PARABOLA. La parabola è il luogo dei punti del piano, e solo essi, equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta detta direttrice.
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- Renata Colombo
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1 Prof I Svoi CME LUG GEMETRIC L prol è il luogo dei punti del pino, e solo essi, equidistnti d un punto F detto fuoo e d un rett dett direttrie Per omodità di rppresentzione seglimo l'origine equidistnte dl fuoo F(; k) posto lungo l'sse Y e dll rett direttrie di equzione -k, prllel ll'sse X L distnz fr un qulsisi punto P(; ) e l rett direttrie vle ( k) k PH mentre l distnz fr lo stesso punto P ed il fuoo F si lol on l formul dell distnz fr due punti: ( ) ( k) k k PF In se ll definizione si h l relzione PF PH o, equivlentemente, PF PH Pertnto sostituendo le espressioni imo: l seondo memro : k k k ; sviluppimo or il qudrto k k k k quindi semplifihimo e isolimo l letter l primo memro: k k k e infine : Se ponimo k l'equzione dell prol divent: L figur illustr il grfio dell prol per > k (fuoo sopr l'origine) P(; ) -k H F Bologn, mggio P
2 Prof I Svoi CME FUNZINE: L'equzione, on R\ { }, orrisponde ll funzione prol desritt d un urv simmetri rispetto ll'sse vertile, l vrire dei vlori dell vriile on R L urv, he pss sempre per l'origine degli ssi, per > si trov sopr l'sse X e rivolge l su onvità verso l'lto mentre per < si ollo sotto l'sse X e rivolge l su onvità verso il sso Il termine è detto "pertur dell prol" Dt un equzione, d esempio, possimo tulrne luni vlori l vrire dell d vlori positivi negtivi, per trirne il grfio: Notimo he, per vlori di opposti fr loro ome e - l funzione ssume lo stesso vlore Questo è dovuto l qudrto: ( ) ( ) ( ) Possimo ripetere l ostruzione di telle rispetto qulunque ltr funzione on > oppure on <, ome : Bologn, mggio P
3 Prof I Svoi Il signifito del prmetro pertur dell'equzione è il seguente: tnto più piolo è il suo vlore ssoluto e tnto più l prol è pert; vievers, tnto più è grnde tle vlore e tnto più strett è l prol L figur seguente mostr, l vrire del prmetro ome vri l form dell urv Notimo he, dt un equzione, tnto più grnde è il vlore ssoluto del prmetro e tnto più viino ll'origine è il fuoo dell prol: inftti l relzione equivle k k Se, d esempio è k per ui il fuoo è in F(; ) ; invee se llor k e il fuoo è in F(; ) Tritur dei grfii: per disegnre i grfii delle prole è opportuno, dopo verne lolto dei vlori in un tell, predisporre delle sle opportune di unità di misur lungo i due ssi rtesini Non oorre, in generle, he il sistem de essere monometrio m può, l ontrrio, essere formto d due diverse unità, un per isun sse In questo modo possimo grntire l grfio di rppresentre orrettmente tutti i numeri, dl minimo l mssimo presenti nell tell, ome oordinte dei suoi punti Bologn, mggio P 3
4 Prof I Svoi TRASLATA ED EQUAZINE GENERALE Supponimo di effetture un trslzione dell prol di equzione he sposti l'origine in un punto ( ; ) V detto vertie Doimo or determinre l'equzione dell prol trslt e, per questo sopo, onsiderimo due nuovi ssi rtesini X' e Y' prlleli i vehi ssi X e Y, e pssnti per il vertie Dette ' e ' le oordinte di un qulsisi punto dell prol P('; '') misurte rispetto l nuovo sistem di riferimento X'VY', deve vlere sempre l stess equzione ( ) ' ' poihè l form e le rtteristihe delle figure non mino seguito dell trslzione L legge dell trsformzione he leg le oordinte dei due sistemi di riferimento è: ', ' Sostituendo queste relzioni ottenimo l'equzione ert: ( ' ) ( ) ' Y Y' V X' X Sviluppimo il qudrto del inomio ed isolimo l vriile dipendente : ( ) Denominimo i oeffiienti degli ultimi due termini on nuove lettere:, ; sostituendoli si h l'equzione dell prol:, dove e, numeri reli Bologn, mggio P
