PROBLEMI SULLE FIGURE CIRCOSCRITTE A UN CERCHIO O A UNA SFERA. di Ezio Fornero

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1 PROBLEMI SULLE FIGURE CIRCOSCRITTE A UN CERCHIO O A UNA SFERA di Ezio Foneo Indice dei poblemi Tiangolo ettangolo cicoscitto a un cechio di aggio assegnato Deteminae le misue dei cateti del tiangolo sapendo l ipotenusa a. Deteminae le misue dei lati del tiangolo ettangolo cicoscitto sapendo che l aea è uguale a k Deteminae i lati sapendo che il peimeto è k Tiangolo isoscele cicoscitto a un cechio di aggio assegnato Deteminae l altezza e la base del tiangolo isoscele cicoscitto a un cechio di aggio sapendo il lato obliquo l Deteminae altezza e base del tiangolo isoscele cicoscitto sapendo il peimeto o l aea Deteminae il lato del tiangolo equilateo cicoscitto a un cechio di aggio Tiangolo isoscele cicoscitto a un semicechio di aggio Deteminae il tiangolo isoscele cicoscitto a un semicechio di peimeto assegnato Deteminae il tiangolo isoscele di aea assegnata k cicoscitto a un semicechio. Tapezio isoscele cicoscitto a un cechio di aggio assegnato Deteminae le misue dei lati di un tapezio isoscele di peimeto p assegnato cicoscitto a un cechio Deteminae le misue dei lati di un tapezio isoscele di aea k cicoscitto a un cechio. Tapezio isoscele cicoscitto a un semicechio di aggio assegnato Deteminae i lati del tapezio isoscele di dato peimeto p cicoscitto a un semicechio di aggio Deteminae il tapezio isoscele di aea assegnata k cicoscitto a un semicechio di aggio Deteminae i lati del tapezio isoscele di lato obliquo l cicoscitto a un semicechio di aggio Tapezio ettangolo cicoscitto a un cechio di aggio assegnato Deteminae i lati di un tapezio ettangolo di peimeto p cicoscitto a un cechio di aggio. Deteminae i lati di un tapezio ettangolo di aea assegnata cicoscitto a un cechio di aggio Tapezio ettangolo cicoscitto a un semicechio di aggio assegnato Deteminae i lati del tapezio ettangolo di peimeto p cicoscitto a un semicechio Appendice le discussioni gafiche Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 1/5

2 Pemessa algebica Molti poblemi su figue cicoscitte a un cechio di aggio assegnato si isolvono con due incognite, x e y, che appesentano lunghezze di lati incogniti. Uno dei sistemi algebici classici che isolvono poblemi di questo tipo è il sistema x l dove l appesenta una lunghezza costante e a un aea (peché è un podotto di lunghezze). xy a Pe esempio, se si chiede di deteminae i cateti di un tiangolo ettangolo sapendo la loo somma e l aea del tiangolo, il sistema che taduce il poblema è popio di quel tipo. La soluzione di questo sistema può tovasi facilmente espimendo y in funzione di x o vicevesa nella seconda equazione, ma si può ottenee anche in base al teoema pe cui la somma delle soluzioni di un equazione di secondo gado del tipo z + b z + c 0 è data da - b, mente il podotto è uguale a c. Quindi, isolvendo l equazione z - l z + a 0 l ± l 4a si ottengono x e y, nella foma. Si tenga pesente che questo sistema e quelli che pendeemo in consideazione sono simmetici cioè non cambiano scambiando le lettee x e y. Quindi, isolvendo ispetto a una delle due incognite, si tovano anche i valoi dell alta. Ciò significa che, isolvendo p.es. l incognita x, le soluzioni x 1 e x sono valoi possibili pe entambe le incognite; quindi, se x x 1, abbiamo y x, e vicevesa. In altenativa, si può icavae y in funzione di x dall equazione lineae: y l - x e sostituie nella seconda, ottenendo lx - x a x - lx + a 0, che è l equazione ottenuta pima. x b Il sistema si iconduce al pecedente, con la sostituzione xy a x ( x ) x y ( x ) - a da cui otteniamo x ± b + a xy a È facile iconoscee in questo secondo sistema l applicazione del teoema di Pitagoa supponendo che x e y siano cateti di un tiangolo ettangolo, mente xy è il doppio dell aea. Si può anche icavae la y in funzione di x dalla seconda equazione, ottenendo y abbiamo a x x + b x 4 - b x + a 0 con le soluzioni x a ; sostituendo nella pima, x b ± b 4a ±. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea /5

