Corrente alternata. Capitolo Grandezze utilizzate. Simbolo Definizione Unità di misura Simbolo unità di misura. I Corrente ampere A

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1 Capitolo 3 Corrente alternata 3. Grandezze utilizzate Simbolo Definizione Unità di misura Simbolo unità di misura I Corrente ampere A V Tensione volt V R Resistenza ohm Ω C Capacità farad F L Induttanza henry H X L Reattanza induttiva ohm Ω X C Reattanza capacitiva ohm Ω X Reattanza ohm Ω Impedenza ohm Ω f Frequenza hertz Hz t tempo secondi s T Periodo secondi s ϕ Sfasamento gradi 40

2 3.. FORMULARIO 4 Simbolo Definizione Unità di misura Simbolo unità di misura p Potenza istantanea watt W P Potenza attiva watt W Q Potenza reattiva voltampere reattivi VAr A Potenza apparente voltampere VA 3. Formulario Grandezze alternate (è riportato come esempio il caso della corrente): Simbolo i I M I m I Definizione Valore istantaneo Valore massimo Valore medio Valore efficace i = I M sin ( π f t) (3.) I = IM I M = I (3.) Reattanze ed impedenza X C = X L = π f L f = X L π L π f C f = π X C C L = C = X L π f (3.3) π f X C (3.4) X = X L X C X L = X + X C X C = X L X (3.5) = R + X = R +(X L X C ) R = X X = R Legge di Ohm V = I I = V = V I (3.6) (3.7) V R = R I I = V R R R = V R I (3.8) V L = X L I I = V L X L X L = V L I (3.9)

3 4 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA V C = X C I I = V C X C X C = V C I (3.0) Sfasamento ) ) ϕ =sin ( X ϕ = cos ( R (3.) Potenze P = V R I I = P V R V R = P I (3.) Q L = V L I I = Q L V L V L = Q L I (3.3) Q C = V C I I = Q C V C V C = Q C I (3.4) Q = Q L Q C Q L = Q + Q C Q C = Q L Q (3.5) A = V I I = A V V = A I (3.6) A = P + Q = P +(Q L Q C ) P = A Q Q = A P (3.7) P = V I cos ϕ Q = V I sin ϕ (3.8)

4 3.3. ESERCII Esercizi Esercizio 3. Grandezze alternate Sia data una grandezza alternata (per semplicità si assuma la corrente). Sapendo che il suo valore massimo è di 0 e la frequenza di 30 Hz, calcolare il valor medio, il valor minimo, il valore efficace e il valore istantaneo dopo 5 s. [I Min = 0; I m =0; I =7, 07; i = 8, 09] I M = 0 f = 30 Hz I Min =? I m =? I =? i =?at = 5 s Il valor minimo è l opposto del valor massimo: I Min = I M = 0 In una grandezza alternata il valor medio è nullo: Il valor efficace si calcola dal valor massimo: Il valore istantaneo a t = 5 s: Esercizio 3. I m =0 I = IM = 0 =7, 07 i = I M sin ( π f t) = 0 sin ( 3, ) = 8, 09 Sia data una grandezza alternata (per semplicità si assuma la tensione). Sapendo che il suo valore efficace è di 4, 4 e la frequenza di 50 Hz, calcolare il valor medio, il valor massimo, il valore minimo e il valore istantaneo dopo s. [V M = 0; V Min = 0; V m =0; v =4, 6] V = 4,4 V M =? V Min =? V m =? v =?at = s

5 44 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Il valor massimo si ricava dal valore efficace: V M = V = 4, 4 = 0 Il valor minimo è l opposto del valore massimo: V Min = V M = 0 In una grandezza alternata il valor medio è nullo: V m =0 Il valore istantaneo a t = s: v = V M sin ( π f t) = 0 sin ( 3, 4 50 ) = 4, 6 Esercizio 3.3 Reattanze ed impedenze Calcolare l induttanza di un induttore sapendo che, inserito in un circuito operante a 50 Hz, la sua reattanza vale 35 Ω. [L = mh] X L = 35 Ω L =? L = X L π f = 35 =0, H 3, , H = mh Esercizio 3.4 Calcolare la capacità di un condensatore sapendo che, inserito in un circuito operante a 50 Hz, la sua reattanza vale 35 Ω. [C = 9 µf] X C = 35 Ω C =? C = π f X C = 3, = F

