Classe V E. Geometria

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1 Postulti di Euclide: Primi postulti: Clsse V E Geometri Lo spzio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti pini, un pino contiene infiniti punti e infinite rette, un rett contiente infiniti punti. Postulti di pprtenenz: Per due punti distinti pss un e un sol rett. Per tre punti non llineti pprtengono uno e un solo pino. Se due punti di un rett pprtengono d un pino llor l rett pprtiene l pino. Postulto d ordine: Si può stilire un relzione d ordine tr i punti di un rett in modo che dti due punti distinti A e B dell rett A precede B oppure B precede A e se A precede B e B precede C llor A precede C. Postulto di prtizione: Un rett R di un pino lo divide in due prti non vuote in modo che se i punti A e B pprtengono ll stess prte, llor il segmento AB è contenuto in quest prte e se i punti C e D pprtengono prti diverse llor il segmento CD h in comune con r un punto. Postulto di congruenz: Due figure si dicono congruenti qundo hnno un corrispondenz iunivoc tr i loro punti. Postulto di trsporto dei segmenti: Dti un semirett di origine O e un segmento esiste sull semirett uno e un solo segmento di origine O congruente l segmento dto. Postulto di trsporto degli ngoli: Dt in un pino un semirett esiste uno e un solo ngolo che i uno dei lti coincidente con l semirett, il vertice dell origine dell semirett e che gicci d un prte prefisst rispetto d ess. Postulto di prllelismo: Per un punto esterno d un rett pss un e un sol prllel ll rett dt. Teorem ngoli supplementri: Angoli supplementri dello stesso ngolo sono congruenti fr loro. Teorem ngoli opposti l vertice: Angoli opposti l vertice sono congruenti Teorem ngoli complementri: Angoli complementri dello stesso ngolo sono congruenti fr loro. Tringoli Si definisce tringolo un poligono con tre lti. Se un tringolo h lti congruenti si dice isoscele, se h 3 lti congruenti si dice equiltero, se non h lti congruenti si dice scleno. I Criterio congruenz tringoli: Due tringoli venti rispettivmente congruenti due lti e l ngolo fr esso compreso sono congruenti. CN tringolo isoscele: Se un tringolo è isoscele llor gli ngoli ll se sono congruenti. CS tringolo isoscele: Se un tringolo h due ngoli congruenti llor è isoscele ed h come se il lto compreso fr i due ngoli. II Criterio congruenz tringoli: Due tringoli venti rispettivmente congruenti due ngoli ed il lto compreso fr essi sono congruenti. Teorem diretto tringolo equiltero: Ogni tringolo equiltero è nche equingolo Teorem inverso tringolo equiltero: Ogni tringolo equingolo è nche equiltero III Criterio congruenz tringoli: Due tringoli sono congruenti se hnno tre lti rispettivmente congruenti Teorem isettrice tringolo isoscele: In ogni tringolo isoscele l isettrice dell ngolo l vertice è nche ltezz e medin reltiv ll se. Teorem medin tringolo isoscele: In ogni tringolo isoscele l medin reltiv ll se è nche ltezz e isettrice dell ngolo l vertice. Teorem ngolo esterno: In un tringolo un qulsisi ngolo esterno è mggiore di ciscuno dei due ngoli I Corollrio II Corollrio III Corollrio Teorem lti disuguli (diretto, cn): Teorem ngoli disuguli (inv, cs): I Corollrio II Corollrio Teorem disuguglinze tringolri: I Corollrio Teorem esistenz ed unicità isettrice: Teorem esistenz ed unicità punto medio: Teorem medine: (D: pg 64 n 39): Teorem isettrici: (D: pg 65 n 40): Teorem medine tringolo equiltero (D: pg 65 n 4): Teorem segmenti (D: pg 69 n 5): Teorem lti disuguli (D: pg 7 n ): Teorem ngoli disuguli (D: pg 7 n ): interni d esso non dicenti. In un tringolo l somm di due ngoli qulsisi è sempre minore di un ngolo pitto. In un tringolo vi sono sempre lmeno due ngoli cuti. Gli ngoli ll se di un tringolo isoscele sono sempre cuti. In un tringolo con due lti disuguli (che h nche due ngoli disuguli) lto mggiore st opposto ngolo mggiore In un tringolo con due ngoli disuguli (che h nche due lti disuguli) d ngolo mggiore st opposto lto mggiore. In ogni tringolo rettngolo l ipotenus è mggiore di ciscuno dei due cteti. In ogni tringolo ottusngolo il lto opposto ll ngolo ottuso è mggiore degli ltri due. In un tringolo ogni lto è minore dell somm degli ltri due e mggiore dell differenz. In ogni poligono ogni lto è minore dell somm di tutti gli ltri. Per ogni ngolo esiste un ed un sol semirett che lo divide in due prti congruenti. Esiste, per ogni segmento, uno e un solo punto che lo divide in due prti congruenti. In un tringolo isoscele le medine reltive i lti congruenti sono congruenti. In un tringolo isoscele le isettrici reltive gli ngoli ll se sono congruenti. In un tringolo equiltero le tre medine sono congruenti. Se d un punto esterno d un rett si conducono d ess il segmento perpendicolre e diversi segmenti oliqui si verificno le seguenti proprietà:. Il segmento perpendicolre è minore di qulunque segmento oliquo. Due segmenti oliqui venti proiezioni congruenti sono congruenti. 3. Due segmenti oliqui venti proiezioni diseguli sono diseguli e segmento mggiore corrisponde proiezione mggiore In due tringoli venti due lti rispettivmente congruenti e l ngolo compreso disugule, i terzi lti sono diseguli e precismente è mggiore quello opposto ll ngolo mggiore. In due tringoli venti due lti rispettivmente congruenti e i terzi lti diseguli l lto mggiore st opposto ngolo mggiore. Pgin