5 Prof I Svoi Le oordinte del vertie V si ottengono dll relzioni sopr sritte: ; Riordndo he il disriminnte di un equzione di seondo grdo è, il vertie si può srivere ome V ; Ad esempio, se trslimo l prol di equzione in modo he il nuovo vertie si nel punto V(3, ) determinimone l'equzione: ( ) 3 ( ) V(; 3) Come si not dl grfio sopr riportto l prol trslt mntiene: -l stess form e l stess pertur; -l stess onvità, verso l'lto se > oppure verso il sso se < Vievers, dt un prol di eqne determinimo V: ; ( ) ( ) 9 9 V ; Bologn, mggio P
6 Prof I Svoi INTERSEZINI CN GLI ASSI I punti nei quli il grfio ttrvers gli ssi sono detti intersezioni I vlori delle oordinte delle intersezioni si rivno ponendo zero, in un sistem, le vriili orrispondenti ll'ltro sse Intersezioni sse X Dt un prol di equzione generle, si rivno nnullndo l vriile ed il loro numero dipende dl segno del disriminnte del trinomio di seondo grdo ssoito, : < nessun intersezione >, ± ( siss del vertiev ) A B ( ; ) ( ; ) Proprietà del vertie nel so di due soluzioni on > L'siss del vertie, è sempre dt dll medi ritmeti delle sisse delle due intersezioni on l'sse X: V Dimostrzione: riordndo l relzione V, st sostituire nell semisomm sritt sopr le soluzioni dell equzione di seondo grdo: ( ) Intersezioni sse Y Ne esiste sempre un sol: C( ; ) Disegno dei grfii di prole di equzione generle ltre l vertie e lle intersezioni on gli ssi rtesini è uon norm lolre le oordinte di qulhe ltro punto prendendo, ome vlori dti ll, dei numeri si minori he mggiori dell'siss del vertie In questo modo simo siuri he il grfio i un effii rppresenttiv I vlori ttriuiti, inoltre, dovreero rispettre riteri di rgionevolezz ottenendo, possiilmente, dei numeri interi o semi interi, o frzioni, tli d poterli rppresentre filmente L'mpiezz delle sle lungo gli ssi deve poi ontenere ogni vlore lolto Bologn, mggio P 6
7 Prof I Svoi ESEMPI I grfii he seguono mostr delle oppie di prole, si on > (onvità verso l'lto) he on < (onvità verso il sso) nei tre si possiili on <, e > Per ognuno dei grfii vengono lolti i vlori reltivi l vertie e lle intersezioni on gli ssi Ulteriori punti, olloti sinsitr e destr dei vertii, sono visulizzti lungo le urve ESEMPI : < ) 7 3 ; V 7 Per il lolo di V si può proedere in due modi: on l formul 3 V 7, oppure sostituendo V nell funzione V ( V ) 7 ( ) 3 ( ) Int sse Y: ( ; ) C ) 3 ; ( ) ( 3) Vertie: V ; ( ) V ; ( ) V ( V ) 3 Int sse Y: C( ; 3) : 7 3 V C C V : Bologn, mggio P 7
8 Prof I Svoi ESEMPI : ) ; ( ) ( ) ( ) Vertie: V ; ( ) V ( ) V ( V ) ( ) ( ) Int Asse Y: ( ; ) C ) 3 ; ( 3) ; 3 Vertie: V 3 ; V ; V ( V ) Int Asse Y: C ( ; ) : - 3 C V V C : Bologn, mggio P 8
9 Prof I Svoi ESEMPI 3 > ) 6 ; 6 Vertie: V ; V ; V ( V ) ( ) ( ) 6 Int Asse Y: C( ; 6) Intersezioni sse X: ( ) ± ± 6 6 A B ( 6; ) ( ; ) Proprietà del vertie: ( ) 6 V ) 7 7 ; ( ) 7 Vertie: V 3 ; ( ) V ; ( ) V ( V ) Int Asse Y: ( ; 7) Intersezioni sse X: ( ) C ± 7 ± 7 A 7 B ( ; ) ( 7; ) 7 Proprietà del vertie: V 3 : 6 C V A B V C A B : - 7 Bologn, mggio P 9
