. Dunque la enegia potenziale può essee definita solo pe le foze consevative. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 7

8 Con quale citeio si sceglieà il ifeimento G? La isposta è che il poblema non ha ilevanza peché nei calcoli sulla enegia inteessano sempe e solo le diffeenze di enegia, e la diffeenza di enegia potenziale non dipende dal ifeimento. Detto questo, il ifeimento, pe tadizione, viene peso nei punti di annullamento della foza, nel caso di foze vaiabili, mente nel caso delle foze costanti lo si assume dove si è più comodi pe lo svolgimento dei calcoli. solitamente il ifeimento dell enegia viene peso (pe comodità) dove si annullano le foze Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 8

9 14.4 L'enegia potenziale pe le foze costanti, elastica e gavitazionale F x U x 1 O x foza costante U P = L P O = F xp U foza elastica U = L x 0 = kx U foza gavitazionale U = L = G m 1 m x x L ENERGIA POTENZIALE DELLE FORZE COSTANTI Le foze costanti hanno un ceto inteesse in fisica peché iguadano il caso della foza peso (quando gli spostamenti sono elativamente piccoli) e il caso di molte foze elettiche che vengono atificialmente ceate dall uomo in modo di isultae invaiabili nello spazio sia in intensità sia in diezione e veso. Se la foza è costante è implicitamente assegnata una diezione pivilegiata (quella della foza) ed è dunque oppotuno ifeie tutti gli spostamenti a quella diezione. Pe la stessa agione, solitamente, si assume il ifeimento dell enegia nell oigine del ifeimento cui si ifeiscono gli spostamenti. Abbiamo già dimostato che il lavoo non dipende dal pecoso e ne abbiamo tovato il valoe (I.14.4). Possiamo dunque definie una enegia potenziale: Nel caso della foza costante, con le convenzioni dette cica la scelta del ifeimento, la enegia potenziale saà: U P = L P O = F x P (I.14.16) Se il sistema di ifeimento viene peso antipaallelo ispetto alla foza si elimina il segno meno. Il diagamma dell enegia è appesentato da una etta di coefficiente angolae negativo passante pe l oigine L ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA ELASTICA Nel caso della foza elastica, come si è accennato, il ifeimento viene peso nel punto x = 0, cioè nel punto in cui la molla non isulta sollecitata. Petanto la enegia potenziale saà: U el = L x 0 = kx (I.14.17) Il diagamma della enegia è alloa appesentato da una paabola L ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA DI GRAVITAZIONE Nel caso della foza gavitazionale il ifeimento viene peso all'infinito peché, visto che la foza decesce con l'inveso del quadato della distanza, l'infinito saà il punto di annullamento della foza. Dunque pese due masse m 1 e m poste a distanza consideiamo un ifeimento adiale con oigine in m 1. In questo caso si ha che l enegia potenziale è il lavoo della foza gavitazionale necessaio pe spostae la massa m da dove si tova all infinito, cioè: U = L = G m 1 m 1 1 = G m 1 m (I.14.18) Il fatto che l enegia sia sempe negativa è legato al fatto che pe potae una massa all infinito bisogna allontanae e pe falo la foza gavitazionale (che è attattiva) compie sempe un lavoo negativo. In questo caso la cuva è appesentata da una ipebole equilatea collocata nel quato quadante. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 9

10 Si è già ossevato che quando la foza iguada una inteazione, come nel caso della foza gavitazionale, il lavoo è identico sia che si muova l una o l alta delle due masse. A chi va alloa ifeita l enegia potenziale? La isposta è che l enegia iguada il sistema e questo elemento va tenuto pesente quando si ha a che fae con un sistema a più copi (pe esempio il sistema solae) in cui sono pesenti molteplici foze di inteazione. La enegia potenziale viene alloa ifeita ad ogni coppia di copi inteagenti e pe evitae di calcolala due volte quando si fa poi la somma di tutte le enegie la si fa pecedee da un fattoe ½. La enegia potenziale del sistema saà alloa la somma estesa a tutti i possibili valoi degli indici di ½ dell enegia potenziale di ogni possibile coppia. U = 1 U ij (I.14.19) Quando si vuole distinguee in una inteazione ta la causa della foza e l oggetto su cui la foza agisce si intoducono in fisica i concetti di campo e di potenziale associati ispettivamente alla foza e alla enegia potenziale gavitazionale. Il campo è la foza divisa pe la massa su cui agisce mente il potenziale è l enegia divisa pe la massa su cui si sta opeando. L agomento saà ipeso nelle pati del coso in cui si opea egolamente con ampi e potenziali (elettomagnetismo). Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 10

