Hai imparato che la divisione non è un operazione interna nell insieme dei numeri naturali, per esempio possiamo avere:
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1 DIVISORI E LA DIVISIBILITA Hai imparato che la divisione non è un operazione interna nell insieme dei numeri naturali, per esempio possiamo avere: 36: 3 = 12 divisione eseguibile in N 27: 2 divisione non eseguibile in N Possiamo avere due casi: 1. divisioni esatte con resto zero (36: 3) e 2. divisioni non esatte con resto diverso da zero (27 : 2 ha come resto uno). Diamo quindi la seguente definizione: guardando l esempio 36 : 4 POSSIAMO AFFERMARE CHE: 36 E DIVISIBILE PER 4 e che 4 E UN DIVISORE DI E UN MULTIPLO DI 4 e che 4 E UN SOTTOMULTIPLO DI 36 LA DIVISIBILITÀ : Dati due numeri a e b, si dice che a è divisibile per b se la divisione è esatta, cioè con resto zero. Esercizi A. DECIDI SE L AFFERMAZIONE È CORRETTA: a. 45 è multiplo di 5 b. 36 è multiplo di 2 ma non di 12 c. Tutti i multipli di 9 sono anche multipli di 3 d. 0 non è multiplo di alcun numero e. I multipli di 4 sono tutti pari f. 36 non è multiplo di 7 g. 30 è divisibile per 2, per 3 e per 5 h. 2 è divisore di 27 perché 27: 2 = 13 con resto 1. B. SOSTITUISCI AI PUNTINI IL TERMINE MULTIPLO E DIVISORE : 2 è... di 24; 81 è... di 9; 4 è... di 16; 35 è... di 5; 3 è...di 24; 42 è...di 6; 9 è... di 72;
2 32 è...di 8; 7 è... di 70; 28 è... di 14; 25 è... di 75; 12 è... di 36; 35 è... di 140; 100 è...di 25; 11 è...di 44; 72 è... di 36; 85 è...di 17; 37 è...di 148; C. SCRIVI I PRIMI 7 MULTIPLI DEI SEGUENTI NUMERI: a) 4, 7, 8, 9, 11, 15, 25, 30 b) 19, 23, 28, 32 D. SCRIVI TUTTI DIVISORI DEI SEGUENTI NUMERI: a) 4, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 42 b) 26, 39, 44, 50, 56, 63, 72, 100 CRITERI DI DIVISIBILITÀ OSSERVAZIONE Se due numeri sono divisibili per uno stesso numero, anche la loro somma, la loro differenza e il loro prodotto sono divisibili per quel numero. ESEMPIO: I numeri 45 e 30 sono entrambi divisibili per 5, allora = 75 è divisibile per = 15 è divisibile per 5 45 x 30 = 1350 è divisibile per 5 1. INDICA CON UNA CROCETTA LE AFFERMAZIONI V E QUELLE F. a. Se un numero è divisibile per 2 allora è divisibile anche per 10 V F b. Se un numero è divisibile per 9 allora è divisibile anche per 3 V F c. Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 V F
3 d. 350 è divisibile per 2, 5 e 100 V F e. 990 è divisibile per 11 V F f. 350 è divisibile per 2, 5 e 100 V F g. 207 è divisibile per 7 V F 1. SCRIVI CINQUE NUMERI DI DUE CIFRE DIVISIBILI PER SCRIVI SEI NUMERI DI TRE CIFRE DIVISIBILI PER SCRIVI OTTO NUMERI DI DUE CIFRE DIVISIBILI PER SCRIVI CINQUE NUMERI DI DUE CIFRE DIVISIBILI PER 2, PER 5 E PER CERCHIA IN ROSSO I NUMERI DIVISIBILI PER 2. 8, 26, 91, 13, 80, 44, 15, 18, 52, 63, 22, 150, 401, 557, 204, 600, 326, 1 103, 4 345, , CERCHIA IN ROSSO I NUMERI DIVISIBILI PER 3. 15, 65, 42, 33, 67, 72, 54, 35, 83, 109, 582, 243, 309, 504, 330, 787, 2 003, 6 892, , CERCHIA IN ROSSO I NUMERI DIVISIBILI PER 5. 10, 52, 45, 75, 13, 29, 90, 64, 27, 110, 225, 302, 456, 545, 625, 102, 8 910, 6 830, , CERCHIA IN ROSSO I NUMERI DIVISIBILI PER 7. 17, 56, 107, 123, 182, 235, 315, 924, 364, 462, 5021, , , , CERCHIA IN ROSSO I NUMERI DIVISIBILI PER , 111, 242, 433, 542, 792, 377, 462, 165, 4 061, 1 914, 6 835, , COMPLETA I SEGUENTI NUMERI INSERENDO UNA CIFRA CHE LI RENDA DIVISIBILI PER , 6.., 42.., 34.., 12.., 7..8, 3..6, 4..4, 8..2, , , , , COMPLETA I SEGUENTI NUMERI INSERENDO UNA CIFRA CHE LI RENDA DIVISIBILI PER 9: 6.., 11.., 25.., 52.., 38.., 80.., , , , , , SCRIVI CINQUE NUMERI DIVISIBILI CONTEMPORANEAMENTE PER 2 E PER VERIFICA QUALI FRA I SEGUENTI NUMERI SONO DIVISIBILI PER 15 (Basta osservare che sono contemporaneamente divisibili per 3 e per 5): 30, 136, 279, 105, 240, 335, 606, 840, 2 340, 1 250, 3 645, 3 021, SCRIVI OTTO NUMERI DIVISIBILI PER 18. (Basta osservare che sono contemporaneamente divisibili per 2 e per 9) 15. DATI I NUMERI 136 E 450, DIVISIBILI PER 9, VERIFICA CHE ANCHE LA LORO SOMMA, LA LORO DIFFERENZA E IL LORO PRODOTTO SONO DIVISIBILI PER 9.
