MOMENTI D INERZIA DI SUPERFICI
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- Gregorio Visconti
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1 1 MOMENTI INERZIA I SUPERFICI (llazoe vercale) OIETTIVO: SAPERE CALCOLARE I MOMENTI INERZIA I FIURE PIANE COMPLESSE. Momeo d erza rpeo ad ua rea (def.) Uà d mura Teorema d rapozoe (eucao + formula) Eemp d ua ulzzazoe (appl.) Momeo d erza polare (def.) Relazoe ra mome d erza polare e aal (formula) Raggo d erza (def.) Momeo cerfugo (def) Mome d erza rpeo ad a arcerc del reagolo, parallelogramma, ragolo, cerco (appl.) Mome d erza d fgure complee (calcolo) Sraega d oluzoe (decr.) Eemp co applcazo del eorema d rapozoe
2 MOMENTI INERZIA I SUPERFICI - SCHEA I LEZIONE MOMENTO INERZIA ASSIALE: è la omma de prodo delle aree feme (a ) per quadra delle daze (d ) dall ae. = a d = a d + a d a d 1 1 Il momeo d erza aale è empre povo e la ua uà d mura è quella d ua lugezza alla quara poeza (m 4 ). TEOREMA I TRASPOSIZIONE: l momeo d erza rpeo ad u ae oee ommado al momeo d erza rpeo all ae arcerco e parallelo a, l prodoo dell area (A) della uperfce per l quadrao della daza (d ) fra le ree e = + A d S ulzza per calcolare mome d erza rpeo ad a parallel ad a arcerc. MOMENTO INERZIA POLARE: è la omma de prodo della aree feme (a ) per quadra delle daze (d ) dal puo dao. = a z = a z + a z a z P 1 1 S dmora ce P = r + dove r e oo due a perpedcolar ce erecao el puo P. RAIO INERZIA: è la daza dalla rea fo ad u puo cu dovree cocerare ua l area della fgura per oeere lo eo valore del momeo d erza. ρ = MOMENTO CENTRIFUO: è la omma de prodo delle aree feme (a ) per le rpeve daze dalle due ree coderae. = a = a + a a MOMENTI INERZIA I FIURE ELEMENTARI RISPETTO A ASSI ARICENTRICI. A 4 = = π = = = = π = + = STRATEIA I SOLUZIONE per l calcolo de mome d erza d fgure complee: 1) dvde la fgura fgure elemear d cu oo o mome d erza rpeo ad a arcerc, percé mome d erza pooo eere omma o ora, purcé ao calcola rpeo allo eo ae; ) d og fgura elemeare calcola l momeo d erza rpeo alla rea aegaa ulzzado, e ecearo, l eorema d rapozoe; ) calcola la omma algerca de mome d erza delle fgure elemear.
3 TEOREMA I TRASPOSIZIONE: l momeo d erza rpeo ad u ae oee ommado al momeo d erza rpeo all ae arcerco e parallelo a, l prodoo dell area (A) della uperfce per l quadrao della daza (d ) fra le ree e = + A d IMOSTRAZIONE: coderamo ua fgura paa quala e uddvdamola aree feme a Le aree elemear a ce ao al d opra dell ae arcerco o, dao ( + d) dall ae, mere le aree elemear a ce ao al d oo dell ae arcerco o, dao ( - d) dall ae. I geerale poamo crvere: ( ) ( ) = a ± d vluppado l quadrao del omo a: = a + d ± d = = a + a d ± a d Porado fuor dal ego d ommaora le coa, oee: = a + d a ± d a ma a = percè è l momeo aco della = a + d a ma a = + A d come voleva dmorare a a A d fgura rpeo ad u uo ae arcerco a = a = A Il momeo d erza d u reagolo rpeo all ae arcerco parallelo al lao vale 1 IMOSTRAZIONE: uddvdamo l reagolo ae rce pccolme d area fema d largezza e alezza uara per cu og reagolo avrà area a a = 1 = a = 1 S Il momeo d erza può eere peao come l momeo aco d u momeo aco, fa: ( ) ( ) = a = a = S dove S è l momeo aco della rcola - ema rpeo all ae arcerco; al mome ac oo mam per le rcole pù da dall ae euro, mere per le alre rcole va dmuedo (percé dmuce la daza dall ae euro) fo ad aullar per la rcola poa ull ae euro quao è S ulla la daza dall ae arcerco. Il momeo aco delle rcole è rappreeao dalle aree de due ragol, per cu a: per l ragolo uperore per l ragolo ferore - S = = 8 = S + S = S = = 8 I mome ac d quee due aree rappreeao l momeo aco del momeo aco e coè l momeo d erza: = + = 4 4 1
4 4 ESERCIZI SUI MOMENTI INERZIA Calcolare mome d erza aal della ezoe a L rappreeaa fgura rpeo agl a e. H S uddvde la fgura e due reagol (H ) e ( ), calcolao mome d erza de gol reagol rpeo allo eo ae (ae paae per la ae) e po e e calcola la omma. H = + H = + Calcolare l momeo d erza polare della ezoe ragolare rappreeaa fgura rpeo al puo V. V V = + = + = 6 4 = + V 4 48 = + = Calcolare mome d erza aal della ezoe reagolare cava rappreeaa fgura. S uddvde la fgura e due reagol ( H) e ( ), calcolao mome d erza de gol reagol rpeo allo eo ae e po e e calcola la dffereza. H H H 1 = H = + H 1 Calcolare l momeo d erza aale della para crcolare co u foro ragolare rpeo all ae paae per la ae del ragolo ( arcer del cerco e del ragolo cocdoo). S uddvde la fgura u cerco e u ragolo, calcolao mome d erza delle gole fgure rpeo allo eo ae e po e e calcola la dffereza. π 4 π = Calcolare l momeo d erza polare del rapezo fgura rpeo al puo P. S dvde la fgura u reagolo e u ragolo e procede come egue:
5 5 P H r P = r + co H ( ) H ( ) H r = H H ( ) ( ) H = H + -
1 2 S si può associare un numero reale
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