11 14.5 Quesiti di fine capitolo 1. Riceca di veo: definizione di lavoo a) Il lavoo elementae di una foza F duante uno spostamento infinitesimo l è pai al podotto della componente tangenziale della foza pe il modulo dello spostamento ovveo L = F t l ; b) Il lavoo elementae è sempe diveso da zeo; c) Il lavoo elementae non può mai essee negativo; d) Se il lavoo elementae è nullo vuol die che la foza in quello spostamento elementae è nulla. 4. Riceca di falso: definizione di lavoo. a) Se la foza e lo spostamento e- lementae fomano un angolo ottuso il lavoo è negativo. b) Il lavoo, elativamente ad uno spostamento finito, è pai alla somma di quelli e- lementai elativi a quello spostamento; c) Il lavoo svolto da una foza costante lungo una pozione ettilinea l di taiettoia può essee calcolato diettamente senza fae icoso alla sommatoia dei lavoi elementai; d) In geneale, il lavoo coisponde all aea sottesa dal diagamma con in odinata il modulo della foza ed in ascissa lo spostamento Riceca di veo: definizione di lavoo; il diagamma qui a lato appesenta la componente della foza nella diezione dello spostamento in funzione dello spostamento. Il lavoo compiuto vale: a) 1.5 J b) 1.0 J c) 0.1 J d) 0.1 J 6 4. Riceca di veo: definizione di lavoo. a) Il lavoo di una foza costante elativamente ad uno spostamento l vale L = F t l = F l cos ; b) Il lavoo compiuto da una foza non dipende dalla taiettoia seguita, ma solo dai punti di patenza e di aivo; c) Il lavoo è una gandezza di natua diffeenziale peché nella sua definizione compaiono gli spostamenti elementai che sono dei diffeenziali; d) Quando l'angolo ta la foza e lo spostamento è maggioe di 180 il lavoo è negativo 7 5. Dimostae che il lavoo di una foza d attito costante di modulo F a nel pecoee un quadato di lato l vale L = 4 F a l 6. Data una foza costante di modulo F oientata nel veso dell asse y, dimostae che il lavoo compiuto duante uno spostamento ettilineo dal punto A al punto B, vale F (y B y A ) e vicevesa nel caso in cui la foza abbia veso contaio. 1.0 O F t (N) 1.0 x 4 a) Veo, pe definizione. b) Falso: è nullo quando la foza è pependicolae allo spostamento. c) Falso: è negativo quando la foza foma un angolo ottuso con lo spostamento. d) Falso. Non necessaiamente; basta che la foza sia pependicolae allo spostamento. 5 a) Veo b) Veo c) Veo. d) Falso. La affemazione è impecisa; in odinata deve esseci F t cioè la componente tangenziale della foza e in ascissa la posizione misuata lungo la taiettoia. 6 a) Falso b) Falso c) Falso d) Veo L'aea è ½ ½ = = 0.1 J 7 a) Veo b) Falso: è veo pe alcuni tipi paticolai di foze. Contoesempio: basta pensae al lavoo della foza d attito. Se pecoo il lato AB di un ettangolo di lato a e indico con b la lunghezza dell alto lato avò pe L il valoe F a. Se invece pecoo i te lati AD, DC, CB il lavoo saà F b F a F b c) Falso: è una gandezza di tipo integale come tutte le gandezze definite come somma di contibuti elementai d) Falso. Se l'angolo è maggioe di 70 il lavoo è positivo Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 11

