C(sotto) Figura 1. Il solido G.

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1 sercizi di calcolo vettoriale integrale sercizio 1. Sia G = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, z 2 x 2 + y 2 }. (1) isegnare G e verificare che la frontiera di G si compone di tre porzioni, superiore A, laterale B, base. (2) Usando il teorema della divergenza trovare il flusso uscente da ciascuna delle tre porzioni di frontiera per i tre campi F dati successivamente da: F(x, y, z) = z k; F(x, y, z) = xi; F(x, y, z) = y j. Risoluzione. (1) Ricordiamo che x 2 +y 2 è il quadrato delle distanza del punto (x, y, z) dall asse z; pertanto l insieme {(x, y, z) : x 2 + y 2 1} è l insieme dei punti che distano meno di 1 dall asse z, ed è quindi il cilindro circolare (illimitato) che ha l asse z come asse, e raggio 1. Ricordiamo poi che z = x 2 + y 2 è l equazione del cono che ha l asse z come asse, ottenuto facendo ruotare attorno all asse z la semiretta nel piano xz di equazione z = x, con x. Pertanto z = x 2 + y 2 è il simmetrico di questo cono rispetto al piano xy, e z = 2 x 2 + y 2 è quest ultimo cono traslato di 2 in alto. Insomma, z = 2 x 2 + y 2 è un cono illimitato con il vertice in (,, 2) e la concavità verso il basso, cono ottenuto facendo ruotare la semiretta nel piano xz di equazione z = 2 x, con x, attorno all asse z. A B (sotto) Figura 1. Il solido G. Vediamo ora l intersezione delle due superficie: si ha z = 2 1, cioè z = 1; l intersezione è il circolo di centro (,, 1) e raggio 1 nel piano z = 1. Il solido consta di un cilindro circolare retto : {(x, y, z) : z 1, x 2 + y 2 1}, di raggio di base 1 ed altezza 1, e quindi volume π = π, con sovrapposto un cono circolare retto di base il disco sul piano z = 1 di centro (,, 1) e raggio 1, ed altezza 1 (vertice in (,, 2)), e quindi volume π/3; il volume di G è quindi complessivamente π + π/3 = (4/3)π le porzioni di frontiera sono 1, superiore: A = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, ζ = 2 x 2 + y 2 }. È la superficie laterale del cono. 2, laterale: B = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1, z 1}; è la superficie laterale del cilindro. 3, base: = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1, z = }; è la base del cilindro, sul piano xy. Tutti e tre i campi hanno divergenza 1, per cui per tutti e tre il flusso totale uscente da G è pari al volume di G, e cioè a (4/3)π. Primo campo, z k: osserviamo che è parallelo all asse z, e quindi è parallelo anche alla porzione laterale B della frontiera, per cui Φ B =. Inoltre il campo è nullo sulla base (z = ), per cui anche il flusso Φ uscente dalla base è nullo. Tutto il flusso esce quindi dalla parte superiore A: riassumendo si ha ampo z k : Φ A = 4 3 π; Φ B = ; Φ =. Secondo campo, xi. Stavolta il campo è parallelo all asse x. Pertanto è parallelo anche alla base, che sta sul piano xy, per cui Φ =. Per trovare il flusso Φ B possiamo applicare il teorema della divergenza 1

2 2 al cilindro {(x, y, z) : x 2 +y 2 1, z 1}: il flusso totale del campo xi uscente da esso vale π, e dalla base e dalla cima del cilindro (cima=disco unitario sul piano z = 1) non esce flusso; il flusso esce solo da B, per cui Φ B = π. Allo stesso modo il teorema della divergenza applicato al cono sommitale dice che il flusso totale uscente da esso vale π/3, dalla base non esce flusso, quindi il flusso che esce da A è π/3, Riassumendo: ampo xi : Φ A = π 3 ; Φ B = π; Φ =. Le stesse cose valgono per il campo y j: basta osservare che scambiando x con y il solido G e la sua frontiera non cambiano, quindi si ha. Ogni rotore è solenoidale. ampo y j : Φ A = π 3 ; Φ B = π; Φ =. In altre parole, la divergenza di un rotore è sempre nulla ( F) =, per ogni campo F. È l analogo, in grado più alto, dell enunciato Ogni gradiente è irrotazionale cioè per ogni campo scalare U si ha U(x, y, z) =. La dimostrazione è una facile conseguenza dell invertibilità dell ordine di derivazione (uguaglianza delle derivate miste, teorema di Schwarz ) e sicuramente si trova da qualche parte sul testo. sercizio 