10 Prof I Svoi PARABLE TRASLATE CN CEFFICIENTI DI EQUAZINE NULLI A) CN VERTICE SU ASSE Y : so Nel so di il vertie si trov sull'sse Y: V V V ( ; ) Le intersezioni on l'sse X possono esistere oppure no seond dei segni dei due oeffiienti per ui, in se l segno del loro prodotto, imo: > nessun < intersezione on l'sse X > prol sopr l'sse X < prol sotto l'sse X A B ; ; ESEMPI Si riportno di seguito degli esempi, reltivi l so trttto he, oltre riportre nei grfii il vertie e le intersezioni on gli ssi, visulizzno nhe ltri punti disposti ttorno l vertie ESEMPI ) > intersezioni sse X Vertie ed intersezione sse Y in V(; 3) ) < intersezione sse X ( ; ) ( ; ) A ± ± ± ; Vertie e int sse Y in V(; ) B Bologn, mggio P
11 Prof I Svoi : 3 V V A B : - ESEMPI ) < int Asse X: ( ; ) ( ; ) A ± ± ± Vertie e int Asse Y in V(; ) B ) ( ) > intersezioni sse X Vertie e intersezione sse Y in V(; -) : - V A B V : - - Bologn, mggio P
12 Prof I Svoi B) PASSANTE PER L'RIGINE Cso L' origine ( ; ) pprtiene ll prol: ( ) Vertie: V Intersezioni sse X: ESEMPI ; ; ( ) V V ; ( ; ) A ; Si riportno di seguito degli esempi di prole pssnti per l'origine he, oltre riportre nei grfii il vertie e le intersezioni on gli ssi, ne visulizzno nhe ltri punti disposti ttorno l vertie ESEMPI : Intersezioni sse X: ( ; ), A( ; ) Vertie: V ; V ( ; ) V A V Bologn, mggio P
13 Prof I Svoi ESEMPI : 3 3 Intersezioni sse X: ( ; ), 6 A( 6; ) 3 Vertie: V 3, ( ) V 3 ( ) 9 V ( 3; ) V - 3 A ESEMPI 3 E : il grfio è riportto in figur m ne lsimo per eserizio lo svolgimento dei loli per rivre intersezioni e vertii ome sopr : - - V : - A A V Bologn, mggio P 3
14 Prof I Svoi AD ASSE RIZZNTALE Dt un prol di equzione generle, se si smino le lettere si ottiene un equzione (non un funzione) he rppresent l urv simmetri rispetto ll isettrie del primo e del terzo qudrnte (eq ) ed il suo sse di simmetri è orrizzontle: Essendo stte smite le posizioni delle lettere vengono smite nhe le oordinte delle intersezioni del vertie: V' ; B' V' A B A' V L'equzione non rppresent però un funzione in qunto per qulhe vlore ttriuito ll vriile indipendente, k,esistono due distinti vlori dell vriile dipendente,, ome mostr l figur sse di simmetri k Bologn, mggio P
15 Prof I Svoi MUTUA PSIZINE FRA E RETTA BLIQUA I punti di intersezione fr un prol di equzione ed un rett di equzione m q possono essere l mssimo due e si determinno risolvendo il sistem lgerio delle loro equzioni: ( m) m q q m q m q m q ; Ill disriminnte dell'equzione di seondo grdo è: ( m) distinguimo i 3 si possiili in se l segno del disriminnte: < vlori reli e nessun punto in omune :rett estern vlore rele e soluzioni oinidenti in un solo punto:rett tngente > vlori reli e distinti per due punti di intersezione :rett sente L figur riport qulittivmente i tre si possiili: B Rett sente in A e B A R et t e stern P in P tngente R et t Nel so speifio di rett orizzontle (m ed equzione q ) l rett tngente l grfio dell prol h neessrimente, ome punto di onttto, il vertie In questo so, se invee l rett è sente, il vertie si deve trovre sopr di ess nel so di onvità rivolt verso l'lto oppure, se l onvità è verso il sso, il vertie si trov più in sso dell rett Bologn, mggio P
