GLI SCANDALOSI NUMERI IRRAZIONALI

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1 GLI SCANDALOSI NUMERI IRRAZIONALI Prticolre dell'ffresco di Rffello "L Scuol di Atee", che rffigur Pitgor L scuol pitgoric, fodt d Pitgor Crotoe itoro l 530.C., fu fodmetle per lo sviluppo dell mtemtic. I pitgorici vevo u visioe del modo ell qule tutto potev essere ricodotto l cocetto di umero, itero o rpporto di umeri iteri; il umero er pricipio dell proporzioe e dell perfett rmoi dell'uiverso, origie di ogi cos, elemeto orditore dell reltà. I loro studi, che portroo risultti importti come il fmosissimo teorem di Pitgor, eero tuttvi cosegueze impreviste e idesiderte, prtire dll scopert dell'icommesurilità, cioè dell'esistez di grdezze che o ho sottomultipli comui e il cui rpporto o può essere espresso d u frzioe co umertore e deomitore iteri (per esempio l digole e il lto di u qudrto). Vedimoe u dimostrzioe riportt d Aristotele. d 1 Cosiderimo u qudrto di lto uitrio e si d l su digole. Suppoimo che d si poss esprimere come frzioe di due umeri iteri, cioè 1 m d, dove l frzioe si già ridott i Rdicli i R Simo Cv Pgi 1

2 miimi termii. Allor m d per il teorem di Pitgor. Quidi m, cioè m è pri, perché è il doppio di u umero itero; duque che m è pri. Allor deve essere dispri, ltrimeti m ed vreero come divisore comue, cotro l'ipotesi che l frzioe m si ridott i miimi termii. Poiché m è pri, llor mp, dove p è u umero turle. Duque m 4p e p. M questo sigific che è pri e quidi che lo è. Si è rrivti u ssurdo, perché u umero itero o può essere cotemporemete pri e dispri, perciò l'ipotesi iizile m d deve essere sglit. L digole di u qudrto di lto 1 o si può esprimere come frzioe di due umeri iteri. Pre che i memri dell scuol pitgoric fosse stto impedito di divulgre queste scoperte scocertti, m uo di questi, Ippso d Metpoto, igorò il divieto. Per questo vee dito dll scuol co igomii e qulche tempo dopo morì i u ufrgio (o forse vee iteziolmete egto). L scopert si diffuse rpidmete ed ee cosegueze importti. Ad esempio fu rivoluzioto il pesiero geometrico, prtire dl cocetto di puto, che per i pitgorici er u ete geometrico di dimesioi piccolissime, m fiite, come u grello di si (ovvero ciò che oi rppresetimo grficmete come puto). Se iftti il puto fosse u puto grellio, esso sree coteuto u umero estto di volte ell digole del qudrto e u ltro umero estto di volte el lto: lto e digole vreero quidi come sottomultiplo comue proprio quel puto grello e i questo modo o potreero mi esistere segmeti icommesurili. L'uic possiilità er quell di ricosiderre il cocetto di puto, che vee ridotto u ete idele, privo di estesioe e dimesioi. I mtemtici dovevo duque imprre cocilire due modi, l'ritmetic e l geometri, che semrvo etrti i cotrsto tr loro. Nei Diloghi di Pltoe (filosofo greco, C.), quest sfid o rime i mito mtemtico, m tocc l vit emotiv e politic. Tr questi è prticolrmete sigifictivo il Meoe, che riport u dilogo tr Socrte e Meoe, mgte dell Tessgli, il qule chiede Socrte se l virtù si u qulità turle, o si poss cquisire. Il prolem st el cocetto stesso di ppredere e per chirirlo Socrte ricorre d u dottri pitgoric, quell dell remiiscez: ciscuo di oi port detro di sé, d u vit precedete, lcue ozioi che rimgoo lteti. Imprre, i reltà, sigific ricordre e quest memori v soltto iutt. Rdicli i R Simo Cv Pgi

