PALESTRA PER IL RECUPERO

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1 PARABOLA. PALESTRA PER IL RECUPERO ESERCIZI SVOLTI ESERCIZI Raresentare graficamente la arabola di equazione assegnata. 1 y x þ x Determiniamo la coordinate del vertice b " x V b a 1 ð 1Þ 1 # a y V c b a c b " " " 4 ð 1Þ0 ð1þ 4 ð 1Þ # a Il vertice è quindi il unto V 1 ; 1. 4 Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani. Intersezione con l asse delle x ( y x þ x y 0 0 x þ x y 0 x 1 0 y 1 0 x 1 y 0 MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara La arabola interseca l asse delle x nei unti Að0; 0Þ e Bð1; 0Þ. Intersezione con l asse delle y y x þ x x 0 y 0 x 0 Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è negativo, la arabola ha la concavità rivolta verso il basso. Riortiamo gli elementi trovati nel iano cartesiano e disegniamo la arabola. y A O V B x 1

2 Unità 6 PARABOLA. y x x þ Per raresentare una arabola dobbiamo determinarne il vertice e le intersezioni con gli assi cartesiani. Determiniamo le coordinate del vertice Il vertice è il unto V b a ; c b b " x V b a # a 1. y V c b a " c b " " 4 ð Þ # a Il vertice è quindi il unto V 1; 1. ESERCIZI Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani. Intersezione con l asse delle x < y x x þ y 0 < 0 x x þ y 0 x < ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 1 y 0 Il discriminante della rima equazione è minore di 0 quindi l equazione non ha soluzioni reali la arabola non interseca l asse delle x. Intersezione con l asse delle y < y x x þ x 0 y x 0 Le intersezioni con gli assi si trovano mettendo in sistema l equazione della arabola con le equazioni degli assi cartesiani. Ricorda che l equazione dell asse delle x è y 0. Risolviamo il sistema sostituendo alla y della rima equazione il valore 0. Ricorda che l equazione dell asse delle y è x 0. Risolviamo il sistema sostituendo alla x della rima equazione il valore 0. MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara

3 PARABOLA. L intersezione con l asse delle y è il unto Að0; Þ. Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è ositivo, la arabola ha la concavità rivolta verso l alto. Riortiamo gli elementi trovati nel iano cartesiano ESERCIZI y A B V O x Gli elementi trovati non sono ancora sufficienti er disegnare la arabola erché abbiamo solo due unti. Ricordiamo che la arabola ha un asse di simmetria e determiniamo quindi le coordinate del simmetrico di A risetto all asse di simmetria x 1 Bð; Þ. Riortiamo il nuovo unto nel iano cartesiano e tracciamo la arabola L asse di simmetria della arabola è la retta di equazione x b ; quindi la arallela all asse y assante er il a vertice. y A B V O x MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara Scrivere l equazione della arabola con asse arallelo all asse y, vertice nel unto Vð; 1Þ e assante er il unto Pð ; 7Þ. L equazione sarà del tio y ax þ bx þ c. Occorre determinare i coefficienti a, b, e c, imostando un sistema di tre equazioni in tre incognite. b >< a c b 1 > 7 b þ c b 6a >< c ð 6aÞ 1 > 7 ð 6aÞþc Il vertice è il unto V b a ; c b. Se la arabola assa er il unto P vuol dire che le coordinate di P sono soluzioni dell equazione della arabola. L ultima equazione è stata trovata sostituendo le coordinate di P alla x e alla y nell equazione della generica arabola. Risolviamo il sistema.

4 Unità 6 PARABOLA. b 6a >< c 6a 1 > 7 þ 1a þ c Nella seconda equazione ossiamo semlificare er, essendo a 6 0. b 6a >< ðc 9aÞ 1 > 7 þ 1a þ c < b 6a c 9a 1 7 þ 1a þ c < b 6a c 1 þ 9a 7 þ 1a þ 1 þ 9a < b 6a c 1 þ 9a 5a 6 b 6a >< c 1 þ 9a > a 6 5 b 6 5 >< c 79 5 > a 6 5 L equazione della arabola è y 6 5 x 6 5 x þ MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara 4 ESERCIZI