4 NUMERI PRIMI UN NUMERO SI DICE PRIMO SE È DIVISIBILE SOLO PER 1 E PER SE STESSO, IN CASO CONTRARIO SI DICE COMPOSTO (AMMETTE ALTRI DIVISORI OLTRE A 1 E A SE STESSO). OSSERVAZIONI: IL NUMERO UNO NON VIENE CONSIDERATO NÉ NUMERO PRIMO, NÉ NUMERO COMPOSTO (PERCHÉ HA UN SOLO DIVISORE) I NUMERI PRIMI SONO INFINITI I NUMERI PARI, AD ECCEZIONE DEL 2, SONO SEMPRE NUMERI COMPOSTI, PERCHÉ AMMETTONO COME DIVISORI, SEMPRE, SE STESSI, IL NUMERO 1 E IL NUMERO 2 I NUMERI DISPARI POSSONO ESSERE NUMERI PRIMI O COMPOSTI Due numeri sono divisibili se, scomposti in fattori primi, nel primo numero compaiono almeno tutti i fattori del secondo, con esponente maggiore o uguale a quello con cui compaiono nel secondo. Esercizi 1. SCOMPONI IN FATTORI PRIMI a) b) c) d) SCOMPONI IN FATTORI PRIMI I SEGUENTI NUMERI: (RICORDANDO CHE 10=2X5, 100=22 X 52, 1000=23 X 53, ) a) b) c) APPLICANDO IL CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ STABILISCI SE IL PRIMO NUMERO DI CIASCUNA DELLE SEGUENTI COPPIE È DIVISIBILE PER IL SECONDO: a) 81 e e e e e e 25 b) 128 e e e e e e 24 c) 69 e e e e e e 70
5 Il MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.) tra due o più numeri è il più grande tra i loro divisori comuni. ATTENZIONE A Il M.C.D. tra due o più numeri è sempre più piccolo dei numeri dati; al più è uguale al più piccolo di essi. Se tra due numeri il M.C.D. è uno, allora i numeri si dicono primi fra loro. Il M.C.D. sarà dato dal prodotto dei fattori primi comuni a tutti e tre i numeri, in questo caso 2 e 3, entrambi con il minimo esponente con cui figurano nelle scomposizioni. Se considerassimo l esponente maggiore o anche i fattori non comuni non otterremmo un divisore comune. Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si scompongono i numeri in fattori primi e si moltiplicano i fattori comuni una sola volta con il minimo esponente. Esercizi 1. INDICA CON UNA CROCETTA LE AFFERMAZIONI V E QUELLE F. a. I divisori comuni di 12 e 36 sono: 2, 3, 4, 6, 12. V F b. Il M.C.D fra due o più numeri esiste sempre. V F c. Se due numeri sono primi fra loro, sono anche numeri primi. V F d. M.C.D. (6,30)= 6. V F e. 4 e 5 sono numeri primi fra loro. V F f. Due numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1. V F. 2. DETERMINA I DIVISORI COMUNI DELLE SEGUENTI TERNE DI NUMERI: a) 10, 30, 50 18, 27, 45 12, 28, 32 16, 24, 40 b) 15, 20, 35 14, 21, 42 33, 55, 66 12, 24, 36 c) 20, 40, 60 15, 25, 40 13, 42, 65 14, 18, CALCOLA, MEDIANTE IL METODO DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI, IL M.C.D. DEI SEGUENTI GRUPPI DI NUMERI: a) 132, 110, 150, 66 84, ,54 102, 85, 51, 153 b) 616, , , 1500 c) 1734, , , 2448 IL M.C.M. il m.c.m. sarà dato dal prodotto dei fattori primi, comuni e non comuni, presi con il maggior esponente con cui figurano nelle scomposizioni. Calcolo di mcm Per calcolare il m.c.m. tra due o più numeri, si scompongono i numeri in fattori primi e si moltiplicano i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente.
