RSA e PARIGP: POSSIBILI ATTACCHI

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1 RSA PARIGP: POSSIBILI ATTACCHI Di Cristiano Armllini, Supponiamo i consirar un problma RSA : p 7, q, n 87 ϕ( n) (7 )( ) 60 7, MCD(, ϕ( n)), mo( ϕ( n)) C M M C,mo( n),mo( n) ov la chiav pubblica è (n, ), la chiav privata è (n, ) mntr C è il tsto cifrato M è il tsto in chiaro. Un mtoo pr attaccar l RSA ovvro pr crittar un tsto cifrato intrcttato a sotto il nom i chosn ciphrtxt consist in qusto procimnto: L intruso intrctta un tsto criptato C 88 7,mo(87) a Alic ch ovviamnt non risc criptar L intruso scgli un intro a caso a smpio R 3 calcola C 3 7 R C *, mo(87) 2 Invia C a Alic chinolo i criptarlo ottin quini M C,mo( n) 77 A qusto punto l intruso calcola C R R C R C R C M M R 88 ottnno quini il tsto in

2 chiaro snza la ncssità i scomporr il numro n /o i trovar la chiav privata alla chiav pubblica. Quini mai applicar la funzion i cifratura o la firma igital a un ocumnto casual: è opportuno applicar la funzion i hash prima i firmar igitalmnt. Un altro tipo i attacco lmntar riva al fatto ch s un intruso cattura u coifich i un mssaggio M miant u chiavi pubblich n, );( n, ) ottin ( 2 2 C M mo( n); C2 M mo( n) In quasi tutti i casi, ) MCD quini sistono r, s tali ch + s ( 2 r (r<0). Allora è 2 r s r s r + s2 facil vrificar ch C C ( C ) C M M,mo( ) 2 2 n quini il mssaggio in chiaro. Sarbb bn ch quini ogni n non v potr ssr usato a più i un utnt. Nl cycling attack invc si prova tutta una sri i valori i k confiano ch s C M mo(n) C k k ( M ) M,mo( n) pr valori i k non troppo grani intri positivi 7 7 ( 88 mo(87), mo(87) 88. Pr vitar qusto tipo i attacchi occorr ch p-, q- abbiano almno un fattor molto gran. Da qust not riva ch crcar i fattorizzar n non è l unico moo pr attaccar l RSA. In tutti i casi è bn ch n sia composto a u fattori primi

3 molto grani, molto istanti tra loro ma smpr lla stssa imnsion tali ch n+, n- non siano formati a soli fattori primi piccoli. Di sguito riporto il coic i u applicativi in PARI/GP, il primo ch implmnta l algoritmo RSA ch può cifrar/cifrar, pr smplicità un carattr alla volta; il scono è l algoritmo i Diffi Hlmann pr la trasmission i una chiav sgrta in un canal insicuro (costruzion a istanza lla chiav sgrta: RSA {rsa p nxtprim(ranom(0^3)); q nxtprim(ranom(0^3)); n p*q; print ("n", n); phin (p-)*(q-); print ("p", p); print ("q", q); print ("phin", phin); ranom(n); whil(gc(, phin)!, +); print ("", ); lift(mo(, phin)^(-)); print ("", ); {cifratura(m, n, ) rturn (lift(mo(m^,n))); {cifratura(c, n, ) rturn (lift(mo(c^,n))); Qusta implmntazion ha il limit ch occorr cifrar/cifrar un carattr alla volta ov ogni carattr è sprsso attravrso un suo valor numrico (s coic ASCII).

4 Diffi Hlmann (scambio lla chiav) {primopasso(a, p, y) alfa lift(mo(y^a, p)); rturn (alfa); {sconopasso(bta, A, p) co lift(mo(bta^a, p)); rturn (co); Nl primo passo ogni soggtto gnra il coic a inviar all altro soggtto, nl scono passo ogni soggtto, ricvuto il coic all altro n gnra uno nuovo ch è un coic comun, ovvro la passwor. E l cart i crito? Ogni carta i crito è formata a 6 cifr ivisa in gruppi i 4 ABCD EFGH IJKL MNOP. L prim 4 cifr sono trminat all nt ch rilascia la carta, la quinta all nt finanziario ch gstisc la carta (VISA, MASTERCARD, cc). I numri ll cart i crito sguono l algoritmo i Luhn ovvro un numro i carta i crito a 6 cifr è corrtto s il oppio lla somma ll cifr ch occupano una posizion ispari più la somma ll cifr ch occupano un valor pari più il numro i cifr in posizioni ispari maggiori i 4, v ssr un multiplo i 0, ovvro 2(A+C+E+G+I+K+M+O)+(B+D+F+H+J+L+N+P) + numro i cifr in posizioni ispari maggiori i 4 0 moulo 0. Qust consirazioni ci suggriscono ch s vngono intrcttati alcuni

5 numri i un carta i crito si può pnsar, attravrso un computr, i ffttuar un attacco a forza bruta sull cifr rimannti pr ogni combinazion trminar s è ammissibil scono l algoritmo i Luhn quini sclur qull combinazioni ch non sono ammissibili. E comunqu a tnr prsnt ch non basta conoscr il numro i una carta i crito pr usarla: occorr sapr il coic a tr cifr posto sul rtro lla carta (000 possibilità) la ata i scanza sprssa nlla forma mm/gg ovvro ms (2 possibilità) anno (vari possibilità, almno 5).