Corso di Fisica Generale 1

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1 Corso di Fisica Generale 1 corso di laurea in Ingegneria dell'automazione ed Ingegneria Informatica (A-C) 13 lezione (10 / 11 /2015) Dr. Laura VALORE laura.valore@na.infn.it / laura.valore@unina.it Pagina web : Ricevimento : appuntamento per studio presso il Dipartimento di Fisica (Complesso Universitario di Monte Sant'Angelo, Edificio 6) stanza 2M13 Oppure Laboratorio (Hangar) 1H11c0

2 Ricavare una forza conservativa dalla funzione energia potenziale Consideriamo una particella vincolata a muoversi in una dimensione, sottoposta all'azione di una forza conservativa : U = - L = - xi xf F(x) dx se vogliamo ricavare F(x) a partire dalla U(x) dobbiamo operare in senso inverso : F(x) = - du(x)/dx (moto unidimensionale) verifica : energia potenziale elastica : U(x) = ½kx 2 -d(½kx 2 )/dx = -kx energia potenziale gravitazionale : U(y) = mgy -d(mgy)/dy = -mg

3 Come leggere una curva dell'energia potenziale dato un grafico di U(x), energia potenziale di una particella in moto unidimensionale su cui agisce una forza conservativa F(x), possiamo ricavare per via grafica l'espressione della F(x) come inverso della pendenza della curva U(x). dove la U(x) è costante, la sua derivata è zero (F(x) = 0)

4 Come leggere una curva dell'energia potenziale dato un grafico di U(x), energia potenziale di una particella in moto unidimensionale su cui agisce una forza conservativa F(x), possiamo ricavare per via grafica l'espressione della F(x) come inverso della pendenza della curva U(x). dove la U(x) ha pendenza negativa, l'inverso della sua derivata ha pendenza positiva (F(x) crescente). Viceversa, dove U(x) ha pendenza positiva, F(x) è decrescente

5 Ricavare l'energia cinetica K(x) Aggiungendo alle precedenti l'ipotesi che non ci sia attrito, l'energia meccanica della particella si conserva ha un valore costante : Emec = U(x) + K(x) da cui : K(x) = Emec U(x) se conosciamo Emec ed il grafico di U(x) possiamo ricavare K(x) per ogni posizione K(x) è la differenza, punto per punto, tra Emec = costante ed U(x)

6 Ricavare l'energia cinetica K(x) Per valori di x maggiori di x5, K(x) = Emec U(x) = 5,0 J 4,0 J = 1,0 J Il valore massimo di K(x) lo abbiamo in x = x2, il valore minimo (K = 0) in x = x1

7 Ricavare l'energia cinetica K(x) In x = x1, K = 0 la particella è ferma. Per x < x1, K(x) dovrebbe assumere valori negativi, ma è proporzionale a v 2, quindi K(x) non puo' mai essere negativa! Quindi la particella non puo' mai muoversi verso valori di x < x1. Andando da x2 ad x1, K(x) diminuisce dal valore massimo a zero, sta rallentando, fino a fermarsi in x = x1

8 Il punto d'inversione è un punto in cui l'energia cinetica è nulla ed il moto della particella cambia verso. Da questo grafico vediamo che a destra di x1 non ci sono piu' punti d'inversione, quindi la particella continuerà muoversi indefinitamente verso destra Punti d'inversione Quando la particella arriva in x = x1, F(x) è positiva: c'è una forza conservativa che sta agendo, quindi non puo' restare ferma in x1 ricomincia a muoversi nel verso opposto. Il punto x = x1 è detto punto d'inversione

9 Punti di equilibrio Il grafico mostra altri 3 valori di E mec = costante Caso con Emec = 4,0 J il punto d'inversione si trova tra x1 ed x2. Per x > x5, Emec = U(x) = costante K(x) = 0, ed anche F(x) = -du(x)/dx = 0 (derivata di una costante). La particella è ferma. Lo stato della particella si definisce di equilibrio indifferente.

10 Punti di equilibrio Caso con Emec = 3,0 J due punti d'inversione : uno tra x1 ed x2, e l'altro tra x4 ed x5. In x3, Emec = U(x) K(x) = 0. Se la particella si trova esattamente in x3, anche F(x) = 0, ma per uno spostamento minimo F(x) 0 e la particella riprende a muoversi. Lo stato della particella si definisce di equilibrio instabile.

