Matematica C3, Algebra 2

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1 Mtemtic C Algebr Relese Mrch 0

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3 Contents Numeri reli. Di numeri nturli i numeri irrzionli Numeri reli Confronto fr numeri reli Richimi sul vlore ssoluto Definizione Proprietà del vlore ssoluto Esercizi Numeri reli Vlore ssoluto Rdicli. Rdici Rdici qudrte Rdici cubiche Rdici n-esime Condizioni di esistenz Potenze esponente rzionle Cso con esponente positivo Cso con esponente negtivo Semplificzione delle rdici Moltipliczione e divisione di rdici Moltipliczione e divisione di rdici con lo stesso rdicndo Moltipliczione e divisione di rdici con lo stesso indice Moltipliczione e divisione di rdici con indici diversi Portre un fttore sotto il segno di rdice Portre uno o più fttori fuori dl segno di rdice Potenz di rdice e rdice di rdice Potenz di rdice Rdice di rdice Somm di rdicli Rzionlizzzione del denomintore di un frzione Rdicli doppi Equzioni disequzioni e sistemi coefficienti irrzionli Equzioni di primo grdo Disequzioni di primo grdo Sistemi di primo grdo Esercizi i

4 .. Rdici Condizioni di esistenz Potenze esponente rzionle Semplificzione delle rdici Moltipliczione e divisione di rdici con indici diversi Portre uno o più fttori fuori dl segno di rdice Potenz di rdice e rdice di rdice Somm di rdicli Rzionlizzzione del denomintore di un frzione Rdicli doppi Equzioni disequzioni e sistemi coefficienti irrzionli Esercizi di riepilogo Indici e tvole ii

5 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 MATEMATICA C-ALGEBRA. NUMERI REALI E RADICALI Jonycunh Ponto de convergenci Contents

6 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 Contents

7 CHAPTER Numeri reli. Di numeri nturli i numeri irrzionli Nel volume Algebr bbimo presentto i diversi insiemi numerici. Li riprendimo brevemente per poi pprofondire i numeri reli e le loro proprietà. L insieme dei numeri nturli rcchiude i numeri che utilizzimo per contre; si indic nel seguente modo: N { } Su questi numeri sono definite le seguenti operzioni: ddizione: n + m è il numero che si ottiene prtendo d n e continundo contre per ltre m unità; sottrzione: n m è il numero se esiste ed è unico che ddizionto m dà come risultto n ; moltipliczione: nm è il numero che si ottiene sommndo n volte m o meglio sommndo n ddendi tutti uguli m ; divisione: n m è il numero se esiste ed è unico che moltiplicto per m dà come risultto n ; potenz: n m è il numero che si ottiene moltiplicndo m fttori tutti uguli n con m ponendo n n e n 0 ; rdice: n m con n è il numero se esiste ed è unico che elevto n dà come risultto m. L ddizione l moltipliczione e l potenz sono definite su tutto l insieme dei numeri nturli cioè dti due numeri nturli qulsisi n ed m l somm n + m e il loro prodotto n m è sempre un numero nturle; l potenz n m escluso il cso 0 0 è un numero nturle. Non sempre invece è possibile clcolre l differenz n m il quoziente n m o l rdice n m. Tuttvi dl punto di vist prtico-pplictivo molto spesso si incontrno situzioni nelle quli occorre eseguire sempre operzioni. Inizimo dll operzione di sottrzione. Sppimo che in tnte situzioni di ntur economic m non solo deve essere possibile sottrrre un numero d uno più piccolo. Deve essere possibile per esempio comprre un uto che cost 000 euro nche qundo in bnc possedimo solo euro. Deve quindi essere possibile eseguire un sottrzione del tipo Il risultto di quest operzione non v poi confuso con il risultto di Nel secondo cso inftti signific che sul nostro conto corrente bbimo 000 euro e dobbimo spenderne 0000 ci rimngono quindi.000 euro. Nel primo cso invece possedimo 0000 euro e dobbimo pgre 000 euro ci rimne un debito di 000 euro. Per distinguere i due tipi di numeri i mtemtici mettono dvnti l numero il segno + o il segno. Si gener così l insieme dei numeri reltivi Z { } Su questi numeri l operzione di sottrzione è ovunque definit in ltre prole è possibile eseguire tutte le sottrzioni.

8 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 Non è invece possibile eseguire sempre le divisioni. Oltre i csi n 0 e 0 0 non è possibile con i numeri interi eseguire l divisione. Esistono però tnte situzioni reli in cui un divisione di questo tipo deve poter essere eseguit. Per esempio è possibile dividere in prti uguli uov in persone bst fre un frittt in un pdell tond e dividere l frittt in quttro prti uguli ciscun toccno di uovo. Deve essere possibile dividere in prti uguli euro tr persone. Dopo ver notto che nessuno tocc euro intero si procede cmbire le monete d euro in monete d decimo di euro si cmbino quindi i euro con 0 decimi di euro. Dividendo le 0 monete in prti uguli risult che ciscuno riceve 7 monetine e ne vnzno. Per dividere le monete d un decimo si cmbino in monete d un centesimo ottenendo 0 centesimi di euro. Si dividono llor le 0 monetine in prti uguli ciscuno vrà centesimi di euro. In tutto ciscuno toccno 7 centesimi di euro. Per rppresentre il risultto di queste due operzioni di divisioni bbimo usto nel primo cso l notzione frzionri e nel secondo cso l notzione decimle 0 7. Le due scritture sono perfettmente equivlenti. Per risolvere tutti i problemi di divisione i mtemtici hnno costruito l insieme dei numeri rzionli che indichimo nel seguente modo: Q { n m n Z m N m 0} { } Con questi numeri è possibile sempre eseguire l ddizione l sottrzione l moltipliczione l divisione (d eccezione dell divisione per 0) l potenz. Non sempre invece è possibile eseguire l estrzione di rdice. Per esempio hi già conosciuto il numero cioè il numero che elevto l qudrto dà ; esso non è un numero rzionle cioè non può essere scritto né sotto form di frzione né sotto form di numero decimle finito o periodico. I numeri di questo tipo si dicono numeri irrzionli. Abbimo già ffrontto questo problem nel volume di Algebr ; per comodità del lettore riportimo il rgionmento. Fissimo sull rett orientt r l unità di misur e disegnimo un qudrto di lto. Ci proponimo di clcolre l misur dell su digonle: 0 Il tringolo OAB è rettngolo in A quindi per il teorem di Pitgor OB OA + AB. Sostituimo le misure: OB + ; per ottenere OB dobbimo estrrre l rdice qudrt di cioè OB. Sppimo che estrrre l rdice qudrt di un numero signific trovre quel numero che elevto l qudrto dà ; questo numero deve esistere perché è il numero che esprime l misur dell digonle OB del qudrto per costruirlo grficmente si può trccire l rco di circonferenz di centro O e rggio OB e determinndo su r il punto k estremo del segmento con OK OB. Dll posizione del punto K possimo dire che < <. Il vlore cercto evidentemente non è un numero intero. Può essere un numero decimle finito? Compilimo un tbell che conteng nell prim rig i numeri con un sol cifr decimle compresi tr e e nell second rig i rispettivi qudrti: Tble.: Tbell x x 9 9 Osservimo che il numero è compreso tr e di conseguenz < < m ncor non possimo precisre il suo vlore nche se bbimo ristretto l intervllo in cui si trov il punto K. Dicimo che è un vlore pprossimto per difetto di mentre è un vlore pprossimto per eccesso; scrivendo oppure Chpter. Numeri reli

