APPUNTI DI LABORATORIO DI TOPOGRAFIA MODULO 2

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1 PPUNTI DI LORTORIO DI TOPOGRFI MODULO PROLEMI SULLE COORDINTE CRTESINE E POLRI PROF. I.T.P. TRMONTNO NGELO

2 PREMESS Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazione grafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento. Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essere essenzialmente di due tipi: coordinate cartesiane ; coordinate polari. COORDINTE CRTESINE Le coordinate cartesiane (più correttamente dette coordinate cartesiane ortogonali perché gli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro sono particolarmente utili nella restituzione (disegno di un rilievo topografico. La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate x p ed y P che ad esso si associano. La coordinata x P è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate, analogamente la y p è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse. Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l asse X o Y al termine ascisse o ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la corretta associazione. Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi: esplicito: x P =...; y P =... implicito: P(x P ; y P ; P (x P ; y P nel modo implicito si mette sempre prima la x e poi la y.

3 COORDINTE POLRI Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da un unico asse ON detto asse polare. Le coordinate polari di un punto P sono: la distanza fra l origine O del sistema (detto polo e il punto stesso; e l angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale OP (detto azimutale di cui si deve ruotare, in senso orario, l asse polare per farlo sovrapporre alla congiungente l origine con il punto in questione. Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi: esplicito: OP =...; OP =... implicito: P( OP ; OP; P (OP; OP in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l angolo e la distanza poiché l angolo e la distanza sono grandezze di tipo diverso. L angolo azimutale diventa azimut quando l asse polare ON viene indirizzato verso il nord oppure è parallelo all asse Y di un sistema di riferimento cartesiano. esplicito: (OP =...; OP =... implicito: P (OP; OP ; P (OP; OP La distanza OP non varia ne come simbolo ne come valore numerico, mentre l angolo cambia sia come simbolo, che come nome, che come valore numerico. 3

4 PSSGGIO D COORDINTE POLRI CRTESINE Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri e teodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4, mentre il disegno viene molto spesso effettuato con coordinate cartesiane (perché è più preciso è necessario effettuare il passaggio dalle une alle altre. llo scopo si utilizzeranno le formule (1, ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1 OP P in figura Nella figura si è fatto coincidere l origine del sistema cartesiano con l origine dei sistema polare e l asse delle ordinate con l asse polare. x p = OP Sin(OP y p = OP cos(op (1 PSSGGIO D COORDINTE CRTESINE POLRI In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinate cartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento di terreno, e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare con origine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l asse polare (allo scopo, ad esempio, dell effettuazione di calcoli relativi all appezzamento in questione. Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando il primo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1 al triangolo rettangolo OP P in figura. Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzare la seguente formula ( ottenuta applicando il teorema di Pitagora al triangolo prima detto: OP ( x P y P oppure una delle seguenti (3 ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli OP = x p / sin(op OP = y P / cos(op (3 4

5 Per calcolare l azimut (OP applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempre al triangolo OP P: x p = y P tg(op da cui: tg(op = x p / y P ed infine: (OP = arctg(x p / y P + k (4 Il k che compare nella (4 è un termine correttivo che consente di eliminare l errore che commetterebbe la calcolatrice. Infatti facendo l arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre un angolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo analogamente tacendo l arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo del primo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o del quarto quadrante. Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di x P e di y p come riassunto nella tabella che segue: Segni del Rapporto x/y 1 caso + / + caso + / - 3 caso - / - 4 caso - / + Quadrante di ppartenenza dell angolo Valore da attribuire al k sessagesimali centesimali L azimut è del primo quadrante 0 0 g L azimut è del secondo quadrante g L azimut è del terzo quadrante g L azimut è del quarto quadrante g I valori per k sono stati ricavati in base alle seguenti considerazioni: Questo è il caso in cui sia la x p che la y P sono positivi. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l arcotangente di x p /y P e quello corretto perciò al k si attribuisce valore 0 5