3 Nei poblemi di Geometia peò le soluzioni sono positive (peché denotano lunghezze) e quindi si pende solo il segno positivo. Anche il sistema x x a b può essee icondotto al pimo, con la tasfomazione x ( x ) - x y a - x y da cui si deduce il sistema x xy a a b Si può ottenee la soluzione anche icavando y dalla pima equazione, e sostituendo nella seconda: y a - x x + a ax + x b x ax + a b 0 con le soluzioni x 1, a ± b a I poblemi sulle figue cicoscitte hanno un notevole inteesse, peché in geneale pesentano un gado di difficoltà supeioe a quelli sulle figue inscitte, ma sopattutto peché la loo isoluzione passa, nei casi più significativi pe chi intenda appendee la Matematica, attaveso l impostazione di sistemi in due incognite del genee sopa esaminato. Chi studia la Matematica e, in geneale, le mateie scientifiche dovebbe impaae a distinguee ta poblemi che si isolvono mediante schemi isolutivi (e che hanno un caattee fotemente algoitmico) e poblemi pe i quali non è dato a chi tenta di isolvelo uno schema isolutivo a pioi. La conoscenza pesonale della mateia, almeno in una ceta misua, consiste nel idue l estensione della seconda classe di poblemi a favoe della pima. Peciò è essenziale che il discente e il docente siano consapevoli della stuttuazione secondo schemi geneali contenenti paameti, la cui vaiabilità è quindi inessenziale alla iceca della isoluzione, essendo questa dipendente solo dallo schema, e non dai numei che il poblema fonisce come dati. Pemessa geometica I poligoni cicoscitti a un cechio godono di due popietà fondamentali: a) i segmenti di tangente condotti da un punto esteno a una cf sono conguenti b) l aea di un poligono cicoscitto a un cechio è data dal podotto del aggio pe il semipeimeto Questa seconda popietà deiva dal fatto che, unendo i vetici del poligono col cento del cechio in esso inscitto, il poligono è suddiviso in tiangoli le cui basi sono tangenti al cechio, da cui deiva che i aggi congiungenti il cento con i punti di tangenza sono le altezze. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 3/5

4 Limiti In tutti i poblemi di Geometia le gandezze incognite e gli eventuali paameti soddisfano delle limitazioni (p.es. devono essee positive), che possono essee a) limiti geometici delle incognite. Nelle figue cicoscitte, genealmente una lunghezza non ha limite supeioe, ma ci deve essee un limite infeioe (di solito, 0 ) che non è, di solito, un minimo, nel senso che detto limite infeioe non coisponde a una costuzione possibile. b) limiti aggiunti di tipo algebico. Sono limiti non deducibili da consideazioni geometiche. P.es. isolvendo un equazione del tipo f (x) g(x), il limite algebico deivante dalla condizione g(x) 0 non coincide genealmente con limitazioni geometiche. c) limiti dei paameti. Se una gandezza è soluzione di un equazione paametica di secondo gado, il disciminante deve essee positivo o nullo; ciò può implicae una limitazione ai valoi del paameto. Tuttavia, consideazioni algebiche di questo tipo non sono genealmente sufficienti pe deteminae i limiti di eventuali paameti, che possono essee deteminati mediante la discussione del poblema. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 4/5

5 Tiangolo ettangolo cicoscitto a un cechio di aggio assegnato La costuzione della figua poposta pate dalla cf inscitta di cento O, e il poblema che il costuttoe deve isolvee è il tacciato dell ipotenusa (il esto è elementae). Nella figua costuita con Cabi è evidenziata anche la costuzione della cf ausiliaia la cui intesezione con la cf inscitta nel tiangolo ABC è il punto di tangenza ta l ipotenusa e la cf inscitta, in quanto OTB è ettangolo peché inscitto in una semicf. Lo studente dovebbe capie bene come si effettua tale costuzione a patie dalla cf inscitta, che è più complessa di quella invesa più fequente - della cf inscitta a patie da un tiangolo ettangolo. Ripopongo oa la figua, con le incognite usuali x y e il aggio della cf inscitta, costuita a patie dal tiangolo, il cui cento è l intesezione delle bisettici. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 5/5

6 Vi sono te classi di poblemi notevoli su questa figua, dato il aggio come costante. Deteminae le misue dei cateti del tiangolo sapendo l ipotenusa a. Dal teoema di Pitagoa abbiamo l ovvia elazione x a Il poblema consiste nel tovae una seconda elazione ta i cateti, possibilmente lineae. In teoia possiamo povae con la egola dei segmenti di tangente, pe cui CH CT e BK BT, da cui CH + BK BC e quindi, passando alle incognite, ( x ) + ( y ) a x a + Il sistema isolvente quindi è con le limitazioni x > y > x x a a + Come visto pima, questo sistema può essee isolto tasfomando la pima equazione : Si ottiene quindi il sistema ( x ) - x y a x y a + che coisponde all equazione x xy a + a + z - ( a + ) z + a + 0 le cui soluzioni a + ± a 4a 4 z 1, appesentano i valoi possibili dei cateti x e y. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 6/5

7 casi paticolai : se l ipotenusa vale 5, abbiamo 5 + ± se i cateti sono uguali, deve essee a - 4 a 4 0 a e quindi x y ± 4 4 NOTA si poteva giungee al sistema anche in base alla egola pe cui l aea di un poligono cicoscitto a un cechio è data dal podotto del aggio pe il semipeimeto. Poiché in un tiangolo ettangolo il podotto dei cateti xy è il doppio dell aea, deve essee xy al peimeto pe il aggio, cioè che può essee messa a sistema con l equazione xy ( x + a ) x a +. Deteminae le misue dei lati del tiangolo ettangolo cicoscitto sapendo che l aea è uguale a k fomulazione del poblema espime il fatto che l aea è il quadato di una lunghezza) (la L aea può essee calcolata come semipodotto dei cateti o come podotto del semipeimeto pe il aggio del cechio inscitto nel tiangolo. Abbiamo quindi due espessioni pe il doppio dell aea: xy xy ( x + k x ) La isoluzione di questo sistema è una questione di impostazione tecnica. Conviene, usando anche la pima equazione, isolae il adicale della seconda equazione. Abbiamo i seguenti passaggi x + k - ( x ) 4k 4-4 k 3 ( x ) + ( x ) ( x ) 4k 4-4 k 3 ( x ) + ( x + x y ) ( x ) 0 semplificando e utilizzando di nuovo la pima equazione, abbiamo y 4k 4-4 k 3 ( x ) + 4 k 4 0 dividiamo ancoa pe 4k 3 e icaviamo x x ( k + 1 ) quindi si ottiene il sistema xy x La cui isolvente pota all equazione k ; x > e y > ( k + 1) z ( 1) + k k + z 0 con le soluzioni z 1, che appesentano i due cateti. ( k + 1) ± + k 6k Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 7/5