3 Per forire u esempio prtico di quto fferm, Socrte f chimre u giove schivo che coosce il greco ed è i grdo di cpire il sigificto dei vri termii, m o s ull di mtemtic. Diseg u qudrto co il lto lugo due piedi e f otre l rgzzo che l su re è di quttro piedi qudrti. Gli chiede poi come rddoppire quel qudrto, cioè come costruire uo co l're di otto piedi qudrti. Il rgzzo rispode co sicurezz che sterà rddoppire il lto del qudrto, m Socrte gli mostr che i questo modo si otterrà u qudrto di re sedici piedi qudrti, lscidolo sorpreso. Quidi gli propoe di verificre se il prolem si poss risolvere co u lto più piccolo, di misur tre piedi, m che i questo cso l're o è quell giust. Lo schivo cpisce che o si riesce trovre u soluzioe ritmetic del prolem, cioè o si trov u umero qudrto che si il doppio di u ltro umero qudrto; è cofuso e cofess di o spere. Socrte è soddisftto, perché il primo psso verso l cooscez è l cospevolezz dell propri igorz. A questo puto etr i gioco l geometri. Il rgzzio, merviglito e curioso, segue co ttezioe Socrte che diseg u'ltr figur. Il mestro trcci quttro qudrti uguli quello di prtez, i modo d costruire il qudrto qudruplo, cioè di lto doppio. Trcci poi u digole i ciscu qudrto, così che le quttro digoli formio loro volt u qudrto: esso cotiee quttro trigoli rettgoli isosceli cogrueti, due dei quli formo il qudrto di prtez, duque l su re è doppi di quell di quest'ultimo e il prolem è risolto. Il rgzzo si covice fcilmete qudo vede il vero qudrto di re doppi emergere ll'itero del suo e Socrte spieg Meoe che egli h cmito l su opiioe perché h trovto l rispost detro di sé. Il lto del qudrto richiesto er stto costruito geometricmete, m essuo dei umeri fio quel mometo oti potev essere ssocito ll su misur. Er llor ecessrio itrodurre u uovo tipo di umeri, che veero chimti irrzioli. Rdicli i R Simo Cv Pgi 3

4 Tu mi completi. Q I NUMERI REALI I umeri irrzioli soo decimli illimitti e o periodici. L mggior prte di questi derivo dll'estrzioe di rdici che o ho come risultto u umero rziole e si dicoo lgerici, ltri soo detti trscedeti, come π o il umero di Nepero e. L'uioe tr l'isieme dei umeri rzioli e quello dei umeri irrzioli, che soo disgiuti, è l'isieme R dei umeri reli. R Z Q N I Rissumedo: N è l'isieme dei umeri turli (iteri positivi e lo zero); i esso soo operzioi itere l'ddizioe e l moltipliczioe. Z è l'isieme dei umeri iteri reltivi (co sego); i esso soo operzioi itere l'ddizioe, l sottrzioe e l moltipliczioe. Q è l'isieme dei umeri rzioli, cioè rppresetili sotto form di frzioe (iteri, decimli fiiti, decimli periodici); i esso soo operzioi itere l'ddizioe, l sottrzioe, l moltipliczioe e l divisioe (esclus l divisioe per 0). I è l'isieme dei umeri irrzioli, cioè o rppresetili sotto form di frzioe (decimli illimitti o periodici) I R si possoo eseguire le operzioi di ddizioe, sottrzioe, moltipliczioe, divisioe, elevmeto potez, estrzioe di rdice, tre: l divisioe per 0 Rdicli i R Simo Cv Pgi 4