2. ato il campo calcolarne il flusso di F attraverso la superficie F(x, y, z) = xy i + x 2 j + yz k, S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z }; l orientazione del vettore normale è quella esterna alla sfera. Risoluzione. La mezza sfera ha come bordo il circolo unitario. obbiamo solo vedere se l orientazione usuale (antioraria se vista dall alto) è coerente con la normale esterna, quella con terza componente positiva. Parametrizzando la mezza sfera in coordinate sferiche si ha (sin ϕcosϑ, sin ϕsin ϑ, cosϕ), ϕ [, π/2], ϑ [, 2π]; e sappiamo che la normale è quella esterna (il prodotto vettoriale dei vettori derivate parziali ha come terza componente cosϕsin ϕ, positiva per < ϕ < π/2). Il circolo bordo γ si ha con ϕ = π/2 ed è proprio (cosϑ, sin ϑ, ), ϑ [, 2π]. Quindi, per la formula di Stokes il flusso richiesto è proprio (scrivo t invece di ϑ): F dr = (xy dx + x 2 dy + yz dz) = (costsin t( sint) + cos 2 t cost + )dt = γ γ cost(cos 2 t sin 2 t)dt = cost(1 2 sin 2 t)dt = [sint] 2π 2 3 [sin3 t] 2π =. Altrimenti, calcoliamo il rotore di F: det i / x xy j / y x 2 = (z )i + ( )j + (2x x)k = z i + xk. k / z yz ato che ogni rotore è solenoidale, i flusso di F uscente dalla mezza palla è nullo; quindi il flusso uscente dalla semisfera è l opposto del flusso che esce dal piano diametrale della mezza sfera, e cioè dal disco unitario sul piano xy; il versore normale uscente è k, quindi il flusso è (i + xk) ( k)dxdy = xdxdy =. Un utile osservazione. hiamiamo a variabili separate un campo quale a(x) i+b(y) j+c(z) k: cioè, ogni componente è funzione solo della variabile di ugual posto della componente stessa: a, b, c sono funzioni di una sola variabile.. Ogni campo a variabili separate è conservativo.

3 3 La cosa si vede subito: se A, B, sono primitive di a, b, c rispettivamente, se cioè si ha A (x) = a(x), B (y) = b(y), (z) = c(z), per ogni x, y, z, allora U(x, y, z) = a(x)i + b(y)j + c(z)k. Quando si deve circuitare un campo, gli addendi conservativi portano contributo nullo e possono essere eliminati; il precedente è un criterio per riconoscere facilmente un tipo particolare di tali addendi. Lo vedremo negli esercizi successivi. Attenzione però a non fraintendere: xi ed y j sono campi a variabile separate e quindi conservativi (potenziali x 2 /2 ed y 2 /2 rispettivamente), ma y i ed xj non sono a variabili separate, e nemmeno sono conservativi (hanno rotore k e k rispettivamente)! y i+x j è conservativo (potenziale xy), pur non essendo a variabili separate. sercizio 3. ata la curva { (x 1) 2 + 4y 2 = 16 2x + y + z = 3, orientata in modo antiorario se vista dall alto, calcolare F dr dove F = (z 2 + y 2 + sin(x 2 ))i + (2xy + z)j + (xz + 2yz)k. Risoluzione. Osserviamo che il campo sin x 2 i è conservativo, in quanto campo a variabili separate, pertanto esso porta contributo nullo alla circuitazione, che coincide con ( (z 2 + y 2 )dx + (2xy + z)dy + (xz + 2yz)dz ). La prima equazione si scrive anche (x 1) 2 /4 2 +y 2 /2 2 = 1, e nel piano è l equazione di un ellisse di centro (1, ) e semiassi 4 e 2, nello spazio è l equazione del cilindro ellittico con direttrici parallele all asse z che interseca questa ellisse sul piano xy. L altra è l equazione di un piano, e la curva, ancora un ellisse, si parametrizza come x = cost; y = 2 sint; z = 3 2(1 + 4 cost) 2 sint; t [, 2π]. I calcoli sono fattibili ma complicati. onviene usare la formula di Stokes; si vede facilmente che una superficie che ha per bordo è F(x, y, z) = (2z 1)i + z j; x = x; y = y; z = 3 2x y (x, y), dove = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 /4 2 + y 2 /2 2 1} è la ellisse sopra trovata Figura 2. L ellisse. L orientazione è quella giusta dato che nel piano l ellisse viene percorsa nel verso antiorario. Si ha per il flusso 2(3 2x y) 1 1 det 3 2x y 1 dxdy = 2 1 (2(3 2x y) 1) x y)dxdy = ( 1x 5y + 13)dxdy = 1 xdxdy 5 y dxdy + 13 dxdy Si ha ora: Area() = π 4 2 = 8π = dxdy; xdxdy = x baricentro di Area() = 1 8π; y dxdy = y baricentro di Area() = 8π; in definitiva la circuitazione richiesta è 13 8π 1 8π = 24π.

