METODO DI CAVALIERI-SIMPSON (o delle parabole) (per il calcolo approssimato 1 di integrali definiti)

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1 METODO DI CVLIERI-SIMPSON (o delle parabole) (per il calcolo approssimato di integrali definiti) ssieme ai metodi dei Rettangoli e dei Trapezi costituisce l insieme dei metodi di Integrazione Numerica detti di Newton-Cotes la cui caratteristica è la suddivisione dell intervallo di integrazione [ab] in n parti uguali. Mentre negli altri due metodi il numero n delle suddivisioni può essere un numero intero qualunque per il metodo di Simpson il numero n delle suddivisioni deve necessariamente essere un numero pari. Supponiamo pertanto di aver diviso l intervallo [ab] di integrazione in n parti u- guali (n numero intero pari) e di aver calcolato le ordinate in corrispondenza di tutti i nodi i. Siano cioè note le coordinate dei punti ( a;f (a)) B( ;f ()) C( ;f ( )) D( ;f ()) Fig. Nei metodi dei rettangoli e dei trapezi avevamo parlato di costruzione di rettangoli e trapezi in corrispondenza di ciascuno degli intervalli di suddivisione. vremmo anche potuto dire che in ciascun intervallo la funzione integranda f() viene sostituita da una funzione più elementare: dalla funzione yk (funzione costante) per quanto riguarda il metodo dei rettangoli e dalla funzione ym+p (funzione lineare) per quanto riguarda il metodo dei trapezi. Ebbene nel metodo di Simpson si sostituisce il grafico della funzione integranda (yf()) presente in due intervallini consecutivi con il grafico della parabola che ha tre punti in comune con il grafico di f(); per il resto si procede in modo analogo. La formula finale di Cavalieri-Simpson relativa all intero intervallo di integrazione [ab] b che permette di calcolare l integrale definito a f ( ) d è la seguente: N.B. Per comodità di scrittura poniamo kn/ (n pari). k k rea f ( a) + f ( b) + f ( i pari ) + 4 f ( i dispari ) i i Il ragionamento che permette di giungere a tale formula è un po più complesso rispetto a quello seguito per ricavare la formula dei rettangoli e dei trapezi. Nel caso di integrazione di polinomi il metodo di Simpson fornisce risultati esatti per polinomi fino al terzo grado anche utilizzando soltanto due suddivisioni (N)!!! Con k indichiamo in sostanza il numero totale delle ascisse dispari (l ultima di queste ha posto N- ricordando che abbiamo considerato a 0 e b n ).

2 PROCEDIMO PICCOLI PSSI. Considerando intanto i punti di ascissa 4. Come verrà dimostrato in seguito l area della parte di piano compresa tra la parabola (che sostituisce f()) l asse e le due rette verticali di equazione e 4 è calcolabile mediante la seguente formula: rea f f f (essendo ( ( ) 4 ( ) ( )) o meglio: 4 ; in quanto dividendo l intervallo di integrazione in un certo numero n di in- b a tervallini l ampiezza di ciascuno di essi è data da ma la quantità 4 - corrisponde n all ampiezza di due intervalli). L espressione rea [ f ( ) 4 f ( ) f ( )] rappresenta la formula di Simpson rela- tiva a tre punti consecutivi (C D E in figura). rea f + f + f [ ( ) 4 ( ) ( )] 4 Volendo estendere questa formula all intero intervallo di integrazione [ab] occorre osservare che non tutti i valori di i hanno lo stesso ruolo: quelli di posto dispari (come ) sono tali che le rispettive ordinate vanno moltiplicate per 4; quelli di posto pari (come e 4 ) praticamente e- stremi di ogni coppia di intervalli sono tali che le rispettive ordinate (eccetto prima e ultima) vanno considerate due volte (una volta come estremo destro e una volta come estremo sinistro). Pertanto la formula finale di Cavalieri-Simpson relativa all intero intervallo di integrazione [ab] è (come già detto): k k rea f ( a) + f ( b) + f ( i pari ) + 4 f ( i dispari ) i i ( kn/). Vediamo ora di capire perché nell intervallo [ 4 ] la formula di Simpson è: rea [ f ( ) + 4 f ( ) + f ( 4) ]. Lo possiamo capire attraverso due dimostrazioni (una geometrica l altra algebrica) Ciascuno studi quella che gli sembra più semplice!

