RADICALI. Q (insieme dei razionali relativi) = numeri che possono essere messi sotto forma di frazioni es: 0,+3;

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1 RADICALI In quest sched ti vengono riproposti lcuni concetti ed esercizi che ti dovreero essere fmiliri e che sono indispensili per ffrontre con successo gli studi futuri. INSIEMI NUMERICI Ripsso insiemi numerici: N (insieme dei numeri nturli) {0,,,,...} Z (insieme degli interi reltivi) {...,-,-,-,0,,,,...} Q (insieme dei rzionli reltivi) numeri che possono essere messi sotto form di frzioni es: 0,; ; 0, ; -, 7. I (insieme dei numeri irrzionli) numeri decimli illimitti non periodici (non possono essere messi sotto form di frzioni) π,, ecc.. R (numeri reli) Q I Definizione. Dto un numero rele e un numero nturle non nullo n si dice rdice n-esim di il numero rele che elevto n dà. In simoli n con, R e n N {0}. N.B. Se e sono 0 llor l rdice n-esim di si dice ritmetic (e il risultto è unico), ltrimenti si prl di rdice lgeric e il risultto potree non esistere (nell insieme dei numeri reli), essere unico o si potreero vere due vlori opposti. Esempi di rdici lgeriche: 8 impossiil e in R 9 ±. Definizione. L scrittur n si chim rdicle. N.B. Il rdicndo dei rdicli con indice pri deve essere sempre positivo o nullo. Pertnto il seguente numero irrzionle 7 non esiste, mentre esiste il numero 7. Il rdicndo dei rdicli con indice dispri può nche essere negtivo; pertnto esiste il numero irrzionle Le proprietà che seguono vlgono solo per un prticolre ctegori di rdicli, detti ritmetici. Definizione. Un rdicle n si dice ritmetico qundo il rdicndo e il risultto sono entrmi positivi o nulli. Proprietà invrintiv. Il vlore di un rdicle ritmetico non cmi se si moltiplicno o si dividono l indice del rdicle e l esponente del rdicndo per un loro divisore comune. In prticolre è possiile utilizzre tle proprietà per semplificre un rdicle. Esercizio. Semplific i seguenti rdicli: 9 7 0

2 OPERAZIONI CON I RADICALI Moltipliczione Il prodotto di rdicli ritmetici con lo stesso indice è ugule d un rdicle vente per indice lo stesso indice e per rdicndo il prodotto dei rdicndi. In simoli: Esercizio. Divisione Il quoziente di rdicli ritmetici con lo stesso indice è ugule d un rdicle vente per indice lo stesso indice e per rdicndo il quoziente dei rdicndi. In simoli: Esercizio. 7 : : Elevmento potenz L potenz di un rdicle ritmetico è un rdicle vente per indice lo stesso indice e per rdicndo l potenz del rdicndo. In simoli: Esercizio. ( ) ( ) Estrzione di rdice L rdice di un rdicle ritmetico è un rdicle vente per indice il prodotto degli indici. In simoli: Esercizio. Portre fuori dl segno di rdice Un fttore non negtivo del rdicndo può essere trsportto fuori dl segno di rdice, come fttore del rdicle, solo se h un esponente mggiore o ugule ll indice del rdicle. In tl cso il suo esponente è ugule l quoziente tr l esponente che vev sotto il segno di rdice e l indice del rdicndo, mentre sotto rdice rest lo stesso fttore con esponente ugule l resto dell divisione. Esercizo Definizione. Due rdicli si dicono simili se hnno indice e rdicndo uguli. Esempio. Addizione. L somm lgeric di rdicli simili è un rdicle simile gli ddendi, vente per coefficiente l somm lgeric dei coefficienti. Esercizio guidto. ( ) Rzionlizzzione.

3 Definizione. Rzionlizzre un espressione frzionri signific trsformrl in un che h il denomintore rzionle (senz rdicli). Ci limitimo ricordre il cso più semplice di rzionlizzzione: il denomintore è costituito d un unico rdicle qudrtico:. c In questo cso è sufficiente moltiplicre numertore e denomintore per il fttore c.complet c c c Esercizio. Semplific sul quderno le seguenti espressioni: c e si ottiene: 0 80 ; 0 8 ; ( )( ) ( ) ( ) ; ( )( ) ( ) ( )( ) ; ; ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ( )( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; : : : :