8 Tuttavia, ea possibile evitae calcoli elativamente complicati usando anche la popietà pe cui i segmenti di tangente condotti da un punto esteno a una cf sono conguenti (vedi pemesse geometiche all inizio ), pe cui otteniamo l equazione (vedi disegni pecedenti e calcoli di pag. 4) ( x ) + ( y ) a a x Dove a è la misua dell ipotenusa; nel nosto caso, la seconda equazione del sistema isolvente diventa (eliminiamo a, come se fosse una teza incognita espimibile ispetto ai cateti) x y ( x ) e quindi x y (x - ) che conduce al sistema xy xy (x k - ) Pe confonto, abbiamo l equazione lineae ottenuta dopo le dovute semplificazioni x - k x (k + 1) come già ottenuto pima. I calcoli che seguono sono gli stessi già eseguiti pima. Deteminae i lati sapendo che il peimeto è k. Come nel poblema pecedente, k è un paameto che in questo caso appesenta il appoto peimeto / aggio. Assumendo come incognite x e y i due cateti, avemo l equazione di secondo gado x + x k la elazione lineae saà quella dedotta dalla egola dei segmenti di tangente (vedi pag. e calcoli di questa pagina), pe cui l ipotenusa è data da x x - Otteniamo il sistema (di quato gado) x x Pe confonto, eliminando il adicale, otteniamo k x y x x - k x - y ( x ) k + la seconda equazione, quadando e iducendo, pota a x y - x - y + 0 pe cui x y ( x ) - k l equazione associata saà Pe fae i calcoli, poniamo k k, pe cui k + z + z k 0 z + ( k' + 1) z k' 0 Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 8/5

9 k' + 1± ' ( k ) 6k + 1 z 1, Pe es., nel caso di un tiangolo con lati 5 (ipotenusa), 4 e 3 (cateti ), si avebbe il peimeto 1 e quindi k 6. Le soluzioni dell equazione, cioè i cateti del tiangolo, sono quindi 3 4. ' 6 + 1± ±1 Il lettoe attento non si lasceà sfuggie che la soluzione tovata pe il poblema del peimeto assegnato è uguale a quella dell aea assegnata, anche se scitta in modo un po diveso (pe es., il aggio in quest ultima è stato messo in evidenza). In effetti, come abbiamo già visto, nei poligono cicoscitti a un cechio l aea è data dal aggio pe il semipeimeto, quindi deteminae il tiangolo ettangolo cicoscitto al cechio di aea k equivale a tovae quello il cui semipeimeto è uguale a k. Nei calcoli pima eseguiti, essendo il peimeto k, il semipeimeto equivale a k, e questo spiega l equivalenza delle due fomule. Tiangolo isoscele cicoscitto a un cechio di aggio assegnato Cominciamo con esaminae la costuzione geometica della figua. Si può iniziae con una cf C di aggio abitaio, e un segmento che nel suo punto medio M è tangente a C e che saà la base del tiangolo. I lati obliqui contengono segmenti di tangente, ed essendo conguenti i segmenti di tangente condotti da un punto esteno a una cf, la distanza ta il punto di tangenza T del lato obliquo con C e il vetice comune a lato obliquo e base ( A o B ) deve essee uguale a metà della base (icodae che la base è tangente alla cf nel suo punto medio M ). La costuzione completa è la seguente Come già visto pima, si può anche costuie il tiangolo isoscele e poi la cf inscitta. Esaminiamo oa la figua ottenuta, a pescindee dai passaggi della costuzione. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 9/5

10 I poblemi su questa figua possono essee impostati con una sola incognita, o due. Nel pimo caso, bisogna cecae di espimee la base, l altezza e il lato obliquo in funzione della stessa gandezza x. Il lato obliquo può essee deteminato con Pitagoa a patie dall altezza e dalla base, o come somma CT + BT, quindi l incognita x può essee l altezza o la base (meglio la metà). La chiave isolutiva del poblema può essee la popozione OC : OT BC : HB dove OT è il aggio, e OC può essee x, con la limitazione x >. A questa popozione possiamo aggiungee il Teoema di Pitagoa che espime il lato obliquo, quindi è utile consideae HB povvisoiamente come una seconda incognita y, con la limitazione y > 0. Passando alle lettee, la popozione può essee espessa come x : che pemette di espimee y in funzione di x. ( x + ) : y I calcoli potano a: x y ( x + ) x y (x +x + ) ( x - ) y ( x + ) e infine si ottiene HB y x + x Pe il lato obliquo, applicando appunto Pitagoa si ottiene BC x + ( x + ) [( x + )( x ) + ] x + ( x + ) + x x x x Risultato che si può ottenee anche dalla popozione OC : OT BC : HB x : BC : x +, ecc... x Vediamo oa poblemi sul tiangolo isoscele cicoscitto isolti con due incognite Deteminae l altezza e la base del tiangolo isoscele cicoscitto a un cechio di aggio sapendo il lato obliquo l. Questo poblema pota ad un equazione di tezo gado, genealmente non isolvibile. Infatti dall equazione Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 10/5