11 Punti di equilibrio Caso con Emec = 1,0 J In x4 la particella è bloccata. Sia a destra che a sinistra Emec U(x) < 0 non puo' muoversi da sola. Se la posizioniamo nella buca di potenziale attorno al punto x2, puo' spostarsi di poco a destra e sinistra ma tende sempre a tornare in x2. Lo stato della particella si definisce di equilibrio stabile.

12 Problema svolto 8.4 Una particella di massa m=2,00 kg si muove lungo l'asse x mentre su di essa agisce una forza conservativa nella medesima direzione. L'energia potenziale U(x) segue l'andamento nel grafico. Per x = 6,50 m la velocità della particella è v 0 = (-4,00 m/s) i a) dalla figura, ricavare la velocità scalare della particella per x = 4,5 m U [J] x [m]

13 Problema svolto 8.4 Una particella di massa m=2,00 kg si muove lungo l'asse x mentre su di essa agisce una forza conservativa nella medesima direzione. L'energia potenziale U(x) segue l'andamento nel grafico. Per x = 6,50 m la velocità della particella è v 0 = (-4,00 m/s) i a) dalla figura, ricavare la velocità scalare della particella per x = 4,5 m U [J] Emec = 16 J K 1 7 K x [m]

14 Problema svolto 8.4 Una particella di massa m=2,00 kg si muove lungo l'asse x mentre su di essa agisce una forza conservativa nella medesima direzione. L'energia potenziale U(x) segue l'andamento nel grafico. Per x = 6,50 m la velocità della particella è v 0 = (-4,00 m/s) i b) dove è collocato il punto d'inversione per la particella? U [J] Emec = 16 J K 1 7 K x [m]

15 Problema svolto 8.4 Una particella di massa m=2,00 kg si muove lungo l'asse x mentre su di essa agisce una forza conservativa nella medesima direzione. L'energia potenziale U(x) segue l'andamento nel grafico. Per x = 6,50 m la velocità della particella è v 0 = (-4,00 m/s) i b) dove è collocato il punto d'inversione per la particella? U [J] K = 0 U = Emec Emec = 16 J K 1 7 d K x [m]

16 Problema svolto 8.4 Una particella di massa m=2,00 kg si muove lungo l'asse x mentre su di essa agisce una forza conservativa nella medesima direzione. L'energia potenziale U(x) segue l'andamento nel grafico. Per x = 6,50 m la velocità della particella è v 0 = (-4,00 m/s) i b) calcolare la forza agente sulla particella quando si trova tra 1,9 m e 4,0 m U [J] Emec = 16 J K 1 7 d K x [m]

17 Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna Il lavoro svolto da una forza esterna su un sistema è l'energia ceduta o assorbita dal sistema stesso Quando le forze esterne sono molteplici, l'energia ceduta o assorbita corrisponde al lavoro totale. Il lavoro L è : positivo se l'energia viene ceduta al sistema negativo quando viene sottratta dal sistema. sistema sistema L positivo L negativo

18 Sistemi senza attrito Se lanciamo un oggetto per aria, ad esempio una boccia, la forza che abbiamo applicato compirà un lavoro L per trasferire energia al sistema boccia-terra, in particolare : la boccia aumenta la sua energia cinetica, quindi c'è una variazione K la distanza boccia-terra varia (aumenta nel tratto iniziale, per poi diminuire), quindi c'è una variazione dell'energia potenziale U del sistema boccia-terra La forza esterna applicata quindi compie lavoro sul sistema boccia-terra. In assenza di attrito, il lavoro svolto dalla forza esterna sul sistema corrisponde alla variazione di energia meccanica : L = Emec = K + U boccia Emec = K + U Terra

19 Sistemi con attrito Consideriamo un blocco che scivola su un pavimento. v 0 v f k F d la forza F costante agisce sul blocco per spostarlo, mentre la fk si oppone al moto. F f k = ma moto uniformemente accelerato, perché F è costante v 2 = v ad a = (v 2 - v 02 )/2d (questa equazione si ricava dalle due eq. del moto unif. accel., v(t) = v 0 + at e x(t) = x 0 + v 0 t + ½ at 2, risolvendo rispetto a t) F f k = m[(v 2 - v 02 )/2d] Fd = ½ mv 2 ½ mv 02 +f k d Fd = K K + f k d In un caso piu' generale, per esempio se il blocco sale lungo una rampa, puo' esserci anche variazione di energia potenziale (oltre che cinetica) Fd = E mec + f k d x E mec