2 Prllelismo Clsse V E Due rette sono prllele qundo non hnno punti in comune fr loro. Teorem esist. ed unicità perpendicolre: Esiste un ed un sol rett pssnte per un punto perpendicolre d un rett dt. Teorem ngoli lterni: Se due rette tglite d un trsversle formno un coppi di ngoli lterni interni ( ) congruenti llor: - Tutte le coppie di ngoli lterni interni sono congruenti; - Tutte le coppie di ngoli lterni esterni sono congruenti; - Tutte le coppie di ngoli coniugti interni sono supplementri; - Tutte le coppie di ngoli coniugti esterni sono supplementri; - Tutte le coppie di ngoli corrispondenti sono congruenti; Teorem rette perpendicolri: Due rette perpendicolri ll stess rett sono prllele fr loro. CS prllelismo: Se due rette tglite d un trsversle formno un coppi di ngoli lterni interni ( ) congruenti llor le due rette sono prllele. CN prllelismo: Se due rette tglite d un trsversle sono prllele fr loro llor formno un coppi di ngoli lterni interni ( ) congruenti. Proprietà trnsitiv rette //: Due rette prllele d un terz sono prllele fr loro. Teorem rette // e terz: Se due rette sono // ogni rett del loro pino che ne incontr un deve incontrre nche l ltr. Teorem rett perpendicolre: Se due rette sono prllele ogni perpendicolre ll un è pure perpendicolre ll ltr. Teorem ngoli con lti //: Due ngoli con due coppie di lti // e concordi o due coppie di lti // e discordi sono congruenti. Se hnno due lti // e concordi e due lti // e discordi sono supplementri. Teorem segmenti // fr rette //: Segmenti // compresi fr rette // sono congruenti Teorem rette // equidistnti: Se due rette sono // llor tutti i punti equidistnti dll un sono nche equidistnti dll ltr. Appliczioni i tringoli Teorem ngolo esterno: In un tringolo ogni ngolo esterno è congruente ll somm degli ltri d esso non dicenti. I Corollrio: L somm degli ngoli interni di un tringolo è di 80 II Corollrio: Gli ngoli cuti di un tringolo rettngolo sono complementri. III Corollrio: Ciscun ngolo cuto di un tringolo equiltero è congruente 60 IV Corollrio: Se due tringoli hnno due ngoli congruenti llor hnno congruenti nche l ngolo rimnente. Criterio di congruenz generlizzto: Se due tringoli hnno congruenti un lto e due ngoli qulsisi llor sono Teorem ltezz tringolo isoscele: Teorem somm ngoli interni poligono: congruenti. In un tringolo isoscele, l ltezz reltiv ll se è nche medin e isettrice dell ngolo l vertice. L somm degli ngoli interni di un poligono è congruente tnti ngoli pitti qunto il numero di lti meno. Il punto sui tringoli rettngoli Crit. Cong. tringoli rettngoli: Due tringoli rettngoli venti i cteti congruenti sono congruenti. Crit. Cong. tringoli rettngoli: Due tringoli rettngoli venti un cteto ed un ngolo dicente llo stesso sono congruenti. Crit. Cong. Gen. tringoli rettngoli: Due tringoli rettngoli venti un cteto e l ngolo opposto; due tringoli venti Criterio congruenz tringoli rettngoli: CN tringolo rettngolo: CS tringolo rettngolo: Teo ngoli tr.isoscele (D pg 9 n 5): Prllelogrmmo: l ipotenus e un ngolo cuto sono congruenti. Due tringoli rettngoli sono congruenti qundo hnno l ipotenus e un cteto reltivmente congruenti. In ogni tringolo rettngolo l medin è congruente metà dell ipotenus. Se in un tringolo l medin reltiv d un lto è congruente metà di un lto llor il tringolo è rettngolo e h per ipotenus tle lto. Se due tringoli isosceli hnno congruenti l ngolo l vertice llor hnno congruenti nche l ngolo ll se. Si definisce prllelogrmmo un qulsisi qudriltero con i lti opposti prlleli. CN prllelogrmmo: Ogni prllelogrmmo h: ) Lti opposti congruenti ) Angoli opposti congruenti 3) Angoli dicenti ciscun lto supplementri 4) Le digonli si isecno CS prllelogrmmo: Un qudriltero è un prllelogrmmo se h i lti opposti congruenti. CS prllelogrmmo: Un qudriltero è un prllelogrmmo se h gli ngoli opposti congruenti. CS3 prllelogrmmo: Un qudriltero è un prllelogrmmo se h un coppi di ngoli dicenti due lti consecutivi supplementri. CS4 prllelogrmmo: Un qudriltero con le digonli che si isecno è un prllelogrmmo. CS5 prllelogrmmo: Un qudriltero con due lti opposti congruenti e prlleli è un prllelogrmmo. Rettngolo:. Si definisce rettngolo un prllelogrmmo con un ngolo retto.. Si definisce rettngolo un qudriltero equingolo. CN rettngolo: In ogni rettngolo le digonli sono congruenti. CS rettngolo: Se un prllelogrmmo h le digonli congruenti llor è un rettngolo. CS rettngolo: Un prllelogrmmo con un ngolo congruente 90 è un rettngolo. CS rettngolo: Un qudriltero equingolo è un rettngolo. Pgin

3 Romo: Si definisce romo un prllelogrmmo equiltero. CN romo: CS romo: CS romo: CS3 romo: CS4 romo: Qudrto: Clsse V E Ogni romo h: ) Le digonli perpendicolri. ) Le digonli che isecno l ngolo. Un prllelogrmmo con due lti consecutivi congruenti è un romo. Un qudriltero equiltero è un romo. Se un prllelogrmmo h le digonli perpendicolri llor è un romo. Se un digonle isec l ngolo di un prllelogrmmo llor è un romo. Si definisce qudrto un qudriltero equiltero ed equingolo. CN qudrto: Ogni qudrto h: ) Le digonli congruenti. ) Le digonli perpendicolri 3) Le digonli che isecno l ngolo. CS qudrto: Un prllelogrmmo vente le digonli congruenti e perpendicolri è un qudrto. CS qudrto: Un prllelogrmmo è un qudrto se h le digonli congruenti e un di esse isec un ngolo. Teorem di Tlete: Dto un fscio di rette // tglite d trsversli segmenti congruenti sull un corrispondono segmenti congruenti sull ltr. I Corollrio: Se per il punto medio di un lto di un tringolo si conduce l prllel d un ltro lto quest isec il lto rimnente. II Corollrio: L congiungente i punti medi di due lti di un tringolo è prllel l terzo lto e congruente ll su metà. Trpezio Si definisce trpezio un qudriltero con lti opposti prlleli. CN trpezio isoscele: In un trpezio isoscele gli ngoli dicenti lle due si sono congruenti. CS trpezio isoscele: Se un trpezio h due ngoli dicenti d un se congruenti llor è isoscele. CN trpezio isoscele: In un trpezio isoscele le digonli sono congruenti. CN3 trpezio isoscele: In un trpezio isoscele gli ngoli opposti sono supplementri. Punti notevoli di un tringolo Ortocentro: Incentro: Circocentro: Bricentro: Ecentro: Teorem ricentro: Punto di intersezione delle ltezze di un tringolo. Punto di intersezione delle isettrici di un tringolo. Punto di intersezione degli ssi dei lti di un tringolo. Punto di intersezione delle medine di un tringolo. Punto di intersezione delle isettrici di due ngoli esterni e di quell dell ngolo interno non dicente d essi. Il ricentro di un tringolo divide ciscun medin in due prti, delle quli quell contenente il vertice è doppi dell ltr. Pgin 3