11 x + x l x si ottiene x 3 + x l x + l 0, con x > Lo stesso vale pe il poblema: Deteminae altezza e base del tiangolo isoscele cicoscitto sapendo il peimeto o l aea (i due poblemi sono identici, come visto pima). Detto p il semipeimeto, abbiamo, pe le fomule tovate pima, p x + x + x x + x ( x + ) x x + da cui si tova l equazione ( x + ) 3 p ( x ) È più semplice pendee come incognita x l altezza del tiangolo: in tal caso l equazione diventa x 3 p ( x ) Se invece è assegnata l aea A, avemo A x x 3 ( ) Equazioni genealmente non isolvibili, salvo casi paticolai. Deteminae il lato del tiangolo equilateo cicoscitto a un cechio di aggio È un poblema elementae. La soluzione più semplice è consideae che l altezza è 1 Essendo A l h abbiamo l equazione p l h 3 l 3 del lato. Si può sfuttae la elazione A p. 3 l l 3 Tiangolo isoscele cicoscitto a un semicechio di aggio Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 11/5

12 Deteminae il tiangolo isoscele cicoscitto a un semicechio di peimeto assegnato Indichiamo con p il semipeimeto. Dato che p AH + AC, poniamo AH x e CH y e cechiamo AC. Il doppio dell aea del tiangolo ettangolo AHC (cioè l aea di ABC ) può essee calcolata sia come podotto dei cateti AH HC x y sia come podotto del lato obliquo AC pe il aggio, pe cui abbiamo l equazione AC x y AC xy Peciò abbiamo una pima equazione x +. xy p La seconda equazione può essee quella che deiva dal teoema di Pitagoa, pe cui AC x x + Otteniamo quindi il sistema x p, x xy ( p x) p x Elevando al quadato la seconda equazione, e iducendo, si ottiene y - p x + p isostituendo nella pima, abbiamo E infine si ottiene l equazione (di tezo gado) E quindi il poblema non è in geneale isolubile. Invece, è possibile x p px ( p x ) p x 3 + ( - p ) x - p x + p 0 Deteminae il tiangolo isoscele di aea assegnata k cicoscitto a un semicechio. Il doppio dell aea può essee calcolato come semipodotto di base pe altezza, cioè x y (vedi figua), o come podotto del lato obliquo pe il aggio, quindi Peciò si ottiene il sistema x k da cui si ottiene x k x xy k k Tenendo pesente l identità la seconda equazione si può scivee xy k Da cui x k + k Come già visto pima, l equazione associata x ( x ) x y (x ) k + k z - k + k z + k 0 Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 1/5

13 le cui soluzioni sono k + k ± k k k + k ± k k se invece indichiamo l aea con una sola lettea A, avemo il sistema (identico a quello tovato pima, salvo la divesa notazione) xy A xy A A x A x + A Le cui soluzioni, ottenute dall equazione z - sono z 1, A + A z + A 0 A + A ± A A Tapezio isoscele cicoscitto a un cechio di aggio assegnato È una delle figue più inteessanti Pocediamo cecando le elazioni ta gli elementi della figua in funzione dell altezza, che evidentemente misua. Pe la conguenza dei segmenti di tangente condotti da un punto esteno a una cf, il lato obliquo è equivalente alla semisomma delle basi, pe cui (Relazione 1) AD AH + DK. L aea è equivalente al podotto del aggio pe il semipeimeto. Dalla pima elazione deduciamo che l inteo peimeto p (somma dei lati obliqui e delle basi) è quatto volte il lato obliquo, pe cui p 4 l e quindi p l. (Relazione ) Dalla seconda, in base anche a questa conseguenza, deduciamo che l aea è il doppio podotto del aggio pe la misua del lato obliquo. (Rel. 3 ), A l. La diffeenza ta la base maggioe e la base minoe può essee calcolata col Teoema di Pitagoa, pe cui, applicandolo alla semidiffeenza delle basi AM - DK, otteniamo Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 13/5

