Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione

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1 eori di Jourwski ü [A : ultim revisione 4 gennio 03] Si pplic l teori di Jourwski l fine di clcolre l distribuzione di tensioni tngenzili su lcune sezioni soggette sforzo di tglio.. Sezione d ê ê Figur - Un sezione comptt Disegnre il digrmm delle tensioni s 3, e clcolre il vlore dell s 3 mssim à Soluzione. Clcolo bricentro - Il bricentro dell sezione sr' situto sull'sse di simmetri verticle. Per identificre l su ltezz, si clcol l're A dell sezione, ed il momento sttico S rispetto d un sse orizzontle pssnte per l bse inferiore. Sr': A = 3 S = + d cui l' ltezz del bricentro : + = 7 3 () y = S A = 7 6 ()

2 76 eori di Jourwski.nb. Clcolo momento d' inerzi bricentrico dell' inter sezione - Si clcol il momento di inerzi dell sezione considerndol come costituit d un rettngolo superiore di bse ed ltezz, e d un qudrto inferiore di lto. Per ciscuno di essi si clcol il momento bricentrico, e si ggiunge il momento di trsporto: I = = 4 3. Clcolo del momento sttico dell prte di sezione sottostnte l cord generic, rispetto ll'sse orizzontle bricentrico: Se l cord generic A, distnz x dl bricentro, intersec il rettngolo superiore, llor il momento sttico dell're S' rispetto ll'sse x bricentrico e' fornito d: (3) S ' = x x = x (4) mentre se l cord intersec il qudrto inferiore, si h: S '' = 7 6 x 7 6 x + x = x Ne segue che l tensione tngenzile s 3 e' fornit, nei punti del rettngolo superiore, d: σ 3 = S ' I = I5 36 x 66 4 mentre nei punti del qudrto inferiore si h : M (5) (6) σ 3 = S '' M I = I49 36 x 66 4 Qulittivmente, il digrmm vr' ndmento prbolico, nnullndosi gli estremi, con un discontinuit' in corrispondenz dell'ttcctur tr rettngolo e qudrto. Il vlore delle tensioni cresce fino ll'sse bricentrico, dove il digrmm h tngenz verticle, per poi decrescere lungo l prte inferiore dell sezione. Il vlore mssimo dell tensione si rggiunge sull fibr superiore del qudrto, dove x = ê6 : σ 3 mx = 8 (8) mentre lungo l fibr inferiore del rettngolo vle l met' di quest. In corrispondenz dell fibr bricentric, si h x = 0, e quindi: (7) σ 3 br = 5 66 Il digrmm si present come : (9)

3 eori di Jourwski.nb 77 X ê ê Figur - Il digrmm delle s 3. Sezione d s s Figur 3 - Un profilto Per l sezione di Figur 3, clcolre l tensione tngenzile mssim nell'l e nell'nim

4 78 eori di Jourwski.nb à Soluzione. Clcolo bricentro - Il bricentro dell sezione sr' situto sull'sse di simmetri verticle. Per identificre l su ltezz, si clcol l're A dell sezione, ed il momento sttico S rispetto d un sse orizzontle pssnte per l bse inferiore. Sr': A = s S = s K+ s O+ s = s + K+ s O s d cui l' ltezz del bricentro : (0) y = S () A = 3 +s 4. Clcolo momento d' inerzi bricentrico dell' inter sezione - Si clcol il momento di inerzi dell sezione considerndol come costituit d un rettngolo superiore (l) di bse ed ltezz s, e d un rettngolo inferiore (nim) di bse s ed ltezz =. Per ciscuno di essi si clcol il momento bricentrico, e si ggiunge il momento di trsporto: I = s3 + s +sê y + s 3 + s y = () 4 s I5 + 6 s+5 s M 3. Clcolo dell mssim tensione tngenzile nell'l - Il mssimo vlore dell tensione tngenzile nell'l si rggiunge ll'ttcco tr l'l e l'nim, quindi lungo le corde - e b-b. Si clcoli llor il momento sttico dell're S' ombreggit rispetto ll'sse orizzontle bricentrico: b b s X s Figur 4 - Il clcolo dell tensione ll'ttcco tr l ed nim

