Il pendolo fisico. Se l asse è orizzontale, l equazione del moto è, trascurando gli attriti che causano lo smorzamento dell oscillazione, d Mgd 2

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1 l pendolo fsco Un pendolo fsco è un corpo rgdo lbero d rotare attorno ad un asse fsso non passante per l suo centro d massa. l moto del pendolo è completamente descrtto dall angolo d rotazone θ(t), che msuramo per convenzone a partre dalla condzone d equlbro. Lascandolo lbero a partre da un angolo non nullo, l pendolo osclla. Se l asse è orzzontale, l equazone del moto è, trascurando gl attrt che causano lo smorzamento dell oscllazone, (1.1) d Mgd sn dt dove è l momento d nerza del corpo rgdo rspetto all asse d rotazone, M è la sua massa, g l accelerazone d gravtà, d la dstanza tra l asse e l barcentro e θ è l ampezza massma dell angolo d oscllazone. cordamo che nel caso del pendolo semplce l equazone è (1.) d g sn dt l dove l è la lunghezza del pendolo. Qund un pendolo fsco ha la stessa dnamca d un pendolo semplce con l M d. S trova che l perodo d oscllazone è (1.3) 1 9 Mgd sn sn... Defnamo l perodo per le pccole Mgd oscllazon. n questa esperenza utlzzeremo l pendolo Pasco, composto da una astcella che può essere fssata ad un perno tramte un bulloncno n poszone centrale o decentrata. l perno è collegato ad un msuratore d rotazone nterfaccato al computer. Sulla astcella possono essere fssat uno o pù blocchett d ottone che modfcano l momento d nerza del pendolo.

2 Operazon nzal Msurare massa e dmenson della astcella e de blocchett, la dstanza b tra due for dell astcella e l dametro del cerchetto d plastca usato per fssare l astcella. Verfcare l orzzontaltà dell asse d rotazone. Predsporre l sstema per camponamento a Hz e alta rsoluzone ( punt a gro). Msure ampezza e perodo Scelta una data confgurazone del pendolo (scelto coè l punto d sospensone e la poszone del/degl eventual blocchett, osserveremo l ampezza e l perodo delle oscllazon. Queste nformazon possono rcavars drettamente da grafc prodott dal sstema d acquszone DataStudo o, con maggore effcenza, elaborando dat archvat dal sstema n un fle. Cò può fars n var mod con un programma (per esempo n C o n Matlab). n alternatva s può mportare dat del fle n un foglo Ecel e qund elaborare dat come colonne Ecel. Esempo d foglo Ecel: colonna 1 (A) : ascssa temporale (da DataStudo) colonna (B) : angolo rozzo (da DataStudo) colonna 3 (C) : angolo corretto (B-meda(B)) [n C =B-$C$1 e n C1 =MEDA(B:B516)] colonna 4 (D): tempo dell nzo dell oscllazone (passaggo per ) [n D14 =SE(E(C13<;C14>=);A13- C13*.5/(C14-C13);D13)] colonna 5 (E): perodo [n E15 =SE(D15>D14;D15-D14;E14)] colonna 6 (F): ampezza [n F3 =(MAX(C1:C3)-MN(C1:C3))/ ] Le colonne E e F possono essere utlzzate per fare ulteror elaborazon (per esempo per l calcolo d ) possono essere grafcate; ecco grafc prodott da Ecel per l perodo e l ampezza:

3 elazone ampezza/perodo L andamento teorco del perodo n funzone dell ampezza dell oscllazone è, n prma approssmazone, (1.4) sn... 1 sn... Mgd 4 4 Possamo controllare se nel caso del nostro espermento cò sa verfcato e msurare quanto vale. Cò può essere fatto a partre da valor d ampezza e perodo calcolat col programma o Ecel. Ottenamo per (1.5) 1 1 sn 4 S può calcolare creando una nuova colonna (per esempo G) col comando, =E34/(1+.5*SEN(F34*P.GECO()/36)^) (l comando è, per la rga 34). Ecco l grafco:

4 Calcolo del centro d massa e del momento d nerza del pendolo Per quest calcol supponamo che l montaggo dell astcella sa perfettamente ortogonale all asse d rotazone. Per calcolare l centro d massa d un corpo rgdo composto d pù part, rcordamo che se cascuna parte ha massa m e centro d massa, s ha per l c.d.m. (1.6) m m Per la smmetra del montaggo possamo rappresentare l centro d massa con una sngola coordnata che ndcherà la dstanza dall asse d sospensone. Detta semplcemente d l valore n questa coordnata e d centr d massa n questa coordnata delle vare part, abbamo (1.7) d m d m Calcolamo l momento d nerza del pendolo rspetto all asse d rotazone. cordamo seguent due teorem: - l momento d nerza d un corpo rgdo composto da pù part rspetto a un asse è dato dalla somma de moment d nerza rspetto all asse delle vare part. - l momento d nerza d un corpo rspetto a un asse a è dato dalla (1.8) M d dove è l momento d nerza del corpo rspetto a un asse passante per l centro d massa e parallelo ad a, M la massa del corpo e d la dstanza tra l centro d massa e l asse. l nostro pendolo è composto da - una astcella d massa M a e lunghezza L a, l cu centro d massa è nel centro (corrspondente al foro centrale). Essendo d a la dstanza tra l asse e l centro d massa dell astcella, l momento d nerza è dato da (1.9) ML 1 a a a M ada l valore d d a è se s usa per la connessone all asse rotante l foro centrale, ed è b (dstanza tra due for) se s usa l foro superore. - n (=, 1 o ) blocchett d ottone fssat all astcella. Cascun blocchetto ha una massa M, altezza h, raggo esterno r 1 e raggo del foro r e sa poszonato (poszone del centro d massa) a una dstanza d dall asse. L -esmo blocchetto ha un momento d nerza

5 (1.1) 3 1 M r r h M d 1 - l asse e l sstema d fssaggo all asse: questa parte ha, graze alla sua smmetra, la partcolartà d avere l centro d massa sull asse d rotazone del pendolo. l momento d nerza d questa parte del pendolo non può essere calcolato (non possamo smontare l sstema), ma può valutars con un apposto espermento. è comunque molto pù pccolo d quello delle altre part e qund n prma approssmazone s può trascurare, o comunque non occorre valutarlo con grande accuratezza. l momento d nerza del pendolo rspetto all asse d rotazone è qund dato da (1.11) a Msura d Supponamo d avere un corpo, rotante attorno a un asse, composto d due part, una d massa, centro d massa e momento d nerza not M, d e e una d massa e momento d nerza gnot M e e centro d massa sull asse. S è così realzzato un semplce pendolo che ha perodo d oscllazone (1.1) Mgd M d M g M d M M g M M Come s vede, nella relazone non compare M. Possamo utlzzare questa equazone per msurare. Per far cò fssamo col nastro adesvo leggero un bullone (o qualsas pccola massa) d massa m sulla perfera del cerchetto d plastca d raggo r (senza l montaggo dell astcella). Damo un pccolo angolo d rotazone al sstema e osservamo le oscllazon. cordamo che non occorre una grande accuratezza nella msura d, poché l suo valore sarà sempre sommato agl altr termn che sono molto maggor. Possamo qund usare metod semplc per valutare, porre m r e porre semplcemente g = 98 cm/s. Calcolamo qund (1.13) g m r m r 4 S not che, ovvamente, non rcavamo nformazon su M.