20 Sistemi con attrito Consideriamo un blocco che scivola su un pavimento. v 0 v f k F d Il blocco ed il tratto di pavimento si riscaldano per effetto dell'attrito la loro energia termica E th aumenta. Attraverso esperimenti si puo' verificare che E th = f k d Quindi possiamo concludere che Fd = E mec + E E mec x E th ma Fd = L (lavoro svolto dalla forza F sul sistema blocco-pavimento), quindi L = E mec + E th Lavoro svolto dalla forza applicata sul sistema in presenza di attrito. Il lavoro finisce parte in energia cinetica e parte in energia termica

21 Conservazione dell'energia L'energia totale di un sistema, somma della sua energia meccanica e delle sue energie interne (inclusa quella termica), puo' variare solo se viene ceduta o assorbita energia dall'esterno Abbiamo visto finora che l'unico modo di trasferire energia ad un sistema o dal sistema è compiere lavoro. Se L è il lavoro svolto sul ( o dal ) sistema, allora : L = ΔE E = ΔE mec + ΔE th + ΔE ΔE int variazione di altre forme di energia interna, a parte quella termica in altre parole, l'energia non si crea né si distrugge.

22 Conservazione dell'energia Se un sistema è isolato, non possono esserci trasferimenti di energia tra il sistema e l'esterno. L = 0 ΔE E = ΔE mec + ΔE th + ΔE int = 0 L'energia totale di un sistema isolato si conserva Entro il sistema isolato possono avvenire trasferimenti di energia, tra K ed U, o tra K ed Eth, ma la somma di tutte le forme di energia all'interno del sistema NON CAMBIA La conservazione dell'energia di un sistema isolato possiamo anche scriverla come : ΔE mec + ΔE th + ΔE int = 0 Emec,2 = Emec,1 - ΔE th ΔE int ovvero in un sistema isolato possiamo mettere in relazione le energie relative ad un certo istante con tutte le energie ad un altro istante qualsiasi, senza bisogno di considerare gli stati intermedi.

23 Problema svolto 8.6 m = 200 kg compressione iniziale molla d = 5,00 m costante elastica k = 3,20 x 10 3 N/m h = 35,0 m μ k = 0,800 a che distanza L si arresta il bob? determinare le forze coinvolte e stabilire qual è il nostro sistema : è isolato o agiscono forze esterne? FORZE : SISTEMA :

24 Problema svolto 8.6 m = 200 kg compressione iniziale molla d = 5,00 m costante elastica k = 3,20 x 10 3 N/m h = 35,0 m μ k = 0,800 a che distanza L si arresta il bob? determinare le forze coinvolte e stabilire qual è il nostro sistema : è isolato o agiscono forze esterne? FORZE : F N, che non compie lavoro F g, che compie lavoro sul bob ed è conservativa associabile ad una U F elastica della molla che compie lavoro sul bob ed è conservativa (converte energia potenziale elastica della molla in energia cinetica del bob) F della molla che spinge contro il muro F di attrito tra bob ed acqua nel tratto finale

25 Problema svolto 8.6 m = 200 kg compressione iniziale molla d = 5,00 m costante elastica k = 3,20 x 10 3 N/m h = 35,0 m μ k = 0,800 a che distanza L si arresta il bob? determinare le forze coinvolte e stabilire qual è il nostro sistema : è isolato o agiscono forze esterne? SISTEMA : consideriamo il sistema che contiene tutti i corpi che interagiscono : bob molla muro fondo dello scivolo Terra tutti gli scambi di energia avvengono all'interno di questo sistema è un sistema isolato l'energia totale non puo' cambiare : L = 0 ΔEmec + ΔEth = 0

26 Centro di massa (o baricentro) Il centro di massa di un corpo (o di un sistema di corpi) è il punto che si muove come se : 1) tutta la massa del corpo fosse concentrata in quel punto 2) tutte le forze esterne agissero in quel punto Il moto complicato di un oggetto esteso i cui punti non si muovono tutti allo stesso modo puo' essere semplificato studiando il moto del suo centro di massa. ESEMPIO 1 : Una palla lanciata in aria senza farla roteare segue una traiettoria parabolica, tutti i suoi punti si muovono assieme e possiamo assimilarla ad una particella

