Insieme dei numeri razionali
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- Costantino Cicci
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1 Isieme ei umeri razioali Q - 1 Isieme ei umeri razioali Per iicare il quoziete fra ue umeri e, si scrive ua frazioe che ha come umeratore il ivieo e per eomiatore il ivisore ella ivisioe. Qualsiasi ivisioe è quii esprimibile come frazioe. Questa scrittura o ha spesso risultato ell'isieme N ei umeri aturali (l ha solo per le frazioi appareti) e quii si opera u ampliameto ai umeri frazioari o razioali, l isieme Q. Occorre teere presete, ioltre, che a ogi umero razioale corrispooo tutte le frazioi apparteeti alla meesima classe i equivaleza. Ogi classe i equivaleza trova precisa sistemazioe sulla retta ei umeri. Ua frazioe si ice frazioe ecimale quao ha per eomiatore ua poteza i 10 e è a quii geeralizzabile ella forma: co a, N e co a 0 10 Per le frazioi che o si presetao i forma ecimale, eomiate frazioi oriarie, possoo verificarsi ue casi. La frazioe oriaria è ricoucibile a ua frazioe ecimale, quao riotta ai miimi termii compare ella classe i equivaleza relativa ua frazioe ecimale: E ; ; ; E ; ; ; ; ; ; ; La frazioe oriaria o è ricoucibile a ua frazioe ecimale E ; ; ; ; ; ;... ove esseo i eomiatori tutti multipli i 3 o comparirà mai la forma ecimale. E ; ; ; ; ove esseo i eomiatori tutti multipli i 7 o comparirà mai la forma ecimale E ; ; ; ; ove esseo i eomiatori tutti multipli i 3 (6 = 2x3) o comparirà mai la forma ecimale. Ua frazioe è ricoucibile alla forma ecimale quao il suo eomiatore è scompoibile ei fattori 2 o 5 o etrambi. I tutti gli altri casi la frazioe o è ricoucibile a ua frazioe ecimale. Dalla scomposizioe sarà facile ricourre le frazioi alla forma ecimale, quao possibile, moltiplicao per le poteze el 2 e el 5 i moo a completare quella el 10 più prossima. Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
2 Isieme ei umeri razioali Q - 2 La ivisioe I termii ella ivisioe si chiamao rispettivamete ivieo e ivisore, il risultato si chiama quoziete. Il simbolo usato per la ivisioe è il ue puti (:) ma si usa ache la barretta (/). Il simbolo, chiamato obelus, è pure usato elle calcolatrici. Quoziete esatto Quao esiste u umero aturale che moltiplicato per il ivisore a per risultato il ivieo si ha ua ivisioe co quoziete esatto. Esempio: 20 : 4 = 5 ivieo ivisore quoziete Quoziete approssimato e resto Quao la ivisioe o è possibile perché o esiste u umero aturale che moltiplicato per il ivisore ia per risultato il ivieo si ha ua ivisioe co quoziete approssimato e resto. Il quoziete approssimato è il più grae umero aturale che moltiplicato per il ivisore à come risultato u umero che o supera il ivieo. 33 : 7 = 4 resto 5 ivieo ivisore quoziete 33 : 7 = 4 perché 7 4 = 28 che è il multiplo i 7 più vicio a 28 per ifetto Il resto è la iffereza fra il ivieo e il prootto el ivisore per il quoziete. 33 : 7 = 4 co resto 5 perché 33 (7 4) = = 5 Da quato esposto si euce che: quoziete ivisore + resto = ivieo a : b = q co resto r perché b q + r = a Esempio 33 : 7 = 4 resto 5 ivieo : ivisore = quoziete = 33 quoziete ivisore + resto = ivieo Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