4 4 sercizio 4. alcolare, sia direttamente che con la formula di Stokes { (y dx xdy + z 2 z = y 2 dz) dove = x 2 + y 2 = 4, l orientazione essendo quella antioraria se vista dall alto. Risoluzione. iscutiamo la curva. ssa sta sul cilindro illimitato che ha l asse z come asse, e raggio 2. Nell equazione z = y 2 manca la coordinata x; questo significa che se (a, y, z) è nel luogo delle soluzioni, allora anche tutti i punti (x, y, z), qualunque sia x, sono nel luogo delle soluzioni; il luogo è quindi un cilindro con direttrici parallele all asse x. L intersezione con il piano yz è la parabola di equazione z = y 2, quindi si tratta di un cilindro parabolico. La curva è intersezione di questi due cilindri ed è come in figura. Figura 3. Solido il cui bordo superiore è la curva dell esercizio. La parametrizzazione è immediata: x = 2 cost; y = 2 sint; z = 4 sin 2 t t [, 2π]. Il termine z 2 dz può essere omesso, dato che la forma z 2 dz, a variabili separate, è esatta. L integrale diventa allora (y dx xdy) = (2 sint( 2 sint) 2 cost 2 cost)dt = ( 4 sin 2 4 cos 2 t)dt = 8π. Volendo usare la formula di Stokes calcoliamo il rotore del campo F(x, y, z) = y i xj + z 2 k, che si vede facilmente essere F(x, y, z) = 2k (nel calcolo il termine z 2 k può ovviamente essere omesso). Il rotore essendo a divergenza nulla, il flusso di esso uscente dalla superficie superiore del solido di figura è opposto a quello che esce dalla base, base che è il disco nel piano (x, y) di centro l origine e raggio 2, con versore normale k. Il flusso uscente dalla base è quindi ( 2k) ( k)area() = 8π. e quello richiesto è quindi 8π, opposto di esso. sercizio 5. alcolare il volume del solido racchiuso tra le superficie dell esercizio precedente, direttamente con la formula di riduzione, e facendo un calcolo diretto del flusso uscente dal solido del campo F(x, y, z) = z k. Risoluzione. Si ha subito, detto S il solido, che è S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 4, z y 2 }, posto = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4}: ( ) z=y 2 Volume(S) = dxdydz = dz dxdy = y 2 dxdy = S [,2] [,2π] z= ( 2 r 2 sin 2 ϑ r drdϑ = ) ( r 3 dr sin 2 ϑ dϑ ) = 24 4 π = 4π. Il calcolo del flusso conduce subito allo stesso integrale: dalla base e dalla superficie laterale del solido non esce flusso, dalla base perché il campo è nullo sulla base, dalla superficie laterale perché il campo è

5 5 parallelo ad essa. sce flusso solo dalla cima, superficie parametrizzata con x = x, y = y, z = y 2, con (x, y), quindi il flusso vale: det 1 1 dxdy = y 2 dxdy, y 2 2y integrale appena calcolato, pari al volume di S. sercizio 6. Sia il solido racchiuso tra il piano xy e le superficie di equazione contenuto nel semispazio z. x 2 + y 2 = z 2, x 2 + y 2 2y =, (i) escrivere a parole il solido e disegnarlo. (ii) Trovare il volume di (si suggerisce l uso delle coordinate cilindriche). (iii) iciamo la porzione di frontiera di sul piano xy, S quella sulla superficie di equazione x 2 + y 2 = z 2, T quella sulla superficie di equazione x 2 + y 2 2y =. Trovare il flusso del campo G(x, y, z) = y i + xj uscente da, S, T. (iv) alcolare