5 PARABOLA. ESERCIZI GUIDATI 4 Scrivere l equazione della arabola assante er i unti Að4; Þ, Bð1; 1Þ e Cð7; Þ. L equazione di una generica arabola è y ax þ x þ c. Imoni il assaggio er i unti sostituendo le coordinate dei unti nell equazione della arabola e mettendo in sistema le equazioni così ottenute. a þ >< b þ c 1 a þ b þ c > a þ b þ c ESERCIZI Ricava c dalla rima equazione e sostituisci nelle altre due c a >< b 1 a þ b þ a b > a þ b þ a Somma i termini simili, ricava a dalla seconda equazione e sostituisci nella terza c a >< b a b þ > a b 0 c a b >< b þ a > b þ b 0 Ricava il valore di b dall ultima equazione e sostituisci nella seconda er ricavare a e oi entrambi nella rima er ricavare c < c a b MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara L equazione della arabola è y x þ x. 5 Determinare le intersezioni della arabola di equazione y x 4x þ con la retta di equazione y x þ 6 0. Per trovare le intersezioni si devono mettere in sistema le due equazioni ( y x þ 6 0 y x 4x þ Risolvi la rima equazione risetto a y e sostituisci nella seconda y x 4x þ 5

6 Unità 6 PARABOLA. Risolvi la seconda equazione y x x þ 0 y x Sostituisci i valori della x nella rima equazione e scrivi le coordinate dei unti di intersezione della arabola e della retta y 1 y A ð; Þ B ð; Þ x 1 x 6 Data la arabola di equazione y x þ 4x þ 1, determinare il vertice, il fuoco, l equazione dell asse di simmetria e le intersezioni con gli assi. 7 Scrivere l equazione della arabola con asse di simmetria arallelo all asse y, avente il vertice nel unto Vð 1; 4Þ e assante er Pð; 1Þ. y 1 x x þ 11 Scrivere l equazione della retta assante er il unto Að; 7Þ e tangente alla arabola di equazione y x þ 6x 5. ½6x y 5 0, x þ y 11 0Š 9 Determinare le intersezioni fra la arabola di equazione y 1 4 x x þ 1 e la retta di equazione x þ y 4 0. ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi ;4, ;4þ 10 Determinare er quale valore di m la arabola di equazione y ðm 1Þx mx þ 4m assa er il unto Að 1; Þ. m 7 11 Scrivere l equazione della arabola con asse arallelo all asse y e assante er i unti Að0; Þ, Bð1; Þ e Cð 1; 1Þ. ½y x þ x þ Š 1 Determinare er quale valore di m la retta di equazione mx y m 0ètangente alla arabola di equazione y x þ 6x 5. ½m 4Š 1 Data la arabola di equazione y x x þ 7, determinare le intersezioni con gli assi cartesiani, le coordinate del vertice e l equazione della retta tangente alla arabola nel suo unto di ascissa. ½x y 0Š 14 Determinare la lunghezza della corda intercettata sulla arabola di equazione y x þ 4x þ5 dal- la retta di equazione x y þ 0. 4 ffiffiffi 5 15 Determinare er quale valore di k la arabola di equazione y kx ðk þ 1Þx ha come asse di simmetria la retta x. k 1 4 MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara 6 ESERCIZI

7 PARABOLA. ESERCIZI SVOLTI 16 Scrivere l equazione della circonferenza con centro nell origine degli assi e raggio r ffiffiffi L equazione richiesta è ffiffiffi! x þ y x þ y Come saiamo l equazione di una circonferenza con centro nell origine degli assi e raggio r è x þ y r Sostituendo nell equazione la misura del raggio troviamo l equazione richiesta. ESERCIZI 17 Scrivere l equazione della circonferenza con centro nel unto C ð ; 1Þ e raggio r ðx þ Þ þðy 1Þ 4 9 x þ 4x þ 4 þ y y þ x þ 9y þ 6x 1y þ 41 0 L equazione di una circonferenza con centro nel unto Cð; Þ e raggio r è ðx Þ þðy Þ r. Sostituiamo le coordinate del centro e la misura del raggio. Sviluando i calcoli si ottiene l equazione cercata. 1 Calcolare il valore della seguente esressione cos 10 1 ffiffiffi sen 0 þ sen 60 sen 70 cos 60 Per calcolare il valore dell esressione si deve sostituire il valore delle funzioni angolari degli angoli indicati. Saiamo che cos 10 1 sen 0 1 ffiffiffi sen 60 sen 70 1 cos 60 1 MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara Sostituendo troviamo 1 1 ffiffiffi ffiffiffi þ þ Alicando le relazioni fondamentali tra le funzioni circolari verificare la seguente identità sen cos 1 þ sen cos sen cos Sviluiamo i calcoli. Per verificare un identità si calcolano i due membri searatamente. 7