3 DETERMINZIONE DELL FORMUL DI SIMPSON relativa a tre punti consecutivi. Dimostrazione lgebrica. I tre punti C D E (vedi figura - pagina ) hanno coordinate rispettivamente C( ;f ( )) D( ;f ()) E( 4 ;f ( 4 )); per essi passa la parabola di equazione y a + b + c. Non determiniamo l equazione della parabola passante per i tre punti ma operiamo come se i coefficienti a b c fossero noti (come se li avessimo calcolati). L area compresa tra l arco di parabola CDE e l asse è dato dal seguente integrale: rea (a + b + c)d 4 a 4 a a + b 4 b + c 4 c 4 a b a b + b + c c 4 c a( ) b( 4 ) c( 4 ) ( )( + + ) + b( )( + ) + c( ) NOT a da qui raccogliendo a fattor comune il binomio ( 4 ) si ha: ( 4 ) rea [ a( ) + b( 4 + ) + c] ( ) 4 [ a 4 + a 4 + a + b 4 + b + c] <***> ttenzione: la quantità tra parentesi quadre non è nota (non si conoscono i coefficienti a b c) però dobbiamo ancora utilizzare le condizioni di appartenenza. CDE sono punti della parabola possiamo pertanto scrivere: f + f ( 4 ) a 4 + b 4 + f () a + b + c <> ( ) a + b c <> c e tenendo conto del fatto che + 4 quest ultima diventa: a b f () a + b + c cioè: f () ( ) + ( + 4 ) + c 4 da cui si può dedurre: <> 4f () a + a 4 + a 4 + b + b 4 + 4c In conclusione: la quantità tra parentesi dell espressione <***> coincide esattamente con la somma dei secondi membri delle uguaglianze <> <> <> [controllare!] per cui può essere sostituita dalla somma dei rispettivi primi membri e così facendo si ottiene: ( 4 ) rea [ f ( ) + f ( 4 ) + 4f ( )] che è ciò che si voleva dimostrare!!! Ricordare due prodotti notevoli: -B (-B)( +B+B ) e -B (-B)(+B).

4 Dimostrazione Geometrica. Innanzitutto è necessario ricordare (o comunque possedere) le seguenti conoscenze: Enunciato del teorema di rchimede: L area del segmento parabolico (ossia della parte di piano compresa tra parabola e corda) è equivalente ai dell area del rettangolo avente un lato coincidente con la corda 4 (del segmento parabolico) e l altro lato (quello opposto) tangente alla parabola. Osservazione. Un rettangolo è equivalente (ossia ha la stessa area) a un parallelogramma (qualunque) purché abbia la stessa base e la stessa altezza del rettangolo; cioè: rea(bcd)rea(efcd). La dimostrazione è immediata: si basa sulla congruenza dei triangoli ED e BFC. Osservazione. Qualunque sia l inclinazione della corda B la retta tangente alla parabola e parallela alla corda B tocca la parabola in un punto la cui ascissa è la media aritmetica delle ascisse di e di B cioè + B P. Dimostrazione. La parabola ha equazione generica y a + b + c i punti e B hanno coordinate ( ; a + b + c) e B( B; ab + bb + c) : il coefficiente angolare della retta B diventa: yb y mb B a + b + c a b c B + B Fig. a( ) b( ) B da questa scomponendo e raccogliendo a fattor comune si ottiene: ( B ) [ a( B + ) + b] mb e cioè: mb a( B + ) + b (con B ). B Per ultimare la dimostrazione si calcoli la derivata generica della parabola e si determini il valore di in cui la derivata ha il valore uguale a m B.. Si scoprirà che tale valore di coincide con la media aritmetica tra e B. 4 Il teorema di rchimede è valido qualunque sia l inclinazione della corda B. 4

5 rea della parte di piano compresa tra un arco di parabola due rette verticali e l asse. Fare riferimento alla figura. La parte di piano considerata (limitata da: arco di parabola asse e due rette verticali) può essere calcolata come somma tra l area del trapezio rettangolo B B e l area del segmento parabolico. Le basi del trapezio sono: ' f ( ) e B ' B f ( B ) ; mentre l altezza è ' B ' ( B ). ' B ' L area del trapezio è: ( ' ' ) B + B B ( f ( ) + f ( B ) ). Per calcolare l area del segmento parabolico mediante il teorema di rchimede consideriamo al posto del rettangolo di base BCD il parallelogramma BST (l area è la stessa!). In questo parallelogramma conviene considerare come base il lato BS cosicché l altezza diventa B che coincide con ' B ' ( ). B Per calcolare la base BS osserviamo che essa è uguale a PQ dove Q essendo punto medio di + B y + yb B ha coordinate Q ;. La misura della base del parallelogramma è: y + y y y y B P B P Q P ( f P f f B ) BS PQ y y y ( ) ( ) ( ). Si ha: reaparall BS B ' ( f ( P ) f ( ) f ( B )) ( B ); e quindi: / rea rea f ( ) f ( ) f ( ) / ( ) ( ) SegmPar Parall P B ( f ( ) f ( ) f ( )). P B L area richiesta (area trapezio + area segmento parabolico) risulta pertanto: B B ( f ( ) + f ( B )) + ( f ( P ) f ( ) f ( B )). Riducendo allo stesso denominatore e raccogliendo a fattor comune si ha: B ( f ( ) + f ( ) + 4 f ( ) f ( ) f ( )) ( f ( ) 4 f ( ) f ( )) B P B + +. P B Quest ultima espressione rappresenta la formula di Simpson relativa all intervallo di estremi e B con P punto medio di B. pplicando questa formula all intervallo [ 4 ] della figura iniziale e osservando che B nel nostro caso diventa 4 si ha: / rea f + f + f / [ ( ) 4 ( ) ( )] 4 f + f + f 4. C.V.D. [ ( ) 4 ( ) ( )] 5