Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo

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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale: Indirizzo fra.marchi@yahoo.it

2 Indice 1 Introduzione alla geometria analitica; esercizi riassuntivi Esercizi introduttivi Esercizio Esercizio Riconoscimento di equazione di coniche Equazione Definizioni Retta Vero o falso Associazione grafico-equazione Applicazione di formule Applicazione di metodi standard Mutua posizione di due rette Appartenenza di un punto ad una retta Problemi di determinazione dell equazione Parabola [?] Associazione grafico-equazione Applicazione di formule Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani Applicazione di metodi standard Mutua posizione di retta e parabola Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno Formula di sdoppiamento per le tangenti Problemi di determinazione dell equazione Circonferenza Associazione grafico-equazione Applicazione di formule Determinazione di centro e raggio Applicazione di metodi standard Mutua posizione di retta e circonferenza [?] Tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno Problemi di determinazione dell equazione Difficoltà Difficoltà Introduzione alla geometria analitica; esercizi riassuntivi 1.1 Esercizi introduttivi Esercizio 1 Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Se A è nel secondo quadrante e B è nel terzo quadrante, allora il punto medio di AB è nel secondo quadrante. 2. Se A e B hanno coordinate positive, anche il punto medio di AB ha coordinate positive. 3. Se A e B sono nel primo quadrante, anche il punto medio di AB è nel primo quadrante. 1

3 4. Se il punto medio di un segmento AB appartiene all asse x, allora i due punti A e B sono simmetrici rispetto all asse x Esercizio 2 Si consideri il triangolo di vertici A(0, 6), B(3, 4), C(2, 8). 1. Si determini la misura dei tre lati. 2. Si calcoli il perimetro. 3. Si trovino le coordinate del punto medio del lato AB. 4. Si trovino le coordinate del baricentro. 1.2 Riconoscimento di equazione di coniche Equazione Stabilire quale tipo di conica (retta, parabola con asse verticale, parabola con asse orizzontale, circonferenza, nessuna delle precedenti) rappresentano le seguenti equazioni: x + 2y = 3 (1) x = y + 4x (7) x 2 + y 2 7x = 6x (2) 3x 2 + y = 6 (8) y = 7x 2 + 2x (3) 4x 2 + y 2 = x + 4x 2 (9) y 2 = x 2 + 2x (4) y = 8x + 2 (10) x = 3y 2 + 2y (5) x 2 + y 2 = 8 (11) y = 3x 2 7 (6) x = y (12) 1.3 Definizioni Si dia la definizione delle seguenti coniche e si ricavi, a partire da essa, la loro equazione canonica: Circonferenza; Parabola. 2 Retta 2.1 Vero o falso Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Ogni retta del piano cartesiano può essere rappresentata da un equazione del tipo y = mx + q. 2

4 2. Ogni retta del piano cartesiano può essere rappresentata da un equazione del tipo ax + by + c = Il coefficiente della retta di equazione y + 1 = 0 è zero. 4. L equazione x + y = 1 è l equazione implicita di una retta. 5. L equazione 7 + 3x 3 y + 2x = 6x x 3 è l equazione implicita di una retta. 6. L equazione 2y = x 1 è l equazione esplicita di una retta. 7. Il coefficiente angolare di ogni retta parallela all asse y è zero. 2.2 Associazione grafico-equazione Si considerino le rette rappresentate nei grafici di Figura 1. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti (es.: 1D, 2C... ): 2 = y x (13) x + 2 = 67 (16) 1 x + y = 4 (14) 3 y + 1 x + 5 = 0 (15) 3 2y + 5x = 5 5x + y (17) y = 3x + 4 (18) 2.3 Applicazione di formule Determina l equazione delle rette che soddisfano alle seguenti condizioni: 1. Sia P ( 1, 3) e r : y = 2x + 3. Trova le equazioni di r e r, rispettivamente perpendicolare e parallela a r e passanti per P. 2. Determina la distanza del punto P (1, 1) dalla retta r : 3 = x + 2y. 2.4 Applicazione di metodi standard Mutua posizione di due rette Stabilisci se le rette r : x 2y 1 = 0 e s : 1 + y = 1 2x sono parallele oppure incidenti. Trova le coordinate del punto di intersezione tra le rette r : 3 = x + 2y e s : 1 5y + 2x 7 = Appartenenza di un punto ad una retta Sia r : y = 2x 3. Stabilisci quali, fra i seguenti punti, appartengono alla retta r: A(1, 2), B(1, 1), C(1, 7 2 ), D(0, 3) 3

5 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 1: Graﬁci relativi all esercizio 2.2 4

6 2.5 Problemi di determinazione dell equazione Determinare l equazione delle rette r che soddisfano le seguenti condizioni: Scrivere l equazione della retta passante per A(1, 5) e B( 2, 5). Scrivere l equazione della retta passante per A( 3, 5) e avente coefficiente angolare m = 5 3. Scrivere l equazione della retta passante per A(1, 1 4 ) e B( 2, 5). 3 Parabola [?] 3.1 Associazione grafico-equazione Si considerino le parabole rappresentate nei grafici di Figura 2. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti (es.: 1D, 2C... ): 3x 2 = y 10x 12 (19) 3x = 10x y (20) y = 1 20 x2 1 x + 12 (22) 2 x y 2 5 = 0 (23) 12 = 10x + y 3x 2 (21) y 2 = x + 5 (24) 3.2 Applicazione di formule Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani Per le parabole elencate qui di seguito: determinare vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani; rappresentarle in un piano cartesiano. y = x 2 + 6x 5 (25) y = x 2 2x (26) y = x (27) y = 1 2 x2 3x + 2 (28) x = 1 2 y2 (29) x = 4 y 2 (30) x = y 2 + 2y 1 (31) x = 2y 2 3y (32) 5

