Il potenziale elettrico

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1 Il elettrico Ingegneria Energetica Docente: Angelo Carbone Energia del elettrico e differenza di Relazione tra il elettrico e il Il elettrico dovuto a cariche puntiformi Il elettrico dovuto a una generica distribuzione di carica Superfici equipotenziali Il di un dipolo elettrico Campo elettrico determinato dal Energia del elettrostatico L elettronvolt Argomenti Lavoro compiuto da una forza costante Il lavoro svolto da una forza costante è definito come la distanza percorsa per la componente della forza nella direzione dello spostamento

2 Forza conservativa e non conservativa Una forza è conservativa se: il lavoro compiuto dalla forza su un oggetto in movimento da un punto all'altro dipende solo dalla posizione iniziale e finale ed è indipendente dal percorso. Forza conservativa e non conservativa Un altra definizione di forza conservativa: una forza è conservativa se il lavoro netto fatto dalla forza su un oggetto in movimento intorno a qualsiasi percorso chiuso è zero. Esempio: gravità e forza elettrica. Energia cinetica Se scriviamo l'accelerazione (a=f/m) in termini di velocità e la distanza, troviamo che il lavoro fatto è Energia cinetica Quindi il lavoro svolto è uguale alla variazione di energia cinetica: Definiamo l energia cinetica come: se il lavoro netto è positvo, l energia cinetica aumenta. se il lavoro netto è negativo, l energia cinetica diminuisce

3 Energia (elettrica) L energia elettrica (ma anche di qualunque forza conservativa) tra due punti a e b è uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza conservativa per spostare la carica da a a b Conservazione dell energia In caso di forza conservativa, la somma delle variazioni di energia cinetica e di energia è zero variazioni di energia cinetica e sono uguali ma di segno opposto. Questo permette di definire l energia totale e la sua conservazione: Alta energia Alto Energia elettrica e differenza di Bassa energia Basso La forza elettrostatica è conservativa possiamo definire quindi l energia La differenza di energia tra due punti a e b è uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza conservativa per spostare l oggetto da a a b. Energia elettrica e differenza di Il elettrico in un punto a è definito come l energia per unità di carica Unità di misura del elettrico: volt (V): 1 V = 1 J/C.

4 Energia elettrica e differenza di Possiamo misurare solo variazioni di. Solo la differenza di energia ha significato fisico (come nel caso di forza gravitazionale) Quando la forza compie lavoro positivo su una carica, l energia cinetica cresce e l energia diminuisce Il elettrico non dipende dalla carica di prova Il valore del nel punto a, dipende dalla scelta dello zero Alta energia Alto Energia elettrica e differenza di Bassa energia Basso Il valore del V a nel punto a, dipende dalla scelta dello zero. La scelta dello zero è del tutto arbitraria poiché solo la differenza di ha significato fisico La terra, o un conduttore direttamente connesso alla terra, possono essere scelti come zero Tutti gli altri valori di vengono riferiti al suolo In alcuni casi è conveniente scegliere come V=0 un punto all Energia elettrica e differenza di Supponiamo che una carica negativa, come ad esempio un elettrone, è collocato vicino alla piastra negativa al punto b, come mostrato qui. Se l'elettrone è libero di muoversi, aumenta la sua energia elettrica o la diminuisce? Come cambierà il elettrico? Alto Basso Alta energia per la carica in questo punto Energia elettrica e differenza di Analogia tra energia gravitazionale ed elettrica: Le due rocce sono alla stessa altezza Le due rocce sono nello stesso punto di Le due cariche sono entrambe posizionate sulla stessa piastra Le due cariche sono nello stesso punto di elettrico

5 Energia elettrica e differenza di Analogia tra energia gravitazionale ed elettrica: Le due rocce sono alla stessa altezza La roccia più grande ha più energia Le due cariche sono entrambe posizionate sulla stessa piastra La carica più grande ha più energia Energia elettrica e differenza di Fonti elettriche come batterie e generatori forniscono una differenza di costante. Qui ci sono alcune tipiche differenze di potenziali, sia naturali che no Esercizio 1 Supponiamo che un elettrone in un tubo a raggi catodici è accelerato da fermo attraverso una differenza di V b V a = V ba = V. a)qual è la variazione di energia elettrica dell'elettrone b)qual è la velocità dell'elettrone (m = kg) come risultato di questa accelerazione? Alta tensione Esercizio 1: soluzione L elettrone accelerato verso la piastra positiva, diminuirà l energia di una quantità La perdita in energia ne risulta un guadagno in energia cinetica (conservazione di energia) il segno meno indica che l energia è diminuita V ba ha un segno positivo poiché il V b è maggiore del V a

