+ poligoni e l equivalenza di figure piane + triangoli + quadrilateri

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1 + poligoni + poligoni l quivlnz i figur pin + tringoli + quriltri + poligoni l quivlnz i figur pin 1 Stilisi s l sgunti ffrmzioni sono vr o fls. SEZ. E In un poligono i lti sono onsutivi u u. L somm gli ngoli intrni i un poligono ipn l numro i suoi lti. u figur quivlnti sono smpr ongrunti. u figur quisomponiili sono quivlnti m non nssrimnt ongrunti. u figur isoprimtrih sono smpr quivlnti. Prhé u sgmnti sono onsutivi s hnno in omun un strmo nl so i poligoni ogni vrti è il punto omun u lti. Prhé l formul pr trminr l somm gli ngoli intrni i un poligono i n lti è (n ) 10. Prhé u figur quivlnti hnno l stss stnsion, m non nssrimnt l stss form; mntr è vro h u figur ongrunti sono quivlnti, in gnrl non è vro il vivrs. smpio l figur P Q sono quisomponiili, ioè sono formt poligoni ongrunti, m non sono ongrunti. Prhé figur isoprimtrih hnno i siuro solo il primtro ugul. L figur G sono isoprimtrih prhé hnno ntrm primtro ugul 16u (ov u ini il lto i un qurtto), m non sono quivlnti prhé = 1U G = 16U (ov U ini l suprfii i un qurtto). igur P G igur Q U u Risolvi i sgunti srizi sui poligoni. rifi h i poligoni, G, sono quivlnti. U G Il poligono è formto qurtti, quini = U. Il poligono G è formto qurtti, quini G = U. Il poligono è formto qurtti tringoli h ssim formno qurtti, quini = U. imo priò vrifito h l tr figur hnno l stss r, ovvro sono quivlnti.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 1

2 Szion E + poligoni on i tr poligoni,, in figur ostruisi u figur 1 quivlnti fr loro. È suffiint unir l tr figur in u moi ivrsi, smpio: 1 onsir i poligoni in figur. rifi h non sono quivlnti, quini togli o ggiungi un prt uno i u poligoni in moo h risultino quivlnti. Il poligono è formto 6 qurtti. Il poligono è formto 1 qurtti mzzo: i u poligoni non sono quisomponiili quini nppur quivlnti. Possimo liminr l poligono oppur ggiungr l poligono il tringolo h h r pri qurtti mzzo. L somm gli ngoli intrni i un poligono è 900. trmin il numro i lti l poligono. L formul h fornis l somm gli ngoli intrni i un poligono è (n ) 10, quini: (n ) 10 = 900 iviimo ntrmi i trmini pr 10 ottnimo: n = ui n = + = Il poligono h lti.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

3 + poligoni l quivlnz i figur pin 6 In un pntgono tr ngoli sono ongrunti mpi isuno 100. trmin l mpizz gli ltri u ngoli spno h uno è i ll ltro. Il pntgono h lti, quini possimo trovr l somm i suoi ngoli intrni: n = (n ) 10 = ( ) 10 = 0 E = 0 Ê+ ˆ Ê ˆ Ê + ˆ + = prti uguli 0 : = 0 mpizz i un ll prti 0 = 90 mpizz ll ngolo Ê 0 = 10 mpizz ll ngolo ˆ + tringoli Stilisi s l sgunti ffrmzioni sono vr o fls. Â= ˆ = Ĉ = 100 Ê=? Ê= ˆ ˆ =? Â+ ˆ + Ĉ + ˆ + Ê = 0 f L insim i tringoli quiltri è un sottoinsim ll insim i tringoli isosli. Un tringolo ottusngolo può ssr isosl. In un tringolo rttngolo l ortontro oini on il vrti ll ngolo rtto. In un tringolo sistono tr ltzz. L inntro è un punto quiistnt i lti l tringolo. Un tringolo ottusngolo h tr ngoli ottusi. f Un tringolo quiltro h i tr lti ongrunti, quini è un so prtiolr i tringolo isosl h pr finirsi tl v vr (lmno) u lti ongrunti. Un tringolo ottusngolo pr finizion h un ngolo ottuso h è mpio più i 90 m iò non impis h poss vr u ngoli ongrunti i onsgunz u lti ongrunti. smpio un tringolo on gli ngoli mpi 100, 0 0 è ottusngolo isosl. L ortontro è il punto i inontro ll tr ltzz i un tringolo, m i tti sono tr loro prpniolri quini sono u ltzz l tringolo si inontrno nl vrti ll ngolo rtto, h quini oini on l ortontro. L ltzz è il sgmnto i prpniolr onotto un vrti l tringolo l orrisponnt lto opposto. Un tringolo h tr lti tr vrtii quini l ltzz h si possono trir sono tr. L inntro è il punto i inontro ll tr isttrii i un tringolo l isttri i un ngolo è l insim i tutti i punti quiistnti i u lti ll ngolo. L somm gli ngoli intrni i un tringolo è smpr ugul 10, ogni ngolo ottuso h mpizz mggior i 90 quini l somm i u ngoli ottusi suprr 10 : un tringolo può vr un solo ngolo ottuso, in tl so è ppunto tto ottusngolo.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