4 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO IN UNA INCOGNITA In quest sched ti vengono riproposti lcuni concetti ed esercizi che ti dovreero essere fmiliri e che sono indispensili per ffrontre con successo gli studi futuri. Esistono diverse definizioni che descrivono il concetto di equzione, un prticolrmente semplice e spesso utilizzt l iennio è l seguente (in seguito ne introdurremo un divers). Definizione. Si chim equzione un uguglinz tr due espressioni letterli (memri dell equzione), verifict per prticolri vlori ttriuiti d un o più lettere (dette incognite). Nell definizione sono utilizzti vri concetti come: uguglinz, espressione letterle, verifict. In prticolre è importnte sottolinere l importnz dell prol verifict. Definizione. Un prticolre vlore verific un equzione dt se, sostituito ll incognit, risulternno uguli i due memri che l compongono. Spesso l insegnnte invit lo studente risolvere un equzione, cioè trovrne l soluzione (o le soluzioni). Definizione. Tutti i vlori che verificno un equzione formno un insieme S detto soluzione dell equzione. Osservzione. L insieme S, soluzione dell equzione, srà sottoinsieme di un insieme universo U di vlori che possono ssumere le incognite. In genere (se non è precisto diversmente l insieme universo è costitutito di numeri reli R, m potree essere nche un insieme diverso come N (nturli), Z (interi), Q (rzionli) o C (complessi). Definizione. Un equzione si dice impossiile se l soluzione S è l insieme vuoto. Definizione. Un equzione si dice indetermint se l soluzione S è un insieme infinito. Definizione. Un equzione si dice determint se l soluzione S è un insieme finito. L ricerc dell soluzione di un equzione si s sul concetto (fondmentle) di equzioni equivlenti. Inftti qundo si risolve un equzione, dopo ver pplicto le regole del clcolo letterle per svolgere le operzioni indicte l primo e l secondo memro, si semplific l equzione ottenut pplicndo i principi di equivlenz, cioè si trsform l equzione in un ltr che h un form più semplice, m equivlente quell dt. Definizione. Due equzioni si dicono equivlenti se hnno l stess soluzione S. Per trsformre un equzione in un equivlente in modo corretto ci si ffid i principi di equivlenz. Primo principio di equivlenz. Addizionndo (o sottrendo) un stess espressione d entrmi i memri di un equzione si ottiene un nuov equzione equivlente quell dt. Secondo principio di equivlenz. Moltiplicndo (o dividendo) per un stess espressione divers d zero entrmi i memri di un equzione si ottiene un nuov equzione equivlente quell dt. Not. Perché nel secondo principio si precis che l espressione utilizzt deve essere divers d zero? In se ll loro espressione nlitic, le equzioni sono così clssificte:

5 intere lgeriche rzionli irrzionli frtte equzioni esponenzili trscendenti logritmiche goniometriche Definizione. Un equzione lgeric contiene soltnto le operzioni fondmentli dell lger (ddizione/sottrzione, moltipliczione/divisione, elevmento potenz, rdice). Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter si dice ridott in form normle (o cnonic o tipic) se il primo memro è rppresentto d un polinomio intero e il secondo memro è zero. Esempi. Sono equzioni lgeriche rzionli intere in form cnonic: 0, 0, 0, 0, 0 Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter è di primo grdo (o linere) nell incognit se, ridott in form cnonic, ssume l form: 0, dove e sono due numeri reli (o espressioni letterli), con 0. Osservzione. Se risolvendo un equzione rrivi semplificre tutti i monomi con l incognit, puoi pensre (improprimente) di vere un equzione di primo grdo 0 con 0. Se nche risult 0 l tu equzione è soddisftt per infiniti vlori, ltrimenti non esiste lcun vlore che soddisf l equzione dt. Esercizio. Complet l seguente tell (eventuli clcoli li svolgi in un foglio di rutt). Equzione Form cnonic Soluzione ( - ) 0 S { } ( -) ( ) - S ( 7) ( 0) S Osservzioni. Dopo ver risolto l esercizio sei in grdo di trrre lcune importnti conclusioni: un equzione di primo grdo in form cnonic è: determint se ; impossiile se e ; indetermint se e. Esercizio. Risolvi le seguenti equzioni. ( ) ( )( ) ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) 0 ( ) 9

6 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter è di secondo grdo nell incognit se, ridott in form cnonic, ssume l form: c 0, dove, e c sono tre numeri reli (o espressioni letterli), con 0. Osservzione. Le equzioni di secondo grdo le risolveremo nell insieme dei numeri reli. Definizione. Un equzione di secondo grdo, in form cnonic, si dice monomi se 0 e c0 ( 0), cioè se è del tipo 0. Scrivi un esempio di equzione di secondo grdo monomi: Osservzione. Un equzione di secondo grdo monomi h come soluzioni 0. Definizione. Un equzione di secondo grdo, in form cnonic, si dice pur se 0 ( 0 e c 0), cioè se è del tipo c 0. Scrivi un esempio di equzione di secondo grdo pur: Osservzione. Un equzione pur si risolve pplicndo i due principi di equivlenz in modo d isolre l incognit (elevt l qudrto). Se il secondo memro risult negtivo llor l equzione risult impossiile, ltrimenti h due soluzioni reli opposte. Esempio. Risolvi l seguente equzione: 0. Applicndo il primo principio di equivlenz ottieni:. Poi pplicndo il secondo principio di equivlenz ottieni:. Il secondo memro divent il numero / (positivo), quindi l equzione h due soluzioni reli opposte : e. Esercizio / S { } Definizione. Un equzione di secondo grdo, in form cnonic, si dice spuri se c0 ( 0 e 0), cioè se è del tipo 0. Scrivi un esempio di equzione di secondo grdo spuri: Osservzione. Un equzione spuri si risolve rccogliendo fttor comune l incognit e poi pplicndo l legge dell nnullmento del prodotto (se il prodotto fr due numeri reli è nullo, llor lmeno uno dei due fttori srà nullo). Un equzione spuri h sempre due soluzioni reli distinte e un è sempre null. Esempio. Risolvi l seguente equzione: 0. Rccogliendo fttor comune l ottieni:. Poi pplicndo l legge dell nnullmento del prodotto ottieni: 0 oppure. Quindi l equzione h due soluzioni reli distinte : e. Definizione. Un equzione di secondo grdo, in form cnonic, si dice complet se 0, 0 e c 0, cioè se è del tipo c 0. Scrivi un esempio di equzione di secondo grdo complet:

