Esercizi sulla funzione integrale

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1 Eserizi sulla funzione integrale Versione del 8 marzo 27 In questo fasioletto propongo aluni eserizi sulla funzione integrale. I testi della prima parte sono presi dalle prove assegnate agli esami di stato di Lieo Sientifio, o sono omunque adatti a questo ordine di suola, quelli della seonda parte sono, invee, leggermente più omplessi, anhe se spesso possono essere risolti on quanto appreso nei normali programmi di suola media superiore. Potete trovare una ompleta ed esauriente trattazione di tutti i onetti teorii relativi alla funzione integrale, alle primitive e agli integrali di Riemann, indispensabili premesse alla risoluzione degli eserizi, nelle seguenti pagine di /matematia/a_primitive/primitive.htm /eng/a_riemann/riemann.htm /matematia/a_appl_riem/appl_riem.htm /matematia/a_int_impropri/int_impropri.htm Poihé queste pagine hanno uno sopo prevalentemente didattio, ogni risoluzione è, per quanto possibile, dettagliata e omprensiva anhe di deluidazioni teorihe, he possono anhe essere ripetute nei vari eserizi. Indie Prima parte 2 Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio

2 Eserizi sulla funzione integrale 2 Eserizio Eserizio Eserizio Seonda parte 9 Eserizio Eserizio Eserizio Eserizio Prima parte Eserizio. (Esame di Stato di Lieo Sient., orso di ordinamento, sessione ordinaria 2, quesito 2). Sia f() una funzione reale di variabile reale, ontinua nel ampo reale, tale he f() = 2. Calolare: f(t) dt dove e è la base dei logaritmi naturali. 2e, Se la funzione f è ontinua in R, la funzione integrale F () = f(t) dt è definita e derivabile su tutto R e, per ogni, si ha F () = f(). Il ite proposto si presenta nella forma indeterminata / e sono verifiate le ipotesi per l appliabilità del teorema di l Hôpital. Allora f(t) dt 2e (H) f() 2e + 2e = f() 2 Eserizio.2 (Esame di Stato di Lieo Sient., orso di ordinamento, sessione ordinaria 22, quesito 7). Calolare la derivata, rispetto a, della funzione f() tale he: =. f() = + ln t dt, on >. La funzione integranda ha ome dominio l insieme dei reali strettamente positivi, dove è ontinua; se ne dedue he essa è integrabile su ogni intervallo [a, b], on a >. Se >, anhe + >, quindi la funzione f è definita sui reali strettamente positivi. Inoltre, detto > un reale, si ha f() = ln t dt + + ln t dt = ln t dt + + ln t dt = g() + h().

3 Eserizi sulla funzione integrale 3 La funzione g è sempliemente la funzione integrale di ln t, di punto iniziale, mentre la funzione h è la omposta tra la funzione integrale di ln t di punto iniziale e la funzione +. Dunque sia g he h sono derivabili e si ha Se ne dedue he g () = ln, h () = ln( + ) ( + ) = ln( + ). f () = ln + ln( + ) = ln + Eserizio.3 (Esame di Stato di Lieo Sient., orso di ordinamento, sessione ordinaria 23, quesito 6). La derivata della funzione f() = 2 e t2 dt è la funzione f () = 2e 4. Eseguire tutti i passaggi neessari a giustifiare l affermazione. La funzione g(t) = e t2 è definita e ontinua su tutto R, dunque integrabile su ogni intervallo itato di R. Se ne dedue he la funzione f() è definita su tutto R (il suo intervallo di integrazione è un intervallo he ome ha primo estremo e ome seondo estremo 2 ). Il teorema fondamentale del alolo integrale afferma he, nell ipotesi di g ontinua e definita in R, la funzione G a () = a g(t) dt, a R, detta funzione integrale di g, di punto iniziale a, è derivabile e si ha G () = g() su tutto R (se g, sempre ontinua, fosse definita solo su un intervallo I di R, anhe a dovrebbe appartenere ad I e la funzione G avrebbe ome dominio solo I e sarebbe derivabile solo in I). La funzione f proposta nel testo è la omposta tra G () e 2 ; poihé anhe quest ultima funzione è derivabile, non resta he alolare la derivata della funzione omposta, usando la nota regola: f () = G ( 2 ) 2 = e 4 2 = 2e 4. Eserizio.4 (Esame di Stato di Lieo Sient., orso sperimentale, sessione ordinaria 22, quesito 9). Trovare f(4), sapendo he f è ontinua e he f(t) dt = os(π).. La funzione F () = f(t) dt è la funzione integrale di f, di punto iniziale. La ontinuità di f implia la derivabilità della funzione integrale e anzi la validità dell uguaglianza F () = f(), per ogni appartenente al dominio di f (e di F ). È ovvio, nonostante non sia preisato nel testo, he il dominio di f deve essere un intervallo ontenente sia he 4. Si ha failmente: F () = f() = os(π) π sin(π),