6 Relazione tra elettrica e La relazione generale tra una forza conservativa e l energia è data da: Relazione tra elettrica e Il caso più semplice di campo uniforme Dividendo per una carica di q, possiamo definire la relazione tra la differenza di e il : Il si può quindi misurare anche in V/m Potenziale lastre parallele Due piastre parallele sono caricate in modo che tra di esse ci sia una differenza di di 50 V. Se la separazione tra le piastre è m, calcolare l intensità del campo elettrico nello spaziotra le piastre Determinare il ad una distanza r dal centro di una sfera di raggio r 0 per a) r > r 0 b) r = r 0 Relazione tra elettrica e campo elettrico: sfera conduttrice carica c) r < r 0. La carica totale sulla sfera è Q.

7 Soluzione La carica è distribuita sulla superficie esterna della sfera essendo un conduttore. Il vale Soluzione b) per r=r 0 sulla superficie del conduttore ed è radiale. Usiamo la definizione di tra i punti r b e r a. Poniamo d = dr se poniamo V=0 per r b =, allora in ogni punto a distanza r vale c) nei punti interni al conduttore E=0. Quindi l integrale tra r=r 0 e un qualsiasi punto all interno della sfera, fornisce un valore nullo di differenza di, quindi V è constante all interno della sfera < Relazione tra elettrica e Relazione tra elettrica e Con l esempio precedente abbiamo ricavato il elettrico in funzione della distanza dalla superficie di una sfera conduttrice carica. Qui vediamo confrontato con il Con l esempio precedente abbiamo ricavato il elettrico in funzione della distanza dalla superficie di una sfera conduttrice carica. Qui vediamo confrontato con il

8 Relazione tra elettrica e Scarica elettrica In molti tipi di apparecchiature, sono usati tensioni molto alte. Con l esempio precedente abbiamo ricavato il elettrico in funzione della distanza dalla superficie di una sfera conduttrice carica. Qui vediamo confrontato con il Un problema con l'alta tensione è che l'aria può diventare ionizzata a causa degli elevati campi elettrici elettroni liberi in aria (prodotta da raggi cosmici, per esempio) possono essere accelerati da tali campi a velocità sufficiente per ionizzare le molecole di O2 ed N2 per collisione, strappando via uno o più dei loro elettroni. Scarica elettrica L'aria diventa poi un conduttore e l'alta tensione non può essere mantenuta quando la carica così prodotta comincia a fluire. La rottura dell'aria avviene per campi elettrici di circa V / m. La terra è un ottimo conduttore Scarica elettrica La rottura dell aria si verifica per campi elettrici dell ordine di V / m. (a) Mostrare che la tensione di rottura per una sfera conduttrice in aria è proporzionale al raggio della sfera e (b) calcolare la tensione di rottura per una sfera con diametro 1.0 cm (b)

9 Raggio di una sfera e densita di carica Potenziale elettrico di una carica puntiforme Per trovare il elettrico dovuto ad una carica puntiforme, integriamo il campo lungo una linea di campo: Scarica elettrica Potenziale elettrico di una carica puntiforme Mettendo il a zero per r = si ottiene la forma generale del dovuto ad una carica puntiforme

10 Lavoro svolto da una forza esterna Se spostiamo tramite una forza esterna una carica q in un E, da un punto b ad un punto a, anche il campo compie lavoro e si avrà Lavoro svolto da una forza esterna Ma il e conservativo per cui vale se si parte con la carica ferma dal punto b e si arriva nel punto a con carica ferma à allora la variazione di energia cinetica è 0 Pertanto qualunque sia il tipo di forza esterna possiamo sempre dire che il lavoro necessario a spostare una carica ferma da una posizione all'altra è Esercizio 1 Quale lavoro minimo deve essere fatto da una forza esterna per portare una carica q = 3.00 μc da una grande a distanza (si prenda r = ) al punto 0.50 m da una carica Q = 20.0 µc? Esercizio 2: soluzione Il lavoro richiesto è uguale alla variazione di dove r b = 0.5 m e r a =. Quindi il lavoro totale è