7 Osservzione. Un equzione complet si risolve pplicndo l formul risolutiv: ±, dove il rdicndo c è detto discriminnte. Se >0, llor l equzione di secondo grdo h due soluzioni reli dte d:, ± Se 0, llor l equzione di secondo grdo h due soluzioni reli coincidenti dte d: Se <0, llor l equzione di secondo grdo non h soluzioni reli., Osservzione. L formul risolutiv, che si utilizz nelle equzioni di secondo grdo complete, potree essere ust nche per le ltre equzioni di secondo grdo (monomie, pure, spurie), m in genere è preferiile (e più semplice dl punto di vist dei clcoli) tenere distinti i metodi risolutivi e, dopo ver riconosciuto il tipo di equzione, si richiede di pplicre l tecnic pproprit. Per risolvere un equzione complet si richiede di pplicre l seguente procedur:. clcolre il discriminnte ;. dichirre se l equzione è: Impossiile (non h soluzioni reli), esistono due soluzioni reli coincidenti, esistono due soluzioni reli distinte;. escluso il cso in cui si impossiile, determinre le soluzioni. Esempi. Risolvi l seguente equzione: 0. Clcolndo il discriminnte ottieni:. Quindi l equzione h due soluzioni reli distinte : e. Risolvi l seguente equzione: 0. Clcolndo il discriminnte ottieni:. Quindi l equzione. Risolvi l seguente equzione: 0. Clcolndo il discriminnte ottieni:. Quindi l equzione h due soluzioni reli e coincidenti : e. Esercizio. Complet l seguente tell (eventuli clcoli li svolgi in un foglio di rutt). Equzione Form cnonic c Soluzione ( - ) 0 S { } ( -) ( ) - S ( 7) ( 0) S Esercizio. Risolvi le seguenti equzioni. ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 )( ) ( ) 7 ( ) 7 7

8 SCOMPOSIZIONI DI POLINOMI Definizione. Scomporre un polinomio signific riscrivere tle espressione come moltipliczione di ltri polinomi. Osservzione. L scomposizione di polinomi si vvle di vrie tecniche di se, volte cominte tr loro, e non esiste un unic procedur d pplicre in modo schemtico e sempre ugule. Le tecniche di scomposizione più uste sono: rccoglimento totle fttor comune; rccoglimento przile fttor comune; prodotti notevoli (qudrto e cuo di inomi, differenz di qudrti, somm e differenz di cui); trinomio di secondo grdo; regol di Ruffini. Descrizione del metodo di rccoglimento totle fttor comune: si determin il MCD dei monomi che formno il polinomio dto; si determin il polinomio quoziente tr il polinomio dto e il MCD clcolto l punto precedente; si moltiplic il MCD per il polinomio quoziente determinto l punto precedente. In simoli: k k kc k( c) Esempio. Scomporre il polinomio:. Il MCD dei monomi che formno il polinomio è:. Il quoziente tr il polinomio e MCD è: scomposto divent: ( ).. Quindi il polinomio Descrizione del metodo di rccoglimento przile fttor comune: si rggruppno i monomi che formno il polinomio dto in modo d ottenere il polinomio come somm di ltri polinomi; si pplic il rccoglimento fttor comune sui rggruppmenti ottenuti l punto precedente; si pplic il rccoglimento fttor comune dei polinomi ottenuti l punto precedente. In simoli: ( ) ( ) ( )( ) Esempio. Scomporre il polinomio:. I quttro monomi che formno il polinomio possono essere rggruppti nel seguente modo: ( ) ( ). Tr i due monomi che compongono il primo polinomio tr prentesi si può rccogliere fttor comune il monomio, mentre nel secondo polinomio si può rccogliere -, ottenendo: ( ) ( ). I due polinomi ottenuti hnno in comune il polinomio () che, rccolto fttor comune, permette di ottenere. l scomposizione finle: ( )( ) Descrizione dei prodotti notevoli. Spesso i polinomi d scomporre non sono ltro che il risultto di prticolri espressioni chimte prodotti notevoli, d esempio il trinomio 9 è il risultto di ( ). Per cercre di scoprire se un polinomio è il risultto di un prodotto notevole è indispensile memorizzre le formule di quelli più utilizzti: qudrto di inomio: ± ( ± ) ; ± ± ± ; cuo di inomio: ( ) differenz di qudrti: ( )( ) ; 8