3 Isieme ei umeri razioali Q - 3 Le ue facce el moo i Q Esegueo la ivisioe tra umeratore e eomiatore i ua qualsiasi frazioe, riotta ai miimi termii, e o apparete (el qual caso si ottiee u umero aturale) si possoo otteere umeri ecimali fiiti o illimitati a secoa ei casi (i umeri ecimali furoo itrootti solo el 1585 al matematico belga Simo Stevi). Per stabilire quale tipo i umero ecimale risulti all'operazioe i ivisioe tra ue umeri qualsiasi è sufficiete fare, come veremo, alcue cosierazioi sul solo eomiatore ella frazioe geeratrice. Frazioi ecimali ao origie a umeri ecimali fiiti; viceversa u umero ecimale fiito ammette ua frazioe geeratrice ecimale. I questo caso, ati ue umeri qualsiasi a e b, esegueoe la ivisioe ell orie ato si avrà, opo aver applicato u certo umero i volte l algoritmo i ivisioe, resto zero. q b = a esseo il resto pari a 0 Esempio: 6 : 2 = 3 resto 0, quii 3 2 = 6 Esempio: 12 : 5 = 2,4 resto 0, quii 2,4 5 = 12,0 Ua frazioe riotta ai miimi termii origia u umero ecimale fiito se il suo eomiatore, scomposto i fattori primi, cotiee solo i fattori 2 e/o 5. Frazioi o ecimali ao origie a umeri ecimali illimitati perioici. Le cifre che si ripetoo costituiscoo il perioo, metre le cifre comprese fra la virgola e il perioo si icoo atiperioo. Se c'è l'atiperioo, il umero si ice perioico misto (el umero 1, 243, per esempio, 1 è la parte itera, 2 l atiperioo e 43 il perioo), i caso cotrario si ice perioico semplice (el umero 1, 3, per esempio, il umero 1 è la parte itera e il 3 il perioo, maca l atiperioo). Si può risalire, ache i questo caso, alla frazioe geeratrice. Ua frazioe riotta ai miimi termii, origia u umero ecimale perioico semplice se il suo eomiatore, scomposto i fattori primi, cotiee solo fattori iversi a 2 e a 5. Ua frazioe riotta ai miimi termii, origia u umero ecimale perioico misto se il suo eomiatore, scomposto i fattori primi, cotiee i fattori 2 e/o 5 co altri iversi al 2 e al 5. I questo caso, ati ue umeri qualsiasi a e b, esegueoe la ivisioe ell orie si avrà opo aver applicato u certo umero i volte l algoritmo i ivisioe u resto che iuce la ripetizioe i ua sequeza i ua o più cifre. q b + r = a esseo il resto iverso a 0 quoziete ivisore + resto = ivieo Esempi: 1 : 3 = 0,3 resto 0,1, quii 0, ,1 = 1 17 : 5 = 3 resto 2, quii = 17 Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
4 Isieme ei umeri razioali Q - 4 Frazioe geeratrice Utilizzao l algoritmo i ivisioe è possibile trasformare ua frazioe el relativo umero ecimale. Utilizzao la regola seguete, che troverete imostrata più avati co egli esempi, è possibile risalire alla frazioe che ha geerato u umero ecimale, la sua frazioe geeratrice. Per trovare la frazioe geeratrice i u umero ecimale fiito si scrive ua frazioe che ha per umeratore il umero, preso seza la virgola, e per eomiatore l uità seguita a tati zeri quate soo le cifre ecimali. Esempi , , Per trovare la frazioe geeratrice i u umero ecimale perioico si scrive ua frazioe che ha per umeratore la iffereza tra il umero, preso seza la virgola, e il umero formato alle cifre che preceoo il perioo e per eomiatore tati ove quate soo le cifre che formao il perioo seguiti a tati zeri quate soo le cifre ell atiperioo , , , , Come si risalga, ache el caso meo immeiato ei perioici, alla frazioe geeratrice è frutto i ua serie i euzioi che soo i seguito illustrate co egli esempi. Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