4 Clsse V E Circonferenz e cerchio. L circonferenz è il luogo geometrico dei punti equidistnti d un punto detto centro Il cerchio è l prte di pino compres ll interno di un circonferenz più l circonferenz stess. Asse del segmento: Luogo geometrico di tutti i punti equidistnti dgli estremi. Bisettrice di un ngolo: Luogo geometrico dei punti equidistnti di lti dell ngolo. Rggio: Distnz tr il centro e l circonferenz oppure qulsisi segmento che unisce il centro dell circonferenz con l circonferenz stess. Dimetro: Cord pssnte per il centro. Cord: Segmento che unisce due punti qulsisi dell circonferenz. Arco: Ciscun delle due prti in cui l circonferenz è divis d suoi due punti. Angolo l centro: Qulsisi ngolo vente il vertice nel centro dell circonferenz. Settore circolre: Ognun delle due prti comprese fr due rggi. Segmento circolre un se: Ciscun delle due prti di cerchio sottese d un cord Segmento circolre due si: Prte di cerchio sottes fr due corde prllele. Qudrnte: Un qurto di cerchio oppure prte compres tr due rggi perpendicolri. Semicirconferenz: Ciscuno dei due rchi sottesi d un dimetro. Semicerchio: Ciscun delle due prti di cerchio divise d un dimetro oppure somm di due qudrnti consecutivi. Angolo ll circonferenz: Angolo che h il vertice sull circonferenz e i lti secnti, oppure uno secnte e uno tngente. Teorem isettrice ngolo l centro: L isettrice di un ngolo l centro isec l rco corrispondente. (E teorem ) Teorem ngoli l centro: Teorem cord mssim: Teorem perpendicolre cord O: Teorem perpendicolre cord O (inv ): Teorem perpendicolre cord O (inv ): Teorem centro simmetri: Teorem sse simmetri: Teorem rett e circonferenz: Teorem 3 punti: Teorem rchi e corde: Teorem corde congruenti: Teorem corde diseguli: Teorem ngoli ll circonferenz: I Corollrio: II Corollrio: III Corollrio: (CN) III Corollrio: (CS) Teorem tngenti: CNS di tngenz: Teo corde // (H pg 3 n 5): In un circonferenz o in circonferenze congruenti d ngoli l centro congruenti corrispondono rchi congruenti e d ngoli l centro disuguli corrispondono rchi disuguli e precismente d rchi mggiori corrispondono ngoli mggiori. (E teorem ) Il dimetro è l cord mssim. L perpendicolre di un cord pssnte per il centro dimezz l cord, l ngolo l centro e l rco corrispondente. L rett che pss per il centro e per il punto medio di un cord è perpendicolre ll cord stess. L sse di un cord pss per il centro. Il centro di un circonferenz è il suo centro di simmetri. Ogni rett pssnte per il centro è sse di simmetri per l circonferenz stess. Un rett è un circonferenz non possono vere più di due punti in comune. L rett può essere estern (0 punti in comune), tngente ( punto) o secnte ( punti) rispetto ll circonferenz. Per tre punti non llineti pss un e un sol circonferenz. Archi congruenti sottendono corde congruenti. Corde congruenti sono equidistnti dl centro. In un stess circonferenz o in circonferenze congruenti corde diseguli distno diversmente dl centro e cord mggiore corrisponde distnz minore. Ogni ngolo ll circonferenz è l metà del corrispondente ngolo l centro. Angoli ll circonferenz che insistono sullo stesso rco sono congruenti. Ogni ngolo ll circonferenz che insiste su un semicirconferenz è retto. Ogni tringolo inscritto in un semicirconferenz è rettngolo. Ogni tringolo rettngolo è inscriviile in un semicirconferenz. Condotte d un punto esterno d un circonferenz le due tngenti llor:. I segmenti di tngenz sono congruenti. L congiungente il punto esterno con il centro dell circonferenz isec gli ngoli formti di rggi i punti di conttto con le tngenti e l ngolo delle tngenti ed inoltre è sse del segmento di conttto. Un rett è tngente ll circonferenz se e solo se è perpendicolre l rggio nel punto di conttto. In un circonferenz corde prllele intercettno rchi congruenti. Poligoni inscritti e circoscritti. Un poligono è inscritto in un circonferenz qundo tutti i vertici del poligono pprtengono ll circonferenz stess. Un poligono è circoscritto in un circonferenz qundo tutti i lti sono tngenti ll circonferenz stess. CN di inscrizione: Se un poligono è inscritto in un circonferenz llor tutti i suoi ssi pssno per uno stesso punto che è il centro dell circonferenz circoscritt d esso. CS di inscrizione: Se tutti gli ssi di un poligono pssno per uno stesso punto llor il poligono è inscritto in un circonferenz vente quel punto come centro. CN di circoscrizione: Se un poligono è circoscritto in un circonferenz llor tutte le isettrici degli ngoli pssno per un punto che è il centro dell circonferenz inscritt in esso. CS di circoscrizione: Se le isettrici di un poligono pssno per uno stesso punto llor è possiile circoscrivere il poligono un circonferenz vente quel punto come centro. Conseguenz sui tringoli: Ogni tringolo è inscrittiile e circoscrittiile in un circonferenz. CN di inscrizione di un qudriltero: Se un qudriltero è inscritto in un circonferenz llor gli ngoli opposti di esso sono supplementri. CS di inscrizione di un qudriltero: Se un qudriltero h gli ngoli opposti supplementri llor è possiile inscriverlo in un circonferenz. Conseguenz: Ogni trpezio isoscele è inscrittiile in un circonferenz. CN di circoscrizione di un qudriltero: Se un qudriltero è circoscrittle d un circonferenz qundo h l somm dei lti opposti congruente. CS di circoscrizione di un qudriltero: Un qudriltero è circoscrittiile d un circonferenz qundo h l somm dei lti opposti congruente. Pgin 4

5 Clsse V E Trsformzioni geometriche nel pino euclideo Simmetri centrle: Centro di simmetri di un figur: Teorem punto intersezione digonli prllelogrmmo: Simmetri ssile: Asse di simmetri di un figur: Trslzione di vettore (ved. liro): Rotzione (ved. liro): Trsformzione che f corrispondere un punto del pino il suo simmetrico rispetto un punto dto. Un figur h un centro di simmetri se il simmetrico di ogni suo punto rispetto O è un punto pprtenente ll figur stess. Il punto di intersezione delle digonli del prllelogrmmo è centro di simmetri del prllelogrmmo. Trsformzione che ssoci un punto del pino il suo simmetrico rispetto un sse di simmetri. Un figur h un sse di simmetri se ogni suo punto h per simmetrico rispetto tle sse un punto pprtenente ll figur stess. Si dice trslzione di vettore un corrispondenz iunivoc tr i punti di un pinco, fissto un vettore. Si dice rotzione un corrispondenz iunivoc tr i punti di un pino fisst l mpiezz di un ngolo. Assi e centri di simmetri dei principli poligoni Poligono Centri di simmetri Assi di simmetri Tringolo isoscele NESSUNO Medin reltiv ll se Tringolo equiltero NESSUNO Assi dei tre lti Prllelogrmmo Punto di intersezione delle digonli NESSUNO Romo Intersezione delle digonli Digonli Rettngolo Intersezione degli ssi dei lti Assi dei lti Assi dei lti e digonli Qudrto Centro del qudrto (intersezione ssi dei lti e digonli) Trpezio isoscele NESSUNO Asse comune delle due si Poligoni regolri Formule dirette: Teorem di Pitgor: i c + c teorem di Euclide: c i h teorem di Euclide: h h h Tringolo rettngolo isoscele: i c Tringolo rettngolo con ngoli di 30 e 60 : i c i C 3 Are del tringolo equiltero: A 3 l 4 Se hnno un numero pri di lti è il centro dell circonferenz circoscritt Bisettrici e perpendicolri i lti pssnti per il centro. Pgin 5