9 somm o differenz di cui: ( ± )( ) ±. Osservzione. Non è possiile scomporre l somm di due qudrti: ( ) Esercizio. Scomporre i seguenti polinomi: Descrizione del trinomio di secondo grdo: Dovendo scomporre il trinomio di secondo grdo c, si risolve l equzione ssocit c 0. Dette e le due soluzioni trovte (mmettendo che esistno), llor l c. scomposizione cerct divent: ( )( ) Nel cso si un trinomio prticolre, ossi del tipo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(, llor può essere scomposto così: Esempio in 8, poiché 8 e, llor 8 ( )( ) Il metodo generle per scomporre il trinomio di secondo grdo c, consiste nel clcolre il dell equzione ssocit c 0. Se > 0, llor dette e le due soluzioni trovte, l scomposizione cerct divent: c ( )( ). Se 0, llor,dett l rdice doppi trovt, l scomposizione cerct divent: c ( ). Se < 0, llor l equzione ssocit non mmette soluzioni e il trinomio non è scomponiile. Esempio. Scomporre il polinomio: 0. L equzione ssocit h come soluzioni: e, quindi l scomposizione divent: 0 ( ), che è preferiile scrivere nel seguente modo: 0 ( ) ( )( ). Descrizione dell regol di Ruffini. Utilizzndo l regol di Ruffini è possiile scomporre un polinomio di grdo n come prodotto tr un inomio di primo grdo e un ltro polinomio di grdo n-. Definizione: il numero rele k è uno zero del polinomio P(), se sostituendo k d nel polinomio, il vlore di quest ultimo divent zero. Esempio. è uno zero del polinomio P ( ) 9 in qunto P () Si noti che gli zeri di un polinomio sono nche le soluzioni dell equzione ssocit. Come fre trovre gli zeri di un polinomio. Se un polinomio mmette uno zero intero, esso deve essere ricercto tr i divisori (si positivi si negtivi) del termine noto. ) 9

10 Se un polinomio mmette uno zero frtto, esso deve essere ricercto tr le frzioni (si positive si negtive) venti come numertore un divisore del termine noto e come denomintore un divisore del coefficiente del termine di mssimo grdo. Teorem di Ruffini Se k è uno zero del polinomio P() llor è possiile scomporre quest ultimo in P( ) ( k) Q( ). N.B. ( k) è un fttore di primo grdo e k lo zero trovto, Q() è il quoziente tr P() e ( k) un polinomio di un grdo inferiore P (). Per determinre il polinomio quoziente Q() si può usre l regol di Ruffini. Descrivimo quest regol con un esempio., e srà Esempio. Scomporre il polinomio:. Scomponendo il polinomio con Ruffini si ottiene il prodotto tr un polinomio di primo grdo e un polinomio di secondo. Scrivo i divisori di : ± ; ± ; Sostituisco, nel polinomio, il primo vlore () ll vriile e ottengo ( 0). Sostituisco, nel polinomio, il secondo vlore (-) ll vriile e ottengo 0. Posso costruire lo schem di Ruffini usndo il numero -: Coefficienti del polinomio P(), ordinto e completto 0 - Q () quindi è dto d ( ) e ( k ) è dto d ( ) I due polinomi d utilizzre nell scomposizione sono quindi ( ) Esercizio. Scomponi i seguenti polinomi. ( )( ) e (): ( ) 7 7 ( ) ( )

11 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Per le equzioni di grdo superiore l secondo non si esegue uno studio completo, m di tli equzioni si studino solo lcuni tipi prticolrmente semplici. Le equzioni lgeriche che si incontrno più di frequente nel triennio sono: le monomie, le inomie, le trinomie, le equzioni ssili di grdo (scomponiili). Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter si dice monomi se, ridott nell form n normle, è del tipo 0, con numero rele diverso d 0. Osservzione. Un equzione monomi di grdo n h sempre n soluzioni tutte nulle. Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter si dice inomi se, ridott nell form normle, è del tipo n 0, con e numeri reli diversi d 0. Osservzione. Qundo si risolve un equzione inomi è importnte distinguere se il grdo è pri o dispri: un equzione inomi di grdo dispri h un ed un sol soluzione rele: n ; un equzione inomi di grdo pri può essere impossiile (qundo negtivo) o vere due soluzioni reli opposte (qundo è un numero è un numero positivo) ± n. n Osservzione. Per risolvere un equzione inomi occorre dpprim esplicitre ; quindi n, d cui n ; poi seguire l seguente tell n Soluzioni Esempio pri positivo n, ±, ± pri negtivo S Φ S Φ dispri positivo 7 n dispri negtivo 8 Esempio. Risolvere le seguenti equzioni. 0 : ricvo l incognit (elevt ll qurt) pplicndo i due principi di equivlenz e ottengo ; il vlore l secondo memro è positivo quindi l equzione h due soluzioni reli opposte:, ±. 0 : l equzione inomi è di grdo dispri quindi h sempre un soluzione rele; ricvo l incognit (elevt ll terz) pplicndo i due principi di equivlenz e ottengo ; l soluzione srà. Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter si dice trinomi se, ridott nell form n n normle, è del tipo c 0, con,, c numeri reli diversi d 0.

