CAMPI CONSERVATIVI. 1) Definizioni generali

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1 CAMI CONSERVATIVI ) Definizioni geneali e gli sviluppi del nosto studio conviene fin da oa genealizzae quanto già visto, guadagnandoci anche in chiaezza. Ci sono gosse diffeenze ta foze coe quella di gavità e foze coe la tensione di una coda o l attito di un piano scabo. Nel pio caso la foza è pesente in tutti i punti di una data egione di spazio in cui si possa tovae un copo di assa (vedeo che la foza può essee tascuabilente piccola se ci si allontana abbastanza dalla Tea, a in teoia non è ai nulla tanne che al cento del pianeta supposto sfeico). Negli alti due esepi oa citati non è così: in un caso la foza non esiste se il copo non è poggiato sul piano scabo, nell alto non esiste (ovviaente) in tutti i punti divesi da quello in cui il copo è fissato alla coda. Le foze F( ) del pio tipo, definite pe ogni vettoe posizione del copo sul quale agiscono, si chiaano FORZE DI CAMO. e queste soltanto (!) si può sepe definie il lavoo lungo un caino γ qualsiasi, peché in ogni punto di tale caino la foza F( ) saà definita in odo Fg univoco. La foza peso F g = g è chiaaente una foza di capo; la gandezza g =, foza pe unità di assa, pende il noe di capo gavitazionale alla supeficie teeste. Dal fondaentale concetto di foza di capo seguono alti enunciati geneali; ne discutiao oa alcuni olto ipotanti. a) Definizione: una foza di capo F( ) si dice CONSERVATIVA se il lavoo di F( ) ta due punti A e B non dipende dal caino γ (coe nel caso appena tattato della foza di gavità) a solo dai due estei A e B; b) teoea: dalla definizione a) segue che il lavoo di una foza di capo consevativa lungo un caino chiuso (il lavoo di una foza qualsiasi lungo un caino chiuso è detto CIRCUITAZIONE) è nullo. Diostiaolo, con ifeiento alla fig. : fig. γ X γ calcoliao la cicuitazione di una qualsiasi foza di capo consevativa (poteo anche usae, quando non daà luogo ad abiguità, la teinologia abbeviata capo consevativo ) lungo il caino chiuso che chiaeeo γ ; γ è individuato da γ, il pecoso (segnato in osso) che va in fig. dal punto di patenza al punto X (scelto ad abitio) seguito da γ, il pecoso (in celeste) fatto stavolta da X a. La cicuitazione

2 L calcolata lungo γ è nulla: peché? e la (4), popietà additiva del lavoo ispetto al caino γ, si ha L = L + L dove L è il lavoo copiuto lungo γ e L quello copiuto lungo γ. Consideiao oa γ : se calcoliao il lavoo pecoendo la cuva da a X otteniao L peché il lavoo è indipendente dal pecoso in base alla definizione a); dato che lo calcoliao pecoendo la cuva da X a otteniao L = L peché nel suo calcolo i vettoi spostaento eleentai in cui si suddivide γ isultano cabiati di segno essendo la cuva pecosa in veso opposto. Si ha quindi L = L L = 0 e pe l abitaietà di γ, γ e X si conclude che la popietà è vea pe ogni cuva γ. E facile vicevesa diostae che se la cicuitazione è nulla il capo è consevativo secondo la a). Rifeendosi ancoa alla fig., diostiao che il lavoo di una foza di capo avente cicuitazione nulla ta due geneici punti e X è indipendente dal caino da a X. Scegliendo infatti due abitai caini γ e γ, consideiao il caino da a X lungo γ e il caino da a X lungo γ ; chiaiao ancoa L e L i coispondenti lavoi copiuti dalla foza di capo a cicuitazione nulla. Ma in questa configuazione, pe consideazioni pecedenti e pe ipotesi, vale L = L L = 0 cioè L = L, che è la tesi. Abbiao tovato dunque due definizioni equivalenti di capo consevativo, ta cui scegliee in base alle cicostanze. Veniao al tezo e ultio enunciato teoico del paagafo: c) definizione: se in un capo consevativo scegliao coe al solito ad abitio un punto di ifeiento R coe pe la foza peso in figua 3, il lavoo della foza di capo ta un geneico punto e il punto R si chiaa enegia potenziale del capo in. Si scive cioè pe definizione U ( ) = () L R Coe si vede, questa non è nient alto che la genealizzazione delle definizioni date pe la foza peso. E ovvio dalla () che U ( R) = 0 (si dice infatti che R è lo zeo dell enegia potenziale) anche se non è detto che sia l unico punto a veificae questa condizione; sappiao già che pe la foza peso U ( ) = gh con h quota di ispetto a R, e che tutti i punti aventi la stessa quota di R hanno enegia potenziale nulla. E facile veificae anche una ipotantissia foula geneale: se A e B sono punti qualsiasi dello spazio in pesenza di una foza di capo consevativa L = U ( A) U ( B = U () A B ) e povalo ifeiaoci alla fig. a pagina seguente:

3 A. γ Fig.. B. R Si ottiene che L A B = LA R + LR B peché il lavoo è indipendente dal pecoso e posso calcolalo scegliendo di passae pe R nel tagitto da A a B (quello di coloi celeste e vede in fig. ). Inolte abbiao ipaato nella diostazione dell enunciato b) che LR B = LB R pe cui utilizzando la () segue subito la (). E evidente dalla () che, data una foza di capo consevativa, se in due geneici punti A e B l enegia potenziale ha lo stesso valoe il lavoo della foza di capo ta questi due punti è nullo. Cobinando infine la () con il teoea dell enegia cinetica si iottiene in geneale la legge di consevazione dell enegia: E = v + U ( ) (3) Dagli enunciati b) e c) si deducono alti fatti ipotanti. Il pio è che l attito dinaico è il classico esepio di foza non consevativa : pe b) una foza è infatti consevativa se e solo se ha cicuitazione nulla, a il lavoo della foza d attito ha sepe cicuitazione negativa peché è sepe negativo su ogni pecoso, avendo la foza veso contaio a quello del oto. Inolte con la () si può calcolae (se ci iesce, peché è un poblea di ateatica più o eno coplicato ) l enegia potenziale di ogni capo consevativo dopo ave veificato che lo è effettivaente. ) Gavitazione univesale. Un caso fisico ipotantissio pe il quale è indispensabile il concetto di foza di capo è quello della foza di gavitazione univesale. Ricodo questa legge di foza, cioè quella di inteazione ta due asse puntifoi e poste a distanza d = ; tale legge fu dedotta teoicaente da Newton e veificata diettaente da Cavendish cica 00 anni dopo con un espeienza di laboatoio iasta celebe. La legge di foza ha le seguenti caatteistiche: ) la foza è dietta lungo la congiungente i due punti ateiali (diezione); ) è attattiva (veso); 3) il suo odulo vale F = G (intensità), con G costante univesale, detta costante di Cavendish. Analogaente a coe faeo in futuo in situazioni siili (inteazione ta copi eletticaente caichi) chiaiao le due asse M e e decidiao abitaiaente di 3

4 fissae l attenzione sulla foza esecitata dal copo di assa M su quello di assa ; se volessio fae il contaio, con il tezo pincipio saebbe pealto ovvia la odifica della notazione. Facciao questo pe un otivo ipotante: in tutte le applicazioni che ci inteessano una delle due asse è olto aggioe dell alta (p. es. il Sole e la Tea,.la Tea ed un copo alla sua supeficie o una navicella spaziale o satellite uotanti intono ad essa); è natuale chiaae M la assa aggioe e quindi poe M >>. In queste condizioni possiao suppoe che il cento di assa del sistea dei due copi coincida con quello del copo di assa M e studiae il oto ponendo M iobile (ponendosi cioè in un sistea di ifeiento solidale al cento di assa) e soggetto alla foza di capo esecitata da M Chiaiao F tale foza e il vettoe posizione del punto ateiale di assa ispetto a quello di assa M ; con la nosta scelta la legge di foza appena enunciata potà assuee la seguente seplice ed elegante espessione vettoiale: M F = G ˆ (4) Coe si vede chiaaente dalla legge (4), secondo la definizione data all inizio del capitolo la foza di attazione gavitazionale ta due asse puntifoi è una foza di capo: nella (4) copae solo il vettoe posizione, una costante fondaentale (la costante di Cavendish) e delle costanti caatteistiche dei copi in esae (le due asse). La foza di capo (in futuo poteo anche chiaala sepliceente foza, sottintendendo la locuzione foza di capo ) nella (4) è una foza consevativa; sulla questione della diostazione di questo ipotantissio fatto poteo tonae in quinta. Saà alloa possibile calcolae l enegia potenziale della foza nella (4) usando la (); anticipo peò il isultato, peché è seplice e