7. Campo magnetostatico

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1 7. Campo magnetostatico 7.1 Aspetti fenomenologici Inteazioni (attattive e epulsive) ta magneti (magnetite) In ogni magnete si possono individuae due poli che chiamiamo polo + (nod) e polo - (sud) Due magneti si espingono se avviciniamo due poli uguali, si attaggono se avviciniamo poli opposti q q q m caica magnetica m1 m F k Non si tatta di una foza elettostatica peché i magneti sono scaichi È impossibile isolae una caica magnetica Spezzando un magnete si iceano poli Il compotamento è simile a quello di un dielettico polaizzato Un sottile ago di magnetite si allinea lungo un meidiano teeste indicando la diezione sud-nod Il compotamento è simile a quello di un dipolo elettico che si allinea con il campo Usando della limatua di feo è possibile mettee in evidenza le linee di un campo (campo magnetico) geneato da un magnete

2 7. Esiste una elazione ta fenomeni magnetici ed elettici Una coente elettica in un filo è in gado di modificae l oientazione di un ago magnetico una coente genea un campo magnetico Una ago magnetizzato può essee usato pe esploae il campo magnetico geneato da una coente Due fili pecosi da coenti si attaggono o si espingono a seconda del veso delle coenti Non sono foze elettostatiche, peché non c è caica netta nei cicuiti Se aestiamo la coente femiamo le caiche e annulliamo le inteazioni Le consideazioni pecedenti ci inducono a itenee che il magnetismo è una manifestazione del moto delle caiche elettiche Una coente elettica genea un campo magnetico ed una caica in moto (coente) ne isente gli effetti La magnetite è un mateiale in cui esistono delle coenti elementai spontanee Queste coenti coispondono a dipoli elementai I dipoli si neutalizzano all inteno del mateiale e manifestano i loo effetti sulle basi di una sottile sbaa (poli magnetici) In una visione più coetta il campo elettico ed il campo magnetico sono intinsecamente collegati

3 Una campo magnetico vaiabile genea un campo elettico e vicevesa campo elettomagnetico Solo in condizioni stazionaie i campi possono essee studiati sepaatamente Foza su una caica elettica in moto Una paticella di caica q in moto con velocità v è soggetta alla foza F: F qe + qv Le inteazioni ta caiche feme sono descitte mediante il campo elettico E Le inteazioni ta coenti e caiche in moto sono descitte mediante il campo magnetico (induzione magnetica ) L espessione della foza consente la definizione opeativa di Con v 0, si misua E Con v v 1 e v v ( v 1 ), si misuano foze F 1 ed F Si detemina dai valoi delle foze F 1 e F Nel S.I., si misua in Tesla (T) Foza di Loentz Una caica q in moto con velocità v in un campo magnetico subisce una foza: F qv foza di Loentz 7.3

4 La foza è in ogni punto allo spostamento La foza magnetica non compie lavoo 7.4 L F ds γ 0 Moto di una caica in un campo magnetico unifome Pe una caica di massa m in moto in un campo con vel. v ( a ): F qv ma n v m La paticella descive una ciconfeenza di aggio mv q p q Popietà del campo magnetico nel vuoto Flusso del campo magnetico Analizzando le linee di campo (ad. es. con un ago) ci endiamo conto che sono linee chiuse Data una qualunque supeficie chiusa il flusso uscente di è nullo u 0 Σ n Applicando il Th. della divegenza: In foma locale div 0 Eq. di Maxwell

5 Il campo è solenoidale 7.5 Non esistono caiche magnetiche che siano sogenti (o pozzi) delle linee di campo di Le linee di foza di sono chiuse o si estendono all infinito Se due supefici Σ 1 ed Σ hanno lo stesso olo γ: u Σ n1 1 Σ n u Si considea il flusso di concatenato con la linea γ Il flusso di nel S.I. si misua in: webe (Wb) Cicuitazione del campo magnetico Legge di Ampee: la cicuitazione di lungo γ è popozionale alla somma delle coenti concatenate u t dl µ o i µ 0I γ µ o Hm -1 pemeabilità magnetica del vuoto Le coenti concatenate hanno segno positivo quando vedono come antioaio il veso di pecoenza di γ Se non ci sono coenti concatenate (o la somma è nulla), la cicuitazione è nulla Se γ è una linea di foza di, la cicuitazione è 0 ( // u t ed equiveso) esiste I concatenata