14 ( AM DK ) AH AD - HD AD - 4 Pe la elazione AD AM + DK tovata pima, abbiamo AH ( AM - DK) (AM + DK) - 4 Da cui, sviluppando i calcoli, otteniamo - AM DK AM DK - 4 cioè, semplificando, AM DK [ Rel. 4 ]. Tenendo pesente che AM AT e DK DT (pe la el. 1 ), otteniamo ancoa AT DT [ Rel. 5 ]. Questa elazione, icavata con una seie di calcoli, può ottenesi anche in base a un agionamento geometico dietto. Infatti, se consideiamo che l altezza elativa al lato obliquo AD equivale al aggio, essa coisponde al teoema di Euclide applicato al tiangolo AOD, come se fosse un tiangolo ettangolo nel cento O. Finoa non abbiamo dimostato che AOD è ettangolo, ma possiamo aivaci pe via sintetica. Dimostazione il tiangolo AOD è ettangolo in O. Gli angoli MAD e ADK sono supplementai. I segmenti OA e OD appatengono alle bisettici degli stessi angoli, ispettivamente (lo si deduce dalla conguenza delle coppie di tiangoli ettangoli AOM e AOT, e DOT e DOK ). Quindi gli angoli OAD e ODA sono la metà ispettivamente degli angoli MAD e ADK, e la loo semisomma è la metà della semisomma di MAD e ADK, cioè un angolo etto. Ne segue che l angolo AOD è etto, e che la el. 5 è vea. Deteminae le misue dei lati di un tapezio isoscele di peimeto p assegnato cicoscitto a un cechio Dette x e y le metà della base maggioe e minoe ispettivamente, abbiamo i limiti x y > 0. [ il caso limite x y coisponde al quadato ]. In base alla elazione 1 (vedi pima), il semipeimeto è il doppio del lato obliquo, che a sua volta è la somma delle semibasi. Abbiamo quindi l equazione lineae x, ottenendo il sistema p alla quale possiamo aggiungee l equazione x y p che conduce all equazione z - z + 0 x xy p con le soluzioni z 1, p ± p 4 4 p ± p 16 4 Questa soluzione contiene anche, implicitamente, il limite infeioe pe il semipeimeto p. Infatti le soluzioni sono eali solo se p 4. Il caso p 4 è quello del quadato cicoscitto al cechio di aggio. Deteminae le misue dei lati di un tapezio isoscele di aea k cicoscitto a un cechio. L impostazione è identica al caso pecedente, essendo l aea data da p ; quindi, la soluzione espessa ispetto al paameto k si ottiene dalla pecedente sostituendo p con k. k ± k 16 Otteniamo z 1, 4 Se invece indichiamo l aea con A, otteniamo la fomula z 1, (icodae che z appesenta le metà delle basi). A 16 4 Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 14/5 A ± 4

15 Tapezio isoscele cicoscitto a un semicechio di aggio assegnato Ripoto la costuzione della figua: 1 Metodo - Patendo dalla semiciconfeenza iniziando dal lato obliquo: Dati diameto EF e semiciconfeenza, pe tacciae il lato AD, che deve essee tangente alla semicf, si può pendee un punto T abitaio sulla semicf e unilo col cento O. La etta otogonale al aggio suddetto in T è evidentemente tangente alla semicf. L intesezione di questa etta con il polungamento del diameto è il punto A. Tacciando la pependicolae al diameto in O e intesecando la semicf in K, si costuisce la paallela in K al diameto. Intesecando con la etta AT già costuita si ottiene D. I punti B e C si possono ottenee pe simmetia assiale a patie da A e D. Metodo Patendo dalla semicf iniziando dalla base maggioe: Poiché il tiangolo ATO è ettangolo in T, costuie la cf ausiliaia con cento nel punto medio del segmento OA. L intesezione ta questa cf e la semicf data è il punto T. 3 Metodo Patendo dal tapezio, costuie la semiciconfeenza inscitta: Tacciata la pependicolae alla base nel punto medio, il aggio della semicf è il segmento che unisce le intesezioni delle basi con la suddetta pependicolae. La popietà chiave di questa figua si deduce dalla conguenza ta i tiangoli ettangoli AHD e ATO, che sono simili in quanto hanno in comune il vetice A con appoto di similitudine uguale a 1 peché OT DH (vedi figua sotto), dove con H intendiamo la poiezione otogonale di D sulla base maggioe AB. Ne segue la conguenza ta il lato obliquo e la metà della base maggioe. Questa elazione può essee dedotta anche uguagliando le fomule del calcolo dell aea, che è data sia dalla egola geneale dell aea del tapezio sia dalla egola pe cui l aea di un poligono cicoscitto a un cechio equivale al podotto del aggio pe il semipeimeto. Consideiamo il poligono (esagono) ottenuto come unione ta il tapezio e il suo simmetico ispetto al diameto del semicechio inscitto; l aea del tapezio è la metà dell aea dell esagono. Quindi è AD + CD data dalla metà della somma dei lati esclusa la base maggioe (che non è lato dell esagono), cioè. Otteniamo quindi AB + CD AD + CD (l altezza è equivalente al aggio ) da cui AB AD. La seconda popietà fondamentale deiva dal teoema di Pitagoa applicato al tiangolo AHD, che pone in elazione le due basi, secondo lo stesso schema del tapezio isoscele cicoscitto a un cechio. In questo caso, abbiamo AH ( OA DK ) AD - Poniamo OA x e DK y ; tenendo pesente che AD OA pe le popietà viste pima, otteniamo ( x y ) x - x y - y Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 15/5