6 3.3. ESERCII F = 9 µf i = I M sin ( π f t) (3.9) Analisi di circuiti Esercizio 3.5 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5 Ω, l induttore un induttanza L da 5 mh, scorre una corrente di 8 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l impedenza equivalente, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente. a [X L =7, 85 Ω; = 6, 9Ω; V R = 0 V; V L = 6, 8 V; V = 35, V anticipo; ϕ = 7, 68 ] R R = 5 Ω L = 5 mh I =8A V G X L =? =? V R =? V L =? V =? ϕ =? Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale: L 5 mh = H Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l induttanza e la frequenza: X L = π f L = 3, =7, 85 Ω L impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: = R + X L = 5 +7, 85 = 5 + 6, 6 = 86, 6 = 6, 9Ω Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Ohm: V R = R I = 5 8 = 0 V

7 46 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA V L = X L I =7, 85 8 = 6, 8 V V = I = 6, 9 8 = 35, V Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l impedenza: ( ) ( ) ϕ =sin XL 7, 85 =sin = 7, 68 6, 9 Esercizio 3.6 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5 Ω, l induttore un induttanza L da 8 mh, la tensione massima erogata dal generatore è 35 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l impedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione. a [X L =, 5Ω; =5, 6Ω; I = 4 Aritardo;V R = 05 V; V L = 0, 5 V; ϕ = 6, 5 ] R R =5Ω L =8mH V M = 35 V V G X L =? =? I =? V R =? V L =? ϕ =? Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale: L 8 mh =8 0 3 H Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l induttanza e la frequenza: X L = π f L = 3, =, 5Ω L impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: = R + X L = 5 +, 5 = 5 + 6, 5 = 3, 5 = 5, 6Ω La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Ohm dopo aver calcolato il valore efficace della tensione: V = VM = 35 = 30 V

8 3.3. ESERCII 47 I = V = 30 5, 6 = 4 A Conoscendo ora la corrente possiamo calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in serie sono attraversati dalla stessa corrente: V R = R I =5 4 = 05 V V L = X L I =, 5 4 = 0, 5 V Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l impedenza: ( ) ( ) ϕ =sin XL, 5 =sin = 6, 5 5, 6 Esercizio 3.7 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5Ω,il condensatore una capacità C da mf, scorre una corrente di 4 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza del condensatore, l impedenza equivalente, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente. a [X C =3, Ω; =5, 94 Ω; V R = 0 V; V C =, 8 V; V = 3, 76 Vritardo;ϕ = 3, 6 ] R R =5Ω C =mf I =4A V G X C =? =? V R =? V C =? V =? ϕ =? Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale: C mf = 0 3 F Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l induttanza e la frequenza: X C = π f C = =3, Ω 3, L impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: = R + X C = 5 +3, = 5 + 0, 4 = 35, 4 = 5, 94 Ω

9 48 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Ohm: V R = R I =5 4 = 0 V V C = X C I =3, 4 =, 8 V V = I =5, 94 4 = 3, 76 V Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l impedenza: ( ) ( ) ϕ =sin XC 3, =sin = 3, 6 5, 94 Esercizio 3.8 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 30 Ω, il condensatore una capacità C da µf, la tensione massima erogata dal generatore è 35 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l impedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione. a [X C = 65, 4Ω; = 95, 5Ω; I =0, 78 A anticipo; V R = 0, 4 V; V C = 07 V; ϕ = 63, 9 ] R R = 30 Ω C = µf V M = 35 V V G X C =? =? I =? V R =? V C =? ϕ =? Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale: C µf = 0 6 F Per calcolare la reattanza capacitiva, usiamo la capacità e la frequenza: X C = π f C = = 65, 4Ω 3, L impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: = R + X C = , 4 = = 8.64 = 95, 5Ω