16 Prof I Svoi Esempio Determinre l posizione delle tre rette di equzioni : -8, : --6 e : - rispetto ll prol di eq 3 ) ( ) 7 < nessun soluzione (rett estern) ) ( ) soluzione (rett tngente): P ; P 6 8 ; ( ; 8) P ) ( ) 6 > due soluzioni (rett sente) in A(; -) e B(8; ) Grfio dell'esempio : : --6 B A : - P Bologn, mggio P 6
17 Prof I Svoi Esempio Determinre l posizione delle tre rette di equzioni : -, : e : - rispetto ll prol di eq 8 ) ( 7) 3 > soluzioni (rett sente) di intersezioni: ( 7) ± 7 ± A( ; ) 3 3 B( 3; ) ) ( 6) 8 < soluzioni (rett estern): nessun onttto ) 8 8 ( ) soluzione (rett tngente) di intersezione: P ( ) P P( ; ) : - P B : A 8 : - Bologn, mggio P 7
18 Prof I Svoi E RETTA VERTICALE Qulsisi prol di equzione generle interse sempre un rett vertile, di equzione k, in un solo punto P ( ; ) he si ottiene in modo immedito risolvendo il sistem formto dlle loro equzioni: k k k k Esempio: le rette vertili di equzioni rispettivmente e, rppresentte nell figur seguenete, inontrno l prol di equzione nei due punti, rispettivmente A(-; ) e B(; -7): A: - ; B: - ( ) ( ) ( ) ( ) A B - Bologn, mggio P 8
19 Prof I Svoi TANGENTI AD UNA CNDTTE DA UN PUNT Il fsio di rette he pss per un qulunque punto ( ; ) ( ) P, di equzione m, l vrire del oeffiiente in < m < rppresent tutte le possiili rette esludendo l rett vertile he, ome si è già visto, è sempre sente Il sistem lgerio formto dll'equzione del fsio per ( ; ) P e l'equzione dell prol, determin le possiili soluzioni: m ( ) ( m) m m m m m m m Il disriminnte dell'equzione di seondo grdo del sistem è dto d: ( m) ( m ) Supponendo noti i oeffiienti, e, Il segno del dipende solo dl vlore del oeffiiente ngolre m l suo vrire in < m < : un rett del fsio è tngente, per un dto vlore del suo oeffiiente m, se si verifi l ondizione per l qule si ottiene un sol soluzione, ovvero Esistono tre possiilità (vedi figur seguente): - Il punto P è interno ll prol, on < : non esistono rette tngenti - Il punto P' pprtiene ll prol, on : rett tngente nel punto P' - Il punto P'' è esterno ll prol, on > : rette tngenti in A e in B t P' P B A t P '' t Bologn, mggio P 9
20 Prof I Svoi Esempio Determinre le rette tngenti ll prol di eqne il punto P(; -) e pssnti per Srivimo il sistem formto dll prol e dl fsio di rette nel prmetro m : 8 m m m m m Imponimo l ondizione di uniità dell soluzione per determinre le tngenti: ( m) m m m m t t : : Risolvimo il sistem preedente sostituendovi, uno per volt, i vlori lolti per determinre i punti di onttto fr le rette tngenti e l prol: m m m A m m ( ) m 3 B m m 3 ( ; 3) ( ; 3) t: t: A(-;-3) B(;-3) P(;-) Bologn, mggio P
21 Prof I Svoi Esempio Determinre le rette tngenti ll prol di eqne 3 per il punto P(; 7) e pssnti Srivimo il sistem formto dll prol e dl fsio di rette nel prmetro m : m 3 m m 7 7 m m 7 ( ) ( m ) 3 m m m 7 Imponimo l ondizione di uniità dell soluzione per determinre le tngenti: ( m ) ( m) ( m ) 8 ( m ) m m 8 m 6 Rette tngenti: t : 3, t : 6 9 Determinimo i punti di tngenz risolvendo il sistem preedente un volt sostituite le equzioni delle due rette tngenti l posto dell'eq del fsio: m ( m ) ( ) m 7 m A m 6 B 6 9 ( ; 3) ( ; ) P(;7) A(;3) t: 3 t: 6 9 B(;-) 3 Bologn, mggio P