7 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 2 6

8 3.3 Applicazione di metodi standard Mutua posizione di retta e parabola Si considerino le parabole elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, si determini: se la retta è esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di intersezione. y = x 2 4; y = 2x + 4 (33) y = x 2 2x + 1; y = x + 1 (34) y = 1 2 x2 ; y = 2x 2 (35) y = x 2 + 6x + 9; y = 0 (36) y = x 2 4x; y = x (37) y = x x; y = 1 x + 2 (38) Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno Condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco: y = x 2 4; P (2, 4) (39) Formula di sdoppiamento per le tangenti y = x 2 2x + 1; P ( 1, 1) (40) Utilizzando la formula cosiddetta di sdoppiamento, condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, nei loro punti di ascissa indicata a fianco. Determinare poi l equazione della normale alla parabola in quel punto. y = 2x 2 4x; x P = 3 (41) 3.4 Problemi di determinazione dell equazione y = x 2 3x 1; x P = 1 (42) Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti: Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due,..., infinite), senza risolvere il problema. Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio. Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell esercizio, senza svolgere alcun calcolo. Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto, indeterminati. 7

9 Determinare l equazione delle parabole della forma P : y = ax 2 + bx + c che soddisfano le condizioni indicate di seguito. V denota sempre il vertice, F il fuoco, d la direttrice; A, B, P... punti generici; r, s... rette generiche. Passaggio per punti Passante per i punti A( 2, 3), B(0, 1), C(6, 11). Passante per i punti A(4, 1), B(3, 7), C(4, 5). Passante per i punti A(2, 3), B(0, 6). Vertice e un punto: V (0, 0), P (3, 2); V ( 2, 1), P (0, 3). Due elementi a scelta: F (1, 1), d : y = 0. V (2, 1), F (2, 0). V (0, 2), d : x = 1. Con condizioni di tangenza: V(-1,2); tangente a r : y = 2x + 3 Tangente all asse x e a r : y = 2x; passante per P ( ) 1, 1 4 Passante per A(2, 1); tangente all asse delle x; avente come asse di simmetria r : x = 1 Condizioni varie: avente come asse di simmetria l asse x e passante per A(0, 2) e B(4, 0). 4 Circonferenza 4.1 Associazione grafico-equazione Si considerino le rette rappresentate nei grafici di Figura 3. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti (es.: 1D, 2C... ): x 2 + y 2 8y = 0 (43) x 2 + y 2 8x + 6y 1 = 0 (46) x 2 + y 2 4x + 5y = 0 (44) x 2 + y 2 + 6y = 0 (47) x 2 + y 2 + 8x + 4 = 0 (45) x 2 + y 2 8x 6y 1 = 0 (48) 4.2 Applicazione di formule Determinazione di centro e raggio Per le circonferenze elencate qui di seguito: determinare le coordinate del centro; determinare la misura del raggio; rappresentarle in un piano cartesiano. x 2 + y 2 + 6x 6y = 0 (49) 8

10 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3: Graﬁci relativi all esercizio

11 4.3 Applicazione di metodi standard Mutua posizione di retta e circonferenza [?] Si considerino le circonferenze elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, si determini: se la retta è esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di tangenza. x 2 + y 2 + 2x y 1 = 0; x + y = 1 (50) x 2 + y 2 4x 6y + 3 = 0; x + y 1 = 0 (51) x 2 + y 2 + 2x + 2y = 0; x + y + 14 = 0 (52) Tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno Condurre le tangenti alle circonferenze elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco [?] : x 2 + y 2 6x 2y + 8 = 0; O(0, 0) (53) x 2 + y 2 + 2x 4 = 0; P (6, 1) (54) x 2 + y 2 4x 4y 17 = 0; ( P 7, 1 ) 2 (55) x 2 + y 2 + 2x + 2y 18 = 0; P (1, 5) (56) 4.4 Problemi di determinazione dell equazione Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti: Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due,..., infinite), senza risolvere il problema. Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio. Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell esercizio, senza svolgere alcun calcolo. Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto, indeterminati Difficoltà 1 Determinare l equazione delle circonferenze C che soddisfano le seguenti condizioni: Centro di coordinate C( 1, 3) e raggio r = 2. Passante per i punti (2, 0); (0, 1); (0, 1). Passante per l origine e con centro nel punto di intersezione di r : x + y 7 = 0 e s : 2x 3y + 6 = 0. Il cui raggio misura 2 2 e concentrica alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 + 2x y 1 = 0. 10

12 4.4.2 Difficoltà 2 Determinare l equazione delle circonferenze C che soddisfano le seguenti condizioni: Centro sulla retta di equazione y = 3x 6 ed ha raggio r = 4. ( ) Centro sulla retta di equazione 4x y + 3 = 0, ha raggio r = 3 ed è tangente all asse delle ascisse. Passante per A(1, 1) e B(3, 5); il cui centro appartiene a r : 2y x 7 = 0. [?] Ha una corda di estremi A(1, 2) e B(3, 4). [?] E tangente alle rette y = x e y = x. ( ) 11