27 Centro di massa Il centro di massa di un corpo (o di un sistema di corpi) è il punto che si muove come se : 1) tutta la massa del corpo fosse concentrata in quel punto 2) tutte le forze esterne agissero in quel punto Il cdm è il punto geometrico corrispondente al valor medio della distribuzione della massa del sistema nello spazio ESEMPIO 2 un tuffatore che salta dal trampolino : ogni parte del corpo si muove in modo diverso, seguendo traiettorie diverse. Il centro di massa seguirà una traiettoria parabolica : tutte le altre parti si muovono attorno al centro di massa.

28 Centro di massa di un sistema di particelle consideriamo un sistema di 2 particelle di massa m1 ed m2, separate da una distanza d. L'origine dell'asse x coincide con la posizione di m1. y m1 m2 x d La posizione del centro di massa x cdm di questo sistema di 2 punti materiali è : x cdm = m2 d m1 + m2

29 Centro di massa di un sistema di particelle x cdm = m2 d m1 + m2 y x cdm m1 m2 x d Supponiamo che sia presente solo la particella m1 : in questo caso, il centro di massa deve coincidere con la posizione di m1, ed infatti l'equazione ci dice che se m2=0 x cdm = 0. Se invece esiste solo m2 m1 = 0, x cdm = d Se m1 = m2, possiamo intuire che il cdm si debba trovare esattamente a metà strada : infatti se m1 = m2 = m x cdm = [m/(2m)] d d/2 Se m1 ed m2 0, la posizione del cdm deve essere sempre compresa tra 0 e d, ovvero il centro di massa è sempre situato in un punto compreso tra le posizioni delle due particelle.

30 Centro di massa di un sistema di particelle origine del sistema di riferimento traslata consideriamo un sistema di 2 particelle di massa m1 ed m2, separate da una distanza d. L'origine dell'asse x NON coincide con la posizione di m1. y x cdm m1 m2 x1 d x x2 x cdm = m1x1 + m2x2 m1 + m2 se x1 = 0, ovvero se l'origine degli assi coincide con la posizione di m1, ricaviamo l'equazione precedente. m1 + m2 = M x cdm = m1x1 + m2x2 M

31 Centro di massa di un sistema di particelle sistema di piu' particelle Per un sistema di n particelle, possiamo generalizzare l'espressione precedente : x cdm = m1x1 + m2x2 + m3x m n x n = 1 m i x i M M i=1 n Se le particelle sono distribuite in uno spazio tridimensionale, occorrono 3 coordinate per definire il centro di massa : n n n x cdm = 1 m i x i y cdm = 1 m i y i z cdm = 1 m i z i M i=1 M i=1 M i=1

32 Centro di massa di un sistema di particelle notazione vettoriale Per un sistema di n particelle, possiamo generalizzare l'espressione precedente : x cdm = m1x1 + m2x2 + m3x m n x n = 1 m i x i M M i=1 n Se le particelle sono distribuite in uno spazio tridimensionale, occorrono 3 coordinate per definire il centro di massa : usando la notazione vettoriale : r cdm = x cdm i + y cdm j + z cdm k quindi l'equazione che definisce la posizione del centro di massa puo' essere scritta così : n r cdm = 1 m i r i M i=1

33 Distribuzione continua di materia Un oggetto qualsiasi contiene un numero enorme di particelle puo' essere considerato come una distribuzione continua di materia. Le masse delle singole particelle sono infinitesime (m dm) e al posto della sommatoria usiamo l'integrale. In questo caso, le equazioni che descrivono la posizione del cdm si modificano come segue : x cdm = 1 x dm y cdm = 1 y dm z cdm = 1 z dm M M M Per ora prendiamo in considerazione solo oggetti UNIFORMI, cioè la cui densità ρ sia la stessa in qualsiasi punto dell'oggetto. ρ = dm/dv = M/V quindi possiamo scrivere le equazioni di sopra anche in funzione del volume : x cdm = 1 x dv y cdm = 1 y dv z cdm = 1 z dv V V V