12 7. Stimae con ifeimento ad una opeazione di sollevamento di un peso, il lavoo di 10 5 Joule Riceca di veo: il lavoo della foza elastica a) Il lavoo compiuto da una foza elastica di costante k in un geneico spostamento da x 1 a x vale: L el = kx 1 kx dove x indica la posizione dell estemo mobile della molla ispetto all estemo fisso; b) Duante un allungamento la molla compie un lavoo negativo; c) Il lavoo compito dalla foza elastica è popozionale al quadato dello spostamento; d) Se in una foza elastica si quaduplica la costante elastica e si dimezza lo spostamento il lavoo non cambia Riceca di veo: il lavoo della foza gavitazionale a) si calcola stimando l aea sottesa dalla ipebole equilatea; b) duante uno spostamento adiale da 1 a vale L = G m 1 m ; c) in fase di allontanamento delle masse è sempe negativo; d) è nullo quando lo spostamento avviene lungo achi di ciconfeenza Riceca di falso: lavoo della foza gavitazionale. a) Quando un satellite si muove in obita intono ad un pianeta il lavoo compiuto ad ogni gio dalla foza che agisce sul satellite viene compensato da un piccolo allentamento della otazione del pianeta; b) nel caso di uno spostamento cuvilineo non dipende dalla foma della taiettoia, ma solo dai vettoi posizione iniziale e finale; c) Duante tutti i pocessi di allontanamento le foze attattive compiono sempe lavoi negativi; d) Si supponga di indicae con e R le distanze ta la tea e il sole ispettivamente in peielio e in afelio. La diffeenza di enegia cinetica della Tea nel passae da afelio a peielio vale: GM S M T 1 1 R Calcolae il lavoo compiuto dalla foza elastica utilizzando il significato geometico del lavoo. 1. Spiegae il pocesso di calcolo del lavoo pe la foza gavitazionale ipotizzando uno spostamento adiale. 13. Spiegae peché, se il lavoo della foza gavitazionale, nel caso di spostamenti adiali, vale L = G m 1 m si ha ancoa lo stesso isultato nel caso di spostamenti qualsiasi. 8 Un kg peso equivale a cica 10 N. Petanto il lavoo di 10 5 J equivale al sollevamento a 10 4 m di altezza del peso di 1 kg. 9 a) Falso. Con x si indica la coodinata dell estemo mobile misuata ispetto al punto di annullamento della foza b) Veo. La foza elastica è una foza di ichiamo e petanto duante gli allungamenti compie un lavoo negativo essendo in veso contaio allo spostamento. c) Falso è popozionale alla diffeenza dei quadati delle posizioni iniziale e finale d) Falso: vedi punto pecedente 10 a) Falso. La cuva 1/ non coisponde alla ipebole equilatea che vaia come 1/ b) Falso vale G m 1 m c) veo: la foza gavitazionale è attattiva e in fase di allontanamento compie lavoi negativi d) Falso. Bisogna pecisae che gli achi di ciconfeenza devono essee centati sulla massa fissa in modo di da luogo ad una foza pependicolae allo spostamento. 11 a) Falso: nel caso di obita chiusa il lavoo è nullo b) Veo c) Veo d) Veo. Basta applicae a questo caso il calcolo del lavoo della foza gavitazionale e il teoema dell enegia cinetica. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 1