5 l'estrzioe di rdice co idice pri di umeri egtivi ( 4, 4 8. o soo umeri reli, perché essu umero rele, elevto d espoete pri, può dre u risultto egtivo). L'isieme R è deso, cioè dti due umeri reli esiste sempre u umero rele compreso tr essi ed è completo, perché si può mettere i corrispodez iuivoc co i puti di u rett. RADICALI Si dice rdicle l scrittur dove si chim rdicdo e idice dell rdice. I geerle, l rdice -esim è l'operzioe ivers dell'elevmeto potez co espoete. DEFINIZIONE DI RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO REALE Si u umero rele ed u umero turle o ullo ( R e Ν0) Se 0, chimimo rdice -esim di e idichimo co, quell uico umero rele o egtivo tle che. Se < 0 ed è pri, o si prl di rdice -esim di e o si ttriuisce lcu sigificto l simolo. Se < 0 ed è dispri, chimimo rdice -esim di e idichimo co quell uico umero rele (ecessrimete egtivo) tle che. Rdicli i R Simo Cv Pgi 5

6 CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UN RADICALE Se l'idice dell rdice è pri, le codizioi di esistez si trovo risolvedo l disequzioe otteut poedo il rdicdo 0. 4 x 8 C.E. x 8 6 x 3x 10 C.E. x 3x 10 0 ( x 5)( x + ) 0 x x 5 x + 3 x R Se ivece l'idice dell rdice è dispri, il rdicle esiste idipedetemete dl sego del rdicdo. Nturlmete, se il rdicdo h dei deomitori, questi dovro comuque essere x diversi d zero: 3 x 1 C.E. x 1 x 1 Se u'espressioe cotiee diversi rdicli, tutte le codizioi di esistez devoo essere cotemporemete verificte; si pogoo quidi sistem e, risolvedo quest'ultimo, si trov l codizioe comue. x + 3 x x + 1 C.E. x x x x x ( x 0) PROPRIETÀ INVARIANTIVA E SUE APPLICAZIONI Se è u umero rele o egtivo e m,, r soo umeri turli diversi d zero + ( R0 e m,,r Ν0), vle l'ugugliz m r m r (1) Quidi il vlore di u rdicle co rdicdo positivo o ullo o cmi se si moltiplico l'idice del rdicle e l'espoete del rdicdo per uo stesso umero turle diverso d zero. Rdicli i R Simo Cv Pgi 6

7 ATTENZIONE: se il rdicdo è egtivo, l proprietà ivritiv può o vlere. Ad esempio, pplicdol l rdicle e scegliedo r si otterree 4 ( 4) 5 16 che è ssurdo, perché il rdicle di prtez è egtivo e quello file è positivo! Allor, qudo il rdicdo è egtivo (e duque l'idice è dispri, ltrimeti il rdicle o esisteree), prim di pplicre l proprietà ivritiv si sfrutt l'ugugliz Quidi, riprededo l'esempio precedete, si deve procedere così: SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE + Per l proprietà simmetric dell'ugugliz l (1) si può scrivere ( se R0 e m,,r Ν0) r m r m () I questo cso si dice che il rdicle è stto SEMPLIFICATO, dividedo l'idice del rdicle e l'espoete del rdicdo per il divisore comue r. Di solito il fttore r per cui si divide è il mssimo comu divisore tr l'idice dell rdice e l'espoete del rdicdo. Se l'idice dell rdice e l'espoete del rdicdo soo umeri primi tr loro, il rdicle si dice irriduciile. Prim di semplificre isog porre le codizioi di esistez e poi fre ttezioe ll'esistez del rdicle semplificto e ll cocordz tr il sego del rdicle di prtez e quello del risultto dell semplificzioe. ESEMPI: 4 1. L semplificzioe x x è sglit, perché il rdicle l primo memro esiste per ogi vlore di x (il rdicdo è u potez co espoete pri e duque o può mi essere egtivo), metre quello l secodo memro è defiito solo se x 0. Per procedere correttmete scrivimo llor 4 x x itroducedo il vlore ssoluto.. L semplificzioe 6 3 x x è sglit, perché, che se etrmi i rdicli esistoo x R, tr i due memri o c'è cocordz di sego: iftti 6 x R, metre 3 x h sego vriile. Scrivimo llor x 3 x. 6 x è positivo o ullo Rdicli i R Simo Cv Pgi 7