9 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 commettimo un errore minore di /0. Per migliorre l pprossimzione e tentre di ottenere come numero rzionle costruimo l tbell dei numeri decimli con due cifre compresi tr e : Tble.: Tbell x 0 x Nessuno dei numeri elencto è quello che stimo cercndo tuttvi possimo concludere che < <. Possimo dire che è un vlore pprossimto per difetto di mentre è un vlore pprossimto per eccesso con un errore dell ordine di /00. Abbimo quindi migliorto l pprossimzione m ncor non bbimo trovto un numero rzionle che si ugule. È possibile continure indefinitmente questo procedimento ottenendo vlori decimli che pprossimno sempre meglio. Continundo con lo stesso procedimento costruimo due clssi di numeri rzionli che pprossimno un per difetto e un per eccesso il numero cercto migliorndo ogni pssggio l pprossimzione. Il procedimento purtroppo sembr non finire mi né trovimo cifre che si ripetono periodicmente. Tble.: Tbell Vlore per difetto Numero Vlore per eccesso Ordine dell errore Per rrivre concludere che non è un numero rzionle possimo rgionre nel seguente modo. Supponimo per ssurdo che si un numero rzionle e precismente b e b primi tr loro; si vrebbe elevndo l qudrto. Se si elev un numero l qudrto signific elevre l qudrto le singole potenze dei fttori primi in cui b questo si scompone. I fttori primi di e di b sono gli stessi di e di b con gli esponenti rddoppiti. Quindi nche e b sono primi tr di loro e non può essere il doppio di b. Quindi e b b. Oltre vi sono ltri infiniti numeri che non possono essere scritti come frzione. Per esempio tutte le rdici qudrte di numeri nturli che non sono qudrti perfetti e tutte le rdici qudrte di frzioni che non sono il qudrto di lcun frzione. M nche le rdici cubiche del tipo 7... Un ltro fmoso numero irrzionle che si incontr nelle misure geometriche è il numero π che corrisponde ll misur dell circonferenz di dimetro. Questi numeri sono detti numeri irrzionli e insieme d ltri come π ed ltri ncor che conoscerete in seguito costituiscono l insieme J dei numeri irrzionli. L unione degli insiemi Q e J è l insieme R dei numeri reli.. Numeri reli In bse qunto bbimo detto prim essendo R Q J i numeri reli sono tutti quei numeri che si possono scrivere in form decimle con un numero finito o infinito di cifre non necessrimente periodiche. Per esempio l frzione 7 è ugule l numero decimle finito 0. L frzione 7 è ugule l numero decimle periodico Il numero π è invece un numero decimle infinite cifre non periodico. Riportimo lcune cifre: π Numeri reli

10 Mtemtic C Algebr Relese Nonostnte i numeri irrzionli sino stti scoperti dllo stesso Pitgor o di suoi llievi nel IV secolo.c. solo nel XIX secolo Augustin-Louis Cuchy e Richrd Dedekind sono giunti un formulzione rigoros di numeri reli. In effetti ssumere che i numeri reli sono tutti quelli che si possono scrivere in form decimle finit o infinit del tipo r n + 0 bcde f g... dove r è il numero rele n è l prte inter e 0 bcd... è l prte decimle comport dei problemi. Per esempio i numeri interi hnno un doppi rppresentzione: A ben osservre tutti i numeri decimli finiti mmettono l doppi rppresentzione: Occorre quindi lmeno escludere i numeri decimli con il 9 periodico. Oltre questo problem rimne l difficoltà di eseguire le operzioni tr numeri decimli illimitti. Gli lgoritmi per ddizionre sottrrre e moltiplicre due numeri richiedono di comincire dll ultim cifr cos che non è possibile per i numeri decimli che non finiscono mi. Altro problem non semplice d gestire è il ftto che un definizione di questo tipo è strettmente legt l sistem di numerzione bse 0 che noi utilizzimo. Già nel volume Algebr nel prgrfo sulle relzioni di equivlenz bbimo visto come i mtemtici hnno potuto costruire l insieme Z degli interi reltivi ptire dll insieme di coppie ordinte di N N e l insieme Q dei rzionli reltivi prtire dll insieme di coppie ordinte di Z Z 0. L questione questo punto è: possimo costruire l insieme dei numeri reli prtire dll insieme dei numeri rzionli Q? Per rppresentre il numero bbimo costruito un insieme che bbimo indicto con A di numeri rzionli il cui qudrto è minore di e un insieme che bbimo indicto con B di numeri rzionli il cui qudrto è mggiore di. Sembr llor che il numero spezzi l insieme dei numeri rzionli Q in due prti: quell dei numeri rzionli tli che < e quell dei numeri rzionli b tli che b >. L coppi di insiemi (A B) crtterizz il numero possimo nzi identificre con l coppi (A B). É proprio quest l ide ll bse del rgionmento del mtemtico tedesco Dedekind (8-9). Dedekind chim sezione o prtizione di Q un coppi di sottoinsiemi non vuoti A e B che devono soddisfre le condizioni: A B ; A B Q; A b B < b. Considerimo i due insiemi A e B così definiti: A {x Q x < } B {x Q x }. Essi definiscono un sezione di Q inftti A B ; A B Q e ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B; inoltre possimo osservre che A non mmette mssimo non essendoci in esso un numero che si mggiore di tutti gli ltri mentre B mmette il minimo che è. Sino A {x Q x < } B {x Q x > 0} l coppi (A B) non è un sezione di Q perché pur essendo A B non è A B Q. Sino A { x Q x 7} B { x Q x 7} nche in questo cso l coppi (A B) non è un sezione di Q poiché A B { 7}. Costruimo gli insiemi A e B nel seguente modo: A si l unione tr l insieme dei numeri rzionli negtivi e tutti i rzionli il cui qudrto è minore di in B mettimo tutti i rzionli il cui qudrto è mggiore di. A Q { x Q x < } B { x Q x > }. Si h A B ; A B Q inoltre ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B dunque (A B) è un sezione di Q m A non possiede il mssimo e B non possiede il minimo in qunto bbimo già dimostrto che non esiste un numero rzionle che h come qudrto. Quest sezione individu un buco nell insieme Q. Gli esempi visti ci permettono di ffermre che un prtizione (A B) può essere di tre tipi: A mmette mssimo e B non mmette minimo; A non mmette mssimo e B mmette minimo; A non mmette mssimo e B non mmette minimo. DEFINIZIONE. Si chim elemento seprtore di un prtizione (A B) di Q il mssimo di A o il minimo di B nel cso in cui lmeno uno di questi elementi esist. Chpter. Numeri reli