12 Osservzione. Un equzione trinomi vrà sempre grdo pri. Un equzione trinomi h un sintssi che ricord un equzione di secondo grdo; per risolverl si utilizz un posizione. n n Si pone t e quindi t, ottenendo un equzione di secondo grdo nell incognit t: t t c 0. Si risolve l equzione di secondo grdo (l qule potrà vere due soluzioni reli coincidenti, due soluzioni reli distinte, oppure nessun soluzione rele). Trovte le (eventuli) soluzioni nell incognit t, si risolvono due equzioni inomie (se due sono le soluzioni trovte): n n t o t. 8 Esempio. Risolvere l seguente equzione: 0. L equzione è trinomi di ottvo grdo. Si pone t e si ottiene l equzione di secondo grdo: t t 0. Risolt ottenimo due soluzioni t o t. Sostituendo t e t il monomio ottenimo due equzioni inomie di qurto grdo: o, che dnno le quttro soluzioni reli: ± ± o ±. Definizione. Un equzione lgeric rzionle inter (di grdo superiore l secondo), ridott nell form normle, si dice ssile di grdo se è possiile scomporre il polinomio l primo memro. Osservzione. Per risolvere un equzione ssile di grdo devi: ridurl in form cnonic; scomporre il primo memro; pplicre l legge dell nnullmento del prodotto (se il prodotto tr due numeri reli e nullo llor lmeno uno dei due fttori è nullo); risolvere le equzioni ottenute pplicndo uno o più dei metodi illustrti precedentemente. Esempio. Risolvere l seguente equzione (già scompost in fttori): ( )( ) 0. Applicndo l legge dell nnullmento del prodotto scrivimo le seguenti equzioni: 0 o 0 o 0. L prim equzione (monomi di secondo grdo) h due soluzioni reli coincidenti 0; l second equzione (di secondo grdo pur) non h soluzioni reli, l terz equzione (di secondo grdo complet) h due soluzioni reli distinte - o -/. Quindi le soluzioni dell nostr equzione sono: 0 ; 0 ; ;. Osservzione. Le equzioni lgeriche possono essere risolte nche nell insieme dei numeri complessi C. Ad esempio l equzione, impossiile in R, vrà due soluzioni complesse i e i, dove i è l unità immginri definit ne seguente modo i. Un equzione di secondo grdo vrà sempre due soluzioni (complesse), un equzione di terzo grdo vrà sempre tre soluzioni (complesse), ecc. I numeri complessi godono quindi di un importnte proprietà: permettono di risolvere sempre un equzione lgeric rzionle inter, inftti vle il seguente teorem. Teorem fondmentle dell lger. Un equzione lgeric rzionle inter mmette un numero di soluzioni complesse pri l grdo dell equzione stess. Esercizio. Risolvi le seguenti equzioni

13 EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI Definizione. Un equzione lgeric si dice frtt o frzionri qundo l incognit (lmeno un) compre in lmeno un denomintore. Osservzione. L equzione l equzione è frtt. è inter; l equzione è inter rispetto ll incognit ; Come si risolve un equzione frtt. Esiste un differenz fondmentle tr un equzione inter e un frtt. In un equzione inter si cercno i vlori che l verificno, tr tutti quelli pprtenenti d un certo insieme universo U (in genere l universo l qule pprtengono le soluzioni delle equzioni che studimo è l insieme dei numeri reli). Inftti simo ituti pensre che ll incognit possimo ttriuire qulsisi vlore (rele) e solo lcuni di questi srnno soluzione. In un equzione frtt non possimo pensre che l vriile poss ssumere qulsisi vlore perché lcuni numeri fnno perdere di significto ll nostr espressione. Inftti nell equzione frtt è vietto sostituire ll vriile il numero - perché. In ltre prole, per risolvere un equzione frtt: si determinno quli vlori può ssumere l incognit (escludendo i vlori che nnullno i vri denomintori); si trsform l equzione frtt in un inter (pplicndo il secondo principio di equivlenz); si riduce in form cnonic; si risolve; si escludono, tr i vlori trovti, quelli che, eventulmente, nnullno i denomintori. Esempi. Risolvere l equzione. Il denomintore si nnull (0) qundo -, quindi dichirimo che l vriile deve essere divers d - (queste dichirzioni si chimno, di solito, Condizioni di Esistenz, quindi CE: -); ( ) Riducimo llo stesso denomintore i due memri dell equzione: ; pplichimo il secondo principio di equivlenz (moltiplichimo entrmi i memri per (), dopo verl post divers d zero!!!, e ottenimo un equzione inter: -(). Svolgendo i clcoli e pplicndo il primo principio di equivlenz ottenimo un equzione di primo grdo in form cnonic: -0. L soluzione di quest equzione è. Quest è nche l soluzione dell equzione frtt inizile?. Risolvere l equzione. Come prim scrivimo le CE: 0. Riducimo llo stesso denomintore () e pplichimo il secondo principio, ottenendo l equzione inter:. L soluzione 0 non è ccettile (CE: 0) quindi l equzione frtt è impossiile. Definizione. Un equzione si dice letterle se, oltre lle incognite, contiene ltre lettere. Come si risolve un equzione letterle. Un equzione letterle può essere inter o frtt rispetto lle incognite e le ltre lettere, loro volt, possono comprire si numertore che denomintore. Esempi. L equzione 7 è un equzione letterle inter e l letter non compre denomintore.

14 Scrivi un equzione letterle inter, nell incognit e con lettere denomintore. Scrivi un equzione letterle frtt, nell incognit e senz lettere denomintore. Scrivi un equzione letterle frtt, nell incognit e con lettere denomintore. Per risolvere un equzione letterle (inter o frtt): si scrivono le CE sui denomintori che contengono l incognit o ltre lettere; si riduce equzione inter; si riduce in form cnonic (secondo memro divent 0 e l primo memro si rccoglie l incognit tr i monomi di primo grdo (rispetto ), si rccoglie tr i monomi di secondo grdo, ecc. si riconosce il tipo di equzione ottenut e si risolve pplicndo l tecnic pproprit. Esercizio. Risolvi le seguenti equzioni ( ) ( ) ( ). ( ) 0.. 8