4 Eserizi sulla funzione integrale 4 da ui si dedue he f(4) =. Ho voluto orreggere la formulazione originale di questo eserizio he, seondo me, era gravemente errata, e, anora peggio, onteneva uno di quegli errori logii molto diffiili da soprire (e pertanto anora più gravi). Gravissimo poi, a parere mio, il fatto he una osa del genere sueda agli esami di stato: gli argomenti proposti in queste oasioni, infatti, diventano poi modello per la preparazione di eserizi sui testi in uso nelle suole medie superiori, e se già hi porta la lanterna barolla, immaginiamo poi osa può suedere a hi si lasia guidare. In effetti nessuna delle numerose soluzioni he ho trovato in rete alla data di pubbliazione del presente fasiolo riporta la segnalazione dell errore. Il testo originale non onteneva la preisazione he la funzione f è ontinua. Ora è una osa ben nota he l integrale di Riemann di una funzione non dipende dai valori he la funzione stessa assume su un insieme finito di punti (in realtà nemmeno su opportuni insiemi infiniti, ma la osa esula dal nostro ontesto). Pertanto, senza l ipotesi di ontinuità non si può affermare assolutamente nulla sul valore della funzione nel punto 4. Per essere più preisi la funzione { os(π) π sin(π) se 4 g() = qualsiasi numero reale se = 4 soddisfa le ipotesi del testo, ma il suo valore in 4 non è neessariamente. Eserizio.5 (Esame di Stato di Lieo Sient., orso sperimentale, sessione straord.25, quesito 7). Calolare la derivata, rispetto a, della funzione: F () = 2 sin t dt. La funzione integranda è definita su R \ {kπ, k Z}. In orrispondenza dei punti {kπ, k Z} la funzione integranda ha un asintoto vertiale. Essa non è integrabile, nemmeno in senso improprio, in un intervallo he omprenda uno di questi punti. Pertanto l intervallo di integrazione deve essere tale he [, 2], se >, oppure [2, ], se <, sia ontenuto interamente, estremi ompresi, nel dominio. Esaminando tutti i asi possibili, si dedue he le unihe possibilità sono: π /2 < <, osihé π < 2 <, < < π /2, osihé < 2 < π. Se è in uno di questi intervalli, si può onsiderare un punto fissato, sempre in uno di questi intervalli, e spezzare l integrale nella somma di due integrali. 2 sin t dt = 2 sin t dt + sin t dt = 2 sin t dt + sin t dt. Il primo integrale è sempliemente la funzione integrale, di punto iniziale, relativa alla funzione /sin t; il seondo integrale è la stessa funzione integrale, omposta on la funzione 2. Vista la ontinuità di /sin t e la derivabilità di 2, se ne dedue he si può appliare il teorema fondamentale del alolo integrale, ottenendo: F () = sin + sin 2 (2) = 2 sin 2 sin.