11 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 Nel primo esempio poiché esiste il minimo di B l prtizione (A B) mmette un elemento seprtore e identific il numero rzionle. Nel qurto esempio non esiste un numero rzionle che f d elemento seprtore l sezione (A B) identific un numero irrzionle. DEFINIZIONE. L insieme R dei numeri reli è l insieme di tutte le prtizioni di Q. Chimimo numero rzionle le prtizioni che mmettono elemento seprtore chimimo **numero irrzionl**e le sezioni che non mmettono elemento seprtore. Ogni numero rele è individuto d due insiemi di numeri rzionli: nel primo tutte le pprossimzioni per difetto e nell ltro tutte le pprossimzioni per eccesso. Ritornndo ll esempio precedente il numero è individuto dll sezione costituit dgli insiemi A { x Q x < 0 oppurex < } e B { x Q x > }. Nell insieme A ci sono tutti i numeri rzionli negtivi oltre quelli che pprossimno per difetto: A {; ; ; ; ; ;... }. Nell insieme B ci sono tutti i numeri rzionli che pprossimno per eccesso: B {; ; ; ; ; ; ;... }. Quest costruzione dell insieme dei numeri reli R prtire dll insieme dei numeri rzionli Q è purmente strtt e formle non serve l clcolo vuole solo concludere il cmmino intrpreso per costruire tutti gli insiemi numerici prtire dll insieme dei numeri nturli N. Dl punto di vist teorico è possibile definire nell insieme delle prtizioni di Q l ordinmento e le operzioni. Dl punto di vist del clcolo useremo le pprossimzioni. DEFINIZIONE. Un insieme X si dice continuo se ogni prtizione ( X X ) di X mmette uno e un solo elemento seprtore cioè se esiste un elemento x pprtenente X tle che per ogni x di X e per ogni x di X si h x x x. TEOREMA DI DEDEKIND. Ogni prtizione dell insieme R di numeri reli mmette uno e uno solo elemento seprtore. D questo teorem segue che il numero rele è definito come l elemento seprtore di un sezione (AB) di numeri reli. POSTULATO DI CONTINUITÀ DELLA RETTA. Esiste un corrispondenz biunivoc tr l insieme dei punti dell rett geometric e l insieme R dei numeri reli. D questo postulto segue l possibilità di definire sull rett un sistem di coordinte: d ogni punto corrisponde un numero rele (l su sciss) e vicevers d ogni numero rele è ssocito uno e un solo punto sull rett; nlogmente si h nel pino dove il sistem di ssi crtesino permette di relizzre un corrispondenz biunivoc tr coppie di numeri reli (sciss e ordint del punto) e un punto del pino geometrico. Vedrete in seguito che l possibilità di ssocire numeri e punti si estende nche llo spzio geometrico... Confronto fr numeri reli Per confrontre due numeri reli osservimo prim di tutto i segni. Se i segni dei numeri sono discordi il numero negtivo è minore del numero positivo. Se i segni dei numeri sono concordi si vlut l prte inter del numero: se sono positivi è più grnde quello che h l prte inter mggiore vicevers se sono negtivi è più grnde quello che h l prte inter minore. A prità di prte inter bisogn confrontre l prte decimle prtendo dlle cifre più sinistr finché non si trov l prim cifr decimle divers: se i numeri sono positivi è mggiore quello che h l cifr mggiore; se sono negtivi è mggiore quello che h l cifr minore... Numeri reli 7

12 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 < per verificrlo ci si può iutre con l clcoltrice per clcolre le prime cifre decimli dei due numeri ; oppure ci si rriv osservndo che il numero che elevto l qudrto dà deve essere minore del numero che elevto l qudrto dà. 99 < 0 per verificrlo è sufficiente osservre che Richimi sul vlore ssoluto.. Definizione Si definisce vlore ssoluto di un numero rele si indic con il numero stesso se è positivo o nullo il suo opposto se è negtivo. { se 0 se < 0 Il numero si dice rgomento del vlore ssoluto Proprietà del vlore ssoluto x + y x + y Il vlore ssoluto dell somm di due numeri è minore o ugule dell somm dei vlori ssoluti dei due numeri. Si h l uguglinz solo qundo i due numeri reli hnno lo stesso segno oppure qundo lmeno uno dei due numeri è nullo. x y x + y Il vlore ssoluto dell differenz di due numeri è minore o ugule dell somm dei vlori ssoluti dei due numeri. x y x y Il vlore ssoluto del prodotto di due numeri è ugule l prodotto dei vlori ssoluti dei due numeri. x y x y Il vlore ssoluto del rpporto di due numeri è ugule l rpporto dei vlori ssoluti dei due numeri. { f (x) se f (x) 0 In generle se l rgomento del vlore ssoluto è un funzione f (x) si h f (x) f (x) se f (x) < in entrmbi i csi si ottiene 8 + ( ) mentre + 8 pertnto + ( ) < + { x se x x x + se x < x x inftti x è un quntità sempre non negtiv. + + inftti è sempre positivo umentto di srà sempre >0. Nelle espressioni contenenti vlori ssoluti di rgomento letterle si deve cercre di eliminre il vlore ssoluto. 8 Chpter. Numeri reli

13 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 f () + + cquist due significti second che l rgomento { del vlore ssoluto si non negtivo o + + se + 0 negtivo. L su espressione lgebric è f () + + ( + ) + se + < 0 < { + se se < Un funzione di questo tipo si dice definit per csi. Elimin il segno di vlore ssoluto dlle seguenti espressioni esplicitndo i csi come nell esempio { x se x 0 x f (x) x (x ) se x < 0 x < f (x) x + x + ; l presenz di due vlori ssoluti ci obblig studire i csi generti dl segno dei singoli rgomenti. Pertnto poiché l rgomento del primo vlore ssoluto è non negtivo per x e l rgomento del secondo vlore ssoluto è non negtivo per x possimo porre l reciproc situzione in un grfico: L insieme dei numeri reli rest diviso in tre intervlli:. x < in questo intervllo entrmbi gli rgomenti sono negtivi pertnto f (x) x + x + x+ x x +.Se x si h f ( ) < x < il primo rgomento è negtivo e il secondo è positivo pertnto f (x) x + x + x++x+ 7. Se x si h f () x > entrmbi gli rgomenti positivi pertnto f (x) x + x + x + x + x. x + se x < Possimo llor sintetizzre in questo modo f (x) x + x + 7 se x < x se x. Esercizi.. Numeri reli. Dimostr con un rgionmento nlogo quello ftto per che non è rzionle.. Per ciscuno dei seguenti numeri reli scrivi un sequenz di lmeno sei numeri rzionli che lo pprossimno per difetto e sei numeri rzionli che lo pprossimno per eccesso come nell esempio: : A { ; 7; 7; 7; 70; 70;...}B { ; 8; 7; 7; 7; 70;... } : A { }B { } 7 : A { }B { } : A { }B { }.. Esercizi 9