16 Deteminae i lati del tapezio isoscele di dato peimeto p cicoscitto a un semicechio di aggio Il semipeimeto è dato dalla somma AO + DK + AD ; secondo quanto già visto, AD AO. Posto x AO e y DK, con i limiti x y > 0, otteniamo l equazione x p cui si deve aggiungee l equazione x y - y tovata pima. Abbiamo quindi il sistema x xy y p Ricaviamo y in funzione di x dalla pima eq.: y p - x e sostituiamo nella seconda p x 4 x - 4 x + 4 p x - p x - 6 p x + p + 0 con le soluzioni x 1, 3p ± p 8 8 p m p 8 p m p 8 pe la metà della base minoe, si ottiene y 8 4 come nel caso del tapezio isoscele cicoscitto a un cechio, anche in questo caso otteniamo il limite infeioe del 3 valoe del semipeimeto, cioè p, cui coispondono i valoi e isp. pe la metà 4 della base maggioe (e lato obliquo) e la metà della base minoe. Deteminae il tapezio isoscele di aea assegnata k cicoscitto a un semicechio di aggio L impostazione è la stessa. Poniamo la metà della base maggioe e della base minoe uguali a x e y ispettivamente, con i limiti x y > 0. Possiamo utilizzae anzitutto la egola geneale dell aea di un tapezio, pe cui ( x ) k Inolte, applicando il Teoema di Pitagoa al tiangolo AHD (vedi i calcoli fatti pe il calcolo del tapezio di peimeto assegnato) si ottiene x y y Il sistema isolvente è x k xy y Ricavando la y dalla pima si ottiene y k - x, sostituendo nella seconda abbiamo k x - x x + k x - k 0 3x - 4 k x + ( k + 1) 0 k ± Le cui soluzioni sono x 1, k m y 1, ( k 3 k 3 3) 3, e pe la y si ottiene Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 16/5

17 I poblemi sul tapezio isoscele cicoscitto possono essee impostati anche con una sola incognita, p.es. la metà della base maggioe x. La base minoe può essee espessa in funzione della x in base al teoema di Pitagoa applicato al tiangolo AHD, in quanto AD AH + HD che, tenendo pesente AD x, conduce all equazione x ( y x ) + da cui deiviamo y - x ± x y x - x (il segno negativo è imposto dalla condizione y < x ) Se si tatta di deteminae il tapezio di peimeto assegnato p, dalla elazione OA + AD + DK p deduciamo che x + x + ( x - Pe l aea, si ottiene p.es. x + ( x - x ) 3x - x p cioè, isolando il adicale, x 3 x - p x ) x - x k e alla fine x x - k Deteminae i lati del tapezio isoscele di lato obliquo l cicoscitto a un semicechio di aggio In questo caso, pe quanto stabilito pima, si conosce anche la metà della base maggioe, che è conguente al lato obliquo. Quindi il poblema ha una sola incognita. Si tatta quindi di deteminae la base minoe x. I limiti sono 0 x. Si può utilizzae il Teoema di Pitagoa pe cui la diffeenza ta le basi AH (vedi figua, sopa), il lato obliquo AD OA e l altezza DH sono collegate dalla elazione AH AD - DH Pe cui, passando alle lettee, (x - l) l - x l ± l In ealtà solo la soluzione col segno meno è accettabile, peché genealmente deve essee l. Tapezio ettangolo cicoscitto a un cechio di aggio assegnato La costuzione della figua, a patie dalla ciconfeenza di aggio e cento abitai, è simile a quella illustata a pag. 4. Pe pima cosa si taccia la etta della base maggioe, come pependicolae al aggio OH essendo H scelto abitaiamente sulla cf inscitta. Allo stesso modo si taccia la etta della base minoe (la base come segmento, dopo). Il lato veticale AD si tova dopo ave tacciato la paallela alle basi condotta pe il cento, e intesecandola con la cf in L. Il lato veticale si costuisce come pependicolae alle basi condotta pe il punto L. La pate non banale della costuzione consiste nel tacciae il lato obliquo, che deve essee tangente alla ciconfeenza. Si pende un punto abitaio B sulla base maggioe (con distanza da A maggioe del diameto) e si taccia la cf ausiliaia (in osso nella fig. seguente) avente cento nel punto medio M del segmento OB. Il lato obliquo deve passae pe il punto T di intesezione ta la cf data e questa cf ausiliaia. Infatti il tiangolo ATC, essendo inscitto in una semicf, è ettangolo nel vetice T opposto all ipotenusa OB. Si taccia la etta pe B e T ; l intesezione ta BT e la etta della base supeioe fonisce il vetice C. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 17/5

18 Una costuzione altenativa, pe il lato obliquo, consiste nello scegliee abitaiamente T sulla cf, e nel tacciae pe questo punto T la pependicolae al aggio OT. Poniamo HB x e CK y. I limiti sono x y 0. L analisi di questa figua può cominciae con la popietà di conguenza dei segmenti di tangente, già vista ta le popietà geometiche fondamentali ipotate a pag. 3. Ciò consente di espimee la misua del lato obliquo come somma di segmenti di tangente CT e BT, ispettivamente conguenti ai segmenti CK e BH appatenenti alle basi. Ma questi segmenti sono dati dalla diffeenza ta le intee basi e il aggio, quindi se espimiamo le basi maggioe e minoe come x e y ispettivamente, avemo pe il lato obliquo BC CT + BT CK + BH x Un alta elazione deiva dal teoema di Pitagoa, pe cui ( vedi figua) BC ( BH CK ) + HK BC ( x y ) + 4 x x y + 4, che unitamente alla pecedente fonisce x + x y x - x y x y 4 e infine si ottiene x y Questa equazione implica che il tiangolo BOC sia ettangolo nel cento O. A questo poposito, si veda pag. 14. Una teza elazione (non indipendente dalle pime due) può ottenesi dalla egola pe cui l aea di un poligono cicoscitto a un cechio è data dal podotto del aggio pe il semipeimeto, pe cui, essendo le basi date da x + e y +, abbiamo pe l aea Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 18/5