8 Unità 6 PARABOLA. 1 membro sen cos 1 þ sen cos sen cos ð Þ ð sen þ sen cos þ cos Þ 1 þ sen cos sen cos ð Þ ð 1 þ sen cos Þ sen cos 1 þ sen cos Il risultato ottenuto è uguale al secondo membro dell identità che risulta ertanto verificata. Scomoniamo in fattori il numeratore della frazione ricordando che a b ða bþða þ ab þ b Þ Per la relazione fondamentale si ha sen þ cos 1 Sostituiamo nella seconda arentesi e semlifichiamo. ESERCIZI GUIDATI 0 Scrivere l equazione della circonferenza con centro nel unto C ð; 4Þ e assante er il unto P ð1; 1Þ La distanza PC è il... della circonferenza. Ricaviamo la sua misura qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ð1 Þ þð1 þ 4Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ 5 ffiffiffiffiffi 9 L equazione di una circonferenza con centro nel unto Cð; Þ e raggio r è... Sostituendo le coordinate del centro e la misura del raggio si trova Da cui sviluando i calcoli ðx Þ þðy Þ x þ y þ 0 che è l equazione richiesta. 1 In un triangolo ABC rettangolo in A si conosce AB ffiffiffi, bb 60. Calcolare la misura del erimetro e dell area del triangolo. Disegniamo il triangolo A C B bc 0 AB ffiffiffi MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara ESERCIZI

9 PARABOLA. Saiamo che in un triangolo rettangolo Sostituendo ricaviamo ffiffiffi BC AB BC sen da cui ESERCIZI BC Quindi il erimetro è Per calcolare l area ci serve la misura dell altezza. Ricaviamola alicando la formula AC BC cos Quindi AB. La formula dell area di un triangolo è A 1 b h quindi A 1 Alicando le relazioni fondamentali tra le funzioni circolari verificare la seguente identità 1 þ cos sen 1 1 cos Dalla relazione fondamentale sen þ si ricava sen Sostituendo nel rimo membro otteniamo 1 þ cos sen 1 þ cos 1 Il denominatore è una... di quadrati; scomonendo in fattori e semlificando si ha 1 þ cos ð1 Þð1 þ Þ 1 1 Il risultato ottenuto è uguale al secondo membro dell identita che risulta ertanto verificata. MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara Alicando le relazioni fondamentali tra le funzioni circolari verificare la seguente identità cos 1 tg 1 sen 1 o membro Per definizione tg. Sostituiamo cos 1 tg cos 1 Eseguiamo il calcolo nelle arentesi e semlifichiamo cos ð Þ o membro Per la relazione fondamentale þ 1 Sostituiamo a 1 il rimo membro della relazione fondamentale e sommiamo 1 sen þ sen I risultati ottenuti sono... quindi l identità è verificata. 9

10 Unità 6 PARABOLA. Determinare l equazione della circonferenza con centro in C e raggio r 4 Cð ; 1Þ r 5 C 1 ; 1 r 1 6 Cð ; 1Þ r ffiffiffi 5 7 Cð0; 0Þ r ffiffiffiffiffi 10 Cð0; 7Þ r 9 Cð4; 0Þ r 5 0 Determinare l equazione della circonferenza con centro in Cð; Þ e assante er il unto Pð 1; 1Þ ½x þ y 4x þ 6y 1 0Š 1 Determinare l equazione della circonferenza con centro in Cð5; 5Þ e assante er il unto Pð0; 0Þ ½x þ y 10x 10y 0Š Determinare l equazione della circonferenza con centro nel unto d intersezione delle rette x y 7ex þ y 1 assante er il unto Pð 1; 4Þ ½x þ y 4x þ 6y þ 0Š Calcolare il valore delle seguenti esressioni ffiffiffi sen 90 tg 45 þ sen 10 þ cos 60 4 cos 0 cos 0 þ sen 70 sen 60 ½ 4Š 5 cos60 5sen 10 sen 45 þ 5sen 45 sen 0 ffiffiffi 6 ðsen 45 sen 60 Þ þ tg 45 cos 0 cos 45 [0] Verifica le seguenti identità 7 cos þ sen cos 1 cos 1 1 tg 1 cos sen cos cos 1 tg 1 þ cos sen þ tg 1 tg Determinare erimetro e area di un triangolo rettangolo ABC saendo che A C B 41 BC 6 bb 45 6 þ 6 ffiffiffi ;9 4 AC bc 0 4 ffiffiffi 4 ffiffiffi ; 4 AB ffiffiffi bb 60 6 ffiffiffi ffiffiffi ; 44 BC ffiffiffi bc 45 þ ffiffiffi 1 ; MathClub blu, Cedam Scuola Q 011 De Agostini Scuola S..A. Novara 10 ESERCIZI