14 Mtemtic C Algebr Relese 0.0. Per ciscuno dei seguenti numeri reli scrivi un sequenz di lmeno sei numeri rzionli che lo pprossimno per difetto e sei numeri rzionli che lo pprossimno per eccesso: +.. Determin per ciscuno dei seguenti numeri irrzionli i numeri interi tr i quli è compreso.o: < 0 < () Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reli: π Rppresent con un digrmm di Eulero-Venn l insieme dei numeri reli R suddividilo nei seguenti sottoinsiemi: l insieme dei numeri nturli N l insieme dei numeri interi reltivi Z l insieme dei numeri rzionli Q l insieme J dei numeri irrzionli. Disponi in mnier opportun i seguenti numeri: π 0 7. Indic il vlore di verità delle seguenti ffermzioni () un numero decimle finito è sempre un numero rzionle;tb;v F (b) un numero decimle illimitto è sempre un numero irrzionle;tb;v F (c) un numero decimle periodico è un numero irrzionle;tb;v F (d) l somm lgebric di due numeri rzionli è sempre un numero rzionle;tb;v F (e) l somm lgebric di due numeri irrzionli è sempre un numero irrzionle;tb;v F (f) il prodotto di due numeri rzionli è sempre un numero rzionle;tb;v F (g) il prodotto di due numeri irrzionli è sempre un numero irrzionle;tb;v F.. Vlore ssoluto. Clcol il vlore ssoluto dei seguenti numeri: ( ) + ( ). Due numeri reli x ed y sono entrmbi non nulli e di segno opposto.. Come nell esempio elimin il segno di vlore ssoluto dlle seguenti espressioni sostituendole con un funzione definit per csi: f (x) x + f (x) x f (x) x + f (x) (x + ) f (x) x f (x) x f (x) x x + 8 f (x) x + x + 0 Chpter. Numeri reli

15 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 f (x) x+ x+ f (x) x+ x f (x) x + + x f (x) x + + x f (x) x + x f (x) x + x + f (x) x+ + x+ x+ f (x) x+ + x+ x+ x+. Verific le seguenti relzioni sostituendo l posto di x e y opportuni vlori.quli delle relzioni sono vere in lcuni csi e flse in ltri quli sono sempre vere quli sono sempre flse? x < y x y x < y x + y < x + y x y < x y x y x y Risultti: ) dipende d x e y; b) dipende d x e y; c) dipende d x e y; d) sempre ver; e) sempre ver; f) sempre fls... Esercizi

16 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 Chpter. Numeri reli

17 CHAPTER Rdicli. Rdici.. Rdici qudrte Ricordimo che il qudrto di un numero rele r è il numero che si ottiene moltiplicndo r per se stesso. Il qudrto di un numero è sempre un numero non negtivo; numeri opposti hnno lo stesso qudrto: (+) 9 ; ( ) + ; ( ) (+) +. L operzione invers dell elevmento l qudrto si chim rdice qudrt. L rdice qudrt di un numero rele è llor quel numero che elevto l qudrto cioè che moltiplicto per se stesso dà il numero. Osservimo che non esiste l rdice qudrt di un numero negtivo poiché non esiste nessun numero che elevto l qudrto poss dre come risultto un numero negtivo. DEFINIZIONE. Si dice rdice qudrt di un numero rele positivo o nullo quel numero rele positivo o nullo che elevto l qudrto dà come risultto il numero dto. In simboli b b dove b R + {0}. Il simbolo None è il simbolo dell rdice qudrt; il numero è detto rdicndo il numero b è detto rdice qudrt di. Dll definizione con 0. Per esempio 8 9 perché 9 8 ; 9 8 perché 8 ) 9. Osserv or che 8 ( 9) m non è vero che ( 9) 9 perché nell definizione di rdice qudrt bbimo imposto che il risultto dell operzione di rdice qudrt si sempre un numero positivo o nullo. Per confrontre due numeri reli osservimo prim di tutto i segni. Se i segni dei numeri sono discordi il numero n Quest osservzione ci induce porre molt ttenzione qundo il rdicndo è un espressione letterle: in questo cso non è del tutto corretto poiché può ssumere si vlori positivi si vlori negtivi. Scriveremo correttmente. inftti 9 inftti ) inftti inftti

18 Mtemtic C Algebr Relese inftti 0 0 non esiste rdicndo negtivo. esiste m non è un numero intero né rzionle è un numero irrzionle. x x dobbimo mettere il vlore ssoluto l risultto perché non conoscendo il segno di x dobbimo imporre che il risultto si sicurmente positivo. + ( ) dobbimo mettere il vlore ssoluto perché - può nche essere negtivo. 9(x + ) x +.. Rdici cubiche Definizione: Si dice rdice cubic di un numero rele quel numero che elevto l cubo dà come risultto. In simboli b b dove b R. Puoi notre che l rdice cubic di un numero rele esiste sempre si per i numeri positivi o nulli si per i numeri negtivi. 8 inftti ( ) 8 inftti inftti 0 0 inftti inftti ( 0) inftti ) inftti (0 ) 0 x x per le rdici cubiche non si deve mettere il vlore ssoluto x + x + x + (x + ) x + non si deve mettere il vlore ssoluto Osserv che l rdice cubic di un numero mntiene sempre lo stesso segno del numero in qunto il cubo di un numero rele conserv sempre il segno dell bse... Rdici n-esime Oltre lle rdici qudrte e cubiche si possono considerre rdici di indice qulsisi. Si prl in generle di rdice n-esim per indicre un rdice con un qulsisi indice n. DEFINIZIONE. Si dice rdice n-esim di un numero rele quel numero b che elevto d n dà come risultto. In simboli n b b n con n N n. Non si definisce l rdice di indice 0 : l scrittur 0 è priv di significto. All scrittur si dà il vlore. Qundo si trtt con le rdici n-esime di un numero rele bisogn fre ttenzione se l indice dell rdice è pri o dispri. Si presentno inftti i seguenti csi: se l indice n è dispri n è definit per qulsisi vlore di R inoltre è negtiv se < 0 positiv se > 0 e null se 0 ; Chpter. Rdicli