6 Equivlenz di figure pine Clsse V E Definizione di superficie: Prte di pino delimitt d un line chius Definizione di superfici equivlenti: Sono equivlenti superfici che occupno l stess estensione. Somme / Differenze di superfici equivlenti: Somme / Differenze di superfici equivlenti sono congruenti. Teorem superfici equiscomponiili: Superfici equiscomponiili sono congruenti. Teorem equivlenz prllelogrmmo: Prllelogrmmi con ltezze e si congruenti sono congruenti. I Corollrio: Ogni prllelogrmmo è equivlente d un rettngolo con l stess se e l stess ltezz. Teorem equivlenz tringolo: Ogni tringolo è equivlente d un prllelogrmmo che h per se metà se e per ltezz l stess ltezz del tringolo (oppure metà ltezz e inter se). I Corollrio: Tutti i tringoli con l stess se e l stess ltezz sono congruenti. Teorem equivlenz trpezio: Ogni trpezio è equivlente d un tringolo che h per se l somm delle si e per ltezz l stess ltezz Teorem qudriltero con digonli perpendicolri: Un qudriltero con le digonli perpendicolri è equivlente metà del rettngolo venti le digonli stesse come dimensioni. Teorem equivlenz poligono circoscritto: Un poligono circoscritto d un circonferenz è equivlente l tringolo che h per se il perimetro del poligono e per ltezz il rggio. teorem di Euclide: In un tringolo rettngolo il qudrto costruito su un cteto è equivlente l rettngolo che h per dimensioni l ipotenus e l proiezione del cteto sull ipotenus. Teorem di Pitgor: In un tringolo rettngolo l somm dei qudrti costruiti sui cteti è equivlente l qudrto dell ipotenus. teorem di Euclide: In un tringolo rettngolo il qudrto dell ltezz reltiv ll ipotenus è equivlente l rettngolo delle proiezioni dei cteti sull ipotenus. Grndezze omogenee: Si dicono omogenee le grndezze dell stess specie. Postulto di continuità dell rett: Se sopr un rett è dto un insieme di segmenti, ciscuno dei quli contenuto nel precedente e di mpiezz decerescente in modo che se ne trovi sempre uno minore di qulsisi segmento piccolo picere, llor esiste uno e un solo punto B comune tutti i segmenti dti. Segmenti commensurili e incommensurili: Due segmenti si dicono commensurili qundo esiste un sottomultiplo comune i due. Altrimenti si dicono incommensurili. Teorem irrzionlit rdice di : L digonle e il lto di un qudrto sono incommensurili ovvero l rdice qudrt di non è un numero rzionle. Proprietà fondmentle delle proporzioni: Il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. Teorem dell qurt proporzionle: Dte tre grndezze A, B, C delle quli le prime omogenee, esiste un e un sol grndezz omogene con l terz che formi un proporzione. Grndezze direttmente proporzionli: Le grndezze di due insiemi sono direttmente proporzionli qundo il rpporto tr due grndezze del primo è ugule l rpporto tr le grndezze corrispondenti dell ltro. Teorem ngoli l centro (proporzioni): In un circonferenz o in circonferenze congruenti rchi e ngoli l centro intercettno grndezze proporzionli Teorem di Tlete (proporzioni): Un fscio di rette prllele determin sopr due trsversli due insiemi di segmenti direttmente proporzionli. I corollrio: L prllel un lto di un tringolo divide gli ltri due in prti proporzionli. II corollrio: Se un rett divide in prti proporzionli due lti di un tringolo ess è prllel l terzo lto. Teorem isettrice ngolo interno: In un tringolo l isettrice di un ngolo interno divide il lto opposto in due prti proporzionli i lti rimnenti. Teorem isettrice ngolo esterno: In un tringolo l isettrice dell ngolo esterno se non è prllel l lto opposto ne incontr il prolungmento in un punto che determin con gli estremi di quel lto segmenti proporzionli gli ltri. Tringoli simili: Definizione: Rpporto di similitudine: I criterio di similitudine tringoli: I corollrio: II corollrio: III corollrio: IV corollrio: II criterio di similitudine tringoli: I corollrio: III criterio di similitudine tringoli: Rpporto fr perimetri di tringoli simili: Rpporto fr ree di tringoli simili: Due tringoli con i tre ngoli rispettivmente congruenti e con il lti, opposti gli ngoli congruenti, in proporzione si dicono simili. Si dice rpporto di similitudine il rpporto fr due lti omologhi. Due tringoli sono simili se hnno due ngoli congruenti. L prllel d un lto di un tringolo stcc un tringolo simile l dto. Tutti i tringoli equilteri sono simili Due tringoli isosceli sono simili se hnno un ngolo ll se o l vertice congruente. Due tringoli rettngoli sono simili se hnno un ngolo cuto congruente. Due tringoli sono simili se hnno un ngolo rispettivmente congruente compreso fr due lti proporzionli. Due tringoli rettngoli con lti proporzionli sono simili. Due tringoli sono simili se hnno i tre lti in proporzione. Il perimetro di due tringoli simili è proporzionle l rpporto fr lti omologhi. L re di due tringoli simili è proporzionle l qudrto del rpporto fr lti omologhi Pgin 6

7 Circonferenz e poligoni simili: Teorem delle corde: Teorem delle secnti: Teorem tngente e secnte: Definizione: Definizione: Teorem trpezi circoscritti circonferenz: Corollrio per il trpezio isoscele: Teorem trpezi circoscritti semicirconferenz: Corollrio per il trpezio isoscele: Clsse V E. Lti dei poligoni regolri inscritti in un circonferenz: Qudrto Esgono Tringolo equiltero Pentgono Decgono l r l r l 3r l 0 l 5 r l Ottgono 5 r In un circonferenz se due corde si intersecno i segmenti che si formno sull un sono i medi e quelli nell ltr gli estremi di un stess proporzione. Condotte d un punto esterno due secnti i segmenti che uniscono il punto esterno con i due punti di secnte su un sono i medi sull ltr gli estremi di un stess proporzione. Il segmento di tngente è medio proporzionle fr l inter secnte e l su prte estern. Due poligoni si dicono simili se hnno gli ngoli congruenti e i lti in proporzione. Poligoni regolri con lo stesso numero di lti sono sempre simili. In un trpezio circoscritto d un circonferenz il rggio è medio proporzionle tr i segmenti in cui il lto oliquo è diviso dl punto di tngenz. In un trpezio isoscele circoscritto d un circonferenz il dimetro è medio proporzionle tr le due si. In un trpezio circoscritto d un semicirconferenz ciscun lto oliquo è congruente l segmento cui è divis l se mggiore dl centro d esso consecutivo. In un trpezio isoscele circoscritto d un semicirconferenz ciscun lto oliquo è congruente metà se mggiore Formul di erone: A p( p )( p )( p c) Tringoli e circonferenze: Rggio dell circonferenz circoscritt d un c tringolo Rggio dell circonferenz circoscritt d un tringolo isoscele Rggio dell circonferenz inscritt in un tringolo (A Are) Rggio dell circonferenz inscritt in un tringolo isoscele Formule reltive l numero phi: Rettngolo ureo Tringolo isoscele di se 7 r 4A l r h A pr A r p l r 4h AF : AD AD : BF CB : BA AD : DB dove A Are, p semiperimetro, c lti Pgin 7