15 SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO E DI SECONDO GRADO Definizione. Un sistem è un insieme formto d due o più equzioni delle quli si cercno le soluzioni comuni. Osservzione. Per indicre che due o più equzioni formno un sistem è consuetudine rcchiuderle ll interno di un prentesi grff. Definizione. Un sistem formto d equzioni lgeriche si dice ridotto in form cnonic se tutte le equzioni che lo compongono sono stte ridotte in tle form e ordinte le incognite nello stesso modo. Definizione. Si dice grdo di un sistem (formto d equzioni lgeriche rzionli intere e in form cnonic) il prodotto dei grdi delle equzioni che lo compongono. Osservzione. Dll definizione dt si deduce che: un sistem è di primo grdo (o linere) se è formto d equzioni lgeriche rzionli intere tutte di primo grdo; un sistem è di secondo grdo se è formto d equzioni lgeriche rzionli intere di primo grdo e d un di secondo. Come risolvere un sistem di primo grdo formto d due equzioni in due incognite. Un sistem di primo grdo, ridotto in form cnonic, può essere risolto, in modo nlitico, pplicndo uno dei seguenti metodi:. sostituzione;. confronto;. riduzione; 7. Crmer. Metodo di sostituzione: riduci il sistem in form cnonic; ricv dll prim equzione (o dll second) un incognit; sostituisci nell ltr equzione l posto dell incognit l espressione trovt l punto precedente (ottieni un equzione in un incognit); risolvi l equzione trovt l punto precedente; sostituisci nell prim equzione, l posto dell incognit, il vlore ppen trovto; ricv d quest equzione il vlore dell second incognit. Osservzione. In un sistem linere di due equzioni in due incognite trovi, in generle, due vlori (uno per un incognit e uno per l ltr), m non devi pensre di ver trovto due soluzioni perché l coppi trovt rppresent un soluzione del sistem. Metodo del confronto: riduci il sistem in form cnonic; ricv d entrme le equzioni l stess incognit; egugli le due espressioni trovte l punto precedente (rppresentno lo stesso vlore); risolvi l equzione scritt l punto precedente (così determini un incognit); sostituisci il vlore trovto in un delle due equzioni del sistem; risolvi l equzione scritt l punto precedente (così determini l ltr incognit);

16 Metodo di riduzione: riduci il sistem in form cnonic; moltiplic l prim equzione per il coefficiente dell prim incognit post nell second equzione; moltiplic l second equzione per il coefficiente dell prim incognit post nell prim equzione; esegui l sottrzione memro memro delle due equzioni ottenute (il termine con l prim incognit si nnull); risolvi l equzione ottenut (ricvi l second incognit); sostituisci il vlore trovto in un delle equzioni del sistem e trovi l prim incognit. Metodo di Crmer: riduci il sistem in form cnonic, ponendo i termini noti l secondo memro: c c pplic le seguenti formule (dette di Crmer) e ricvi le incognite: c c c c c c c c Osservzione. Come per le equzioni, un sistem di primo grdo può essere: impossiile (nessun soluzione rele); indeterminto (infinite soluzioni reli); determinto (un soluzione rele). Esercizio. Perché il seguente sistem è impossile? 9 7 Perché il seguente sistem è indeterminto? 7

17 Come risolvere un sistem di secondo grdo formto d due equzioni in due incognite. Un sistem di secondo grdo formto d due equzioni in due incognite è sempre costituito d un equzione di primo grdo e d un di secondo. Un sistem di questo tipo si risolve con il metodo di sostituzione: si ricv un incognit dll equzione di primo grdo; si sostituisce l espressione trovt in quell di secondo grdo; si risolve l equzione di secondo grdo in un incognit (due soluzioni); si sostituiscono i vlori trovti nell equzione ricvt l primo punto e si trovno le due soluzioni dell ltr incognit. Osservzione. In generle si trovno quttro vlori,,,, due per ogni incognit. Il sistem, però, h due soluzioni, ciscun formt d un coppi di vlori: un soluzione srà (, ) e l ltr srà (, ). Possono poi esserci i seguenti csi prticolri: il sistem è impossiile (nessun soluzione); il sistem h le soluzioni coincidenti. Come risolvere un sistem di primo grdo formto d tre equzioni in tre incognite. Il metodo preferito dgli studenti, generlmente, per risolvere questi sistemi è il metodo di sostituzione:. si ricv un incognit d un equzione;. si sostituisce l espressione trovt nelle ltre due equzioni;. le due equzioni ottenute l punto precedente formno un sistem di due equzioni in due incognite;. si risolve il sistem del punto precedente;. l soluzione trovt l punto si sostituisce nell equzione del punto ;. si risolve l equzione del punto precedente. z Esempio. Risolvere il sistem z. z Ricvo l incognit dll second equzione (è l cos più semplice d fre) e ottengo: -z (*). Sostituisco nelle ltre due equzioni e ottengo il sistem nelle incognite e z: ( z ) z. ( z ) z Risolvo il sistem e ottengo: z 8 7 /8. L soluzione del sistem divent quindi:. Sostituisco questi vlori nell equzione (*) e ottengo z

18 Esercizi. ) Ridurre i seguenti sistemi in form cnonic, poi risolverli col metodo indicto. ( ) ( ) [ ] 0 sostituzione confronto riduzione ( ) ( ) ( ) Crmer 9 ( ) Crmer - - z z 8 - sostituzione z z 0 z - sostituzione ) risolvere i seguenti sistemi di secondo grdo medinte sostituzione: ( ) 7 c) Risolvi il seguente sistem: 7 0 ) ( d) Risolvi il seguente sistem: 0 8

