IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA

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1 IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe A Tecico Agrario Lezioe di martedì 0 ovembre 0 (4 e ora) Disciplia: MATEMATICA La derivata della fuzioe composta Fuzioe composta Df(g())f (g())g () Questa regola è uo degli strumeti più poteti per il calcolo delle derivate. Le fuzioi composte soo fuzioi che possoo scomporsi i fuzioi più semplici; cosideriamo ad esempio la fuzioe f()( ) ; La sua derivata può calcolarsi calcolado il quadrato ( ) 9 6+ e quidi la derivata del poliomio f ()8 66( ). Ma c'è u altro modo più geerale; la f() è composta di due fuzioi elemetari il poliomio e il quadrato. Dall'equazioe al grafico della parabola Il procedimeto cosigliato per disegare ua parabola di equazioe y a + b + c è il seguete.. Dall'equazioe ricavare i valori di a, b, c. Ricorda che a è sempre il coefficiete di, b è il coefficiete di (se maca, allora b 0) e c è il termie oto (se maca, allora c 0).. Calcolare il discrimiate.. Determiare la posizioe dell'asse di simmetria, che corrispode ache all'ascissa del vertice. Tracciare l'asse di simmetria. 4. Calcolare l'ordiata del vertice. Si può procedere i due modi equivaleti: utilizzado la formula oppure sostituedo ell'equazioe della parabola il valore dell'ascissa otteuto precedetemete. Disegare il vertice el grafico.. Calcolare l'itersezioe della parabola co l'asse y. Notare che il sistema ha sempre come uica soluzioe (0 ; c). Disegare sul grafico il puto (0 ; c) e il suo simmetrico rispetto all'asse della parabola. 6. Calcolare le evetuali itersezioi co l'asse risolvedo il sistema Prima di procedere cotrollare il sego del discrimiate della parabola! Se il discrimiate è egativo saltare questo passaggio, l'equazioe è impossibile e o ci soo itersezioi co l'asse. Se il discrimiate è zero, la parabola tocca l'asse i u solo puto (è tagete) che corrispode al vertice. Se il discrimiate è positivo procedere risolvedo l'equazioe: Disegare i puti evetualmete trovati e cotrollare che siao simmetrici rispetto all'asse di simmetria della parabola. /

2 7. Osservare il grafico. Se è ecessario, calcolare altri puti costruedo ua tabella di soluzioi dell'equazioe (assegare ad coveieti valori e calcolare i corrispodeti valori di y). Ricordarsi che la parabola è simmetrica, quidi ogi puto calcolato permette di disegare due. 8. Quado le iformazioi trovate soo sufficieti per disegare il grafico, uire i puti trovati co ua curva. 9. Cotrollare i risultati otteuti i relazioe al sigificato dei coefficieti a, b, c. /

3 LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a a a D 6 D D 4 4 derivata di u moomio () D ( a ) a 0 0 D , D ( ) 0 0, D derivata di u moomio co () D ( ) derivata di u moomio co a 0 (4) D ( c ) 0 D ( 4) 0, D ( 0) 0, () D ( ) D 0 Più i geerale risulta: α α D α ( α reale qualsiasi ) (.) derivata di ua costate derivata di u moomio co a 0 Ricordado le regole delle poteze: a) a a b) a a c) a a seguoo varie proprietà applicate ei segueti D + ( + ) D, D 4, D 8 8, D ( ),

4 Se α allora si ha: D che si può scrivere, i modo più semplice, come segue: D (6) D ( ), D, D derivata della radice -esima 4 Più i geerale si ottiee: f ' (7) D [ f ] f ( 4 + ) D D D ( + ) (8) [ ] derivata della radice -esima di ua fuzioe ( 4 + ) 4 ( + ) 4 + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) [ ] D a f ± b g a D f ± b D g derivata della somma ( o differeza ) e liearità D D 4 + D + 7D + 6D ( ) 4 ( ) D D D + 4D 6D D D D [ ] [ ]' ' ' D f g f g f g + f g derivata del prodotto (9) [ ] ( ) ( ) ( + ) ( + ) + ( ) D [( + ) ( + )] ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) D [( ) ( + 4) ] ( ) ( + 4) + ( ) ( + 4) D 4

5 Esercizio: Disegare il grafico de lla parabola di equa zioe y Dall equazioe della parabola ricavo i valori dei coefficieti: a, b, c. (poiché a < 0 la parabola ha la cocavità verso il basso). Calcolo il discrimiate b 4ac () 4( )() (poiché > 0 la parabola ha due itersezioi co l asse ). La posizioe dell asse di simmetria è b. a ( ) Traccio sul grafico l asse di simmetria tratteggiado ua retta parallela all asse y ella posizioe. 4. Il valore è ache l ascissa del vetrice (che si trova sempre sull asse di simmetria). Per calcolare l ordiata del vertice posso seguire uo dei due metodi: 6 Utilizzo la formula y V 4 4a 4( ) Sostituisco il valore di ell equazioe della parabola y () + () + 4 V Quidi il vertice ha coordiate V( ; 4). Disego il vertice sul grafico.. La parabola iterseca l asse y el puto di ordiata c. Disego sul grafico il puto A(0 ; ). Disego ache il puto simmetrico rispetto all asse della parabola A( ; ). 6. Poiché > 0 calcolo le itersezioi co l asse utilizzado la formula risolutiva dell equazioe di grado: b ± () ± 6 ± 4, da cui a ( ) e. Disego sul grafico i puti B( ; 0) e C( ; 0). Cotrollo che siao simmetrici rispetto all asse della parabola.

6 7. I puti soo sufficieti per disegare la parabola co la precisioe richiesta? I questo caso preferisco calcolare altri puti. Scelgo di calcolare il puto di ascissa 4. Sostituisco ell equazioe della parabola: y (4) + (4) (*). Disego sul grafico il puto di coordiate D(4 ; ) Disego ache il puto simmetrico rispetto all asse della parabola D( ; ). (*) Per calcolare i puti si può ache utilizzare ua tabella come fatto co la retta. I questo caso ho calcolato i valori: y + + Vertice () + () + 4 Puto A 0 (0) + (0) + Puto D 4 (4) + (4) + 8. Ritego di avere sufficieti puti, li uisco co ua curva.