8 Insiemi numerici: Insieme N Insieme Z Insieme Q Insieme R Insieme C Mtrici: Clsse V E Insieme dei numeri interi positivi Insieme dei numeri interi reltivi Insieme dei numeri esprimiili in frzione Insieme dei numeri irrzionli Insieme dei numeri complessi Mtrice di ordine m,n Un tell formt d m righe e n colonne Mtrice rettngolre Mtrice in cui m n Mtrice qudrt Mtrice in cui m n Vettore rig Mtrice di ordine,n Vettore colonn Mtrice di ordine m, Mtrice null Mtrice in cui tutti gli elementi sono uguli 0 Uguglinz fr mtrici Due mtrici sono uguli se e solo se tutti gli elementi corrispondenti sono uguli Mtrice oppost di A (-A) L mtrice che h gli elementi di segno opposto rispetto d A Mtrice trspost di A (A T) L mtrice che si ottiene scmindo fr di loro le righe e le colonne di A Digonle principle L insieme degli elementi di un mtrice qudrt che hnno i k Digonle secondri L insieme degli elementi di un mtrice qudrt che hnno i + k n Mtrice qudrt digonle Mtrice che h tutti gli elementi trnne quelli dell digonle principle nulli Mtrice unità o identic Mtrice che h tutti gli elementi dell digonle principle uguli d Mtrice tringolre superiore Mtrice che h tutti gli elementi l di sotto dell digonle principle nulli. Mtrice tringolre inferiore Mtrice che h tutti gli elementi l di sopr dell digonle principle nulli. Mtrice somm (A+B) Mtrice che ottengo sommndo gli elementi corrispondenti delle mtrici A, B. Prodotto di un mtrice per uno sclre ( A) Si ottiene moltiplicndo tutti gli elementi di A per Prodotto tr un vettore rig e un vettore colonn È un elemento che si ottiene sommndo fr di loro i prodotti corrispondenti di tutti gli elementi dell mtrice. Prodotto tr mtrici (AB) È un mtrice che h il numero di righe dell prim ed il numero di colonne dell second. Gli elementi si ottengono moltiplicndo l rig per l colonn di riferimento per ogni elemento. N.B. (Prodotto fr mtrici) Il prodotto di un mtrice non null può essere un mtrice null. Determinnte di un mtrice di ordine È l elemento stesso Determinnte di un mtrice di ordine È l differenz fr il prodotto degli elementi dell digonle principle e quello degli elementi dell digonle secondri. Determinnte di un mtrice di ordine > Si clcol fcendo l somm dei prodotti di un line moltiplicti per i rispettivi complementi lgerici. Complemento lgerico di (i,k) Il minore complementre preceduto d + se i+k pri, d se i+k dispri Minore complementre di (i,k) Il determinnte che ottengo togliendo d quell mtrice l rig i e l colonn k Proprietà del determinnte ) Il determinnte di un mtrice è nullo se tutti gli elementi sono nulli ) Il determinnte di un mtrice è nullo se due linee prllele hnno elementi uguli o proporzionli. 3) Il determinnte di un mtrice è nullo se un line è cominzione linere di ltre due linee prllele 4) Il determinnte non cmi se d un line sommo un'ltr moltiplict per un numero opportuno 5) Il determinnte cmi di segno se cmio fr loro due linee prllele 6) Il determinnte cmi se moltiplico tutti gli elementi di un line per un numero k. Il determinnte sr k volte quello dell vecchi mtrice. Teorem di Binet Il determinnte dell mtrice prodotto di due mtrici è ugule l prodotto dei determinnti delle due mtrici. Regol di Srrus Il determinnte di un mtrice qudrt di ordine tre è ugule ll differenz tr l somm dei prodotti degli elementi delle digonli principli e l somm dei prodotti degli elementi di ogni digonle secondri. Invers di un mtrice (A - ) Dt un mtrice qudrt A definisco mtrice invers di A l mtrice che moltiplict per A d come risultto l mtrice identic. Costruzione dell mtrice invers ) Prendo l mtrice A di determinnte diverso d 0 ) Sostituisco d ogni elemento di A il rispettivo complemento lgerico 3) Trspongo l mtrice 4) Divido tutti gli elementi per il determinnte di A Pgin 8

9 Sistemi lineri: Clsse V E Equzione linere Equzione in cui le incognite sono tutte l primo grdo Sistem linere Sistem in cui compiono solo equzioni di primo grdo Metodo di Sostituzione Si risolve un equzione in se d un incognit e si sostituisce il risultto nell ltr equzione. Metodo di Confronto Si risolvono entrme le equzioni rispetto d un incognit e, dopo verl trovt pplicndo l proprietà trnsitiv, l si sostituisce nell ltr equzione Metodo di Riduzione Si moltiplicno entrme le equzioni per uno sclre opportuno e si sommno, con lo scopo di ottenere un equzione con un incognit d risolvere Metodo dell Mtrice invers Si moltiplic l mtrice invers del sistem per il vettore dei coefficienti Metodo di Crmer Si effettu il quoziente tr il determinnte dell mtrice che ottengo sostituendo il vettore dei coefficienti nell mtrice del sistem i coefficienti di un incognit e il determinnte dell mtrice del sistem per trovre l incognit stess. Rngo di un mtrice Il mssimo ordine di minori non nulli che posso estrrre dll mtrice Minore di ordine n Esistenz del determinnte diverso d 0 in un sottomtrice qudrt di ordine n. N.B. (Rngo) Il rngo di un mtrice è diverso d 0 se tutti gli elementi sono nulli Il rngo di un mtrice è ugule r se esiste un minore di ordine r non nullo e tutti i minori di ordine r+ sono nulli. Teorem di Kroenecker Il rngo di un mtrice è r se e solo se esiste un minore di ordine r diverso d 0 e tutti i minori di ordine r+ orlndo il minore diverso d zero sono nulli. Teorem di Rouchè-Cpelli Un sistem di m equzioni in n incognite è possiile se e solo se il rngo dell mtrice dei coefficienti e quello dell mtrice complet sono uguli. È determinto se il rngo è ugule l numero delle incognite. È indeterminto se il rngo è minore del numero delle incognite e h n-r soluzioni. Risoluzione di un sistem di m equzioni in n incognite Si determinno i rnghi. Se r r si individu u sottomtrice H r, qudrt di ordine r che i il determinnte diverso d 0. Se r n utilizzo tutte le equzioni per determinre le soluzioni Se r < m utilizzo r equzioni e scrto le ltre Se r n m llor il sistem è determinto Se r < n llor utilizzo r incognite e trtto le ltre come prmetri. Pgin 9