8 RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE L proprietà ivritiv permette di trsformre due o più rdicli i rdicli co lo stesso idice. Quest trsformzioe cosete di cofrotre i vlori umerici di rdicli co idici diversi (perché, u volt portti llo stesso idice, è miore quello che h il rdicdo miore) moltiplicre o dividere rdicli co idici diversi. Di solito come idice comue si sceglie il miimo comue multiplo tr gli idici. ESEMPI: Portimo llo stesso idice i rdicli 7 ( 3) 8 4. Prim di tutto, se è possiile, semplifichimo e poi fccimo i modo che le si delle poteze ei rdicdi sio positive, per poter pplicre l proprietà ivritiv: ( 3) Il m.c.m. tr 3, 5 e è 30, perciò otteimo ( 3) Portimo llo stesso idice i rdicli Trovimo zitutto le codizioi di esistez complessive risolvedo il sistem co le C.E. sul primo e sul terzo 1 rdicle che dà 1 6. Quest codizioe o è sufficiete determire il sego 6 del secodo rdicle, pertto è ecessrio distiguere due csi: se 5, ovvero 5 6, il rdicdo -5 è positivo o ullo e possimo suito 1 6 pplicre l proprietà ivritiv, se ivece 3 < 5, ovvero 1 < 5, il rdicdo è egtivo e prim di pplicre l proprietà ivritiv doimo scriverlo come - ( 5-) e lscire il sego fuori dll rdice. Si ottiee quidi, poiché il m.c.m. degli idici è 1 se se < ( -1) ( 5) ( 6 ) ( -1) ( 5 ) ( 6 ) Rdicli i R Simo Cv Pgi 8

9 OPERAZIONI TRA RADICALI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE se 0, 0, N0 (3) Il prodotto di rdicli co lo stesso idice e rdicdo positivo o ullo è u rdicle co lo stesso idice che h per rdicdo il prodotto dei rdicdi. U regol log vle per il quoziete: se 0, > 0, N0 (4) Il quoziete di due rdicli co lo stesso idice, il primo co il rdicdo positivo o ullo e il secodo co rdicdo positivo, è u rdicle co lo stesso idice che h per rdicdo il quoziete dei rdicdi. Duque, per moltiplicre o dividere tr loro due rdicli isog quidi prim portrli llo stesso idice. Per l proprietà simmetric dell'ugugliz, l (3) e l (4) si possoo scrivere come se 0, 0, N0 (5) se 0, > 0, N 0 (6) Ache i questo cso isog fre ttezioe ell'ppliczioe delle formule. Cosiderimo questi esempi: x dovedo svolgere l moltipliczioe x 3 x +, prim poimo le C.E. x + 0 do 3 x, poi pplichimo l (3) e otteimo x 3 x + ( x 3)( x + ) che 3. ( x 3) ( x + ) x 3 x + ( x 3) ( x + ) 0 x perché le C.E. sul rdicle l primo memro, ovvero x 3 o grtiscoo l positività dei rdicdi l secodo memro e quidi l'esistez dei due rdicli. Rdicli i R Simo Cv Pgi 9

10 Teedo coto dell regol di moltipliczioe e dell proprietà ivritiv si possoo ricvre due formule molto utili: TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SIMBOLO DI RADICE Se l rdicle pplichimo prim l (5) e poi l regol di semplificzioe otteimo (7) I questo cso si dice che il fttore è stto portto fuori dl simolo di rdice. TRASPORTO DI UN FATTORE DENTRO IL SIMBOLO DI RADICE Leggedo l (7) d destr verso siistr si ottiee l formul (8) I questo cso si dice che il fttore è stto portto detro il simolo di rdice. Osservimo che le formule precedeti, dll (3) ll (8), vlgoo per 0 0 seèpri, m che per e reli qulsisi se è dispri; iftti, el cso di rdicli co idice dispri, l possiilità di portre il sego detro o fuori il simolo di rdice permette sempre di ricodursi l prodotto di rdicli co rdicdi positivi o ulli. Ache ell'ppliczioe di queste due formule isog teer coto dell'esistez e dell cocordz di sego dei rdicli coivolti. ESEMPI: x y x 6y C.E. y x y x 4y C.E. y 0 (iftti le C.E. o dicoo ull sul sego di x, e isog grtire l cocordz di sego tr il primo e il secodo memro) x y x x y x x y x,y R x sex 0 sex < 0 x ( x) x Rdicli i R Simo Cv Pgi 10