19 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 se l indice n è pri inftti non esiste inftti ( ) + n è definit solo per i vlori di 0 e si h che n 0. inftti inftti n 0 0 inftti ( ) x x v messo il vlore ssoluto perché l indice dell rdice è pri x x non v messo il vlore ssoluto perché l indice dell rdice è dispri.. Condizioni di esistenz Qundo il rdicndo è un espressione letterle dobbimo fre molt ttenzione operre su di esso. Le condizioni di esistenz in breve si può scrivere C.E. di un rdicle con rdicndo letterle sono le condizioni cui devono soddisfre le vribili che compiono nel rdicndo ffinché l rdice bbi significto. Supponimo di vere n A(x) con A(x) polinomio nell indetermint x dobbimo distinguere i seguenti csi: se n è pri l rdice esiste per tutti i vlori di x che rendono non negtivo il rdicndo cioè C.E. A(x) 0 se n è dispri l rdice esiste per qulsisi vlore dell vribile x purché esist il rdicndo stesso. x ;tb;c.e. x 0 x ;tb;c.e. x R x ;tb;c.e. x 0 x ;tb;c.e. x R x ;tb;c.e. x 0 x + ;tb;c.e. R inftti è sempre positivo pertnto + > 0 R x+ ;tb; C.E. L rdice cubic è definit per vlori si positivi si negtivi del rdicndo tuttvi bisogn comunque porre l condizione che il denomintore dell frzione non si nullo quindi C.E. x + 0 x. xy ;tb;c.e xy 0 x + x + ;tb;c.e. x esiste per x 0 x + esiste per x + 0 per individure le condizioni di esistenz dell espressione occorre risolvere il sistem { x 0 x + 0 cioè { x 0 x.. Condizioni di esistenz

20 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 In definitiv C.E. x 0. x x x+ ;tb;c.e. x+ 0 Occorre discutere il segno dell frzione Pertnto C.E. x < x ( ) ;tb;poiché l rdice h indice dispri non occorre porre lcun condizione di esistenz.. Potenze esponente rzionle In questo prgrfo ci proponimo di scrivere l rdice n-esim di un numero rele 0 sotto form di potenz di voglimo cioè che si: n x.. Cso con esponente positivo Elevndo mbo i membri dell uguglinz ll potenz n ottenimo: n ) n ( x ) n d cui si ottiene nx Trttndosi di due potenze con bse 0 l uguglinz è res possibile solo se sono uguli gli esponenti. In ltre prole deve essere: n x x n Possimo quindi scrivere: n n Vedimo or di generlizzre l formul. Si m un numero intero positivo possimo scrivere m n n ) m Pertnto possimo scrivere che m n n ) m Clcol 7 Si h che 7 7 ) 9 Clcol Si h che ).. Cso con esponente negtivo Per definire l potenz d esponente rzionle negtivo è necessrio imporre l restrizione 0 inftti risult: m n m n ) m n 7 7 ) 9 Chpter. Rdicli

21 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 ( ) ( ) ) 8) 8 8 ( ) 9 ) 9 (9) 9 7 In generle si dà l seguente DEFINIZIONE. Si dice potenz esponente rzionle m n di un numero rele positivo l espressione: m n n m ) n m con m n Q Perché bbimo dovuto imporre l condizione che si un numero positivo? Prtimo dll espressione n con n N {0} se n è dispri l potenz n è sempre definit per ogni vlore dell bse mentre se è pri n è definit solo per 0. Nel cso generle m n con m n Q l formul m n n ) m è fls se < 0. Inftti fccimo un esempio: ( ) { ( ) } ) che non è definit nei numeri reli perché non esiste l rdice sest di un numero negtivo. Tuttvi possimo nche scrivere ( ) { ( ) } () Arrivimo pertnto due risultti differenti. Per estendere l definizione l cso di bsi negtive srebbe necessrio stbilire un ordine di priorità delle operzioni m ciò ndrebbe contro l proprietà commuttiv del prodotto degli esponenti di un potenz di potenz.. Semplificzione delle rdici PROPOSIZIONE. Il vlore di un rdice in R + {0} non cmbi se moltiplichimo l indice dell rdice e l esponente del rdicndo per uno stesso numero intero positivo. n In simboli m nt mt con 0 m n t N {0} bbimo moltiplicto per indice dell rdice ed esponente del rdicndo. 9 bbimo moltiplicto per indice dell rdice ed esponente del rdicndo PROPOSIZIONE. Il vlore di un rdice in R + {0} non cmbi se dividimo l indice dell rdice e l esponente del nt rdicndo per un loro divisore comune.in simboli mt n m con 0 m n t N {0} bbimo semplificto per indice dell rdice ed esponente del rdicndo. 0 bbimo semplificto per. 7 9 non è riducibile perché indice dell rdice ed esponente non hnno divisori comuni. 8 8 semplificndo l frzione dell esponente ) 9 9 ( ) 0 semplificndo per indice dell rdice ed esponente del rdicndo si h Semplificzione delle rdici 7

22 Mtemtic C Algebr Relese scomponendo in fttori primi ottenimo osservimo che tutti gli esponenti del rdicndo e l indice dell rdice hnno un divisore quindi 90 nt Se il rdicndo è un espressione letterle quindi si positiv che negtiv dobbimo scrivere mt { n m se l potenz t che bbimo semplificto è dispri n m se t è pri x y x y x y bbimo semplificto per si l indice dell rdice che l esponente del rdicndo. + + ( + ) + Dopo ver riconosciuto che il rdicndo è il qudrto del binomio bbimo semplificto per gli indici. x y xy ; x + xy + y (x + y) x + y ; x + y non è semplificbile perché il rdicndo non può essere espresso sotto form di potenz. (x ) x L proprietà invrintiv si può pplicre per semplificre i rdicli se l bse del rdicndo è positiv o null se fosse negtiv si potrebbe perdere l concordnz del segno. Per esempio 0 ( ) ( ) inftti il primo rdicndo è positivo mentre il secondo è negtivo. Invece 9 ( ) perché in questo cso l concordnz del segno è conservt inftti pur essendo l bse negtiv l esponente rest dispri conservndo il segno dell bse. Se il rdicndo h bse negtiv e nell semplificzione il suo esponente pss d pri dispri è necessrio mettere il 0 rdicndo in vlore ssoluto: ( ). Se il rdicndo è letterle si segue l stess procedur: ogni volt che studindo il segno del rdicndo si trov che l bse può essere negtiv se l esponente del rdicndo pss d pri dispri si mette il modulo per grntire l 0 x concordnz del segno: x C.E: x può ssumere qulunque vlore rele.. Moltipliczione e divisione di rdici Prim di operre con i rdicli letterli è necessrio determinre le condizioni di esistenz: il prodotto di due rdicli esiste là dove sono soddisftte le condizioni di esistenz di tutti i fttori; il quoziente esiste là dove sono soddisftte le condizioni di esistenz di dividendo e divisore con il divisore diverso d zero... Moltipliczione e divisione di rdici con lo stesso rdicndo Per effetture l moltipliczione o l divisione tr rdici venti lo stesso rdicndo si possono trsformre le rdici in form di potenze con esponente rzionle e utilizzre le proprietà delle potenze Moltipliczione e divisione di rdici con lo stesso indice Il prodotto di due rdici che hnno lo stesso indice è un rdice che h per indice lo stesso indice e per rdicndo il prodotto dei rdicndi: 8 Chpter. Rdicli