5 Eserizi sulla funzione integrale 5 Questo eserizio non è, a mio avviso, semplie, nè adatto ad essere assegnato in una prova di maturità sientifia, non tanto per quanto riguarda il problema tenio del alolo della derivata, quanto piuttosto per la disussione sul dominio della funzione F (). Ma la osa grave (anzi gravissima) è he il testo he ho qui proposto è orretto rispetto all originale del tema ministeriale. L originale hiedeva, testualmente, di alolare la derivata di F () = 2 sin t dt. Ora, qualunque sia il valore di, l intervallo [, 2], oppure [2, ], ontiene l origine, e l integrale non può onvergere, nemmeno in senso improprio, in un intervallo ontenente l origine, per ui la funzione ha ome dominio l insieme vuoto: dunque osa signifia alolare la derivata di una funzione giammai definita? Che osa volevano verifiare gli esperti estensori del quesito ministeriale? Forse he gli studenti fossero in grado di eseguire un alolo tenio di derivata? Purtroppo mi pare he sueda frequentemente he il tema d esame si preoupi più della verifia delle abilità di alolo he non della verifia delle abilità logihe dei andidati, ma forse sono iperritio e ho preso un abbaglio. Eserizio.6 (Esame di Stato di Lieo Sient., orso sperimentale, sessione suppletiva 25, quesito 7). Spiegare in maniera esauriente perhé una funzione reale di variabile reale integrabile in un intervallo hiuso e itato [a, b], non neessariamente ammette primitiva in [a, b]. Una funzione f, integrabile in un intervallo [a, b], ammette sempre funzioni integrali; basta onsiderare un punto qualunque dell intervallo e onsiderare la funzione F () = f(t) dt. L integrabilità di f assiura he la funzione F è ben definita in tutto [a, b]. Il teorema fondamentale del alolo integrale assiura però la derivabilità di F () solo nei punti dove f è ontinua. Dunque se f ha, per esempio, una disontinuità a salto in orrispondenza di un solo punto,, di [a, b], sarà integrabile in [a, b], ma ogni sua funzione integrale avrà, in orrispondenza di, derivate sinistra e destra diverse, ovvero non sarà derivabile. Ebbene ogni primitiva, se esiste, di una funzione definita su un intervallo può differire da una funzione integrale solo per una ostante (orollario del teorema di Lagrange); ma se nessuna funzione integrale è derivabile in orrispondenza di, una tal primitiva non può esistere. Si deve osservare he, a parer mio, questo problema non viene abitualmente affrontato nella suola media superiore, dove si onsidera, per lo più, il problema dell integrale di Riemann solo per funzioni ontinue. Se questo eserizio vuole essere uno stimolo ad ampliare gli orizzonti, ben venga, ma perhè usare gli studenti andidati alla maturità ome avie? Inoltre vorrei segnalare he, se gli estensori dei temi ministeriali ominiano a fare i preziosi nella formulazione dei quesiti, sarebbe bene he tenessero anhe onto he di definizioni di primitive non è solo quella tradizionale (si die primitiva di una funzione f una funzione F he abbia ome derivata f in ogni punto del omune dominio), ma anhe altre, he onsentono eezioni alla oinidenza tra la derivata di F ed f: in questo aso provare he una funzione integrabile può non avere primitive sarebbe deisamente più diffiile, e siuramente non alla portata di uno studente andidato all esame di stato.