13 14. Spiegae peché, nel calcolo del lavoo della foza gavitazionale inteviene un segno meno Stimae l eoe elativo che si compie nel calcolo del lavoo della foza gavitazionale se si ipotizza che la foza sia costante quando si compie uno spostamento di '000 m a patie dalla supeficie teeste Spiegae peché pe tutte le foze di tipo centale (cioè diette veso un punto fisso) il lavoo dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale e non dalla foma della taiettoia. 17. Riceca di veo: foze consevative. a) Una foza si dice consevativa quando il lavoo compiuto da essa lungo una geneica taiettoia dipende solo dai punti di patenza e di aivo e non dalla paticolae taiettoia. b) Quando agiscono foze consevative non si possono avee vaiazioni di enegia cinetica. c) Nel caso della foza d attito vale la affemazione L A B = L B Aipotizzando che la taiettoia sia la stessa. d) Nel caso di una foza costante vale la affemazione L A B = L B A ma solo ipotizzando che la taiettoia sia la stessa Enegia potenziale; iceca di falso a) Pe una foza consevativa il lavoo compiuto pe andae da un punto ad un alto qualsiasi dello spazio può sempe essee scitto come diffeenza di due gandezze dipendenti solo dal punto di patenza e dal punto di aivo. b) Si chiama enegia potenziale di una paticella soggetta all azione di una foza consevativa e collocata in un punto A il lavoo che la foza consevativa compie pe spostae la paticella dal punto A ad un punto di ifeimento pefissato. c) Il ifeimento che compae nella definizione di enegia potenziale deve essee un sistema di ifeimento ineziale. d) Il ifeimento che compae nella definizione di enegia potenziale coisponde al punto zeo della enegia stessa Definizione di enegia potenziale; iceca di falso a) Pe la enegia potenziale vale sempe la elazione L A B = U A U L B = U dove A B è il lavoo compiuto dalla isultante di tutte le foze applicate alla paticella che viene spostata da A a B. b) Il valoe di enegia potenziale di un punto dipende olte che dal punto consideato anche dal punto scelto come ifeimento. c) La enegia potenziale è una gan- 1 La foza gavitazionale è una foza di ichiamo 13 Come si è dimostato nel testo l eoe elativo vale h R = T a) Veo b) Falso: non si hanno pe taiettoie chiuse c) Falso. Poiché quando si invete lo spostamento elementae si invete anche il veso della foza si ha che L A B = L B A d) Falso. La popietà è del tutto geneale. Le foze costanti sono l esempio più semplice di foze consevative. 15 a) Veo b) Veo c) Falso. La domanda è quanto di più insensato si potesse poe. Il ifeimento pe la enegia è un punto e non un sistema di di coodinate di ifeimento. L d) Veo pe definizione visto che U if = if if = 0 Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 13

14 dezza elativa. d) Ciò che conta da un punto di vista enegetico sono le diffeenze di enegia e non il valoe assoluto della enegia Definizione di enegia potenziale; iceca di falso. a) Quando si cambia il ifeimento la enegia potenziale di tutti i punti cambia in maniea impevedibile. b) Quando si cambia ifeimento il valoe della enegia cambia pe tutti i punti di una stessa quantità. c) La e- negia potenziale è definita a meno di una costante additiva. d) Il ifeimento pe la enegia potenziale, pe le foze vaiabili, viene di solito peso in coispondenza del punto di annullamento della foza Dimostae che è del tutto equivalente affemae che una foza è consevativa o che il lavoo lungo una taiettoia chiusa è nullo. Tattandosi di equivalenza, discutee le implicazioni in entambi i vesi. 18. Dimostae che se una foza è consevativa si può sempe scivee L A B come diffeenza di due gandezze f A e f B dipendenti solo dai due punti A e B olte che da un oppotuno ifeimento. 3. Spiegae peché l enegia potenziale può essee definita solo pe le foze consevative Dimostae che quando si cambia il ifeimento da G a G la enegia potenziale cambia di una costante pai a L G G 5. Riceca di veo. Enegia potenziale elastica; a) La enegia potenziale pe la foza elastica di costante k a distanza x dal punto di equilibio vale U el = kx. b) Nel definie la enegia potenziale bisogna distinguee quando la molla lavoa in allungamento da quando lavoa in compessione c) Pesa una molla di costante k e di lunghezza di iposo l si supponga di misuae con x la distanza dall oigine della molla. In questo caso la enegia potenziale vaebbe U el = k(x l ). d) La enegia potenziale della foza elastica è positiva nei punti di distensione e negativa in quelli di compessione a) Falso. Il lavoo di cui si pala è quello compiuto dalla foza consevativa consideata. b) Veo. Ma le diffeenze di enegia potenziale non dipendono, invece, dal ifeimento. c) Veo: è elativa al ifeimento d) Veo. 17 a) Falso. Cambia pe tutti i punti di una stessa quantità pai al lavoo pe andae da un ifeimento all alto. b) Veo; vedi isposta pecedente c) Veo d) Veo. La cosa non è obbligatoia ma, tattandosi di un punto da fissae abitaiamente e la cui scelta non detemina diffeenze significative in chiave opeativa si è convenuto di scegliee il punto che coisponde alla scompasa della inteazione. 18 Si veda il testo. Si consiglia di soffemasi con attenzione sulla definizione del contesto (chi sono i punti che intevengono nella dimostazione). 19 Se la foza di cui si pala non è consevativa, posto U P = L P if non avemmo definito un bel nulla peché la gandezza appena definita avebbe valoe diveso a seconda della taiettoia seguita pe andae da P al ifeimento. 0 a) Veo b) Falso; in entambi i casi è positiva e vale ½ k x c) Falso. Poiché la coodinata che enta nel calcolo della enegia potenziale è la distanza dalla posizione di e- Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 14