19 AB + CD AD Che, passando alle lettee, diventa AB + CD + BC + AD x + (BC + x + + ) E quindi, iducendo, x + 4 BC + x + 4, che conduce a BC x cioè alla pima elazione tovata. Deteminae i lati di un tapezio ettangolo di peimeto p cicoscitto a un cechio di aggio. Il peimeto è dato da AB + BC + CD + DA ( x + ) + ( x ) + ( y + ) + x + y + 4 p (tene pesente che HB x e CK y ), e infine x p - Il sistema isolvente è quindi x p, xy sistema che possiamo confontae con quello isolvente il tapezio isoscele cicoscitto: x xy p L equazione isolvente è oa z + ( p ) z + 0, con le soluzioni p ± p 4 p z 1, contenente il limite p 4 imposto dalla ealtà delle soluzioni. Questo limite coisponde al caso del quadato cicoscitto (il cui peimeto è quatto volte il diameto cioè 8 ); x e y cioè le basi meno il aggio sono equivalenti al aggio. Deteminae i lati di un tapezio ettangolo di aea assegnata cicoscitto a un cechio di aggio L aea può essee data nella foma k essendo k un paameto positivo. Possiamo sfuttae il isultato già ottenuto, essendo A p p A k e quindi la soluzione è data da k ± k 4 Una soluzione indipendente (lo stesso vale pe il tapezio isoscele cicoscitto) può essee tovata patendo dalla fomula dell aea, pe cui ( x + ) + ( y + ) k x k - L equazione di secondo gado è sempe x y Il sistema che si ottiene è, evidentemente, lo stesso di pima, salvo il paameto k. Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 19/5

20 Tapezio ettangolo cicoscitto a un semicechio di aggio assegnato La popietà chiave della figua è la conguenza dei tiangoli ettangoli MTB e CHB, pe cui MB BC. Anche questa figua può essee isolta in due incognite; la scelta più conveniente potebbe essee Deteminae i lati del tapezio ettangolo di peimeto p cicoscitto a un semicechio L impostazione pincipale consiste nel poe la base maggioe AB x e la base minoe DC y, con i limiti x e 0 < y. Il lato obliquo può essee calcolato dalla conguenza (vedi pima) ta i tiangoli ettangoli BHC e OTB, pe cui BC OB e quindi BC x -. Il peimeto è dato da p x + ( x ) + x p Possiamo poi applicae il teoema di Pitagoa al tiangolo HBC pe espimee il lato obliquo, pe cui BC x Quadando e iducendo si ottiene ( x y + ) x - y x y + x 0 x xy + Si ottiene quindi il sistema y x xy + x p 0 Ricavando la y dalla pima eq. e sostituendo nella seconda otteniamo 4 p + 4 x 8 p x - 4 p x + 4 x + x 8 x + ( - 1 p ) x + 4 p 0 4 x + ( - 6 p ) x + p 0, e infine otteniamo pe l incognita x x 6 p ± 4 p 1 p Possiamo consideae il caso notevole p 3, cui coispondono le soluzioni 17 8 La seconda soluzione coisponde al caso limite del ettangolo cicoscitto a un semicechio; il pimo alla figua seguente Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 0/5

21 nella quale AH 3 3, HB 4 9, BC Un metodo altenativo (con calcoli leggemente più complessi) consiste nel poe AH DC x e HB y, con i limiti: < x e y > 0. La base maggioe è x, la base minoe x, AD coincide con l altezza e il lato obliquo BC si calcola con il teoema di Pitagoa, pe cui BC La condizione sul peimeto implica l equazione HB + HC y +. ( x ) + y + + x + p x + - p - y + Possiamo sfuttae la conguenza ta MB e BC, dalla quale, dato che MB x -, otteniamo x - Sommando le due equazioni membo a membo si ottiene y + 3 x + y p Quindi abbiamo il sistema 3x x y p + La seconda equazione, quadando e iducendo, implica x + x y x - y + y + x y + x ( x ) esplicitando y dalla pima equazione, otteniamo y 1 3 ( p 3x) p - x pe cui, sostituendo nella seconda, abbiamo px 3 x + x x p + 3x 0 e quindi pe x si tova e quindi, iducendo e cambiando segni, x - ( p + ) x + p 0 p + ± 4 p 1 p + 4 Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 1/5