4 Szion E + poligoni Risolvi i sgunti prolmi sui tringoli. lol l mpizz i isun ngolo strno i un tringolo rttngolo spno h un suo ngolo uto è mpio. Gli ngoli uti i un tringolo rttngolo sono omplmntri, quini ˆ + Ĉ = 90 ; poihé ˆ = sgu h Ĉ = 90 =. Gli ngoli strni sono i supplmntri i rispttivi ngoli intrni, quini: = 90 mpizz ll ngolo strno i  10 = 1 mpizz ll ngolo strno i ˆ 10 = 1 mpizz ll ngolo strno i Ĉ 9 u ngoli strni i un tringolo sono mpi rispttivmnt 16. Qul è l mpizz gli ngoli intrni l tringolo? os puoi ir l tringolo? α β Gli ngoli intrni sono i supplmntri i rispttivi ngoli strni, quini: 10 = 1 mpizz ll ngolo ˆ = mpizz ll ngolo Ĉ L somm gli ngoli intrni i un tringolo è smpr 10, quini: α = Â=? β = 16 ˆ =? Ĉ =? Â+ ˆ + Ĉ = 10 Â= 10 ˆ Ĉ = 10 1 = Gli ngoli  Ĉ sono ongrunti, quini il tringolo è isosl sull s. 10 lol l mpizz gli ngoli formti ll u ltzz K l tringolo utngolo, spno h l ngolo Ĉ è mpio 9. L ngolo Ĥ è rtto prhé è un ltzz l tringolo. β α R K L ngolo RÂK è omplmntr ll ngolo Ĉ, quini RÂK = 90 9 = 1. L ngolo RKˆ è rtto prhé K è un ltzz l tringolo, quini l ngolo Rˆ K è omplmntr i RÂK, priò Rˆ K = 90 RÂK = 90 1 = 9. Ĉ = 9 α =? β =? L ngolo Rˆ è supplmntr i Rˆ K, quini Rˆ = 10 9 = 11. Gli ngoli formti ll u ltzz K sono α β sono mpi rispttivmnt lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

5 + tringoli 11 In un tringolo un ngolo strno è mpio 100 ; i u ngoli intrni non inti sono uno i ll ltro. trmin l mpizz i isun ngolo intrno l tringolo. L ngolo intrno ˆ è supplmntr ll ngolo strno α, quini ˆ = = 0. L somm gli ngoli intrni i un tringolo è ugul 10, priò: α = 100  = Ĉ α Â+ Ĉ= 10 ˆ = 10 0 = 100 S  = Ĉ possimo rpprsntr l situzion grfimnt: Ĉ   + Ĉ 100 : = 0 0 = 60 Ĉ 0 = 0  1 In un tringolo utngolo l ngolo  è mpio 6. lol l mpizz gli ngoli h l ltzz rltiv l lto form on l isttri ll ngolo Â. β R α S  = 6 α =? ÂS = S β =? L isttri S ivi l ngolo  in u prti uguli, quini: 1 1 S =  = 6 = Il tringolo R è rttngolo in prhé è l ltzz rltiv, quini α = Rˆ è omplmntr i RÂ, priò α = Rˆ = 90 = 6. L ngolo β è supplmntr i α, quini: β = Rˆ = 10 6 = 1. Gli ngoli formti ll ltzz ll isttri S sono mpi I u ngoli  ˆ i un tringolo sono mpi rispttivmnt. Prolung il lto (ll prt i ) ongiungi il vrti on un punto i qusto prolungmnto in moo h l ngolo ˆ si mpio. lol l mpizz ll ngolo ˆ.  + ˆ + Ĉ = 10 Ĉ = 10 = 9 Ĉ è supplmntr i Ĉ, quini: Ĉ = 10 9 = 11 ˆ = 10 Ĉ ˆ = = 1  = ˆ = ˆ = ˆ =?. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

