LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO: CENNI DI TEORIA ED ESERCIZI

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1 LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO: CENNI DI TEORIA ED ESERCIZI SPAZIO: l insieme di tutti i punti. PUNTI ALLINEATI: punti che appartengono alla stessa retta PUNTI COMPLANARI: punti che appartengono allo stesso piano A B C Punti complanari Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. Due rette che si intersecano individuano un piano L intersezione di due piani non coincidenti è una retta. Si dicono sghembe due rette che non hanno punti in comune e non sono complanari Se due piani paralleli intersecano un altro piano, le rette intersezione sono parallele Punti non complanari Rette t r r t sghembe Una retta e un piano sono perpendicolari se e solo se la retta interseca il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto di intersezione retta t perpendicolare al piano Definizione: Si dice diedro ciascuna delle due parti in cui due semipiani aventi la stessa origine dividono lo spazio, inclusi i semipiani stessi detti facce del diedro. La retta origine dei due semipiani si dice spigolo del diedro. La sezione normale del diedro è l intersezione del diedro e di un piano perpendicolare allo spigolo del diedro. Le sezioni normali di un diedro sono tutte congruenti tra loro. spigolo faccia I diedri possono essere piatti, retti, acuti, ottusi,concavi, convessi se le sezioni normali sono angoli piatti, retti, acuti, ottusi, concavi, convessi. Se si uniscono i vertici di un poligono con un punto P non complanare al poligono stesso, si genera una superficie piramidale che divide lo spazio in due parti. Definizione: Si dice angoloide, la parte di spazio limitata dalla superficie piramidale contenente il poligono. Il punto P si dice vertice, le semirette uscenti da P che passano per i vertici del poligono sono gli spigoli, gli angoli formati da due spigoli consecutivi sono le facce dell angoloide. Si dice angoloide regolare quello con le facce tutte uguali. Si dice triedro, angoloide con tre facce. Per il triedro valgono le seguenti proprietà: ogni faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza. Si può formare un triedro con facce di 30, 45, 60, ma NON si può formare un triedro con facce di 90,20, 15 V vertice spigolo

2 I 5 poliedri regolari Sono gli unici solidi regolari, ciascuno di essi è circoscrivibile o inscrivibile alla sfera Perché i solidi regolari sono solo 5? Consideriamo il tetraedro, ad ogni vertice si uniscono tre triangoli equilateri e la somma dei tre angoli è 180, 180 <360 quindi si puo costruire il poliedro, l ottaedro ad ogni vertice si uniscono 4 triangoli equilateri ( tot. 240 <360, tutto OK )e l icosaedro, ad ogni vertice si uniscono 5 triangoli equilateri ( tot 300 <360, tutto OK). Non è possibile formare un solido regolare unendo più di 5 triangoli equilateri, perché la somma supera i 360. Il solido regolare che ha per faccia quadrati congruenti è il cubo, dove ad ogni vertice si uniscono 3 quadrati ( tot 270 < 360 tutto OK ), non è possibile formare altri poliedri regolari aventi per facce il quadrato, perché la somma dei 4 angoli sarebbe almeno 360. Considerando il pentagono, si può ottenere un solido regolare se ad ogni vertice si uniscono 3 pentagoni ( tot 108 x3=324 ) non è possibile avere altri solidi regolari perché la somma degli angoli che si incontrano nello stesso vertice supererebbe 360. TRIANGOLI NOTEVOLI tetraedro esaedro (cubo) ottaedro dodecaedro icosaedro TRIANGOLO RETTANGOLO CON ANGOLI 90, 45, 45 TRIANGOLO RETTANGOLO CON ANGOLI 90, 30, 60 l/ 2 l l 3 2 l l/ 2 l/2

3 Consigli utili per risolvere i problemi di geometria solida h cono : r base = VK: CK h cono : r base = VK: R sfera COME SI PUO FAR CAPIRE CHE IL CUBO è INSCRITTO IN UNA SFERA Si traccia la diagonale del cubo che è anche il diametro della sfera circoscritta al cubo VB= a cono VK= VB-KB= a cono - r base R sfera= r base *( a cono - r base ) /h Esistono nel piano 4 punti equidistanti tra loro? Esistono nello spazio 4 punti equidistanti tra loro? NO, ovviamente OB è diverso da AB Nel piano due rette che non hanno punti in comune sono necessariamente parallele ( hanno la stessa direzione) Sono i 4 vertici del tetraedro Nello spazio due rette che non hanno punti in comune possono NON essere parallele! Nello spazio ci sono infinite rette perpendicolari ad una determinata retta in un suo punto

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5 Le diagonali interne del cubo sono a due a due perpendicolari? NO!!! Perché la sezione in verde è sempre un rettangolo e mai un quadrato LE SEZIONI DEL CUBO CON UN PIANO le sezioni di un piano e un cubo sono: esagono, pentagono(che non può essere regolare), triangolo, quadrato, rettangolo, trapezio.

6 PIRAMIDI RETTE E PIRAMIDI REGOLARI Piramide retta e regolare: ha per base un poligono regolare e l altezza cade nel centro della base. Per calcolare la superficie laterale, si usa la formula perimetro di base per apotema, diviso 2, dato che le facce laterali sono congruenti. Piramide a base rettangolare. E una piramide retta ma NON regolare e il poligono di base non è circoscrivibile a una circonferenza. Per calcolare la superficie laterale bisogna calcolare l area di ogni faccia poiché l altezza delle facce non è sempre uguale. ATTENZIONE ci sono piramidi rette e non regolari la cui base è circoscrivibile a una circonferenza. In questo caso S lat = 2p base *a/2 = p*a POLIEDRI: prismi, piramidi, parallelepipedi, i poliedri regolari SOLIDI CHE NON SONO POLIEDRI

7 x x x sezione del piano con la sfera : sezione del piano con l anticlessidra: A cerchio = π (R 2 -x 2 ) sia R il segmento OF=FG, A corona circ. = πr 2 - πx 2 poiché x è un valore compreso tra R ed R e le aree delle ragioni corrispondenti sono uguali, per il principio di Cavalieri, la sfera è equivalente all anticlessidra V sfera = V cilindro -V clessidra = πr 2 2R - 2 πr 2 R/3 = 4/3 π R 3 ESERCIZI

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