5 eori di Jourwski.nb 79 S ' = s s K+ s y O = 8 s s +s (3) Ne segue che l tensione tngenzile s 3 e' fornit, nei punti delle corde - e b-b, d: σ 3 = S ' I s = 3 s +s I5 + 6 s+5 s M s (4) 3. Clcolo dell mssim tensione tngenzile nell'nim - Il mssimo vlore dell tensione tngenzile nell'nim si rggiunge in corrispondenz dell cord brcentric c-c. Si clcoli llor il momento sttico dell're S' ombreggit rispetto ll'sse orizzontle bricentrico: s c c X s Figur 5 - Il clcolo dell tensione mssim nell'nim y S ' = s y = s 3 +s 3 Ne segue che l tensione tngenzile s 3 e' fornit, nei punti dell cord c-c, d: (5) σ 3 = S ' I s = 3 3 +s 4 I5 + 6 s+5 s M s (6)

6 80 eori di Jourwski.nb 3. Sezione tre rettngoli Figur 7 - Un sezione comptt costruit ssemblndo tre rettngoli Disegnre il digrmm delle tensioni s 3, e clcolre il vlore dell s 3 mssim Si suddivide l sezione nei tre rettngoli di Figur 8, l cui re e momento di inerzi bricentrici sono, rispettivmente : A = 3 ; I = A = 6 3 ; I = 3 (7) A 3 = ; I = 3. Clcolo bricentro - Il bricentro dell sezione sr' situto sull'sse di simmetri verticle. Per identificre l su ltezz, si clcol l're A dell sezione, ed il momento sttico S rispetto d un sse orizzontle pssnte per l bse inferiore. Sr': A = 0 S = A +A + +A 3 d cui l' ltezz del bricentro : y = S A = = 9 3 (8) (9)

7 eori di Jourwski.nb 8 3 Figur 8 - sezione di Figur 7 vist come insieme di tre rettngoli. Clcolo momento d' inerzi bricentrico dell' inter sezione - Si clcol il momento di inerzi dell sezione considerndol come costituit di tre rettngoli di Figur: I = I + A y + I + A y 3 + I 3 + A 3 y 4 = (0) 3. Clcolo del momento sttico dell prte di sezione sottostnte l cord generic, rispetto ll' sse orizzontle bricentrico. Occorre distinguere tre csi: Cso A - cord intersec il rettngolo superiore. Clcolndo, per semplicit', il momento sttico del complemento di S' si h: S ' = h d ' = h x + h dove l'ltezz h e' fornit d : h = 5 y x = x () ()

8 8 eori di Jourwski.nb ' h x X y Figur 9 - Cso A - cord tgli il rettngolo superiore Cso - cord intersec il rettngolo centrle. Si h: S '' = A y +3 h x + h = x (3) con : h = y x (4) X x h y Figur 0 - Cso - cord tgli il rettngolo centrle Cso C - cord intersec il rettngolo inferiore. Si h: S ''' = y x Kx + y x O = x (5)

9 eori di Jourwski.nb 83 X y x Figur - Cso C - cord tgli il rettngolo inferiore 4. Clcolo dell tensione tngenzile. Nei tre intervlli in cui l cord e' costnte si h, rispettivmente: σ 3 = σ 3 = σ 3 = S ''' S' I = I x M S'' 3 I = 940 I x M I = I84 00 x M e quindi il digrmm si present come in Figur. (6) (7) (8) 5. Clcolo dei vlori notevoli Il vlore mssimo viene ttinto sull cord che sepr il rettngolo inferiore dl rettngolo centrle, e vle: σ 3 mx = S ''' I x = y = (9) Significti sono nche i vlori sull cord bricentric e sull cord che sepr il rettngolo centrle dl rettngolo superiore: σ 3 br = S'' 3 I x = 0 = (30) σ 3 sup = S' I x = y 4 = (3)