11 Esercizio 3 Calcolate il elettrico (a) nel punto A dovuto alla due cariche mostrate, e (b) nel punto B Esercizio 3: soluzione Il complessivo nel punto A è la somma dei potenziali generati da Q 1 e Q 2 presi singolarmente non ci dobbiamo preoccupare di direzione e verso perché il è una grandezza scalare. attenzione però ai segni delle cariche nel punto B: Esercisio 3: soluzione Potenziale elettrico generato da una distribuzione qualsiasi di carica Il elettrico dovuto da una distribuzione di carica arbitraria può essere espresso come somma o integrale (se la distribuzione è continua). Se abbiamo n cariche puntiformi, il in un punto a (rispetto a V=0 in r= ) è se la distribuzione di carica può essere considerata continua si ha dove r è la distanza del punto in cui viene calcolato V dell elemento dq di carica

12 Esercizio 4 Esercizio 4: soluzione ogni punto dell anello è equidistante da P e dista Un sottile anello circolare di raggio R ha una carica uniformemente distribuita Q. Determinare il elettrico in un punto P sull'asse dell'anello distanza x dal suo centro. per punti molto lontani x>>r che è il di una carica puntiforme Un sottile disco piatto, di raggio R 0, ha una carica uniformemente distribuita Q. Determinare il in un punto P sull'asse del disco, una distanza x dal suo centro. Esercizio 5 Esercizio 5: soluzione Dividiamo il disco in tanti anelli sottili e calcoliamo il contributo di ogni singolo anello. Poi sommiamo su tutto il disco La carica Q è distribuita in maniera uniforme, la carica sull anello sarà una frazione della carica del disco quindi

13 Esercizio 5 : soluzione Usando l equazione ottenuta per il di un anello per x>>r 0 Superficie equipotenziali Si definisce linee equipotenziali o superfici equipotenziali i punti definiti Linee del sono perpendicolari alle equipotenziali. La superficie di un conduttore è equi. Superfici equipotenziali Superfici equipotenziali Per una carica puntiforme singola con Q = C, delineare le superfici equipotenziali (o linee in un piano contenente la carica) corrispondenti a V 1 = 10 V, V 2 = 20 V, e V 3 = 30 V. Per una carica puntiforme singola con Q = C, delineare le superfici equipotenziali (o linee in un piano contenente la carica) corrispondenti a V 1 = 10 V, V 2 = 20 V, e V 3 = 30 V.

14 Superfici equipotenziali Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di campo: sono sempre superfici chiuse (a differenza di linee di campo, che iniziano e finiscono sulla carica). Superfici equipotenziali Una analogia gravitazionale alle superfici equipotenziali è la carta topografica - le linee collegano punti di uguale gravitazionale (altitudine). Determinare il dal Determinare il dal Se conosciamo il campo, siamo in grado di determinare il per integrazione. Invertendo questo processo, se conosciamo il, siamo in grado di trovare il campo, differenziando: Usare il elettrico per determinare il in un punto P sull asse dell anello e del disco Questa è una equazione differenziale vettoriale, qui è in forma di componente:

15 Energia di un sistema di cariche L'energia di una carica in un elettrico è U = qv. Per trovare l'energia elettrica di due cariche, immaginiamo di portare ciascuna carica in un punto dello spazio da una distanza infinita. Quando si sposta la prima carica, non si compie lavoro, non essendoci. Per portare nella seconda, dobbiamo fare lavorare a causa del campo generato dalla prima carica, pertanto l'energia della coppia è: L elettronvolt Un elettronvolt (ev) è l'energia acquisita da un elettrone che si muove attraverso una differenza di di un volt: 1 ev = J. L'elettronvolt è spesso una unità molto più conveniente rispetto al joule per misurare l'energia delle particelle individuali. Angelo Carbone Dip. di Fisica e Astronomia tel angelo.carbone@unibo.it 59