6 Questo è il caso in cui la x p è positiva mentre la y P è negetiva. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l arcotangente di x p /y P e quello che corrisponde a (OP * (che è negativo per effettuare la correzione e determinare quindi l azimut (OP cercato bisogna, come si vede dalla figura, sommare al valore dato dalla calcolatrice l angolo piatto (180. Perciò a1 k si attribuisce valore 180. Questo è il caso in cui sia la x p che la y P è negativa. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l arcotangente di x p /y P e quello che corrisponde a (OP * (che è positivo per effettuare la correzione e determinare quindi l azimut (OP cercato bisogna, come si vede dalla figura, sommare al valore dato dalla calcolatrice l angolo piatto (180. Perciò a1 k si attribuisce valore 180. Questo è il caso in cui la x p è negativa mentre la y P è positiva. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l arcotangente di x p /y P e quello che corrisponde a (OP * (che è negativo per effettuare la correzione e determinare quindi l azimut (OP cercato bisogna, come si vede dalla figura, sommare al valore dato dalla calcolatrice l angolo giro (360. Perciò a1 k si attribuisce valore

7 COORDINTE TOTLI E PRZILI Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti e si dice che x, y, x, y, sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremo semplicemente coordinate perché si riferiscono all unico sistema esistente OXY. Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in e con asse X parallelo a X e Y parallelo ad Y si avrà che i punti e in questione oltre ad avere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario X Y. Le coordinate parziali si indicano con seguenti termini: (x e (y Il termine: (x si legge x di rispetto ad ed analogamente il termine: (y si legge y di rispetto ad Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavate ragionando sulla precedente figura: (x = x - x (5 (y = y - y CLCOLO DELL DISTNZ E DELL ZIMUT FR DUE PUNTI DI NOTE COORDINTE CRTESINE Ragionando sul triangolo rettangolo della figura a fianco ed applicando i teoremi sui triangoli rettangoli, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari, per la distanza si ottiene: (x (y Che sostituendo le (5 diventa: (x (6 x (y y 7

8 lla (6, per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti: (x sin( (y cos( nelle quali sostituendo le (5 otteniamo: x x sin( y y (7 cos( Per calcolare l azimut ( applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo in figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari, otteniamo: tg( = (x / (y da cui: (x ( arctg k (y nella quale sostituendo le (5 otteniamo: x x ( arctg k (8 y y il valore da attribuire al k della (8 lo si deduce, in base ai segni che assumono il numeratore ed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag. 5. ZIMUT E CONTROZIMUT Se indichiamo con ( l azimut del segmento che da va verso, l azimut che da va verso si chiamerà (. I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l uno è il contrario dell altro in altri termini possiamo dire che l uno è il controazimut dell altro. Quindi se diciamo che ( è l azimut ( è il suo controazimut. Viceversa se diciamo che ( è l azimut ( è il suo controazimut. Fra azimut e controazimut la relazione, come sì vede dalla figura, è la seguente; ( = ( ± 180 dove: si metterà il segno + se ( è minore di 180 si metterà il segno - se ( è maggiore di

9 RISOLUZIONE DI UN TRINGOLO DEL QULE SONO NOTE LE COORDINTE CRTESINE DEI VERTICI Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando: le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate cartesiane per trovare i lati; il teorema di Carnot per trovare gli angoli; la formula di camminamento per trovare la superficie. La procedura da seguire per la figura a fianco é la seguente: l si calcolano i lati con le seguenti formule: C C (x (x (x C C x x x (y (y (y C C y y y 3 si calcala la superficie con una delle seguenti formule: si calcolano gli angoli con le seguenti formule: C C arccos C C C arccos C C C arccos C C S = ½ C C sin S = ½ C sin S = ½ C sin 9