facilente utilizzabile pe le applicazioni. La foula è la seguente: M U ( ) = G + C (5) Questa è la foula dell enegia potenziale del copo di assa sottoposto alla foza gavitazionale esecitata dal copo di assa M ; natualente il valoe della costante abitaia C dipende al solito dalla scelta del punto di ifeiento R. E evidente che il lavoo della foza (4) ta due punti qualsiasi A e B, di vettoi posizione ispettivaente A e B, vale, indipendenteente dalla scelta di C : L A B = GM B A (6) I fisici hanno adottato nella (5) la scelta del ifeiento più cooda dal punto di vista algebico (e non solo ), cioè C = 0. Con questa scelta, dove si tova il punto di ifeiento R? Riflettiao sull espessione dell enegia potenziale, che oa è evidenteente diventata: M U ( ) = G (5bis) Qui l enegia potenziale è sepe negativa; icodo inolte che il ifeiento R è caatteizzato dal fatto che U ( R) = 0. A stetto igoe, dalla (5bis) non esiste un punto che 4

5 soddisfa a tale equisito, in quanto quell enegia potenziale non si annulla ai(!). Osseviao peò che il valoe di U () si avvicina a zeo (si dice, coe ipaeeo pesto nel coso di ateatica, che tende a zeo) allontanandosi sepe di più dal copo di assa M, cioè da O; dieo alloa che R, cioè il ifeiento, che deve avee enegia potenziale nulla, sta all infinito, cioè a distanze da O talente gandi da endee tascuabile l effetto della (4). Diao oa un ultia ipotante definizione, di cui veà fatto in quinta gande uso della sua vaiante elettica. Si considei la foza di gavitazione univesale data dalla (4): la gandezza fisica F g = (7) è detta vettoe capo gavitazionale (o più sepliceente capo gavitazionale) geneato dalla assa puntifoe M nel geneico punto di vettoe posizione. La (7) genealizza evidenteente la definizione di capo gavitazionale alla supeficie teeste data all inizio del capitolo; il vettoe g ha, coe già detto, le diensioni di un acceleazione. Dalla (4) si ha subito: GM g = ˆ (7bis) Il capo gavitazionale nella (7bis) non dipende più dal valoe di a solo da e dai paaeti caatteistici del copo di assa M (la sua posizione O e, appunto, la sua assa); ciò giustifica la teinologia adottata, cioè il fatto che si pala di capo geneato dal copo di assa M. Coe si vede, ci siao in un ceto senso libeati dell inteazione ta due copi concentandoci sulle popietà fisiche di un copo solo, in questo caso il copo puntifoe di assa M, geneatoe del capo g. Dai isultati appena discussi siao in gado di scivee la (3) nel odo seguente: E = v G M (3bis) La nosta scelta del ifeiento dell enegia potenziale all infinito, cioè olto lontano dal punto di assa M, geneatoe del capo gavitazionale, ci consente di esainae facilente l ipotante caso fisico seguente, che saà spesso tattato negli esecizi: quanto vale l enegia eccanica di un copo di assa sotto l azione del capo geneato dalla assa M se si tova feo all infinito ispetto a M? Evidenteente E = 0. Il copo potà avee E = 0 anche in alti casi, peché nella (3bis) i due addendi a secondo ebo sono discodi; il caso in cui sono entabi nulli (o eglio, il secondo addendo tende a zeo, cioè può essee consideato nullo), è peò quello pe cui il punto si tova appunto in quiete all infinito. 3) Capo gavitazionale teeste. Nel capitolo pecedente palavao della foza di gavità alla supeficie teeste: tale foza è una foza costante e su un copo di assa vale g, con g vettoe costante dietto veso il cento della tea e di odulo g = 9,8. Cosa c enta tutto questo con il s 5

6 pecedente paagafo sul capo gavitazionale geneato da una assa puntifoe? Appaenteente olto poco In ealtà il legae è stettissio: discutiaolo iediataente. Consideiao un copo di assa M e di foa sfeica; sia a il aggio di questa sfea. Supponiao che il copo sia oogeneo: pesa cioè una abitaia pozione del copo sfeico di volue V, la assa di questa pozione è tale che il appoto è lo stesso qualunque sia la pozione scelta; toneeo su questo concetto in un V capitolo successivo, quando paleeo di statica dei fluidi. E chiao che questa sfea oogenea di aggio a e assa M, pe otivi di sietia, genea un capo gavitazionale dietto veso il cento