5 Isieme ei umeri razioali Q - 5 Esempio 1 Sia / la frazioe geeratrice i 1, 3, moltiplicao per 10 i ue umeri eve essere 10 13,3 sottraeo / (ricora che / = 1, 3 ) e il umero ai ue termii otterremo 10 13,3 1,3 a cui 9 12 per arrivare a 12 9 Esempio 2 quii Sia / la frazioe geeratrice i 3, 12, moltiplicao per 100 i ue umeri eve essere , 12 sottraeo / e il umero ai ue termii otterremo , 12 3, 12 quii a cui per arrivare a Esempio 3 Per i umeri ecimali perioici misti sarà sufficiete esteere il ragioameto fatto per quelli semplici opo aver moltiplicato per ua poteza i 10 il umero i moo a trasformarlo i uo semplice (la poteza arà quii al eomiatore). Sia / la frazioe geeratrice i 312,, moltiplicao per 10 i ue umeri eve essere: 10 31, 2 e abbiamo ricootto l'aalisi al caso preceete. Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
6 Isieme ei umeri razioali Q - 6 Divisioe e liguaggi i programmazioe La ivisioe è iicata ei pricipali liguaggi i programmazioe e ei fogli i calcolo come sequeza i caratteri iframmezzati al simbolo / (esempio: 3/2=1.5). E possibile i alcui liguaggi i programmazioe eseguire ua ivisioe itera usao u altro simbolo come operatore (esempio: i VB 2 \ 3 = 1 ) o i altri otteere u itero proprio perché si presume che la ivisioi tra iteri sia itera (esempio: el liguaggio C scriveo 2/3 si ottiee 1 e o 1.5). E, ioltre, ispoibile u operatore moulo co cui si può otteere il resto ella ivisioe tra ue umeri (7 mo 3 = 1 oppure 7 % 3 = 1). Rappresetazioe ei umeri razioali sul piao cartesiao L isieme elle frazioi (Q) può essere rappresetato graficamete come prootto cartesiao ato all isieme elle coppie oriate i umeri aturali formati a umeratore e eomiatore. Per la rappresetazioe si usa u piao cartesiao che abbia i ascissa il umeratore e i oriata il eomiatore. Si vee come la bisettrice el quarate ivia la superficie reticolare i ue aree, ua co le frazioi proprie e ua co le frazioi improprie comprese le appareti. Ua classe i equivaleza costituisce ua semiretta su cui giaccioo tutte le frazioi equivaleti che vi appartegoo. La zoa i giallo cotiee tutte le frazioi proprie. Le frazioi elle classe i equivaleza ½ giaccioo tutte alla stessa semiretta (i colore rosso). La bisettrice el quarate rappreseta tutte le frazioi pari all uità e forma lo spartiacque tra le proprie (miori i 1) e le improprie (maggiori i 1). Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
7 FRAZIONE geeratrice Isieme ei umeri razioali Q - 7 eseguo la ivisioe Numero ecimale limitato eomiatore solo co i fattori 2 e/o 5 umeri ecimali illimitati. seza virgola co 0 tati quati le cifre ecimali Numero ecimale perioico semplice eomiatore seza il 2 e/o 5 Numero ecimale perioico misto eomiatore co ache il 2 e/o 5 (. seza virgola) - (o perioo*) tati quati le cifre el perioo (. seza virgola) - (o perioo*) tati quati le cifre el perioo e 0 tati quati le cifre ell'atiperioo FRAZIONE geeratrice eseguo la ivisioe Numero ecimale limitato 3/4 5/2 umeri ecimali illimitati perioici , ;, 10 2 semplice 2/3 16/3 misto 5/6 97/ , ;, * comprese la parte itera e le cifre ell atiperioo , ;, Copyright owe by Ubalo Perigo, please cotact: ubalo@perigo.com Tutti i coteuti, ove o iversamete iicato, soo coperti a liceza Creative Commos Attribuzioe-No commerciale-no opere erivate 3.0 Italia Licese: (Attributio-Nocommercial-No Derivative Works 3.0) La riprouzioe i tutto o parte ei coteuti potrao avveire solo seza alcu scopo i lucro e ovrao riportare l attribuzioe all autore e u lik a UbiMath e/o a quella ell autore/i origiario.
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