6 Verfca del perodo Possamo procedere n due mod: Usare l foro superore ed un solo blocchetto: Ecco l grafco de valor d perodo trovat (n puntnato sono valor attes) al varare della poszone del blocchetto: Usare l foro centrale e due blocchett: Fssare un blocchetto nella parte centrale della metà superore dell astcella, e qund l altro blocchetto nella metà nferore (ma n modo da lascare l centro d massa nella metà nferore. S nota che s possono raggungere perod molto lungh se l secondo blocchetto s avvcna molto alla poszone smmetrca a quella del prmo blocchetto; se la raggunge, l pendolo non ha pù una poszone d equlbro stable e l perodo va all nfnto. Se l secondo blocchetto supera questa poszone, l pendolo nverte la sua poszone stable (coè s rgra). n questa confgurazone s possono ottenere perod molto lungh con centro d massa molto vcno all asse d rotazone.

7 Msura d g Cerchamo ora d rcavare l valore dell accelerazone d gravtà g a partre dalle osservazon del pendolo fsco. L equazone da utlzzare è (1.14) g 4 M d dove, M e d sono l momento d nerza rspetto all asse d rotazone, la massa e la dstanza del barcentro. cordamo però che non conoscamo parte della massa del pendolo. Ponamo M M M, dove M è la massa del perno e del sstema d bloccaggo all asse e M è la restante parte. Non conoscendo M, non conoscamo neanche la poszone del centro d massa del pendolo. uttava, poché la M ha l centro d massa sull asse, possamo ottenere una nuova espressone svluppando l prodotto M d come (1.15) dove d è l centro d massa della parte restante. Qund possamo usare M d M M d M M M d M M (1.16) g 4 M d dove (1.17) M M M d a M d M d M a a Per ottenere mglor rsultat occorre rdurre al mnmo gl error d poszone de blocchett e cò può fars per esempo non usando blocchett o ponendo un solo blocchetto n poszon n cu sa mnmo l errore d poszone (per esempo all estremo). Lo studo dell ncertezza della msura non è semplcssmo. n cas come questo è convenente farlo tramte una smulazone (nel gergo de fsc un montecarlo ).

8 Error sstematc n questa msura sono present var error sstematc. Ecco pù nteressant: - non orzzontaltà dell asse d rotazone: s rduce l valore della forza (d gravtà) che rchama l pendolo nella poszone d equlbro; n altr termn l pendolo vede un mnor valore d g. Se l errore d orzzontaltà è l angolo φ, s ha un errore sstematco relatvo cos(φ)-1. - non ortogonaltà del pendolo con l asse d rotazone: poché nel calcolo del momento d nerza no supponamo che l astcella sa ortogonale all asse d rotazone, è come se rducesse l momento d nerza effettvo rspetto all asse. nfatt, poché nella (1.16) ponamo un valore pù elevato d, l effetto aumenta l valore d g. - sostegno non perfettamente rgdo: l sostegno osclla anch esso col pendolo e qund è come se l pendolo fosse pù lungo ; l effetto è qund quello d valutare un g nferore - errore sull orologo dell acquszone - errore d modello (per esempo asmmetra nella bacchetta dovuta alla presenza del foro superore) - presenza dello smorzamento dovuto ad attrto con l ara (trascurato n questo studo): aumenta l perodo e qund dmnusce l valore d g calcolato con la (1.16); nel nostro caso questo effetto è scuramente trascurable. Smorzamento C sono due prncpal cause d attrto nel pendolo n studo: - attrto vscoso con l ara, che s manfesta come una forza che s contrappone al moto, proporzonale con buona approssmazone nel nostro caso alla veloctà d rotazone - attrto al perno, n pratca attrto volvente con le sfere de cuscnett a sfere che sostengono l perno; questo attrto è schematzzable come una forza costante agente tangenzalmente al perno e che s contrappone alla rotazone. L equazone è (1.18) d d k d Mgd P sgn sn dt dt dt d dove l termne descrve l attrto vscoso e produce uno smorzamento esponenzale, mentre l dt d termne kp sgn descrve l attrto al perno e produce uno smorzamento lneare. Questo secondo dt termne prevale quando l perodo è molto lungo e l centro d massa è vcno all asse.