19 LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO Un rett nel pino crtesino può essere vist come un prticolre luogo geometrico. Ricordimo llor l definizione di luogo geometrico. Definizione. Si chim luogo geometrico l insieme di tutti e soli i punti che soddisfno un cert proprietà. Esempi. L circonferenz è il luogo geometrico dei punti del pino che hnno l proprietà di essere equidistnti d un punto fisso (detto centro). L superficie di un sfer è il luogo geometrico dei punti dello spzio che hnno l proprietà di essere equidistnti d un punto fisso (detto centro). L sse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del pino che hnno l proprietà di essere equidistnti dgli estremi del segmento. Vedimo l rett come luogo geometrico in un pino crtesino. Dt l equzione di primo grdo -0, nell incognit, si perfettmente che l unic soluzione è dt d. Se consideri or l equzione di primo grdo -0, nelle incognite e, puoi verificre che l coppi ordint (0; ) soddisf l equzione dt. Spresti trovre un ltr coppi che si soluzione dell equzione? Qunte sono le soluzioni dell equzione -0? Ogni soluzione è costituit d un coppi ordint di numeri reli (; ). Ciscun di queste coppie individu un punto sul pino crtesino e tutti questi punti (infiniti) formno (pprtengono ). Questo risultto può essere dimostrto in generle ed è enuncito dl seguente teorem. Teorem. Il luogo geometrico dei punti del pino crtesino che soddisfno l equzione linere c0 (con lmeno uno dei coefficienti e diversi d zero) è un rett e vicevers (un rett del pino crtesino è il luogo dei punti che soddisfno un equzione linere nelle incognite e ). Osservzione. Il teorem precedente ci utorizz indicre c0 come l equzione di un rett. Come si quest equzione viene dett in form implicit per distinguerl d un ltr equzione dell rett, chimt esplicit (ne prleremo fr poco). Csi prticolri È importnte riflettere su lcune rette del pino crtesino che cquistno prticolre importnz concettule e/o prtic (qundo si devono svolgere gli esercizi) e che conosci già: l rett che form l sse h equzione:,, c l rett che form l sse h equzione:,, c un rett prllel ll sse h equzione:,, c un rett prllel ll sse h equzione:,, c un rett pssnte per l origine degli ssi h equzione:,, c l rett c0 (0) è un rett l rett c0 (0) è un rett l rett 0 (c0) è un rett l rett 0 (0 e c0) (oppure 0) è un rett l rett 0 (0 e c0) (oppure 0) è un rett 9

20 Osservzione. L equzione dell sse è, quell dell sse è Esercizio (d svolgere sul quderno). Dt l rett di equzione -0: determin l intersezione con l sse ; determin l intersezione con l sse ; rppresentl sul pino crtesino. Suggerimenti per l soluzione. Per determinre l intersezione con l sse devi impostre e risolvere il sistem: equzione rett equzione sse troveri così un coppi di numeri reli che rppresent un punto sul pino crtesino. Anlogmente, per determinre l intersezione con l sse devi impostre e risolvere il sistem: equzione equzione rett sse Per rppresentre l rett sul pino ricord che sono sufficienti due punti. Attenzione, due punti li hi già trovti (sono le intersezioni con gli ssi) e puoi usre questi se sono sufficientemente distnti d permetterti un grfico ccurto, ltrimenti dovri trovrne un terzo ssegnndo, nell equzione dell rett, un vlore picere ll vriile (d esempio ) per poi ricvre il corrispondente vlore di. Esercizio (sul quderno). Dte le rette -0 e --0, 0, -0: determin, per ciscun rett, l intersezione con l sse ; determin, per ciscun rett, l intersezione con l sse ; rppresent le rette sul pino crtesino; determin l intersezione tr le due rette (le prime due dell esercizio). Equzione di un rett in form esplicit Spesso le equzioni delle rette sono scritte in un form divers d quell implicit, dett form esplicit. Questo modo di scrivere l equzione di un rett consiste nel ricvre l vriile dll form implicit. Tutte le rette in form implicit c0 possono essere esplicitte rispetto d? Attenzione, per poter esplicitre l equzione implicit deve esserci il monomio con l vriile, cioè deve essere diverso d zero il coefficiente: c. In ltre prole non sono esplicitili le rette in form implicit con, cioè del tipo : L equzione di un rett in form esplicit divent quindi: Esercizio (sul quderno). Esplicit le seguenti rette: c, con 0. 0; 0; 0; 0; 0. 0