6 Applicando il Th. del otoe si ha: Σ ot u n ds ot µ o j µ o Σ J u n ds Il campo magnetico NON è consevativo Eq. di Maxwell nel vuoto in egime stazionaio ρ dive div 0 ε ot E 0 0 ot µ 0 j 7.6 Foza magnetica su un conduttoe con coente i (II legge di Laplace) Foza di Loentz applicata agli elettoni in moto nel conduttoe F e v d Foza su un tatto dl di conduttoe ( Sdl) e v df n d Densità di coente in un conduttoe: j ne v d df ( Sdl ) j Pe un conduttoe filifome: df idl v d velocità di deiva F τ j (unità di volume) II legge di Laplace

7 Espime la foza agente su un tatto elementae di cicuito pecoso da coente i Pe un tatto finito di cicuito: 7.7 F idl i dl A Pe un cicuito chiuso F i dl γ A In geneale la foza su un cicuito è 0 Casi paticolai Tatto di conduttoe ettilineo in un campo unifome F i ϑ dl ilsin A La fomula vale anche pe un filo non ettilineo ta A e se il campo è unifome la foza agente su un cicuito chiuso è nulla ilancia delle coenti Pemette di misuae un campo magnetico F il M F Poiché i bacci sono uguali: i L mg p mg mg il

8 Azioni meccaniche su un cicuito (spia) Consideiamo una spia ettangolae in un campo unifome La spia è soggetta ad un momento meccanico M bsinϑf i a b sinϑ i S sinϑ 7.8 Il momento meccanico tende a dispoe la spia La spia si allinea al campo come un dipolo elettico si allinea al campo E Definiamo momento magnetico della spia il vettoe: m is u n Il momento meccanico si scive: veso u n coente antioaia M m La elazione pecedente vale pe una spia piana di foma qualsiasi (coente i ed aea S) Teoema di equivalenza di Ampèe (I pate): una spia elementae di aea ds pecosa da coente i è equivalente ad un dipolo magnetico di momento dm idsu n L equivalenza non è completa pechè le caiche magnetiche non esistono Enegia potenziale di una spia in un campo U m mcosϑ iscosϑ U M msinϑ ϑ

9 Foza magnetica su un conduttoe con coente i (flusso di ) Consideiamo un cicuito ed una supeficie che si appoggi sul cicuito Dividiamo la sup. in tanti elementi di aea ds L enegia potenziale posseduta da ogni elem. è: du dm idsun 7.9 L enegia potenziale totale è: U i S un ds iφc( ) Il flusso NON dipende dalla supeficie, ma solo dal cicuito C Pincipio dei lavoi vituali dl du id φ C( ) pe il cambiamento di configuazione del cicuito [ φ ( ) φ ( ) ] L i (coente costante) C 1 C Casi paticolai: a) Taslazione: φc( ) dl Fx dx i dx x analogamente pe gli assi y e z F i gadφ ( ) i φ ( ) C C (asse x) Campo unifome e cicuito igido F 0

10 b) Rotazione φc( ) M i ϑ Cicuito ettangolae in un campo unifome 7.10 Legge di Laplace: F il ilu Vaiazione di flusso F dφc( ) i dx x ids dx x F ilu n ildx dx Campo magnetico geneato da una coente I legge di Laplace: campo magnetico geneato da un tatto infinitesimo di filo dl pecoso dalla coente i d µ o dl u i Pe un cicuito filifome: µ o dl u i γ

11 Casi paticolai: a) Campo podotto da un filo indefinito d µ 0 dy sinϑ i [ sinϑ R] y tgϑ R dy Rdϑ sin ϑ µ 0i dy sin ϑ µ 0i sinϑdϑ µ 0i d d cos R R R ( ϑ) µ 0i µ 0i µ 0i dcosϑ ( 1) R π π πr πr b) Campo podotto da una spia di aggio R µ 0i u n (cento della spia) R 0 m µ (lungo l asse della spia >> R) R 3 m isu n momento magnetico µ 0 3u 3 m u m 3 a gande distanza

12 La elazione pecedente costituisce la II pate del teoema di equivalenza di Ampèe c) Campo podotto da un solenoide indefinito 7.1 µ 0 ni n spie pe unità di lunghezza Calcolo del campo magnetico usando la legge di Ampèe Consideiamo il campo podotto da un filo indefinito pecoso dalla coente i Calcoliamo la cicuitazione di µ 0i µ 0i µ 0i dl uφ dl d π π π γ µ i dφ π µ i π ( dφ) φ [ ±,0] 0 0 dl π Se la linea concatena più coenti dl µ γ 0 i k Pe il teoema di Stokes dl γ ot u ds µ Σ n 0Σ j u n ds ot µ 0 j legge di Ampèe

13 Vale solo in condizioni stazionaie (div j 0) 7.13 Come il Th. di Gauss, anche la legge di Ampèe può essee usata pe calcolae in condizioni di simmetia a) Filo ettilineo indefinito con coente i dl π µ 0i µ 0i [ > R] π dl π µ 0 π j µ µ 0i [ < R] πr b) Solenoide indefinito dl h µ 0nhi µ 0 ni c) Coente piana indefinita dl h µ 0 jsh 0 π πr µ js 0 Attavesando una supeficie pecosa da coente: n t n1 t1 [ n ] 0 [ t ] µ 0 js i