10 84 eori di Jourwski.nb Figur - Il digrmm delle s 3 6. Verific dell'equilibrio risultnte delle tensioni dovr' essere pri ll forz di tglio pplict. Ed inftti si puo' verificre che: 5 y 3 4 y 940 I y M y+ 4 y 3 y 940 I y M y+ y 3 y 940 I y M y = = (3)

11 eori di Jourwski.nb Sezione tre rettngoli Figur 3 - Un sezione comptt e coordinte del bricentro sono note: x = y = Il momento di inerzi dell'inter sezione rispetto ll'sse orizzontle bricentrico e' llor fornito d: + (33) I = (34) = 4 Se l cord intersec i due rettngoli superiori, il momento sttico dell're d ess sottostnte, rispetto ll'sse orizzontle bricentrico sr' fornito d: S ' = x x + x mentre se intersec il rettngolo centrle si vr': = 4 3 x (35) S '' = x x + x Se infine l cord intersec il rettngolo inferiore, si vr' : = 5 3 x (36) S ''' = 3 x x + 3 x 4. Clcolo dell tensione tngenzile. = 4 3 x (37) Nei tre intervlli in cui l cord e' costnte si h, rispettivmente:

12 86 eori di Jourwski.nb σ 3 = σ 3 = S ' I = 4 x 4 4 S '' 3 I = 5 x 48 4 (38) (39) σ 3 = S ''' I = 4 x 4 4 e quindi il digrmm si present come : (40) Figur 4 - Il digrmm delle s 3 Si noti l simmetri del digrmm, dovut l ftto che i due rettngoli superiori possono rigurdrsi come un singolo rettngolo di bse, eq uindi equivlente l rettngolo inferiore. 5. Clcolo dei vlori notevoli Il vlore mssimo viene ttinto sulle corde che seprno il rettngolo centrle di corpi inferiore e superiore, e vle: S ' σ 3 mx = I x = = S ''' Significtivo e' nche il vlore sull cord bricentric: I x = = 8 = 0.5 (4) 6. Verific σ 3 br = S'' 4 I x = 0 = (4) 4 y 4 y 3 y 5 y y + 4 y = 3 y 4 4 y = (43)

13 eori di Jourwski.nb Sezione qudrt sollecitt lungo un digonle A C X D Figur 5 - Un sezione qudrt sollecitt lungo l digonle (d Cvllin - D'Ann) Si trcci il digrmm delle tensioni tngenzili utilizzndo corde prllele ll'sse orizzontle Soluzione - Il bricentro e' immeditmente clcolbile, essendo situto ll'incrocio delle due digonli. Il momento di inerzi dell'inter sezione rispetto ll'sse bricentrico puo' clcolrsi rigurdndo l sezione come somm dei due tringoli AC ed ACD. Si h llor: I = = 4 3 (44) Il momento sttico dell're sottostnte d un generic cord pprtenente l tringolo inferiore si puo' scrivere: S ' = b x d ' = b x x + 3 x = b 6 x + x e quindi le tensioni su quell cord vlgono : (45) σ 3 = 4 x + x (46)

14 88 eori di Jourwski.nb X ' x x b Figur 6 - Il cso dell cord prllel ll'sse orizzontle e tensioni s 3 rggiungono il vlore mssimo in corrispondenz del punto di tngenz verticle, ossi dove si nnull l derivt: d S' dx b = d dx e quindi in /4. Su tle cord si h: 9 σ 3 mx = 6 lddove l tensione sull cord bricentric vle : 6 x + x = 6 4 x σ 3 br = Infine, il digrmm si viene completre per simmetri nell prte superiore : (47) (48) (49) A C ê4 ê4 X D Figur 7 - Il digrmm delle s 3 Il digrmm delle s 3 - Sui punti del contorno l tensione tngenzile dovr' essere tngente l contorno