11 POTENZA E RADICE DI UN RADICALE Vlgoo le formule ( m m ) se 0 e m, N0 (9) m m se 0 e m, N0 (10) che possoo essere lette che d destr siistr e che, se tutti gli idici soo dispri, vlgoo che per <0. ESEMPI: ( 1) ( 1) 1 per ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 per x 3 L'ADDIZIONE e l SOTTRAZIONE di rdicli, i geerle, si possoo solo idicre. É possiile esprimere l somm lgeric di rdici co u uico rdicle solo el cso i cui i rdicli sio simili, cioè io stesso idice e stesso rdicdo; si oper come ell'ddizioe lgeric di moomi simili, mteedo l stess "prte rdicle" e sommdo i coefficieti. Duque, i geerle, + + RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE A volte, qudo elle espressioi compioo frzioi che preseto dei rdicli l deomitore, per semplificre i clcoli è opportuo trsformrle i ltre equivleti, l deomitore delle quli o vi sio rdicli. A questo scopo si pplic l proprietà ivritiv, moltiplicdo umertore e deomitore per u opportuo fttore rziolizzte. I csi più semplici soo i segueti: Rdicli i R Simo Cv Pgi 11

12 1. Il deomitore è u rdicle qudrtico, cioè l frzioe è del tipo co > 0. Il fttore rziolizzte è il rdicle stesso e l frzioe si trsform così: ( ). Il deomitore è u rdicle di idice, cioè l frzioe è del tipo m co > 0 e m <. Il fttore rziolizzte è -m e l frzioe si trsform così: m m m m m m+ m m 3. Il deomitore è l somm o l differez di due termii, dei quli lmeo uo è u rdicle qudrtico. Per determire il fttore rziolizzte si tiee coto del prodotto otevole ( )( ) A + B A B A B, secodo l seguete tell: DENOMINATORE FATTORE RAZIONALIZZANTE ESEMPI: ( 5 ) ( 5 + )( 5 ) 3 ( 5 ) 5 5 Rdicli i R Simo Cv Pgi 1

13 ESTENSIONE DEL CONCETTO DI POTENZA: POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE Fior soo stte itrodotte le segueti defiizioi di potez, co espoete itero: se rele ed espoete turle diverso d zero: se se > volte se rele divers d zero ed espoete ugule zero 0 1 se rele divers d zero ed espoete itero egtivo se > Attrverso i rdicli è possiile estedere il cocetto di potez l cso i cui l'espoete si u umero rziole: L potez di u umero rele positivo co espoete frziorio positivo è ugule l rdicle che h per idice il deomitore dell frzioe e per rdicdo l potez del umero co espoete ugule l umertore dell frzioe. m m > 0 m, N 0 Se l'espoete è frziorio egtivo, l potez è defiit come: m 1 m 1 m > 0 m, N 0 Si può completre l defiizioe co i segueti csi: > 0 N 0 m 0 0 m, N 0 Le poteze co espoete frziorio o vegoo defiite el cso di se egtiv, perché i lcui csi sreero prive di sigificto (d esempio ( ) 5 Rdicli i R Simo Cv Pgi ) e i ltri portereero

14 1 situzioi migue. Se per esempio cosiderimo le poteze ( 7) 6 e ( 7) 3, ci spettimo che sio uguli, perché ho l stess se e lo stesso espoete. M se pplichimo l e ( 7) 3 7 3, quidi imo defiizioe otteimo ( 7) ( 7) 79 3 due risultti diversi! Le poteze co espoete frziorio godoo delle stesse proprietà di quelle co espoete itero. Rdicli i R Simo Cv Pgi 14