10 Geometri nlitic: Assiom di pprtenenz dell rett Assiom di pprtenenz del pino Assiom dell ordine Asse Asciss Ordint Teorem dell distnz fr due punti su un rett Teorem del punto medio su un rett Clsse V E Esistono sottoinsiemi propri chimti rette tli che per due punti pssi un e un sol rett Esistono un rett ed un punto non llineti per i quli pss uno e un solo pino Ogni rett è dott di due versi rispetto i quli è pert, dens e illimitt Rett orientt dott di un sistem di riferimento Distnz del punto dll sse delle ordinte se il punto è nel o nel 4 qudrnte, opposto di tle distnz se il punto è nel o nel 3 qudrnte. Distnz del punto dll sse delle scisse se il punto è nel o nel qudrnte, opposto di tle distnz se il punto è nel 3 o nel 4 qudrnte. PQ q p p + q m Distnz fr due punti Punto medio di un segmento Punto interno L d un segmento Bricentro G di un tringolo ABC PQ p q + p q p + q p + q M ; l + k k AB l + k + + c + + c G ; 3 3 AL Pgin 0

11 Clsse V E Prolemi di geometri nlitic Are del tringolo ABC B A C O ) Metodo del rettngolo 3 O Are del tringolo Are del rettngolo Aretr Aretr Aretr3 ) Metodo dell mtrice A c 3) Metodo trdizionle h A 4) Formul di Erone A p p p p c c Pgin

12 Clsse V E Pgin 4 vertice del prllelogrmmo ABCD ) Metodo lti BD AC CD AB ) Metodo punto medio digonli + + ; c c M m D m D 3) Metodo vettori BDL AKC II criterio - BD AC Hp - ˆ ˆ π L K costruzione - L DB AK C ˆ ˆ costruzione c d d c l d c k l d k c DL CK + c d d d l k l k BL AK c d c d 4) Intersezione delle rette - Trovo l rett prllel d AB pssnte per C - Trovo l rett prllel d AC pssnte per B - Le interseco in un sistem e trovo il punto D A B C D M L K O

13 Goniometri Clsse V E Grdi sessgesimli Angolo retto 90, ngolo giro 360 Grdi centesimli Angolo retto 00 g, ngolo giro 400 g Rdinti Angolo congruente ll rco sotteso. Giro π Conversioni di ngoli α α 80 π α α π 80 g α g α α g α 80 g 00 Circonferenz goniometric Circonferenz vente centro nell origine degli ssi e rggio Primo lto dell ngolo di un c.g. Coincide con il semisse positivo dell sse delle scisse Seno dell ngolo lf Ordint del estremo dell ngolo Coseno dell ngolo lf Asciss del estremo dell ngolo Tngente dell ngolo lf Ordint del punto intersezione fr il prolungmento del secondo lto dell ngolo e l tngente ll circonferenz goniometric perpendicolre l semisse positivo dell sse delle scisse. Cotngente dell ngolo lf Asciss del punto intersezione fr il prolungmento del secondo lto dell ngolo e l tngente ll circonferenz goniometric perpendicolre l semisse positivo dell sse delle ordinte. Secnte dell ngolo lf Asciss del punto intersezione fr l tngente ll circonferenz goniometric pssnte per il secondo estremo dell ngolo e l sse delle scisse. Cosecnte dell ngolo lf Ordint del punto intersezione fr l tngente ll circonferenz goniometric pssnte per il secondo estremo dell ngolo e l sse delle ordinte. Relzioni fondmentli dell goniometri Prim relzione fondmentle Second relzione fondmentle Terz relzione fondmentle Qurt relzione fondmentle Quint relzione fondmentle L somm del qudrto del seno di un ngolo e del qudrto del coseno di un ngolo è ugule d L tngente di un ngolo è il rpporto fr il suo seno ed il suo coseno L cotngente di un ngolo è il rpporto fr il suo coseno ed il suo seno oppure è il reciproco dell su tngente L secnte di un ngolo è il reciproco del suo coseno L cosecnte di un ngolo è il reciproco del suo seno Pgin 3

14 Clsse V E Formule reltive gli rchi ssociti Con ngolo pitto cos( π α ) sin( π α ) cos( π + α ) sin( π + α ) cos( π α ) sin( π α ) Con ngolo retto cosα sinα cosα sinα cosα sinα π cos α sinα π sin α cosα π cos + α sinα π sin + α cosα 3 cos π α sinα 3 sin π α cosα 3 cos π + α sinα 3 sin π + α cosα Pgin 4

15 L rett Clsse V E Equzione dell rett + + c 0 Condizione di llinemento tr punti Condizione di llinemento tr 3 punti 3 3 Equzione dell rett (form esplicit) m + q Coefficiente ngolre m m tgα Ordint ll origine q c q Rett pssnte un punto di coefficiente ( 0 ) m( 0 ) ngolre noto Distnz fr due punti su un rett di + m coefficiente ngolre noto Form segmentrl dell equzione dell rett + p q Asciss ll origine p c p Condizione di prllelismo fr due rette Dte due rette r e r r // r' ' ' ovvero se m m' Condizione di perpendicolrità fr due Dte due rette r e r r r' ' + ' 0 ovvero se rette m m' Distnz del punto P ( 0 ; 0 ) dll rett R 0 + o + c + + c 0 PH + Intersezione fr due rette in un sistem - Sistem possiile Rette incidenti - Sistem indeterminto Rette coincidenti - Sistem impossiile Rette prllele Asse del segmento ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) Bisettrice di un ngolo + + c ' + ' + c' + ' + ' Teorem ngolo fr due rette L tngente dell ngolo lf fr due rette di coefficiente m m' ngolre m e m è ugule + mm' Fsci di rette Definizione Equzione del fscio di rette 0 Centro del fscio Si definisce fscio di rette proprio un insieme di rette pssnti per lo stesso punto detto centro del fscio. Un fscio improprio è un insieme di rette prllele un rett dt dett sostegno del fscio. + k' + + k' + c + kc' k c 0 k ' + ' + c 0 Pgin 5

16 Clsse V E Seni e coseni prticolri (tell complet) Primo qudrnte Grdi Rdinti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec π π π 4 60 π π Secondo qudrnte Grdi Rdinti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec 90 π π π π π π Pgin 6

17 Clsse V E Seni e coseni prticolri (continuzione) Terzo qudrnte Grdi Rdinti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec 80 π π π π π π Qurto qudrnte Grdi Rdinti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec 70 3 π π π π π π π 0 0 Pgin 7

18 Formule di somm e sottrzione cos( α β ) cos α cos β + sinα sin β cos( α + β ) cosα cos β sinα sin β sin( α β ) sinα cos β cosα sin β sin( α + β ) sin α cos β + cosα sin β π tnα + tn β α, β + kπ tn( α + β ) con tnα tn β π α + β + kπ π tnα tn β α, β + kπ tn( α β ) con + tnα tn β π α β + kπ Formule di dupliczione sin α sinα cosα sin α cos α cos α sin α cos tnα π π π tn α conα + k α + kπ tn α 4 Formule di isezione sin α cosα ± cos α + cosα ± tn α cosα ± conα π + kπ + cosα tn α sinα con α π + kπ + cosα tn α cosα con α kπ sinα Clsse V E Pgin 8