22 Un caso limite inteessante è p 3, (vedi pima) che conduce alle soluzioni Appendice le discussioni gafiche La discussione è il pocedimento attaveso il quale viene stabilito se e quante sono le soluzioni di un equazione o di un sistema, al vaiae di un paameto detto appunto paameto di discussione, compese ento i limiti imposti. Genealmente, il poblema di cui il sistema o l equazione fonisce le soluzioni contiene una gandezza indeteminata ma consideata costante, detta paameto di scala o di costuzione. Nei poblemi consideati il aggio della ciconfeenza inscitta è il paameto fisso. Qui siamo inteessati ai sistemi, peché tutti i poblemi esaminati sono stati isolti mediante sistemi. Il caso più semplice è quello nel quale il paameto della discussione compae solo in una delle due equazioni. In questo caso, la discussione gafica è semplice, peché ha luogo attaveso il confonto ta una cuva fissa (che appesenta l equazione contenente il paameto fisso) e una cuva vaiabile nella cui equazione compae il paameto di discussione, che è appunto vaiabile. Pendiamo il sistema (v. pag. 5 ) x x a a + con x > e y > Nel poblema che è isolto da questo sistema, il paameto fisso è, mente a è il paameto vaiabile. Osseviamo che tutte le ette sono paallele di x 0 e che entambi i paameti sono positivi. Poiché il paameto vaiabile compae in entambe le equazioni, avemmo due cuve vaiabili, peciò dobbiamo modificae il sistema. Sostituiamo x e y con x X + e y Y +, con le nuove limitazioni X > e Y >. Il sistema diventa X + Y a ( X + ) + ( Y + ) a Pe discutee, conviene che una delle due equazioni non contenga il paameto della discussione, cioè a. Peciò eliminiamo a nella seconda, sostituendo a con ( X + Y ) e quindi otteniamo, dopo alcuni passaggi, il sistema X Y - X - Y 0 X + Y a che è discutibile gaficamente, avendo ottenuto la sepaazione dei paameti nelle due equazioni. In questo caso, la cuva fissa è una omogafica di equazione esplicita X + Y X avente asintoti X e Y. Pe la discussione, in base ai limiti vale solo il amo supeioe desto. Le soluzioni coispondono alle intesezioni ta la etta vaiabile X + Y a e l ipebole; quindi, la chiave della discussione è la tangente, che coisponde a a ( + ). Poiché l odinata dell intesezione ta etta e asse OY è funzione cescente di a, il poblema ha due soluzioni distinte simmetiche pe a > ( + ), coincidenti pe a ( + ), nessuna soluzione eale se a < ( + ). Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea /5

23 Una situazione analoga si ha nel sistema xy k x ( k + 1) con (vedi pag. 7 ) Poviamo a icavae k dalla seconda equazione e a sostituie nella pima: k x y x x + y y x x Possiamo quindi discutee il sistema x y x y ( k + 1) x Essendo gli asintoti della omogafica x e y, pe i limiti del poblema (vedi sopa) la pate della cuva che inteessa la discussione è il amo supeioe desto. La etta tangente alla cuva coisponde al caso x y (lo si vede più chiaamente dal sistema non modificato) che individua il punto di coodinate x y + ottenuto isolvendo l equazione x x x x - 4 x + 0 le cui soluzioni sono x y ± si pende solo il valoe col + (pe i limiti). Sostituendo nell equazione lineae toviamo il k della etta passante pe il punto, cioè k x 3 +. Abbiamo quindi soluz. odinaie distinte se k > 3 + soluz. od. coincidenti se k 3 + Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 3/5

24 nessuna soluz. eale se k < 3 + Inteessante, ma molto difficile è anche il sistema (vedi pag. 1 ) xy ( p x) x p x Se si eleva al quadato la seconda equazione si ottiene, con x >, y >. y - p x + p cioè una paabola con asse paallelo a quello delle ascisse, vetice V ( p ; 0 ) e intesezioni con gli assi ( 0 ; ± p ) e il p x vetice. La pima eq. può essee scitta come y ed è ancoa una omogafica di cento C ( 0 ; - ). x Questa discussione peò è difficile (bisogna consideae la paabola fissa e l omogafica vaiabile, come se p fosse costante e vaiabile). Peciò potebbe essee conveniente consideae l equazione isolvente (pag. 1 ) p x 3 + ( - p ) x - p x + p 0 Si può miglioae la discussione ponendo p k. Poiché tutti i temini sono di quato gado, dividiamo tutto pe 4, ottenendo un equazione idotta contenente un solo paameto k : Sostituiamo X a 3 x x x 0 k + (1 k ) k + k x e otteniamo 3 k X + (1 k ) X k X + k 0 Se dividiamo tutti i temini pe X e sepaiamo l equazione otteniamo k X + (1 k ) X k Pe ottenee un ipebole fissa al secondo membo, dividiamo ancoa tutto pe - k e otteniamo il sistema X k 1 Y + X + k k k 1 Y X dove è impotante ossevae che deve essee k > 1, in quanto è p >. La paabola mobile è sempe oientata veso il basso e inteseca l asse delle Y in un punto di odinata positiva. k X Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 4/5

25 Le paabole in figua coispondono a k, 3, 5 ; quest ultima inteseca l ipebole in due punti distinti, le alte non la intesecano. La discussione saebbe completa se si iuscisse a deteminae il valoe di k che coisponde alla tangenza. A questo scopo, possiamo icoee alle deivate: infatti nel punto di tangenza deve essee contempoaneamente e X k 1 + X + k k k 4 k 1 X + k k 1 X che conduce a un equazione di quato gado. Non è quindi possibile completae questa discussione. 1 X Ezio Foneo Poblemi sulle figue cicoscitte a un cechio o a una sfea 5/5

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