della sfea; iane un isteo il valoe del odulo del capo (che chiaeeo ancoa g, genealizzando la definizione (7). Ci occupeeo oa del valoe di g pe vettoi posizione (con oigine O nel cento della sfea assiva) tali che a, cioè ci disinteesseeo di ciò che succede all inteno della sfea. Diosteeo in quinta che un copo (non puntifoe!) con queste caatteistiche (cioè sfea oogenea di aggio a e assa M ), genea pe a un capo gavitazionale uguale a quello geneato da una assa puntifoe di valoe M e posta al cento della sfea(!). In quinta icaveeo anche il odulo di g all inteno della sfea; è counque ancoa evidente, sepe pe otivi di sietia, che g saà ancoa dietto veso il cento e che in paticolae saà nullo al cento della sfea. L ipotanza della questione è counque secondaia nei poblei conceti di fisica che ci possiao poe oa. A questo punto possiao finalente consideae un copo celeste conceto, coe ad esepio il pianeta Tea, o la luna, o un alto pianeta ( o suo satellite) del sistea solae. Evidenteente in tutti questi casi fisici il aggio a e la assa M dipendeanno dal copo celeste consideato; sono valoi noti e counque disponibili in oppotune tabelle su ogni libo di testo. Ad esepio, pe il pianeta Tea a = T, aggio (edio) teeste e M = M T, assa della Tea. Consideiao popio la Tea, che è evidenteente il caso fisico più inteessante pe le noste applicazioni concete. La Tea non è né esattaente sfeica, né esattaente oogenea; questo pota a piccoli spostaenti ispetto al valoe teoico nella (7bis), che possono peò essee tascuati. Consideando ad esepio il valoe del odulo g del capo gavitazionale alla supeficie teeste, cioè pe = T, si ottiene alloa: GM T g = T (8) Sostituendo i valoi di queste costanti nella (8), si tova g = 9,8, che è il valoe s noto dell acceleazione (edia) di gavità alla supeficie teeste; evidenteente l altettanto nota espessione della foza peso del capitolo pecedente si ottiene dalla foula invesa della (7). Questo valoe costante di g, e quindi il valoe costante della foza su un copo di assa, sono natualente validi alla supeficie teeste, cioè se = T. A distanze abbastanza gandi dalla supeficie, g coincia a diinuie, natualente secondo la (7bis). Abbiao detto che la (8) vale pe una Tea sfeica e oogenea; i valoi isuati di g alla supeficie teeste subiscono in ealtà piccole vaiazioni da zona a zona del pianeta, a in tutte le applicazioni concete si può usae g = 9,8, che costituisce un appossiazione più che accettabile pe i calcoli (anzi, s spesso lo facciao butalente diventae 0..). Manca solo un coento sull enegia potenziale alla supeficie teeste: si può diostae che la foula geneale (5) si iduce, 6

7 con una scelta oppotuna della costante C, alla ben nota pecedente quando T U ( ) = gh del capitolo ; la foula, coispondente ad una foza g F = costante, vale ancoa con ottia appossiazione ad altezze dal suolo fino ad alcuni chiloeti, coe pe un aeeo in un volo di linea, o se ci toviao in cia al onte Bianco, a cica 5000 eti sul livello del ae. Concludo il paagafo evidenziando ancoa la fotuna di avee in natua capi di foza consevativi. Cabiando il caino γ ta due punti cabia tutto: cabiano i tattini (con i elativi vettoi spostaento), cabia il valoe della foza di capo in ogni punto e di conseguenza cabia l angolo θ Non petendo che appezziate, a è una specie di iacolo che alla fine il lavoo assua lo stesso valoe! 4) Sistea isolato di due copi Nei due paagafi pecedenti abbiao studiato le inteazioni gavitazionali di due copi, che potevao tattae coe punti ateiali, nella condizione M >> ; in questo caso potevao studiae il oto di nel capo geneato da M supposta iobile. Dobbiao aleno accennae, in quanto olto utile, ad una genealizzazione che ette sullo stesso piano i due copi. Supponiao che siano veificate le seguenti ipotesi pe due copi A e B di asse ispettivaente A e B, che possiao tattae coe punti ateiali: ) il sistea A+B è isolato; ) la foza di inteazione ta A e B è consevativa. Si può diostae, con ezzi ateatici toppo sofisticati pe noi, che è definita una gandezza scalae E, detta ancoa enegia (eccanica) del sistea