22 Prof Prof Prof Prof I I I I Svoi Svoi Svoi Svoi Bologn, Bologn, Bologn, Bologn, mggio mggio mggio mggio P TANGENTE IN UN PUNT DELLA Dto un punto ( ) ; P pprtenente ll prol di equzione, voglimo determinre l'equzione dell rett tngente in tle punto A tle sopo srivimo e sviluppimo di seguito il sistem lgerio formto dl fsio di rette di entro P e dll'equzione dell prol: ( ) m m m L'equzione di seondo grdo ssoit l sistem è, rggruppndone i termini e visulizzndone le due soluzioni oinidenti nello stesso vlore, l seguente: ( ) m m 3 3 Per l not proprietà delle soluzioni dell'equzione di seondo grdo, si h nhe: m m m m Entrme le equzioni determinno il vlore di m in funzione del punto P P P P In se ll' equzione ottenut dll proprietà dell somm delle rdii rivimo l'equzione dell rett tngente ll prol nel suo punto P: P: P: P: ( ) ( ) Poihè ( ) ; P pprtiene ll prol deve essere:, il sistem inzile divent il seguente he sviluppimo: ( ) ( ) Aggiungimo i due memri dell prim equzione il termine poi, dopo vere sostituito il termine on ottenimo: ( ) Infine, dividimo l prim equzione per ed ottenimo l'eq dell tngente in P: P: P: P: Formul Formul Formul Formul di di di di sdoppimento sdoppimento sdoppimento sdoppimento:
23 Prof I Svoi L formul di sdoppimento può riordrsi filmente se si pens di sostituire nell'equzione dell prol,, i termini in questo modo: l posto di, l posto di e l posto di Nel so di prol d sse orizzontle, di equzione, loli nloghi i preedenti portno lle formule dell rett tngente in un suo punto ( ; ) P : m L formul di sdoppimento divent in tl so: Esempio ; ed equzione ( ) Determinre l rett tngente ll prol di eq 3 8 Determinimo l rett tngente in due modi: in P(;-) - Clolndo il oeffiiente e poi sostituendolo nell'equzione del fsio per P: 3 m ; m ( ) ( ) - Usndo l formul di sdoppimento : t: - P ( ; -) Bologn, mggio P 3
24 Prof I Svoi Esempio Determinre l rett tngente ll prol di equzione 7 3 in P(;) Con l formul del oeffiiente ngolre: ( ) 7 3 m ( ) 3 ( ) 3 m Con l formul di sdoppimento: t: 3 P(; ) Esempio 3 Determinre l rett tngente ll prol di equzione 3 3 in P(;) Con l formul del oeffiiente ngolre: m ( 3 ) Con l formul di sdoppimento: 3 m ( ) ( ) P(; ) - t: -8 Bologn, mggio P
25 Prof I Svoi STUDI DEL SEGN DEL TRINMI Risolvere disequzioni del tipo > oppure < signifi trovre gli intervlli di numeri reli dell vriile per i quli l funzione ssume segni rispettivmente positivo e negtivo A questo sopo si può utilizzre il grfio dell prol per determinrli: gli intervlli he risolvono l disequzione > sono quelli per ui il grfio dell prol si trov sopr l'sse X mentre quelli he risolvono l disequzione < sono quelli per i quli il grfio si trov sotto tle sse In se i oeffiienti si hnno i sei si fondmentli qui illustrti >, < >, (,,) >, > >: < U > >: < < >, >: <U> U> 3 <: << << >, < <: < < >, <: < < <, > >: << << >, (,,) 6 <: < U > Il metodo grfio dell prol : è sto sull'esme dei grfii (i 6 si illustrti sopr) delle prole ssoite i trinomi di seondo grdo per ui si risolvono le reltive disequzioni del tipo : prim si determin il segno del disriminnte e, dopo < vere lolto le eventuli soluzioni, ± e trito l'ndmento delle rispettive prole, si determinno gli intervlli delle soluzioni Bologn, mggio P
26 Prof I Svoi Esempi di disequzioni risolte on il metodo grfio ) > ; > ; ( ) ± 3 > 3 Dl grfio si dedue l soluzione: Grfio di S: < > 3 >: 3/ ) ; > ; Dl grfio risolt he l soluzione onsiste nell'siss del vertie: Grfio di S: -/ 3) 7 ; 3 < ; 3 Grfiio di 7 3 Dl grfio si dedue l soluzione: 7 7 ± 3 3 > 6 Grfio di 7 3 S: / 3 /3 Bologn, mggio P 6
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