15 6. Riceca di veo; Enegia potenziale di una foza costante; a) L'enegia potenziale è data dal podotto della foza pe la distanza dall'oigine del sistema di ifeimento b) La enegia potenziale non dipende dalla scelta del ifeimento c) I punti con la stessa enegia potenziale stanno su piani pependicolai alla diezione della foza d) L'enegia potenziale vale F x dove x indica la quota misuata nella diezione e veso della foza Riceca di veo. Enegia potenziale della inteazione gavitazionale pe due masse m 1 e m poste a distanza ; a) vale U = L = G m 1 m b) la enegia potenziale è ifeita ad entambe le masse c) La enegia potenziale può essee calcolata solo a condizione di assumee come ifeimento di essa l'infinito d) Pe un copo alla supeficie teeste vale U = G m m T R T 8. Spiegae peché la enegia potenziale gavitazionale pesenta un segno. 9. Si supponga di misuae l enegia potenziale del campo gavitazionale assumendo come ifeimento la supeficie teeste. Scivee come cambia l espessione della enegia potenziale a distanza dal cento della tea Qual è il legame ta L 1 ed enegia potenziale? Spiega la isposta 4 quilibio, la equazione appesentativa è U el = ha l andamento di una paabola. k(x l) d) Falso. È sempe positiva ed 1 a) Falso: semmai si deve palae di distanza dal ifeimento della enegia potenziale, inolte c'è una questione di segni b) Falso: dipende sempe dalla scelta del ifeimento c) Veo: lungo tale piano la foza non compie lavoo d) Falso: in quel caso vale F x a) Falso vale G m 1 m b) Veo c) Falso; la scelta dell'infinito è puamente convenzionale d) Falso vale G m m T R T 3 Basta usae la espessione del lavoo e la definizione di enegia potenziale. 4 L 1 = L 1 if + L if peché il lavoo non dipende dal pecoso (foza consevativa) L = 1 if L if peché se si invetono gli spostamenti il lavoo cambia segno = U 1 U = U pe definizione di enegia potenziale Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 15