15 eori di Jourwski.nb 89 stesso, quindi dovr' essere: σ 3 = σ 3 lungo i bordi A e AD, e (50) σ 3 = σ 3 (5) lungo i bordi C e CD. Infine, l s 3 vrier' linermente lungo l cord, nnullndosi sull'sse verticle. Nel punto generico dell generic cord reltiv l tringolo inferiore, l tensione tngenzile sr' dirett verso il punto D, mentre nel generico punto dell generic cord reltiv l tringolo superiore, l tensione tngenzile sr' dirett verso il punto. A σ 3 C σ 3 σ 3 σ t σ t σ t σ 3 D Figur 8 - Il qudro tensionle completo delle s t 6. Sezione qudrt sollecitt lungo un digonle m l A m l C D Figur 9 - stess sezione, cso delle corde prllele i lti Si suddivid lo sforzo verticle nelle due componenti l e m secondo i lti C ed A. Si trcci il di-

16 90 eori di Jourwski.nb l m grmm delle tensioni tngenzili in presenz di m, utilizzndo corde prllele l lto C. Soluzione - Il momento sttico dell're trtteggit rispetto ll'sse l e' fornito d: m l A m D l m m C Figur 0 - Il clcolo del momentoi sttico rispetto ll'sse l S ' l = m m+ m = 8 I 4 m M e quindi l tensione s 3 m e' fornit d: (5) σ 3 m = m S l ' I = S' l I = 3 4 I 4 m M = m (53) Ripetendo l' nlisi in presenz di l, ed utilizzndo corde prllele d A, si ottiene un identico risultto, e sovrpponendo gli effetti si h un tensione tngenzile dirett secondo l verticle, che equilibr l forz verticle, e pri : σ 3 = 3 4 x (54)

17 eori di Jourwski.nb 9 7. Sezione tringolre Figur - Un sezione tringolo isoscele e coordinte del bricentro sono ben note, cosi' come e' noto il vlore del momento di inerzi I rispetto ll'sse bricentrle: I = 3 36 (55) Rest d clcolre il momento sttico dell're sottostnte l cord generic rispetto llo stesso sse. In questo cso, e' preferibile clcolre il momento sttico dell're sovrstnte l cord, e considerre che esso e' l'opposto del momento sttico desiderto: S ' = b 3 +x d ' = b 3 +x 3 x x 3 = b 7 3 x +3 x (56)

18 9 eori di Jourwski.nb ' 3 x Figur - Il clcolo del momento sttico Ne segue l' espressione dell tensione tngenzile: 4 σ 3 = x +3 x e quindi l' ndmento del digrmm risult prbolico : (57) X Figur 3 - Il digrmm delle s 3 Per il clcolo del mssimo vlore delle s 3, si identific l cord su cui il digrmm present pendenz verticle: d S' = 0 dx b ossi si clcol il vlore di x per cui: d 3 x +3 x = 0 dx (58) (59)

19 eori di Jourwski.nb 93 ossi: x mx = 6 (60) Ne segue il vlore dell tensione tngenzile mssim : σ 3 mx = 3 In corrispondenz dell cord bricentric si h un vlore leggermente inferiore: (6) σ 3 mx = 8 3 (6) 3 ê6 X 8 3 Figur 4 - I vlori notevoli ' ndmento delle tensioni s 3 - Su ciscun cord orizzontle l tensione s 3 vri con legge linere. Agli estremi, l tensione tngenzile s t e' dirett secondo il contorno, e quindi nel punto di sinistr si h: σ 3 sin = σ 3 n@α D dove e' fornit d: (63) α = Arcn F (64) Nel punto di destr si h : σ 3 des = σ 3 n@α D = σ 3 sin (65) In mezzeri, evidentemente, l s 3 si nnull. In ogni ltro punto dell cord, l tensione s t e' dirett verso il vertice del tringolo. à Clcolo à Clcolo

20 94 eori di Jourwski.nb rfici