10 ESERCIZI 1 Del appezzamento triangolare C sono note le coordinate cartesiane dei vertici: (19,4m, 13,18m; (55,6m, 63,98m; C(80,84m, -18,89m. Risolvere il triangolo. (R.: = 6,17m; C = 69,9m; C = 86,73m; = 8 07 ; = ; = ; S = 134,80m. Dell appezzamento quadrilatero CD sono note le coordinate cartesiane dei vertici: (1,35m, -6,4m; (-15,40m, 16,71m; C(39,41m, 7,8m; D(43,16m, 7,0m. Effettuare la figura in scala opportuna e risolvere il quadrilatero. (R.: = 36,13m; C = 55,9m; CD = 1,14m; D = 33,61m; = ; = ; = ; = ; S = 1133,74m. 3 Di un triangolo C sono note le coordinate cartesiane dei suoi vertici: x = 1,03m; y = 9,10m; x = 65,45m; y = 89,3m; x C = 14,58m; y C = 63,94m. Risolvere il triangolo, determinare i1 raggio del cerchio inscritto e le coordinate dell incentro. Fare il disegno in scala opportuna. (R.: = 96,38m; C = 81,0m; C = 141,60m; = ; = ; = ; S = 3771,74m ; r = 3,63m; x O = 75,14m; y O = 61,4m. 4 Della poligonale aperta CD sono noti i seguenti elementi: x = 13,03m; y = 0,99m; ( = = 33,1m; C = 79,39m; CD = 37,45m; C = = ; DC = = Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale e le aree dei triangoli E e CDE (essendo E il punto d incontro fra il lato C e la congiungente D. Fare la figura in scala opportuna. (R.: x = 35,96m; y = -,91m; x C = 84,14m; y C = 60,19m; x D = 106,6m; y D = 30,4m; S E =.m ; S CDE =.m. 10

11 5 Della poligonale aperta CDE sono noti i seguenti elementi: = 31,1m; C = 8,39m; CD = 3,44m; DE = 1,1m; C = = ; CD = = ; EDC = = Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale rispetto ad un sistema di assi cartesiani con origine in e semiasse positivo delle ascisse coincidente con il lato. (R.: x = y = 0,00m; x = 31,1m; y = 0,00m; x C = 35,46m; y C = 7,18m; x D = 58,06m; y D = 0,95m; x E = 60,14m; y E = -10,99m. 6 Il triangolo C é stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna: Punto di stazione Punti collimati Letture al cerchio orizzontale (azimutali Distanza topografica ,04m C C ,044m Riferendo il triangolo ad un sistema di assi cartesiani con origine in e semiasse positivo delle ordinate diretto lungo, si determino le coordinate dei vertici e l area del triangolo. (R.: x = y = 0,000m; x = 0,000m; y = 49,043m; x C = -5,974m; y C = 3,689m; S = 636,90m. 7 Il quadrilatero CD è stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna: Punto di stazione Punti collimati Letture al cerchio orizzontale (azimutali Distanza topografica D ,674m ,383m C ,684m Riferendo il poligono ad un sistema di assi cartesiani con origine in e semiasse positivo delle ascisse diretto lungo C. Determinare le coordinate dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero. (R.: (0,000m, 0,000m; (114,659m; 4,789m; C(179,684m; 0,000m; D(96,646m; -78,760m; DC = 114,449m; C = 77,841m; = ; = ; = ; = ; S = 1090,05m. 11

12 8 Di un triangolo C, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono note le coordinate dei punti e C e i corrispondenti angoli interni: x = 1,00m; y = 36,00 m; x C = 48,00m; y C =156,00 m = 9 g,0164 = 65 g,9095 Determinare: le coordinate del vertice ; le coordinate del baricentro G e del centro O del cerchio inscritto al triangolo: l'area del triangolo GO. (R.: x = 185,1m; y = 6,99m; x O = 67,64m; y O = 70,63m; x G = 81,70m; y G = 66,33m; S GO = 363,04 m. 9 Il quadrilatero CD è stato rilevato con un teodolite centesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna: Punto di stazione Punti collimati Letture al cerchio orizzontale (azimutali Distanza topografica 331,345gon 31,99m C 46,15gon 35,15m C 73,347gon --- D 171,893gon 46,58m Sono inoltre noti: x = 3,04m; y = 18,33m; ( = 135,389gon Determinare le coordinale dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero. (R.: (50,1m; 1,35m; C(75,13m; 6,4m; D(39,56m; 56,03m; D = 41,16m; = 109,097gon; = 114,780gon; = 77,577gon; = 77,577gon; S =.m. 10 Di un triangolo C, i cui vertici ruotano in senso antiorario, sono note 1e coordinate dei punti e e i lati C e C: x = 5,00m; y = 06,00m; x = 65,00m; y = 77,00m C = 98,50m; C =11,30m Determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dei centri O a, O b ed O c dei cerchi ex-inscritti al triangolo e l'area del triangolo O a O b O c. (R.: x C =...m; y C =...m; x Oa = 151,09m; y Ob = -13,75m; x Ob = 7,99m; y Ob = 157;39 m; x Oc =...m; y Oc =...5m; S = 879,98m 1