6 Esercizi 1. INDICA CON UNA CROCETTA LE AFFERMAZIONI V E QUELLE F. a. Il m.c.m. fra due o più numeri non esiste sempre. V F b. Il m.c.m. fra due o più numeri è il più piccolo dei multipli comuni ai numeri dati. V F c. m.c.m. (15,30)= 5 V F d. Se due numeri sono primi tra loro, il loro m.c.m. non esiste. V F e. Se due numeri sono primi tra loro, il loro m.c.m. è il prodotto dei due numeri. V F f. m.c.m. (7,12)= 84 V F 3. CALCOLA MENTALMENTE IL m.c.m. DEI SEGUENTI GRUPPI DI NUMERI: a. 12, 15, 18 b. 8, 16, 10 c. 15, 25, 30 d. 4, 9, 12 e. 5, 8, 16 f. 10, 40, RICERCA IL m.c.m. TRA I SEGUENTI NUMERI MEDIANTE LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: 30, 70 15, 45 32, 42 49, 35 48, 64 50, 75 27, 81 12, 21 64,100, 24 80, 120, 15 88, 56, , 135, , 98, , 108, RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI a. Luca e Giovanni hanno giocato insieme a scacchi. Sapendo che Luca va a giocare ogni 3 giorni e Giovanni ogni 5 giorni, fra quanti giorni si ritroveranno a giocare insieme? [15] b. Tre semafori, disposti lungo un viale, in questo istante hanno tutti la luce rossa accesa. Sapendo che nel primo la luce rossa compare ogni 0 secondi, nel secondo ogni 40 secondi e nel terzo ogni 24 secondi, fra quanti secondi i semafori saranno contemporaneamente rossi? [120s ] c. Lisa, Rossana e Michele sono reperibili di notte come medici di reparto. Lisa è reperibile ogni 9 giorni, Rossana ogni 12 e Michele ogni 18 giorni. Se stasera sono tutti in servizio insieme, fra quanti giorni si ritroveranno? [36] d. Tre autobus partono contemporaneamente dal capolinea. Il primo, per percorrere l intera tratta impiega 75 minuti, il secondo ne impiega 90 e il terzo 60. Dopo quanto tempo si ritroveranno insieme al capolinea? [15 minuti]
7 e. Un corriere consegna la merce al primo negozio ogni 12 giorni, al secondo ogni 10 giorni, al terzo ogni 20 giorni, al quarto ogni 15 giorni e al quinto ogni 30 giorni. Se oggi consegna la merce a tutti insieme, fra quanti giorni consegnerà di nuovo la merce a tutti insieme? f. Luca deve confezionare tanti sacchetti di caramelle in modo che ciascun sacchetto sia formato dallo stesso numero, il maggiore possibile, di caramelle dello stesso gusto. Ha a disposizione 180 caramelle, 150 alla menta e 120 alla liquirizia. Calcola il numero di caramelle di ciascun sacchetto ed il numero dei sacchetti. [30,15] g. Tre rotoli di nastro, per confezionare pacchi regalo, devono essere tagliati in parti uguali e della maggiore lunghezza possibile. Calcola la lunghezza di ciascuna parte e il numero delle parti, sapendo che i tre rotoli sono lunghi rispettivamente 90m, 126m e 270m. [18m, 27 parti] h. Un piastrellista deve pavimentare una camera rettangolare le cui dimensioni misurano rispettivamente 336 cm e 280 cm. Può utilizzare piastrelle quadrate di lato 12 cm e piastrelle quadrate di 14 cm. Quali piastrelle deve utilizzare per non effettuare tagli? [14 cm] i. Un gruppo di turisti di diversa nazionalità, in visita al museo della carta, devono essere suddivisi in gruppi che comprendano il maggior numero possibile di visitatori. Sapendo che i turisti sono 144 italiani, 120 inglesi e 96 tedeschi, da quanti turisti è formato ogni gruppo e quanti gruppi visiteranno il museo? [24, 15]
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