23 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 n n b n b Allo stesso modo il quoziente di due rdici che hnno lo stesso indice è un rdice che h per indice lo stesso indice e per rdicndo il quoziente dei rdicndi: n n b n b n n b n b Anche per rendersi conto di quest proprietà si possono trsformre le rdici in potenze d esponenti rzionli e pplicre le proprietà delle potenze: n n b n b n (b) n n b n n b n b n ) n b n b b b 9 C.E. 0 b > 0 b b 9 b 9 b 9 b b.. Moltipliczione e divisione di rdici con indici diversi Per moltiplicre o dividere rdici con indici differenti è necessrio prim ridurre le rdici llo stesso indice cioè trsformrle in rdici equivlenti con lo stesso indice usndo l proprietà invrintiv. Dopo ver ottenuto rdici con lo stesso indice si pplic l regol precedente. Procedur per ridurre due o più rdici llo stesso indice:. scomporre in fttori irriducibili tutti i rdicndi;. porre le condizioni di esistenz;. clcolre il minimo comune multiplo tr gli indici delle rdici;. per ciscun rdice dividere il m.c.m. per l indice dell rdice e moltiplicre il quoziente trovto per l esponente del rdicndo. Gli indici delle rdici sono e il loro m.c.m. è il primo rdicndo v elevto : cioè mentre il secondo rdicndo v elevto : cioè 8 7 Il m.c.m. tr gli indici delle rdici è. Il primo rdicndo v elevto :; il secondo rdicndo v elevto :; il terzo v elevto :. 9 9 x y xy x y x 7 y x x y y x+ x +x C.E. x > 0 y > 0. Il m.c.m. degli indici delle rdici è quindi: x x+ x Scomponimo in fttori i rdicndi (x+) (x ) (x+) (x ) x y xy x y Ponimo le C.E. x + 0 (x ) > 0 x (( > 0 x > ) ( < 0 x < )) Semplifichimo le frzioni di ciscun rdicndo x+ x ( ) ( ) 9 9 (x y) (xy) x y x y x y x y.. Moltipliczione e divisione di rdici 9

24 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 Trsformimo nello stesso indice: il m.c.m. degli indici è quindi (x ) (x+) x x x+ x x + x Scomponimo in fttori i rdicndi x (x ) (x ) (x+) (x+)(x ) x+) x ) (x+) Determinimo le C.E. (x )(x + ) > 0 x < x >. L operzione che dobbimo eseguire è un divisione e dunque il divisore deve essere diverso d zero quindi x x comunque già implicite nelle C.E. trovte (x ) Semplifichimo i rdicndi x (x ) (x ) (x + ) [ ] Riducimo llo stesso indice: il m.c.m. degli indici è x (x ) (x ) (x + ) Ponimo sotto l stess rdice x 8 x 8 (x ) 8 (x ) (x+) (x ) (x+).. Portre un fttore sotto il segno di rdice Per portre un fttore dentro il segno di rdice bisogn elevrlo ll indice dell rdice: n b n n b se n pri e 0 n b n n b se n pri e < 0 n b n n b se n dispri Ricordndo che bbimo posto portre un fttore sotto rdice equivle svolgere l moltipliczione tr un rdice di indice e un rdice di indice qulsisi. portre il dentro il segno di rdice;tb; lscimo fuori dll rdice il segno meno ) 9 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ) b b l indice dell rdice è dispri pertnto si port sotto rdice senz lcun condizione. 0 Chpter. Rdicli

25 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 (x ) x (x ) x l indice dell rdice è dispri non sono necessrie condizioni sull x. (x ) y osservimo che il rdicle esiste per y 0.Per portre dentro il segno di rdice il coefficiente (x-) bisogn fre l distinzione: (x ) (x ) y se x y { ( x) y ( x) y se x < (x ) x Il rdicle esiste per x 0 x per questi vlori il coefficiente esterno (x-) è positivo e può essere portto dentro l rdice (x ) x (x ) (x ). + + Determinimo le condizioni di esistenz del rdicle. Per l esistenz dell frzione + deve essere ( ) ( ) ( ) 0 ovvero. Affinché il rdicndo si positivo o nullo essendo il denomintore sempre positivo (ovvimente per ) è sufficiente che si + 0 ovvero. Pertnto le condizioni di esistenz sono e.studimo il segno dell frzione lgebric d portre sotto rdice. Tle frzione è positiv o null per < è negtiv per <. Se > si h + + ( ) + + ( ) (+) ( ) (+) Se < < il fttore d portre sotto rdice è negtivo quindtrsport dentro l rdice i fttori esterni discutendo i csi letterli Se l espressione d clcolre vle zero mentre Il cso è escluso dll condizione di esistenz..7 Portre uno o più fttori fuori dl segno di rdice È possibile portre fuori dl segno di rdice quei fttori venti come esponente un numero che si mggiore o ugule ll indice dell rdice. In generle si inizi scomponendo in fttori irriducibili il rdicndo ottenendo un rdicle del tipo n m con m n I modo Si esegue l divisione iter m n ottenendo un quoziente q e un resto r. Per l proprietà dell divisione si h m n q + r quindi il rdicle divent n m per le proprietà delle potenze il rdicndo si trsform in un prodotto di potenze n nq+r ( q ) n r e per l regol del prodotto di due rdici con medesimo indice si ottiene n nq+r n n n (q ) n r n (q ) n r q r con r < n. Notimo che nell divisione inter e sotto l rdice lo stesso fttore con l esponente ugule l resto dell divisione. o 8... eseguimo l divisione 8 con q e r ottenimo 8 II modo Si può trsformre l potenz del rdicndo nel prodotto di due potenze con l stess bse; un vente esponente multiplo dell indice dell rdice e l ltr vente per esponente l differenz tr l esponente inizile e il multiplo trovto il multiplo di più vicino 8 è quindi ottenimo 8 Qundo portimo fuori dll rdice un termine letterle dobbimo verificre se l indice dell rdice è pri o dispri e se il termine che portimo fuori è positivo o negtivo. In prticolre n n b { n b se n dispri n b se n pri.7. Portre uno o più fttori fuori dl segno di rdice