21 Osservzione. Spesso nei liri di testo le equzioni delle rette in form esplicit sono scritte nel seguente modo: mq. I coefficienti m e q sono dti rispettivmente dlle frzioni (si ricvno dll equzione esplicit): m e q Cerchimo or di cpire qule significto ttriuire d m e q dl punto di vist geometrico. Esercizio (sul quderno). Rppresent sul pino crtesino le seguenti rette: ; ; ; ; ; ; Le rette che hi rppresentto hnno vlori diversi di m e tutte lo stesso vlore di q (0). Puoi notre che l vrire dei vlori ttriuiti d m ottieni rette che hnno divers inclinzione, inftti il vlore di m stilisce l pendenz dell rett, cioè fiss l ngolo che si form tr l sse e l rett.. Per questo motivo il coefficiente m dell vriile viene chimto coefficiente ngolre. Osservzione. Se osservi i grfici dell esercizio precedente, puoi notre che se consideri due punti su un rett con sciss che differiscono di, llor le rispettive ordinte differiscono di. In ltre prole: il coefficiente ngolre indic l vrizione di qundo vri di un unità, per i punti pprtenenti d un rett. Esercizio (sul quderno). Rppresent sul pino crtesino le seguenti rette: ; ; ; ; Le rette che hi rppresentto hnno vlori diversi di q e tutte lo stesso vlore di m (). Puoi notre che l vrire dei vlori ttriuiti q ottieni rette che hnno divers intersezione con l sse delle ordinte, inftti il vlore di q stilisce l ordint del punto di sciss null. Per questo motivo il termine q (detto nche termine noto) viene chimto ordint ll origine. Esercizio (sul quderno). Dte le rette -0, -0 e 0: 8. riscrivi le equzioni in form esplicit; 9. determin, per ciscun di esse, le intersezioni con gli ssi crtesini; 0. rppresentle sul pino crtesino;. determin le intersezioni tr le rette, due due;. determin il perimetro del tringolo formto dlle tre rette. È frequente, nei prolemi, dover determinre l equzione di un rett noti lcuni elementi (informzioni). Questi prolemi si ffrontno gevolmente con qunto hi già ripssto e con poche nozioni che or rissumimo.

22 Il coefficiente ngolre di un rett può essere determinto conoscendo due punti. Esercizio guidto. Determin le rette pssnti per i punti: ) A(; ) e B(; ) ) A(,) e B(; 7) c) A(; ) e B(; -). Nel primo esercizio i due punti (vendo l stess ordint) individuno un rett prllel ll sse. Si già che l equzione di quest rett è, quindi il coefficiente ngolre è m. Nel secondo esercizio i due punti (vendo l stess sciss) individuno un rett prllel ll sse. Si già che l equzione di quest rett è, quindi il coefficiente ngolre. Nel terzo esercizio, sostituendo i punti ll equzione di un rett in form esplicit mq ottieni due equzioni: mq e, sottrendo memro memro ottieni mq-m-q, cioè 7-m e 7 quindi m. In generle, se l rett pssnte per i punti A ( ; ) e B( ; ) non è prllel ll sse, puoi clcolre il coefficiente ngolre con l formul m. Perché l formul scritt non puoi usrl nel cso l rett si prllel ll sse?. Se due rette, in form esplicit, hnno lo stesso coefficiente ngolre llor. Se il prodotto dei coefficienti ngolri di due rette vle - llor Le proprietà descritte i punti e sono enuncite in modo più rigoroso di seguenti teoremi: Teorem sulle rette prllele. Due rette, non prllele ll sse, sono prllele se hnno lo stesso coefficiente ngolre (e vicevers). Teorem sulle rette perpendicolri. Due rette, non prllele gli ssi crtesini, sono perpendicolri se il coefficiente ngolre di un è l ntireciproco dell ltr (il prodotto dei coefficienti ngolri è ) (e vicevers).. Insieme delle rette del pino pssnti per un punto P 0 ( 0; 0 ) Le rette pssnti per un punto P 0 ( 0; 0 ) hnno un equzione del tipo 0 m( 0 ) che si chim equzione del fscio proprio. Il punto P ( ; ) si chim centro del fscio. Tutte le rette del fscio, trnne un (qule?) si ottengono ssegnndo l coefficiente ngolre un qulsisi numero rele.. Insieme delle rette del pino prllele (o perpendicolri) d un rett dt Le rette prllele (o perpendicolri) d un rett dt (trnne quelle prllele ll sse ) hnno lo stesso coefficiente ngolre m (noto), quindi l equzione è del tipo m q e si chim equzione del fscio improprio. Ogni rett del fscio improprio vrà un diverso vlore di q

23 I concetti che imo ricordto e che vevi già incontrto l iennio sono sufficienti per risolvere qulsisi prolem sulle rette. Ecco un elenco dei prolemi che spesso dovri risolvere. Determin l equzione di un rett: pssnte per due punti noti; pssnte per un punto e di coefficiente ngolre noto; pssnte per un punto e prllel d un rett dt; pssnte per un punto e perpendicolre d un rett dt; pssnte per un punto e di ordint ll origine not. Dto un fscio di rette di centro noto: scrivi l equzione del fscio; scrivi l equzione dell rett del fscio pssnte per l origine; scrivi l equzione dell rett del fscio pssnte per un punto noto; scrivi l equzione dell rett del fscio di ordint ll origine not; scrivi l equzione dell rett del fscio prllel ll sse ; scrivi l equzione dell rett del fscio prllel ll sse ; scrivi l equzione dell rett del fscio di coefficiente ngolre noto; scrivi l equzione dell rett del fscio prllel d un rett not; scrivi l equzione dell rett del fscio perpendicolre d un rett not; Dto un fscio di rette di equzione not (contenente un prmetro k): scrivi l equzione dell rett del fscio pssnte per l origine; scrivi l equzione dell rett del fscio pssnte per un punto noto; scrivi l equzione dell rett del fscio di ordint ll origine not; scrivi l equzione dell rett del fscio prllel ll sse ; scrivi l equzione dell rett del fscio prllel ll sse ; scrivi l equzione dell rett del fscio di coefficiente ngolre noto; scrivi l equzione dell rett del fscio prllel d un rett not; scrivi l equzione dell rett del fscio perpendicolre d un rett not; scrivi le coordinte del centro del fscio.