16 14.6 Quesiti dalle Olimpiadi della Fisica Quasi tutti i quesiti poposti iguadanti l enegia potenziale si isolvono in maniea semplice utilizzando la consevazione della enegia e petanto veanno poposti nel capitolo successivo. Lo stesso discoso può essee fatto pe i poblemi di fine capitolo che, petanto, non vengono poposti qui. 1. Olimpiadi 1999 I livello: Due automobiline di massa M e M vengono lasciate da feme nel punto X e si muovono lungo la guida mostata in figua sino al punto Y. Tutti gli attiti sono tascuabili. Quali delle seguenti affemazioni sono coette? I Entambe le automobiline avanno acquistato la stessa enegia cinetica quando saanno aivate al punto Y. II L'automobilina di massa M pecoeà il tatto XY più apidamente dell'automobilina di massa M. III Nel punto Y la quantità di moto di un'automobilina è doppia di quella dell'alta. a) Tutte e te b) Sia la I sia la II c) Sia la II sia la III d) Soltanto la I e) Soltanto la III. 5. Olimpiadi 1996 I livello; Una pesona solleva una scatola da kg dal pavimento fino ad un altezza di 1.5 m in 3s. Quale delle seguenti quantità cambieebbe se quella pesona ipetesse la stessa opeazione impiegando questa volta 5s? a) II lavoo fatto pe sollevae la scatola. b) L'enegia necessaia pe sollevae la scatola. c) L'enegia potenziale gavitazionale della scatola. d) Lo spostamento effettuato. e) La potenza media necessaia pe sollevae la scatola. 3. Olimpiadi 1995 I livello; Il gafico a desta è ifeito al moto di un copo che sta cadendo senza attito pe effetto della gavità. Quale delle seguenti quantità è stata ipotata sull'asse delle odinate? a) La distanza pecosa. b) La quantità di moto. c) L'enegia totale. d) L'enegia cinetica. e) L'enegia potenziale. 4. Olimpiadi 003 I livello. Un oggetto è lanciato veticalmente veso l alto a una data velocità. Tascuando la esistenza dell aia e la vaiazione dell acceleazione di gavità con l altezza, quale delle seguenti affemazioni è coetta? a) L enegia cinetica dell oggetto è massima alla massima altezza aggiunta. b) Se la velocità iniziale addoppia, la massima altezza aggiunta è quatto volte maggioe. c) La quantità di moto dell oggetto è costante duante il moto. d) L oggetto pecoe distanze uguali in tempi uguali sia duante la salita che duante la discesa. e) L enegia potenziale dell oggetto cesce della stessa quantità ogni secondo duante la salita Olimpiadi 003 I livello: Quando una sfeetta di massa m cade sotto l azione della gavità in un liquido viscoso, aggiunge una velocità limite v. Il moto viene ifeito ad un asse positivo veso l alto. Suc- 5 In Y acquistano quanto pedono di enegia potenziale e le due vaiazioni sono doppie (a causa della massa); in Y la velocità è la stessa peché dipende solo dal dislivello; in Y la quantità di moto è doppia peché è doppia la massa ed identica la velocità. 6 L enegia potenziale cesce in modo lineae con la quota ma la quota è legata al tempo da una elazione quadatica. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 16

17 cessivamente la vaiazione di enegia potenziale della sfeetta pe u- nità di tempo è: a) zeo; b) mgv; c) mgv ½ mv ; d) ½ mv ; e) ½ mv mgv 7 6. Olimpiadi 00 I livello: Una palla lasciata cadee da fema a una ceta altezza dal pavimento, imbalza divese volte. Il gafico mosta come vaia nel tempo una gandezza (indicata con y) legata al moto della palla. Che cosa appesenta la gandezza y? 8 a) L'acceleazione. b) Lo spostamento. c) L'Enegia cinetica. d) La velocità. e) L'enegia meccanica totale. 7. Un satellite con la massa di kg è in un obita cicolae di aggio R. All altezza dell obita il potenziale gavitazionale della Tea è pai a 60 MJ/kg. Il satellite viene poi spostato su un alta obita il cui aggio è R. Quale fa i valoi indicati di seguito appesenta il guadagno di enegia potenziale del satellite, espesso in joule, quando avviene questo cambiamento di obita? (I livello 00) 9 A B C D E L intensità del campo gavitazionale in un punto P della supeficie teeste è uguale (I livello 00) A all acceleazione di caduta libea nel punto P B alla vaiazione dell enegia in uno spostamento unitaio dal punto P C alla foza che agisce su un copo posto in P D al lavoo fatto pe potae una massa unitaia dall infinito nel punto P E al lavoo fatto pe potae una massa unitaia dal cento della Tea nel punto P 9. Un satellite si muove intono alla Tea descivendo un obita ellittica al di fuoi dell atmosfea. Nel punto in cui si tova più vicino alla Tea, (I livello 003) 30 A l enegia cinetica è massima e l enegia potenziale è minima. B l enegia potenziale è massima e l enegia cinetica è minima. 7 U t = mg h = mgv t 8 A) La acceleazione è g con delle busche vaiazioni nelle fasi di imbalzo; B) lo spostamento dalla posizione iniziale con asse positivo veso il basso e oigine nel punto di patenza segue l andamento paabolico del mua con oscillazioni via decescenti sino alla quiete C) L enegia cinetica cesce e decesce con andamento paabolico ma è zeo all inizio e zeo alla fine D) la velocità segue un andamento ettilineo E) L enegia totale ad ogni imbalzo decesce e viene completamente peduta nel pocesso 9 V = -G M T R e V = -GM T R = ½ V. Dunque U = M V = - M ½ V = MJ 30 In fase di avvicinamento la foza gavitazionale compie lavoi positivi e dunque l enegia cinetica aumenta. L enegia potenziale è espessa da un amo di ipebole nel IV quadante e il valoe minimo si ha quando R ha il valoe minimo. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 17

