Calcolo di integrali. max. min. Laboratorio di Calcolo B 42

Transcript

1 Calcolo di intgrali Supponiamo di dovr calcolar l intgral di una funzion in un intrvallo limitato [ min, ma ], di conoscr il massimo d il minimo dlla funzion in tal intrvallo. S gnriamo n punti uniformmnt distribuiti nl rttangolo [ min, ma ][f min,f ma ] avrmo ch la frazion p di punti ch cadono sotto la funzion è pari al rapporto tra l intgral l ara dl rttangolo A. La distribuzion di succssi è binomial si ha: I σ ( I ) ma min f ( ) d A p(1 n Ap p) Laboratorio di Calcolo B 4

2 Calcolo di π S in particolar si scgli com funzion l quazion dl crchio nll intrvallo [0,1][0,1] si può dtrminar il valor di π. Qusta è stata la prima applicazion dl mtodo di montcarlo (Buffon 1777). I 1 1 d 0 Laboratorio di Calcolo B 43 π 4

3 Gnrazion di distribuzioni di probabilità arbitrari Abbiamo visto com gnrar vnti con distribuzion di probabilità uniform, d abbiamo anch visto in qual contsto tali vnti sono utili. Tuttavia la maggior part di problmi di statistica applicati alla fisica richidono vnti con distribuzioni di probabilità non uniformi. È quindi important imparar a gnrar vnti distribuiti scondo una gnrica dnsità di probabilità a partir da vnti distribuiti uniformmnt. Laboratorio di Calcolo B 44

4 Il mtodo dlla rizion Supponiamo ch la distribuzion da gnrar, f(), sia dfinita nll intrvallo [ min, ma ] sia, in tal intrvallo, comprsa tra 0 f ma. S straiamo un valor di uniformmnt in [ min, ma ] potrmo dcidr s accttarlo o mno sulla bas di una sconda strazion uniform y in [0, f ma ] : s y è minor di f() accttiamo il valor di, altrimnti lo rigttiamo. Qusto mtodo gnra, pr costruzion, la distribuzion di probabilita dsidrata. Il mtodo è qullo usato pr il calcolo dll intgral. Laboratorio di Calcolo B 45

5 Limiti dl mtodo di rizion Il mtodo di rizion non può trattar distribuzioni di probabilità in intrvalli non limitati. Inoltr il mtodo risulta molto infficint nl caso si manipolino distribuzioni con picchi strtti (in qusto caso ci sono molt rizioni...). Nl caso dlla gaussiana qusto mtodo non è applicabil. Il fatto ch modulando una distribuzion uniform con il valor dlla dnsità di probabilità si ottnga l intgral di tal distribuzion ci suggrisc ch possa sistr un lgam funzional tra l intgral di una dnsità di probabilità d una variabil alatoria distribuita uniformmnt. Qusta ida è alla bas dl mtodo di invrsion. Laboratorio di Calcolo B 46

6 Il mtodo di invrsion Data la solita f(), dfinita in [ min, ma ], crchiamo una funzion g tal ch, s η èuna variabil alatoria distribuita uniformmnt in [0,1], allora g(η) è distribuita scondo f in [ min, ma ]. Potrmo porr: g(0) min g(1) ma p(η)dη dη f()d 0 1 η min ma Laboratorio di Calcolo B 47

7 Il mtodo di invrsion Cominciamo ad affrontar il problma invrso, ovvro dato distribuito scondo f() gnrar η. Considriamo la funzion intgral normalizzata: Si vd subito ch g -1 ( min ) 0 ch g -1 ( ma ) 1; proviamo adsso a calcolar la dnsità di probabilità di η. Sappiamo ch: 1 min η g ( ) ma f min f ( q) dq ( q) dq p ( η) dη f ( ) d Laboratorio di Calcolo B 48

8 Quindi: Il mtodo di invrsion 1 dη dg ( ) p ( η) p( η) d d Ma la drivata di g -1 () è f() da cui: ( ) p( η) f ( ) f ( ) p( η) Abbiamo quindi dimostrato ch s f() è una dnsità di probabilità la sua funzion intgral è una variabil alatoria distribuita uniformmnt in [0,1]. A qusto punto dobbiamo ssr capaci di invrtir g -1 pr ottnr g. Val la pna di ossrvar ch non sistono motivi pr cui min d ma non possano tndr all infinito. Va ossrvato pur ch il mtodo richid il calcolo dll intgral di f, quindi non si applica alla gaussiana. Laboratorio di Calcolo B 49 f 1

9 Il mtodo di invrsion: smpio Dobbiamo gnrar numri distribuiti scondo un sponnzial ngativo in [0, ]. Calcoliamo g -1 : η g 1 ( ) 0 0 q q dq dq 1 Invrtiamo pr ottnr g: g( η) log(1 η) S quindi straiamo numri η uniformmnt distribuiti in [0,1] calcoliamo g(η) ottniamo numri distribuiti sponnzialmnt in [0, ]. Laboratorio di Calcolo B 50

10 Laboratorio di Calcolo B 51 Gnrazion di una Gnrazion di una gaussiana gaussiana II II Considriamo una gaussuana in du dimnsioni: Scritta in coordinat polari divnta: Qusta funzion si può intgrar: du rdr rdrd r G ddy y G u r 0 0 / 0 0 ), ( ), ( π π θ θ π / ), ( r r G θ ) / ( / / ), ( y y y G +

11 Laboratorio di Calcolo B 5

12 Gnrazion di una gaussiana II La rictta da sguir è quindi: Si gnrano du numri θ u, uno distribuito uniformmnt in [0,π], l altro sponnzialmnt in [0, ]. Si convrtono qusti numri in coordinat cartsian si ottngono du numri y distribuiti gaussianamnt; in formul: u log(1 η ) r θ y u πη r cos( θ ) r sin( θ ) Laboratorio di Calcolo B 53 1

13 Traccia pr l sprinzal Gnrar una distribuzion arbitraria usando il mtodo di rizion. Gnrar una distribuzion sponnzial usando il mtodo di invrsion. Gnrar una gaussiana usando la distribuzion bi-dimnsional. Vrificar con un fit la corrttzza dll distribuzioni ottnut ni tr casi. La gnrazion di una distribuzion gaussiana in du dimnsioni è una buona occasion pr familiarizzar con gli istogrammi bi-dimnsionali. Laboratorio di Calcolo B 54