6 Eserizi sulla funzione integrale 6 Eserizio.7. Dire per quali valori di h la seguente funzione ammette funzioni integrali e per quali valori di h ammette primitive; per questi ultimi valori alolare tutte le primitive. { os + ln( + ) + h se f() = e 2 se <. La funzione f è ontinua per h =, mentre ha una disontinuità a salto per tutti gli altri valori di h. Dunque essa ha funzioni integrali per qualunque valore di h, mentre ha primitive solo per h = (una funzione on disontinuità a salto non può avere primitive, mentre se è itata e ha un numero finito di disontinuità è siuramente integrabile seondo Riemann). Per alolare le primitive basta alolarne una e poi aggiungere una ostante additiva arbitraria. Una primitiva è, per esempio, la funzione integrale di punto iniziale. Si ha: (os + ln( + ) ) d se F () = f() d = = e 2 d se < = sin + ( + ) ln( + ) 2 se 2 e2 2 se < Eserizio.8. Calolare il ite e t2 dt. 2 Il ite dell integrale proposto vale hiaramente, per ui si ha la forma ; onviene risrivere il ite dato nella forma: e t2 dt. + Il primo fattore tende a /2; per alolare il seondo si può appliare la regola di l Hôpital: Il risultato finale è dunque /2e. e t2 dt (H) e 2 = e. Eserizio.9. Calolare la derivata seonda della funzione F () = e t2 dt.

7 Eserizi sulla funzione integrale 7 La he ompare ome fattore nella funzione integranda è ostante nell integrale, e dunque si può srivere: F () = e t2 dt. Dunque F () = e t2 dt + e 2. Ne segue F () = e 2 + e e 2 = 2e e 2. Eserizio.. Calolare la funzione integrale, di punto iniziale, della funzione se < f() = sgn() = se = se >, e disutine la derivabilità. Si ha: F () = sgn(t) dt = dt = se dt + ( ) dt = se < Eserizio.. Determinare R in modo he le funzioni integrali di { sin 2 sin 2 [, π] f() =, ]π, ] siano derivabili, e, suessivamente, alolarne una. Le funzioni integrali di una funzione sono derivabili se la funzione integranda è ontinua. Oorrerà dunque he sia zero. Suessivamente il alolo di una funzione integrale è faile: si può prendere, per esempio, quella di punto iniziale π, per la quale i aloli sono più faili. Si ha subito F π () = se π, mentre se < π si deve alolare F π () = π sin 2t sin 2 t dt. L integrale proposto è faile se si osserva he sin 2t sin 2 t = 2 sin 3 t os t e he os t è la derivata di sin t. Eserizio.2. Data la funzione F () = e t2 (sin t + 3) dt, stabilire se è invertibile e, in aso affermativo, alolare (F ) ().

8 Eserizi sulla funzione integrale 8 La funzione F è derivabile su tutto R e si ha F () = e 2 (sin + 3). La positività della derivata i assiura l invertibilità di F. Per trovare la derivata dell inversa nel punto, dobbiamo trovare il valore di per ui F () vale. La osa è immediata: ome per ogni funzione integrale il punto iniziale è sempre punto di annullamento della funzione. Sia ha allora (F ) () = F () = e(sin + 3). Eserizio.3. Data la funzione f(t) = t, studiare la funzione F () = f(t) dt, ove l integrale si intende, se neessario, in senso improprio. La funzione integranda è ilitata in prossimità di, mentre è ontinua per ogni altro valore di t, per ui l integrale diventa improprio se l insieme di integrazione omprende (magari ome estremo) lo. Data la sempliità della funzione da integrare possiamo failmente alolarne le primitive. Si ha: t = Allora: se < non i sono problemi e otteniamo: { 2 t + se t > 2 t + d se t <. f(t) dt = [ 2 t ] = ; se = dobbiamo alolare l integrale da a ome integrale improprio, isolando l estremo destro dell integrale: ε [ ] ε f(t) dt = f(t) dt = 2 t = ( ) ε ε 2 ε + 2 = 2 ; ε se > dobbiamo alolare l integrale da a ome integrale improprio mediante due iti indipendenti, iasuno dei quali deve essere finito: il primo è l integrale già alolato preedentemente: f(t) dt = 2;