19 Clsse V E Formule prmetriche α tn sin α α + tn α tn cos α α + tn α tn tn α α tn con α π + kπ Formule di prostferesi p + q p q sin p + sin q sin cos p + q p q sin p sin q cos sin p + q p q cos p + cos q cos cos p + q p q cos p cos q sin sin sin ( p + q) π tn p + tn q con p, q + kπ cos p cos q sin( p q) π tn p tn q con p, q + kπ cos p cos q sin ( p + q) cot p + cot q con p, q π + kπ sin p sin q sin( q p) cot p cot q con p, q π + kπ sin psin q Formule di werner sin α sin β [ cos( α β ) cos( α + β )] [ cos( α + β ) cos( α β )] α cos β cos α + β + cos α β α cos β [ sin α + β + sin α β ] cos [ ] sin Pgin 9

20 Clsse V E Trigonometri Primo teorem dei tringoli rettngoli Secondo teorem dei tringoli rettngoli Teorem dell re del tringolo Teorem del coseno o di Crnot o di Pitgor generlizzto Teorem dell cord Teorem dei seni In un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto fr l ipotenus ed il seno dell ngolo opposto oppure il coseno dell ngolo cuto dicente In un tringolo rettngolo un cteto è ugule l prodotto fr l ltro cteto e l tngente dell ngolo opposto oppure l cotngente dell ngolo cuto dicente L re di un tringolo qulsisi è equivlente l semiprodotto tr due lti ed il seno dell ngolo compreso tr essi. In un tringolo qulsisi il qudrto di un lto è congruente ll somm dei qudrti degli ltri due diminuit del doppioprodotto dei due lti per il coseno dell ngolo compreso tr essi. In un circonferenz un cord è sempre ugule l dimetro per il seno dell ngolo ll circonferenz che insiste sull cord In un tringolo qulunque il rpporto fr un lto ed il seno dell ngolo opposto è costnte ed è ugule l dimetro dell circonferenz circoscritt m nche l rpporto tr il prodotto dei lti ed il doppio dell re. L Circonferenz Definizione L Circonferenz è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto centro. L distnz è dett rggio dell circonferenz c Equzione 0 Coordinte del centro o o Rggio r + c 4 4 Vlori di > 0 Il centro è nel II o nel III qudrnte 0 Il centro è sull sse delle < 0 Il centro è nel I o nel IV qudrnte Vlori di > 0 Il centro è nel III o nel IV qudrnte 0 Il centro è sull sse delle < 0 Il centro è nel I o nel II qudrnte Vlori di c c 0 L circonferenz pss per l origine Equzione circonferenz goniometric + Punti, rette e circonferenze Posizioni reciproche di un punto e un circonferenz Posizioni reciproche di un rett e di un circonferenz Il punto può essere esterno, interno o sull circonferenz. In quest ultimo cso le coordinte del punto soddisfno l equzione Può essere estern (nessun punto in comune), secnte (due punti di intersezione) e tgente (due punti di intersezioni coincidenti) Pgin 0

21 Clsse V E Determinre le tngenti condotte d un punto d un circonferenz Dti P(8;) Prolem Condurre le tngenti d P ll circonferenz. I Metodo Considero il fscio di rette pssnte per P di equzione: m 8 m 8m + Lo interseco con l equzione dell circonferenz ponendo come condizione che si tngente m 8m + Sviluppndo l prim sostituendo vrò in form normle: ( + m ) + ( 6m m ) + 64m + 3m 3 0 Per trovre il vlore di m per cui l rett si tngente noto che: > 0 L rett è secnte ll circonferenz 0 L rett è tngente < 0 L rett è estern ll circonferenz Pongo quindi 0 e dopo i clcoli otterrò: m + 7m m 4 4 m 3 3 m 4 Sostituisco quindi i due vlori di m trovti nell equzione del fscio trovndo così le due rette Pgin

22 II Metodo Clsse V E Considerimo sempre il fscio m di rette per P m 8 m + Sppimo dell equzione dell circonferenz che r 5e che K (; ) Clcolo quindi l distnz del centro di queste due rette e l pongo ugule 5. m 8m m 7m m + m + + 4m 5 + 5m 4m + 4m 4 0 Che è poi l stess equzione trovt precedentemente. Dividimo quindi per due e procedimo come sopr m + 7m m 4 4 m 3 3 m 4 Ricostituimo i vlori ed ecco, con molti meno clcoli, le due rette tngenti III Metodo Solmente se il punto pprtiene ll circonferenz e quindi le rette sono due coincidenti Es. Q ( ; ) Notimo che KQ t quindi è ovvio che mt m kq Trovt quindi l rett pssnte per k e per q è immedito trovre l tngente. N.B. Se il punto è interno ll conic llor non vi sono rette soluzioni. Se il punto è sull conic vi è un rett soluzione Se il punto è esterno ll conic vi sono due rette soluzione. Pgin

23 Clsse V E Trovre l equzione di un circonferenz Per trovre l equzione di un circonferenz, o di un conic in generle, occorrono tre condizioni, in qunto viene generto un sistem in tre incognite,, c. Ecco qui le vrie possiilità e come comportrsi di conseguenz.. Viene dto il centro In questo cso le condizioni sono due. Bsterà semplicemente sostituire le coordinte del centro nell relzione o o Per trovre e. Viene dto il rggio Sostituimo r nell relzione r + c 4 4 Molto scomod d usre come condizione meno di non ver già trovto e 3. Vengono dti centro e rggio L circonferenz può essere individut come luogo geometrico ponendo l distnz fr il centro ed un punto generico ugule l rggio 4. Viene dto un punto pprtenente ll circonferenz Sostituimo le coordinte del punto nell equzione generic dell circonferenz. Otterremo così un equzione in, e c che costituisce un condizione 5. Vengono dti tre punti dell circonferenz Oltre d usre il metodo sopr citto possimo individure il centro come il circocentro del tringolo formto di tre punti ed il rggio come l distnz tr il circocentro ed uno dei punti 6. Viene dt un rett tngente Intersechimo l equzione dell rett con quell dell circonferenz generic e ponimo 0 7. Vengono detto che il centro è sull isettrice del primo e del terzo qudrnte Vuol dire semplicemente che Se il centro fosse sull isettrice del secondo e del qurto 8. Viene detto che l circonferenz pss per l origine degli ssi Vuol dire semplicemente che c 0 Pgin 3