34 Problema svolto 9.1

35 Seconda legge di Newton per un sistema di punti materiali Come si muove il centro di massa sotto l'azione di forze esterne? Dato un sistema di punti materiali sottoposto all'azione di una forza esterna, l'equazione che governa il moto del suo centro di massa è : dove : F net = MaM cdm 1. F net è la somma vettoriale di tutte le forze esterne agenti sul sistema. Non vanno considerate le forze interne, ovvero quelle che i punti materiali del sistema esercitano tra loro! 2. M è la massa totale del sistema : deve restare invariata, nessuna massa deve entrare o lasciare il sistema che in questo caso si dice CHIUSO. 3. a cdm è l'accelerazione del solo centro di massa del sistema. come tutte le equazioni vettoriali, possiamo scriverla come 3 equazioni scalari : F net,x = Ma cdm,x F net,y = Ma cdm,y F net,z = Ma cdm,z

36 Dimostrazione F = ma net cdm Per un sistema di n particelle : n n r cdm = 1 m i r i Mr cdm = m i r i = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 +. m n r n M i=1 i=1 derivando la posizione di ciascuna particella i-esima rispetto al tempo : v i = dr i /dt n Mv cdm = m i v i = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 +. m n v n i=1 derivando ancora la velocità rispetto al tempo : a i = dv i /dt n Ma cdm = m i a i = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3 +. m n a n = F 1 + F 2 + F 3 +. F n = F net i=1 queste forze sono sia interne che esterne. Per il principio di azione e reazione, le forze interne si annullano in coppie azione-reazione Restano quindi solo le forze esterne

37 Esercizio svolto 9.3 moto del centro di massa di 3 particelle Sistema di 3 particelle, ciascuna soggetta all'azione di una forza esterna Tutte le particelle erano inizialmente a riposo. F1 = 6,0 N F2 = 12 N F3 = 14 N qual è l'accelerazione del centro di massa e in che direzione si muove?

38 Quantità di moto di un corpo puntiforme La quantità di moto di una particella è : p = mv E' una grandezza vettoriale Ha stessa direzione e verso del vettore velocità della particella La sua unità di misura è il kg m/s La quantità di moto è detta anche momento lineare della particella.

39 Relazione tra forza e quantità di moto per un punto materiale La quantità di moto di una particella è : p = mv La seconda legge di Newton F net = ma puo' essere espressa anche così : F net = dp/dt E' facile infatti dimostrare che F net = dp/dt = d(mv)dt = m(dv/dt) = ma La rapidità di variazione del momento di una particella è proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed ha la stessa direzione di quella forza Quando sulla particella agisce una forza esterna, la sua quantità di moto cambia. Viceversa, la quantità di moto puo' variare solo in presenza di una forza esterna, altrimenti resta costante.

40 Verifica In figura è riportato l'andamento della quantità di moto di una particella che si muove lungo l'asse x in funzione del tempo. Su di essa agisce una forza diretta lungo lo stesso asse. a) Ordinate le regioni indicate secondo valori decrescenti del modulo della forza b) In quali regioni la particella rallenta? p t

41 Verifica In figura è riportato l'andamento della quantità di moto di una particella che si muove lungo l'asse x in funzione del tempo. Su di essa agisce una forza diretta lungo lo stesso asse. a) Ordinate le regioni indicate secondo valori decrescenti del modulo della forza il modulo della forza è la rapidità di variazione di p : 1, 3, 2 e 4 (uguali) b) In quali regioni la particella rallenta? nella regione 3, perché p = mv sta diminuendo p t

42 Quantità di moto di un sistema di punti materiali Consideriamo un sistema di punti materiali, ciascuno con una propria massa, velocità e quantità di moto. I punti materiali possono interagire tra di loro ed essere soggetti all'azione di una o piu' forze esterne La quantità di moto del sistema è : P = p1 + p2 + p3 + pn = m 1 v 1 + m 2 v m N v N da cui P = M v cdm La quantità di moto di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del suo centro di massa

43 Relazione tra forza e quantità di moto di un sistema di punti materiali Derivando l'espressione precedente : P = M v cdm dp/dt = M dv cdm /dt = Ma cdm La seconda legge di Newton per un sistema di punti materiali è F net = dp/dt in cui F net è la forza risultante esterna che agisce sul sistema di particelle.