9 Eserizi sulla funzione integrale 9 per il seondo otteniamo: f(t) dt = δ + δ [ f(t) dt = 2 ] ( ) t = 2 2 δ = 2. δ + δ δ + In onlusione f(t) dt = La funzione F () ha allora la seguente espressione: { se < F () = se. La funzione F è ontinua in R. La osa poteva essere valutata a priori se la funzione integranda fosse stata integrabile seondo Riemann, mentre, nel nostro aso, l integrabilità vale solo in senso improprio: è per questo he è neessaria una verifia espliita. La funzione F è anhe derivabile per e si ha F () = f() =, mentre in la derivata è infinita e si ha un flesso vertiale asendente. N.B. Abitualmente, quando si parla di funzione integrale, si intende he la funzione integranda sia integrabile seondo Riemann (in partiolare he sia itata). L estensione del onetto di funzione integrale alle funzioni integrabili in senso improprio deve essere fatto on la massima autela. 2 Seonda parte Eserizio 2.. Sia f : R R una funzione ontinua e tale he f() = a R. + Provare he Vale l impliazione inversa? + + f() d = a. Se la funzione f è ontinua, per il teorema della media integrale si ha + f() d = f(), < < +. Se ora +, anhe + e, utilizzando anora la ontinuità di f, possiamo dedurre he f() a.

10 Eserizi sulla funzione integrale Il vieversa non è vero. Per onvinersene basta onsiderare una funzione periodia di minimo periodo (per esempio f() = sin(2π)). Il suo integrale, in un qualunque intervallo del tipo [, + ], ioè in un intervallo ampio quanto il periodo, ha sempre lo stesso valore (nel aso della funzione sin(2π) tale valore è ), ma la funzione, ome ogni funzione periodia (non ostante), non può avere ite all infinito. Si noti he la proprietà provata ha una semplie ed intuitiva interpretazione geometria: se una funzione ha un asintoto orizzontale y = a, allora l area di un trapezoide di base lunga tende all area di un rettangolo di altezza a e base. Eserizio 2.2. Calolare + t ln(os t) dt. La funzione integranda è infinita, per t +, di ordine, ome si può provare o on la regola di l Hôpital, o mediante le trasformazioni he seguono: t ln(os t) = t ln( + (os t )) os t os t t2 t = os t 2 ln( + (os t )) t 2 os t t, tenendo onto he i iti dei primi due fattori sono finiti. Se ne dedue he l integrale proposto nel testo diverge, e he il ite si presenta nella forma indeterminata +. Si può, dopo opportuna trasformazione, appliare la regola di l Hôpital: + t dt = ln(os t) + t dt ln(os t) (H) + Eserizio 2.3. Disutere il problema del alolo del ite 2 f() e t2 dt, ln(os ) 2 3 = + ln(os ) = essendo f una funzione derivabile in R, on derivata ontinua e on un massimo nel punto di asissa. Se f() = l, il ite dell integrale (vedi l es..8) è finito, e dunque il ite rihiesto è, on opportuno segno a seonda he tenda a da destra o da sinistra e he l sia maggiore o minore di. Se invee f() =, allora il ite si presenta nella forma e si può appliare la regola di l Hôpital, dopo aver isolato il fattore /( + ), he tende a /2, e aver risritto opportunamente la frazione: f() e t2 dt (H) e f 2 () f (). Ora si onlude subito, tenendo onto he il primo fattore tende a /e, mentre il seondo fattore tende a zero, in quanto la funzione f ha derivata ontinua e ha, per ipotesi, un massimo in.

11 Eserizi sulla funzione integrale Eserizio 2.4. Sia f una funzione ontinua in R e R tale he ( )f() R. Sia poi Si trovi una primitiva di f. F () = f(t) dt. Le ipotesi impliano he la funzione f è negativa a sinistra e positiva a destra di ; quindi { f() se < f() = f() se >=. Allora una primitiva, G, di f è: ( f(t)) dt = F () se < G() = f(t) dt = f(t) dt = F () se