24 L Prol Definizione Prol verticle Equzione Clsse V E Luogo geometrico dei punti equidistnti d un punto fisso detto fuoco e d un rett dett isettrice + + c con 4c Vlore di ( o d ) Vlore di o ( o d ) Vlore di c o + o d c ( o d ) Coordinte del fuoco F ; 4 Equzione dell direttrice + 4 Equzione dell sse di simmetri Coordinte del vertice V ; 4 Vlore di Se > 0 il fuoco è l di sopr dell direttrice e l prol volge quindi l propri concvità verso l lto. Se < 0 l prol volge l propri concvità verso il sso. 0 per definizione (diventeree un rett) Vlore di c Tutte le prole pssno per il punto P ( 0 ;c), che h il significto di ordint ll origine. Quindi se c 0 l prol pss per l origine degli ssi Vlore di Se e discordi llor il vertice si trov nel primo o nel secondo qudrnte. Se e concordi llor il vertice si trov nel terzo o nel qurto qudrnte. Se 0 il vertice è sull sse delle scisse. Vlore del > 0 llor l prol h due intersezioni con l sse delle. 0 llor l prol è tngente ll sse. < 0 llor l prol non incontr l sse delle. Proprietà del vertice Il vertice è il punto medio tr fuoco e direttrice. Pgin 4

25 Prol orizzontle Equzione Clsse V E + + c con 4c Vlore di ( o d ) Vlore di o ( o d ) Vlore di c o + o d c ( o d ) Coordinte del fuoco F ; 4 Equzione dell direttrice + 4 Equzione dell sse di simmetri Coordinte del vertice V ; 4 Vlore di Se > 0 il fuoco è destr dell direttrice e l prol volge quindi l propri concvità verso destr. Se < 0 l prol volge l propri concvità verso sinistr. 0 per definizione (diventeree un rett) Vlore di c Tutte le prole pssno per il punto P ( c;0), che h il significto di sciss ll origine. Quindi se c 0 l prol pss per l origine degli ssi Vlore di Se e discordi llor il vertice si trov nel primo o nel qurto qudrnte. Se e concordi llor il vertice si trov nel secondo o nel terzo qudrnte. Se 0 il vertice è sull sse delle ordinte. Vlore del > 0 llor l prol h due intersezioni con l sse delle. 0 llor l prol è tngente ll sse. < 0 llor l prol non incontr l sse delle. Proprietà del vertice Il vertice è il punto medio tr fuoco e direttrice. Pgin 5

26 Clsse V E Determinre le tngenti condotte d un punto d un prol L unico metodo possiile è quello che nell circonferenz imo usto per primo, quindi:. Trovre il fscio di rette per il punto. Intersecrle con l equzione generic dell prol 3. Porre 0 4. Sostituire i due vlori di m trovti nell equzione del fscio Determinre l equzione di un prol Anche qui ci vogliono tre condizioni. Ponimo che l tipologi di prol si quell verticle.. Viene dto un punto pprtenente ll prol Sostituimo le coordinte del punto nell equzione generic dell prol. Otterremo così un equzione in, e c che costituisce un condizione. Viene dt un rett tngente Intersechimo l equzione dell rett con quell dell prol generic e ponimo 0 3. Vengono dte un o due delle coordinte del fuoco Bst ricordre che f f 4 E sostituire 4. Viene dt l direttrice Intersechimo l equzione dell direttrice e l equzione generic dell direttrice 5. Viene dto l sse di simmetri Intersechimo l equzione dell sse e l equzione generic dell sse di simmetri 6. Viene dto il vertice Ricordimo che v v Vengono dti due tr vertice, fuoco e direttrice E possiile trovre il terzo sfruttndo il ftto che il vertice è il punto medio tr fuoco e direttrice. L prol può essere poi trovt come luogo geometrico ponendo l distnz tr il vertice e un punto generico ugule ll distnz tr l direttrice e lo stesso punto generico. 4 Pgin 6

27 Clsse V E Equzioni goniometriche Sono le equzioni in cui l incognit compre come rgomento. Esempio 3 sin π + kπ 3 π + kπ 3 Le equzioni come l precedente sono dette elementri. Per risolvere un equzione goniometric è sempre necessrio ricondurl d un elementre medinte clcoli. Equzioni omogenee Sono equzioni in cui tutti i memri che li compongono hnno lo stesso grdo. sin + sin cos + c cos 0 Notimo che nel cso ci fossero numeri è possiile trsformrli in seno e coseno con l prim relzione fondmentle e ricondurre l equzione ll form di cui sopr. Risoluzione sin 3 sin cos 0 Controllimo se π + kπ è soluzione. Qui verree 0 quindi no. Dividimo tutto per cos e ottenimo un equzione in tngente che sppimo risolvere. tn 3 tn 0 kπ π + kπ 3 Pgin 7

28 Clsse V E Equzioni goniometriche lineri in seno e coseno sin + cos + c 0 Esempio 3 sin + cos Vi sono tre metodi risolutivi: ) Formule prmetriche Prim di trsformre l equzione è necessrio controllre se π + k fosse soluzione. In questo cso verree 0 quindi non è soluzione. Se lo fosse ndree ggiunt ll fine. 3 tn tn + + tn + tn tn 3 tn 0 kπ kπ π + kπ π + kπ 3 3 ) Metodo dell ngolo ggiunto Dividimo entrmi i memri dell equzione per + possimo utilizzre le formule di somm e sottrzione. 3 sin + cos, se risultno ngoli prticolri llor In questo cso posso vedere 3 come il seno di 3 π ed come il suo coseno. π cos 3 π π + kπ π + kπ π π + kπ kπ 3 3 Pgin 8

29 3) Metodo grfico Considero sin Clsse V E cos Li sostituisco nell equzione e l interseco con quell dell circonferenz goniometric È un ttimo notre che e l circonferenz: 3 3 è il vlore dell tngente dell ngolo di 50, quindi disegnmo l rett L ngolo interno ll circonferenz misur quindi 30, l ltro l centro 60, quindi il suo supplementre 0. Bst quindi ssumere come soluzioni l ngolo di 0 e l ngolo di 0. Se non si riesce fre questo rgionmento semplice st risolvere il sistem. 0 3 Ricordndo che: sin cos Pgin 9

30 Clsse V E Rdicli doppi Visto che durnte l risoluzione delle equzioni può cpitre di dover risolvere un rdicle doppio, ritengo utile ricordre il metodo. Supponimo di dover scomporre il rdicle doppio: 3+ 3 Posso gire in metodi: I metodo Considero il rdicle come un qudrto di inomio di cui: Scompongo 6 3 e trovo per qule coppi di vlori l somm dei qudrti f ( 6 3) ( 3 3) ( 3) 9 + ( 3) no 6 + Si può scomporre quindi in ( 6 + 3) II metodo no si no Porto il coefficiente dell rdice dentro e controllo se è un qudrto perfetto. In questo cso (l rdice di è 3) posso usre l seguente formul: + ± in questo cso Pgin 30

31 Ellisse Definizione Ellisse con i fuochi sull sse delle Equzione Clsse V E Luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi. + F ± ;0 Coordinte dei fuochi Distnz Focle, c F F c Vlore di c c A ± ;0 Asse mggiore, A A B 0; ± Asse minore, BB Relzione tr, e c + c Eccentricità c e Ellisse con i fuochi sull sse delle Equzione + F 0; ±c Coordinte dei fuochi Distnz Focle, F F c Vlore di c c A ± ;0 Asse mggiore, A A B 0; ± Asse minore, BB Relzione tr, e c + c Eccentricità c e Pgin 3