6 Szion E + poligoni 1 lol l r i un tringolo spno h l somm ll s ll ltzz è ugul 1 m, 9 mntr l s è i ll ltzz. + = 1 m 9 = =? = + sprsso om frzion i 1 1 m : 1 = m vlor i i m 9 = m m = m = = m = m 1 In un tringolo isosl il primtro è lungo 10 m l s n è i. 1 lol qunto è lungo isun lto. p = 10 m = p 1 = =? = 10 m = 0 m 1 Il tringolo h = prhé è isosl, quini: =? p 10 0 = = = m = m I lti sono quini = 0 m = = m. 16 Nl tringolo slno l s è lung 16 m il lto m; spno h il lto è ugul ll smisomm i u lti, trov il primtro l tringolo. = 16 m = m + = p =? 16 + = m = 1 m p = 16 m + 1 m + m = 6 m 1 In un tringolo isosl il primtro è lungo 60 m; lol l lunghzz i lti spno h il lto oliquo è il oppio ll s. p = 60 m = = = =? =? = p = = prti uguli 60 m : = 1 m lunghzz i un ll prti uguli 1 m 1 = 1 m 1 m = m =. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 6

7 + quriltri + quriltri 1 Stilisi s l sgunti ffrmzioni sono vr o fls. f g Tutti i trpzi hnno l igonli ongrunti. Gli ngoli inti isun s i un trpzio isosl sono supplmntri. Un prlllogrmm vnt l igonli ongrunti è un rttngolo. I rttngoli sono prlllogrmmi prtiolri. Tutti i qurti sono romi. Il qurto è l unio quriltro rgolr. L igonli i un prlllogrmm possono ssr isttrii gli ngoli. f g Nl trpzio slno nl trpzio rttngolo l igonli non sono ongrunti. Solo il trpzio isosl, ioè qullo h h u lti oliqui ongrunti, h l igonli ongrunti. Tli ngoli sono ongrunti mntr sono supplmntri, in ogni trpzio, gli ngoli inti isun lto oliquo in qunto risultno ssr ngoli oniugti intrni risptto ll u rtt prlll sostgno ll si l trpzio risptto ll rtt trsvrsl sostgno l lto. In prtiolr ossrvimo h nh il qurto (h è un rttngolo prtiolr) h l igonli ongrunti. Tutti i rttngoli hnno i lti ongrunti prllli u u gli ngoli opposti ongrunti, quini sono prlllogrmmi prtiolri prhé gli ngoli sono tutti quttro ongrunti. Un prlllogrmm è un romo s h i lti ongrunti, l igonli prpniolri tr loro isttrii i rispttivi ngoli. Il qurto h tutt qust rttristih quini è un romo. Un poligono è rgolr s h i lti gli ngoli ongrunti: il quriltro h h quttro ngoli quttro lti ongrunti è il qurto. Il qurto il romo sono i prlllogrmmi in ntrmi i si l loro igonli sono isttrii i rispttivi ngoli. Risolvi i sgunti prolmi sui quriltri. 19 trmin l mpizz i isun ngolo i un prlllogrmm spno h uno i ssi è i ll ltro ngolo int llo stsso lto. ˆ = Ĉ  =? ˆ =? Ĉ =? ˆ =? In un prlllogrmm gli ngoli opposti sono ongrunti, quini ˆ = ˆ  = Ĉ. ˆ = ˆ Ĉ =  L somm gli ngoli intrni i un quriltro è ugul 60, quini:  + ˆ + Ĉ + ˆ = 1 prti uguli 60 : 1 = 0 mpizz i isun prt 0 = 100 mpizz i ˆ = ˆ 0 = 0 mpizz i  = Ĉ. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

8 Szion E + poligoni 0 In un trpzio isosl isun ngolo int ll s minor è triplo i isun ngolo int ll s mggior. trmin l mpizz i isun ngolo l trpzio. ˆ = Ĉ = ˆ  =? ˆ =? Ĉ =? ˆ =? Nl trpzio isosl gli ngoli inti ll s mggior sono ongrunti om pur gli ngoli inti ll s minor:  = ˆ ˆ = Ĉ  = ˆ ˆ = Ĉ L somm gli ngoli intrni i un quriltro è ugul 60, quini: = prti uguli h formno : = mpizz i isun prt  = ˆ = ˆ = Ĉ = = 1 1 L somm ll mpizz gli ngoli inti ll s mggior i un trpzio è ugul 10 uno i u ngoli è l mtà ll ltro. Trov l mpizz gli ngoli inti ll s minor giustifi l tu rispost.  + ˆ = 10 ˆ = ˆ =? Ĉ =? 1  ˆ   + ˆ 10 : = 0 mpizz i un ll prti 0 1 = 0 mpizz ll ngolo ˆ 0 = 0 mpizz ll ngolo  Gli ngoli inti ll s minor sono supplmntri rispttivmnt i  ˆ. ˆ = 10  = 10 0 = 100 Ĉ = 10 ˆ = 10 0 = 10 In un trpzio slno l ngolo  è mpio ; l igonl minor form on l s mggior un ngolo mpio è prpniolr l lto oliquo. lol l mpizz i isuno gli ngoli l trpzio.  =  = Ĉ = 90 ˆ =? Ĉ =? ˆ =? L somm gli ngoli intrni l tringolo è ugul 10, quini: ˆ = 10 Ĉ  = = 6 Gli ngoli inti i lti oliqui sono supplmntri, quini:  + ˆ = 10 ˆ = 10  = 10 = 10 Ĉ + ˆ = 10 Ĉ = 10 ˆ = 10 ˆ = = 10 6 = 1. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