14 Foze ta conduttoi Dalle I e II legge di Laplace: Foza su un elemento dl del conduttoe pe effetto del campo di un elemento dl 1 conduttoe 1: µ 0i1i df,1 idl d1 dl d 1 ( l u ) Foza su un elemento dl 1 del conduttoe pe effetto del campo di un elemento dl del conduttoe 1: µ 0i1i df 1, dl 1 d Foza ta cicuiti F F,1,1 F F 1, 1, µ 0i i 1 µ 0i i 1 ( l u ) dl,1 1 1 ( dl u ) ( dl dl ) 1 1 u 1, 1, 1, 7.14 Foza ta due conduttoi ettilinei (x unità di lunghezza) F d µ 0i1i π Definizione dell ampee: 1 ampee è la coente che poduce una foza di µ 0 /π 10-7 newton/meto quando scoe in due fili indefiniti paalleli a distanza di 1 meto.

15 Potenziali del campo magnetico Pe il campo elettostatico: ot E 0 [ gad V 0] E 0 [ V 0] 7.15 ot V : E gad V In questo caso il campo è consevativo e V è il potenziale scalae V : E V Potenziale vettoe del campo magnetico ot 0 il campo magnetico non è consevativo e non ammette potenziale scalae Pe il campo induzione magnetica: div 0 [ div ot A 0] 0 [ ( ) 0] A : ot A A : A Si può definie un potenziale vettoe A pe il campo magnetico ot A La definizione non è univoca Consideiamo A A + S e calcoliamo A A + S A Calcoliamo la divegenza di A A A + Poniamo ( S) A + S A A + S con S tale che: S A A 0 A

16 7.16 Dato un qualunque potenziale vettoe A pe un campo possiamo tovae un alto pot. vettoe A tale che: ot A div A 0 Questa scelta è quella usuale in magnetostatica: Equazione di Poisson pe il campo magnetico: ( A) A µ j A 0 A µ 0 j Nota la distibuzione delle coenti (j) è possibile calcolae il potenziale vettoe Soluzione dell equazione di Poisson A x µ 0 jx(x,y,z ) dx dy dz τ µ A 0 j τ ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) dτ Il potenziale vettoe A pemette di calcolae il campo come il potenziale V pemette di calcolae E Questo pocedimento conveniente come in elettostatica peché A è un vettoe (mente V è uno scalae)

17 Potenziale scalae In una egione (intenamente connessa) in cui non siano pesenti coenti: ot 0 Si può definie anche un potenziale scalae: V m V m 0 V m (P) V m (P ) P P dl In geneale il potenziale scalae è una funzione polidoma 7.17

18 7.18 Auto e mutua induzione Consideiamo un cicuito pecoso da coente i: Il flusso di concatenato con il cicuito è: φ γ S γ ( ) u n ds Il campo è lineae nella coente i: µ 0 idl u φ( ) i γ φ γ ( ) Li (equivale alla elazione Q CV) L si dice coefficiente di autoinduzione Si misua in heny (H) 1 heny 1 webe/1 ampee Consideiamo due cicuiti (linee oientate) Il flusso di nel cicuito podotto da una coente nel cicuito 1 è: φ (lineae nella coente i 1 ),1( ) M1i1

19 7.19 Analogamente: φ (lineae nella coente i 1 ) 1, ( ) M1 i Si dimosta che M 1, M,1 ot A φ( ) u ds ot A u S n S n ds φ( ) γ A dl A 1 µ 0 τ j 1 µ 0 dτ idl 1 γ1 µ 0i1 dl1 dl φ,1( ) A γ 1 dl γ M π 1 γ,1 i 4 φ µ i dl dl 0 1,1( ) A dl1 M1, i γ 1 γ1 γ Esempi di calcolo del coefficiente di autoinduzione Solenoide lungo (L >> R) 1 µ 0 ni φ( ) NS nls µ 0 n isl L φ( ) i µ 0 n SL

20 7.0 Esempi di calcolo del coefficiente di mutua induzione Solenoidi concentici di lunghezza L 1 µ 0n1 i1 µ 0n i Flusso di nel solenoide pe una coente nel solenoide 1 φ,1( ) n LS11 µ 0n1n LS1i1 M,1 φ,1 i1 µ 0n1n S1L Flusso di nel solenoide 1 pe una coente nel solenoide φ 1, ( ) n1ls1 µ 0n1LnS1i M, φ1, i µ 0n1n S1L M, 1 1 M

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