A+B, che è costante nel tepo, cioè si conseva, avente la seguente espessione: E = v + v U (9) A A B B + con U detta ancoa enegia potenziale del sistea, dipendente ovviaente dal tipo di inteazione ta i due copi. Ad esepio, nel caso di due copi inteagenti con la foza gavitazionale, si ha U G A B = (0) AB con AB, coe agionevole attendesi, distanza ta i due copi. Nel caso poi di due copi collegati taite una olla, cioè soggetti ad una foza di inteazione elastica, si ha, tascuando la lunghezza a iposo della olla: U = k AB () con k costante elastica della olla. Se vale la condizione paticolae A >> B, si può poe v A = 0 (peché siao nel sistea di ifeiento di quiete del cento di assa) e si itovano i isultati ottenuti in pecedenza. Un applicazione fondaentale della (9) si ha negli uti elastici ta due copi: qui al oento dell uto agiscono foze di inteazione ipulsive (di natua elettoagnetica) che si possono consideae consevative con un teine U attivo solo duante l uto, cioè pe tepi t olto bevi (es: pe un uto ta sfee d acciaio con diaeti d 0c e velocità elative v / s si ha t s ); pia e dopo l uto sopavvivono solo i pii due teini della (9), da cui la consevazione dell enegia cinetica supposta nel tattae gli uti elastici. 7

8 5) Sistei isolati a olte paticelle Un gas si può pensae, in oppotune condizioni, coe un sistea isolato di N copi (olecole); il poblea è che il nueo N di copi, che consideeeo puntifoi (coe si 3 dice anche, di paticelle) è enoe, dell odine di 0 o aggioe. In geneale se ho un sistea di N copi (si può iniziae, coe abbiao già fatto nel paagafo pecedente, con N=) posso ancoa palae di ENERGIA di questo sistea? Si può diostae in geneale che, coe già visto pe N=, se le foze d inteazione ta le paticelle del sistea (che in un gas vengono chiaate foze inteolecolai) sono consevative, è possibile definie una gandezza fisica E, che chiaeeo ENERGIA INTERNA del sistea, costante nel tepo se il sistea è isolato. Dallo sviluppo della teoia isulta che l enegia intena E del sistea con le popietà oa enunciate si può definie così: è la soa delle enegie cinetiche di tutti gli N copi, a cui va aggiunto un alto teine che pende il noe di enegia potenziale intena del sistea, oiginato popio, coe già visto nel paagafo pecedente, dalle foze di inteazione ta i copi del sistea. Questa dipende (in geneale in odo coplicato) dai vettoi posizione e dalle asse delle paticelle ( è la assa della paticella i-esia) e si chiaeà coe pia U. Sciviao alloa, con odulo della velocità della paticella i-esia: i v i E = N i= v i i + U () e fotuna, nelle situazioni in cui doveo calcolae E pe un sistea a olte paticelle, poteo consideae tascuabile U : è il caso del cosiddetto gas pefetto, pe il quale sciveeo l enegia intena del sistea con la foula N E = i v i ( bis) i= Dico subito che spesso l enegia intena, nella () o nella ( bis), viene chiaata popio U coe l enegia potenziale intena appena definita; pe fotuna il nosto libo di testo (nel secondo volue) palando di gas usa il noe E int al posto di E, olto appopiato, pe cui, quando possiaente studieeo la teoia dei gas, adotteeo anche noi quella scelta. e concludee, cosa succede se un sistea di N paticelle non è isolato? E chiao che E non è più costante: olte alle foze di inteazione ta i copi del sistea, che possiao chiaae foze intene, agiscono sul sistea anche foze estene (aleno una ) appunto peché questo non è un sistea isolato; se tali foze estene copiono lavoo su alcune o su tutte le paticelle del sistea, questo deteina senz alto una vaiazione dell enegia intena E pia definita. La situazione è olto coplessa a è fequentissia in un gas, pe il quale studieeo a fondo popio le vaiazioni di E ( o, coe già peannunciato, di E int, noe utilizzato nella teoia dei gas) in seguito ad azioni estene. Si può pe fotuna diostae una foula fisicaente olto agionevole: se chiaiao L tot la soa dei lavoi copiuti da tutte le foze estene agenti sul sistea, si ha il isultato seguente: L tot = E (3) che genealizza il teoea dell enegia cinetica e che saà la base del nosto studio dei sistei a olte paticelle. 8