18 C sia l enegia cinetica che l enegia potenziale sono massime. D sia l enegia cinetica che l enegia potenziale sono minime. E l enegia totale o è massima o è minima. 10. Una foza di 5 N allunga una molla di 0. m. Quanto vale l enegia potenziale della molla allungata? (I livello 010) 31 A 1 J B 0.5 J C 0.1 J D 0.0 J E 0.05 J 11. Una sciatice di 50 kg si lascia andae, dal fianco di una collinetta (punto A in figua), ad un altezza h1 = 0.4 m, supeando un secondo ilievo alto h = 8m ed aivando in piano nel punto C. In tutto questo pecoso l attito si può consideae tascuabile. Qual è la velocità della sciatice nel punto più alto (B) del secondo ilievo? (I livello 011) 3 A 9.64m/s B 11.m/s C 1.5m/s D 15.6m/s E 3.6m/s 1. Con ifeimento al quesito pecedente, aivata nel punto C, la sciatice fena e si fema dopo 48 m, nel punto D. Quanto vale il valo medio della foza fenante nel tatto CD? (I livello 011) 33 A 86.1N B 08N C 8N D 38N E 490N 31 Aea 3 Il lavoo della foza peso pe andae da A a B è dato da U A U B = mg(h 1 h ). D alta pate questo lavoo si tasfoma in vaiazione di enegia cinetica e dunque ½ m v 0 = mg(h 1 h ) da cui v= g(h 1 h ) = 15.6 m/s 33 Con agionamenti analoghi a quelli svolti pe il quesito pecedente si ha: F CD = mgh 1 da cui F = mgh 1 CD = = 08 N Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 18

19 Indice analitico aea: funzione 1/x - 4 diffeenza di enegia potenziale: indipendenza dal ifeimento - 8 enegia posizionale: o potenziale - 7 enegia potenziale: definizione - 7; di un sistema - 10; dipendenza dal ifeimento - 7; foza costante - 9; foza elastica - 9; foza gavitazionale - 9 Esecizio: eoe nella appossimazione di foza gavitazionale costante - 5 foze consevative: il lavoo come diffeenza di una nuova gandezza - 6; lavoo in una taiettoia chiusa - 6; lavoo indipendente dal pecoso - 6 foze d attito: sempe non consevative - 6 gandezze: natua integale o diffeenziale - lavoo: aea del diagamma sotteso - 1; foza elastica - 3; foza gavitazionale; spostamento cuvilineo - 4; spostamento adiale - 4; foze centali - 5; foze costanti - 3; somma dei lavoi elementai - 1 lavoo di una foza consevativa: diffeenza di enegia potenziale - 7 lavoo elementae: componente tangenziale della foza - 1; definizione - 1 potenziale - 10 Quesiti dalle Olimpiadi della Fisica Quesiti di fine capitolo Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 19

20 Il calcolo del lavoo pe foze paticolai Foze costanti Foze elastiche Foze gavitazionali le foze consevative lavoo e pecoso il lavoo come aea enegia potenziale definizione U A = L A if e se ci sono anche foze non consevative? Foze costanti U = F x Foze elastiche U = ½ k x Foze gavitazionali U = G M m uolo e impotanza di U Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 14: Le foze consevative e l enegia potenziale pag. 0