26 Mtemtic C Algebr Relese Si scompone in fttori primi il rdicndo 00 ne segue llor che bisogn mettere in vlore ssoluto perché sotto rdice potev essere si negtivo che positivo l rdice invece deve essere sempre positiv; se < 0 l relzione è errt b 7 cd Occorre eseguire le divisioni intere tr gli esponenti e l indice dell rdice. Comincimo d risult : quoziente resto ; per b 7 si h 7: quoziente resto ; l esponente di c è minore dell indice; per d si h : quoziente resto 0. In definitiv b 7 cd b d bc o nche: b 7 cd ( )(b b)cd b d bc b d bc. In questo cso non c è d mettere il vlore ssoluto perché l indice dell rdice è dispri. x y C.E.z 0 x y x z z z y x x Scomponimo il rdicndo per poter studire le condizioni di esistenz del rdicle e portre fuori qulche fttore: x x x ( x) C.E. x 0 x. Pertnto { x x x ( x) x x ( x) se 0 x x ( x) se x < 0 ( x) ( ) portre fuori dll rdice ( ) { ( ) se > 0 se ( ) se <.8 Potenz di rdice e rdice di rdice.8. Potenz di rdice Per elevre potenz un rdice si elev quell potenz il rdicndo: n ) m n m. Si cpisce il perché di quest proprietà trsformndo come negli ltri csi le rdici in esponenti con indici frzionri: ) n m ) m m n n n m ) b c ) b c.8. Rdice di rdice L rdice di un ltr rdice è ugule un rdice con lo stesso rdicndo e con indice il prodotto degli indici delle m rdici: n mn. Anche quest proprietà si può spiegre con le proprietà delle potenze trsformndo le rdici in ) m potenze con esponente frzionrio: n m n mn mn x x Chpter. Rdicli

27 Mtemtic C Algebr Relese Somm di rdicli Si dice rdicle un espressione del tipo n b con e b numeri reli b 0 ed n N. Il numero prende il nome di coefficiente del rdicle. Operre con i rdicli è simile l modo di operre con i monomi. Inftti è possibile effetture somme lgebriche soltnto se i rdicli hnno lo stesso indice e lo stesso rdicndo mentre si possono sempre effetture moltipliczioni e divisioni dopo verli ridotti llo stesso indice. DEFINIZIONE. Due rdicli si dicono simili se hnno lo stesso indice e lo stesso rdicndo. È possibile effetture somme lgebriche soltnto se i rdicli sono simili si eseguono le somme llo stesso modo in cui si eseguono le somme lgebriche dei monomi. Attenzione l operzione + è errt: i rdicli ddendi non sono simili non si può eseguire perché i rdicli non sono simili + non si può eseguire perché i rdicli non sono simili ) ( ) + ( + ) + sommimo i rdicli simili + C.E C.E. > 0 Per semplificre le espressioni che seguono useremo le procedure di clcolo dei polinomi. + ) ) ) ( ) + () ) ( ) + ( ) + ( ) ) () + ) + ) ) ) + ( ) + + ( ) + 0 ) ) + ) ( ) + ( ) + ( ) + ()( ) + (9) Le espressioni con rdicli possono essere trsformte in potenze con esponente frzionrio per poi pplicre le proprietà delle potenze: b b b b + b b b.9. Somm di rdicli

28 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 b x xy x xy b b ( ) b ( ) b b b ( ) x (xy ) ( ) x x y x (xy) x x y b b 9 x 0 y x ( x y ) + b b b..0 Rzionlizzzione del denomintore di un frzione Nel clcolo di espressioni che contengono rdicli può cpitre che l denomintore compino dei rdicli. Per migliorre l pprossimzione si cerc di evitre quest situzione e operre ffinché non compino rdicli l denomintore. Quest operzione prende il nome di rzionlizzzione del denomintore. Rzionlizzre il denomintore di un frzione vuol dire trsformre un frzione in un frzione equivlente vente per denomintore un espressione nell qule non compino rdici. I Cso L frzione è del tipo b Per rzionlizzre il denomintore di un frzione di questo tipo bst moltiplicre numertore e denomintore per b che prende il nome di fttore rzionlizznte: b b b b b b ( ) ( ) ( )(+) ( + ) II Cso L frzione è del tipo n b m con n > m. In questo cso il fttore rzionlizznte è n b n m. Inftti si h: n b n m n b m n n n b n m bm b (n m) n n b n n m bmb n m b n b n m n b Se bbimo un esercizio in cui l potenz del rdicndo super l indice dell rdice prim di rzionlizzre possimo portre fuori dll rdice. il fttore rzionlizznte è b il fttore rzionlizznte è x b b b x b x b x b x b b x b b x b x b x b xb x b x b b b b b b b b III Cso L frzione è del tipo b con b 0. x + b oppure x b Per questo tipo di frzione occorre sfruttre il prodotto notevole ( + b)( b) b. Il fttore rzionlizznte del primo tipo è b nel secondo è + b. Sviluppimo solo il primo tipo poiché il secondo è del tutto nlogo: x + b x( b) ( + b)( x( b) b) x( b) b b Chpter. Rdicli

29 Mtemtic C Algebr Relese 0.0 ( + ) ( )( + ( + ) ) ( + ) ( + ) (+ ) ( )(+ (+ ) ) (+ ) 9 (+ ) 7 + (+ )(+ ) ( )(+ (+ ) ) + + con 0 IV Cso L frzione è del tipo x + b+ c ( + ) Anche in questo cso si utilizz il prodotto notevole dell differenz di qudrti solo che v ripetuto più volte. o + + il fttore di rzionlizzzione è + fttore rzionlizznte di quest frzione è. V Cso L frzione è del tipo x + b ( + + ) portndo fuori rdice si h + 0 Si utilizz il prodotto notevole ( + b)( b + b ) + b e quello nlogo ( b)( + b + b ) b x + b o x + b ( b+ b x ( b+ b ) b+ b ( ) +( x b+ b ) b) +b il fttore di rzionlizzzione è + + quindi + ) + 9 ( + ) + ) ( + ) il. Rdicli doppi Si dice rdicle doppio un espressione del tipo + b oppure b I rdicli doppi possono essere trsformti nell somm lgebric di due rdicli semplici se l espressione b è un qudrto perfetto l formul per ottenere l trsformzione in rdicli semplici è: ± + b b ± b doppio non è stto eliminto ( ). l formul non è stt di lcun utilità in qunto il rdicle.. Rdicli doppi