10 3.3. ESERCII 49 La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Ohm dopo aver calcolato il valore efficace della tensione: V = VM = 35 = 30 V I = V = 30 =0, 78 A 95, 5 Conoscendo ora la corrente possiamo calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in serie sono attraversati dalla stessa corrente: V R = R I = 30 0, 78 = 0, 4 V V C = X C I = 65, 4 0, 78 = 07 V Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l impedenza: Esercizio 3.9 ( ) ( ) ϕ =sin XC 65, 4 =sin = 63, 9 95, 5 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5Ω, l induttore un induttanza L da 5 mh, il condensatore una capacità C da 300 µf, scorre una corrente di 3 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l impedenza equivalente, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente. a [X L =4, 7Ω; X C = 0, 6Ω; X = 5, 9Ω; =7, 7Ω; V R = 5 V; a V L = 4, V; V C = 3, 8 V; V = 3, Vritardo;ϕ = 50 ] R =5Ω R L = 5 mh C = 300 µf I =3A X L =? X C =? V G C L X =? =? V R =? V L =? V C =? V =? ϕ =?

11 50 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale: 5 mh = H 300 µf = F Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l induttanza e la frequenza: X L = π f L = 3, =4, 7Ω Per calcolare la reattanza capacitiva, usiamo la capacità e la frequenza: X C = π f C = = 0, 6Ω 3, La reattanza totale è data dalla differenze tra le reattanze: X = X L X C =4, 7 0, 6= 5, 9Ω L impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: = R + X = 5 +( 5, 9) = , 8= 6, =7, 7Ω Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Ohm: V R = R I =5 3 = 5 V V L = X L I =4, 7 3 = 4, V V C = X C I = 0, 6 3 = 3, 8 V V = I =7, 7 3 = 3, V Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l impedenza: ( ) ( ) X 5, 9 ϕ =sin =sin = 50 7, 7 La tensione è in ritardo rispetto alla corrente perché: X C >X L X<0 ϕ<0 (calcolato utilizzando la reattanza e sin )

12 3.3. ESERCII 5 Esercizio 3.0 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 00 Ω, l induttore un induttanza L da H, il condensatore una capacità C da 0 µf, la tensione massima erogata dal generatore è 35 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l impedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni elemento e lo sfasamento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione. a [X L = 34 Ω; X C = 59, Ω; X = 54, 8Ω; = 84, 3Ω; I =, 5 Aritardo; a V R = 5 V; V L = 39, 5 V; V C = 99 V; ϕ = 57, ] R R = 00 Ω L =H C = 0 µf V M = 35 V X L =? X C =? X =? =? I =? V R =? V L =? V C =? ϕ =? V G C Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale: L 0 µf = F Per calcolare la reattanza induttiva, usiamo l induttanza e la frequenza: X L = π f L = 3, 4 50 = 34 Ω Per calcolare la reattanza capacitiva, usiamo la capacità e la frequenza: X C = π f C = = 59, Ω 3, La reattanza totale è data dalla differenze tra le reattanze: X = X L X C = 34 59, = 54, 8Ω L impedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: = R + X C = , 8 = = = 84, 3Ω

13 5 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Ohm dopo aver calcolato il valore efficace della tensione: V = VM = 35 = 30 V I = V = 30 =, 5 A 84, 3 Conoscendo ora la corrente possiamo calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in serie sono attraversati dalla stessa corrente: V R = R I = 00, 5 = 5 V V L = X L I = 34, 5 = 39, 5 V V C = X C I = 59,, 5 = 99 V Per calcolare lo sfasamento possiamo utilizzare la reattanza e l impedenza: ( ) ( ) X 54, 8 ϕ =sin =sin = 57, 84, 3 La corrente è in ritardo rispetto alla corrente perché: X L >X C X>0 ϕ>0 (calcolato utilizzando la reattanza e sin )