9 + quriltri In un romo l smiigonl mggior O form on l ltzz O l tringolo O un ngolo mpio 6. lol l mpizz i isun ngolo l romo. O Ô = 6 Â =? ˆ =? Ĉ =? ˆ =? O è un ltzz l tringolo O, quini OĤ = 90 ; Ô è un ngolo rtto prhé l igonli i un romo sono tr loro prpniolri. In un tringolo rttngolo gli ngoli uti sono omplmntri, quini: Oˆ = 90 Ô = 90 6 = OĈ = 90 Oˆ = 90 = 6 L igonli i un romo sono isttrii gli ngoli, priò: Ĉ = Â = OĈ = 6 = 1 ˆ = ˆ = Oˆ = = 6 Un qurto h il lto lungo 0 m. lol l lunghzz ll ltzz i un rttngolo isoprimtrio l qurto on l s lung 1 m. Q P I u poligoni sono isoprimtrii, ioè hnno lo stsso primtro: = 0 m p = p MNPQ MN = 1 m PN =? M N p = (0 ) m = 10 m MN + PN = 10 m 1 m + PN = 10 m 0 m + PN = 10 m PN = 10 m 0 m = 90 m 90 PN = m = m Un trpzio rttngolo è iviso ll su ltzz in un qurto on il lto lungo m in un tringolo rttngolo on l ipotnus lung 10 m. Spno h l iffrnz ll si l trpzio è lung 6 m, lol il primtro l trpzio il primtro i un romo il ui lto è ll s mggior l trpzio. = = = = m PQ = QM = MN = NP = = 10 m = 6 m p =? p MNPQ =? Q P M N Spno h = 6 m imo h: = + 6 m = m + 6 m = 1 m p = ( ) m = 0 m QP = 1 m = 16 m p MNPQ = 16 m = 6 m. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 9

10 Szion E + poligoni 6 Il primtro i un trpzio isosl è lungo 6 m isun lto oliquo è lungo m. trmin l lunghzz i isun s spno h un è il triplo ll ltr. p = 6 m = = m = =? =? + = p = (6 ) m = 16 m + 16 m : = m m = 1 m Un prlllogrmm h h u lti onsutivi lunghi rispttivmnt 10 m 1 m è quivlnt un rttngolo. Il primtro l rttngolo è lungo m l s è lung 1 m. lol l lunghzz ll u ltzz l prlllogrmm. Q M K P N = 10 m = 1 m = MNPQ p MNPQ = m MN = 1 m =? K =? p MNPQ MN = 1 = m = m NP MNPQ = (1 ) m = 60 m L r l prlllogrmm è = h. S l s è imo: 60 = = m = 6 m 10 S l s è imo: 60 K = = m = m 1 Un rttngolo un qurto sono isoprimtrii. Spno h il lto l qurto è lungo 10 m h l ltzz l rttngolo è ll s, lol l r l rttngolo. Q P 10 m = 0 m p NP MN M N p MNPQ + = prti uguli 0 m : = 0 m lunghzz i un prt 0 m = 10 m NP 0 m = 10 m MN p = p MNPQ = 10 m NP = MN MNPQ =? MNPQ = 10 m 10 m = 100 m. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 10

11 + quriltri 9 Un trpzio rttngolo h l ngolo uto int ll s mggior mpio. lol l r l trpzio spno h l s mggior l ltzz sono lungh rispttivmnt m 10 m. Il tringolo è rttngolo in. Poihé l ngolo ˆ è mpio, l ngolo Ĉ, h è il suo omplmntr, è mpio nh sso, quini il tringolo è rttngolo isosl on = = 10 m. ˆ = = 10 m = m =? = = m 10 m = 1 m ( + ) ( +1) 10 = = m = 0 m 0 L igonli i un romo sono lungh rispttivmnt, m 11, m. lol il suo primtro spno h l ltzz rltiv uno i lti è lung 6, m. 11,, = = m =,0 m Il romo è un prlllogrmm, quini l su r si può lolr om prootto i un lto pr l lunghzz ll rltiv ltzz. =, m = 11, m = 6, m p =? = ui rivimo:,0 = = m = m 6, p = m = m 1 Il primtro i un trpzio è lungo 9,1 m, l s mggior è lung, m uno i lti oliqui è i ll s mggior. trmin l lunghzz ll s minor ll ltro lto oliquo spno h sono ongrunti. =, m = m + = 9,1 m m, m =,6 m = =,6 m = 1, m p = 9,1 m =, m = = =?. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 11

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