30 Mtemtic C Algebr Relese 0.0. Equzioni disequzioni e sistemi coefficienti irrzionli Avendo imprto come operre con i rdicli puoi risolvere equzioni sistemi e disequzioni con coefficienti irrzionli... Equzioni di primo grdo x 9 x 9 x 9 x 9 9 ( )x x ( + ) + x x x + ;tb; x x x + x x x( ) x x Disequzioni di primo grdo o ( )x il coefficiente è positivo quindi: ( )x x x + x + + x + x ( ) il coefficiente dell incognit è positivo quindi x ( ) e poi rzionlizzndo x +.. Sistemi di primo grdo o { x( + ) + y ( + x) x ( + )y ( + y) eseguimo i clcoli per ottenere l form cnonic x + x + y + x x y y y x + y x y con il metodo di riduzione sommndo le due equzioni x ottenimo y x x y x y. Esercizi.. Rdici. Senz usre l clcoltrice determin per ciscun delle seguenti rdici qudrte il vlore pprossimto /0: ; ; 7 ; ; ; 7. Estri le seguenti rdici di espressioni letterli fcendo ttenzione l vlore ssoluto: x + 8x Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possibile clcolrle) Chpter. Rdicli

31 Mtemtic C Algebr Relese Senz usre l clcoltrice determin per ciscun delle seguenti rdici cubiche il vlore pprossimto /0: Determin le seguenti rdici se esistono. 7 R R R R. non esiste R R R R R R.(+) R. + x + x 8x R.-x.. Condizioni di esistenz Determin le condizioni di esistenz dei seguenti rdicli... x + R. C.E. x R x R. C.E.x x+ R. C.E.x > x y R. C.E.y 0.. Esercizi 7

32 Mtemtic C Algebr Relese xy x y x + x R. C.E.x > x x x x (x + ) R. C.E.x x x + x R. nessun vlore + x ( )( ) x + x + x +x+ x x R. C.E.x x +x+ x x x+ R. C.E. < x y (y+) x x b R. C.E.b < b > (x ) (x )(x+) x + x x ++8x 9 x(x ) x x (b ++b) 79b x R. C.E.0 x x > m+ m x(x + ) + + ( ) b ++9 x + y + xy R. C.E. < < 0 > x x + R. C.E. x R x x x x + x x + R. C.E. x R... x + x(x + )(x + ) R. C.E. < x < x > 0 x + R. C.E. x R x x+ R. C.E.x > 0 x R. nessun vlore.. Potenze esponente rzionle Clcol le seguenti potenze con esponente rzionle ) R R. 9 ) 8 Chpter. Rdicli

33 Mtemtic C Algebr Relese 0.0. ) ) R ) (0 008) R.. Trsform le seguenti espressioni in form di potenz con esponente frzionrio R. 7 ) 8. R. 9. Trsform nell form rdicle: ( + ) ) + R. ( ( + ) + + ) + ) 0. Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri: (0 ) 0 (0 ) Semplificzione delle rdici Trsform i seguenti rdicli pplicndo l proprietà invrintiv con > con > x + x Semplific i rdicli. 8 8 R R R.. 9 R.. R R. ( ) 7. R. impossibile R R R ) 8 R. 9 ) +. ( ) R R. 9x y 0 b 0 b 9 R. b 0 b x y 9 (x y) 8 x y 8 x 8x R. y.. Esercizi 9

34 Mtemtic C Algebr Relese ) b 0008x y 9 0 R. 8 8 b (x + ) R. (x + ) b b 8 c 7 c(+b) R. 0 x + x + + x + 9x R. + x x b x y x 8x 8 R. 8 + x + x b R. b x + x + x + x x x + x + x ( + ) R (x x + 9) R. x (x + x + 9) (x + x) b x (x b x+ +x y)(+) x+y+x+y n n n n R. n b 7 (x +x +x+) R. 8 9 n n n n 7n n n n n 8 n R. x y 8 b x 0 R. x n+ n+.. Moltipliczione e divisione di rdici con indici diversi Esegui le seguenti moltipliczioni e divisioni di rdicli (le lettere dove compiono rppresentno numeri reli positivi). R R ). 9 R R R R. 7. ( ) 9 R R. 0 8 R R R... b b R. b x b b x x 9 R. 0 Chpter. Rdicli

35 Mtemtic C Algebr Relese x xy y (x + ) x R. (x+) (x ) b + b R. b x +x x ( x) R. +b +x (+x)(+x ) b +b b R. (+)(+) ( )( ) x+ x x x+ x x +x R (x )(x+) (x )(x+) b b + + x y y x x + y R. x y xy b b R. +b b (+) ( ) ++ R. (+) 7 ( ) 7 x b b x+ b+b xy x y + y x x y x xy x+y x x R. (+b) x x+ x (x+) x y (+b) +b b +b x R. b + b +b x.. Portre uno o più fttori fuori dl segno di rdice Trsport dentro l rdice i fttori esterni discutendo i csi letterli. R.. R.. R.. x x x R. x7 x. ( ) R. ( ) (x ) x x x +x x +x x x x x x 9 + ) Semplific i rdicli portndo fuori tutti i fttori possibili fcendo ttenzione l vlore ssoluto R. 0 8 R. 9 8 R. R R R Esercizi

36 Mtemtic C Algebr Relese R b x y b c x d 9 9 b R. b C.E.b>0 x x 7 x b 77 b 8 8 b c 7 + x x R. x x C.E. x x x 7 x b c 9.. b c 7 x b c d 7 b R. ( + + ) 7 7 b 8..7 Potenz di rdice e rdice di rdice Esegui le seguenti potenze di rdici ) ) ) ) R. ) ) ) R. 0 ) ) ( ) ) ) ) R. ) ) R 9 9 ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) b ) b ) R. b b ) 8b ) Esegui le seguenti rdici di rdici R. ( b + ) () ( b) b ( + b) +b R. ( + b) C.E. > b...8 Somm di rdicli Esegui le seguenti operzioni con rdicli Chpter. Rdicli

37 Mtemtic C Algebr Relese R R (8 + ) R. ( + ). + 7 [ ( 7 )] R R ) R ( 0 + 8) R ( 7 + 0) R R R R R b + 0 b R. b 9. b 7 b b + R. 9 b b 0. b + b b b R. ( + b) b. x x x + x + x x. b + + b b + + b x x ) xy + x y + xy x + y ) ) ) ) ) + ) ( ) ( ) + ) R. + ) R. 7 + ) R. 9 + ) R. 9 8 ) ) + R. 8 + R. 7 8 ) ) + ) ) ) + ) 7 ) ).. Esercizi

38 Mtemtic C Algebr Relese ) ) + + ) R ) ) ) R. + ) ) + + ) + ) ) 9 [ ) ) ] + + ) ) ) + + ) R. + ) + + ).... ) ) + ) ) + ) ) + ) ) 7 R x ) x + x ) x + x ) x + x ) x x ) ( ) + R. + + ) + ) 9. ( x + y)( x y) R. x y 0. ) ) ) ) + +. ) ) ) ) ) ) ) ) + ) + [ ) + ] + ) ) ) ) ) + + R. ) ) + ) ) ) x + x + x ) ) ) ) Chpter. Rdicli