le aree di, S. (v) alcolare l area di T. Risoluzione. (i) La superficie di equazione z 2 = x 2 + y 2 è, come ben noto, un cono (a due falde; z = x2 + y 2 è la falda superiore, superficie ottenuta facendo ruotare la semiretta z = x, x, del piano xz attorno all asse z); la superficie x 2 + y 2 2y = è un cilindro con asse parallelo all asse z: nel piano xy, l equazione x 2 + y 2 2y = x 2 + y 2 2y + 1 = 1 x 2 + (y 1) 2 = 1 rappresenta il circolo di centro (, 1) e raggio 1; mancando la coordinata z i punti (x, y, z) verificano l equazione se e solo se (x, y) verifica l equazione del circolo. La superficie è quindi il cilindro di raggio 1 che ha per asse la retta {(, 1, z) : z R}. L intersezione si disegna ora facilmente. Figura 4. L insieme, visto dal punto di coordinate (3, 1, 2). (ii) Il volume di può essere trovato anche senza aver pienamente compreso come è fatto : un insieme F = {(r, ϑ, ζ) : } che si trasforma in è dato dalle disuguaglianze: r 2 ζ 2, r 2 2r sinϑ, ζ, e semplificando, tenendo conto del fatto che deve essere r si trova r ζ; r 2 sinϑ, ζ ; sempre dato che r, deve essere sinϑ, e questo implica ϑ π. oncludendo Si ha allora subito F = {(r, ϑ, ζ) : r 2 sinϑ, ζ r, ϑ [, π]}. Volume() = dxdydz = r drdϑdζ; F

6 6 applichiamo la formula di riduzione all ultimo integrale: ( ) ζ=r r drdϑdζ = r dζ drdϑ = F A ζ= A r 2 drdϑ, dove A = {(r, ϑ) : r 2 sinϑ, ϑ π}, da cui, applicando ancora la formula di riduzione ( ϑ=π ) r=2sin ϑ r 2 drdϑ = r 2 dr dϑ = 8 π sin 3 ϑ dϑ = 8 π sin ϑ(1 cos 2 ϑ)dϑ = 3 3 A 8 3 ϑ= π r= sinϑdϑ 8 3 π cos 2 ϑ sin ϑ dϑ = [cos3 ϑ] π = = (iii) Il flusso globalmente uscente da è nullo, dato che il campo ha divergenza nulla. Inoltre il flusso attraverso è nullo, dato che giace su piano xy e la sua normale k è ortogonale al campo G. Il campo è anche tangente al cono, che è superficie di rotazione attorno all asse z, e quindi anche il flusso uscente da S è nullo; ne segue che anche il flusso uscente da T è nullo. (iv) L area di, cerchio di raggio 1, è ovviamente π. L area di S è data da (S ha parametrizzazione cartesiana (x, y, x 2 + y 2 ), con (x, y) ) Area(S) = 1 + x2 x 2 + y 2 + y2 x 2 + y 2 dxdy = 2dxdy = π 2. (v) Parametrizziamo T in coordinate cilindriche: r = 2 sin ϑ, visto che siamo sul cilindro, e z = ζ r; una parametrizzazione è x = r cosϑ = 2 sinϑcosϑ(= sin(2ϑ); y = r sin ϑ = 2 sin 2 ϑ; z = ζ (ϑ, ζ) P, dove P = {(ϑ, ζ) : ζ 2 sinϑ, ϑ [, π]}, trapezoide della funzione 2 sinϑ al di sopra dell intervallo [, π]. La matrice jacobiana di tale parametrizzazione è 2 cos(2ϑ) 2 sin(2ϑ), 1 con corrispondente elemento d area 4 cos 2 (2ϑ) + 4 sin 2 (2ϑ)dϑdζ = 2 dϑdζ. Per l area si ha allora Area(T) = 5 dϑdζ = 2Area(P) = 8, dato che facilmente si ha Area(P) = ϑ=π ϑ= P ( ) ζ=2 sin ϑ dζ dϑ = 2 ζ= π sin ϑ dϑ = 4. sercizio 7. ato il solido = {(x, y, z) R 3 : z x 2 + y 2, x 2 + y 2 2y}, calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (x + z)k uscente da ciascuna porzione di frontiera di. Risoluzione. Il solido è quello dell esercizio precedente. La divergenza di F vale costantemente 1, per cui il flusso uscente è pari al volume di V, che vale come sopra visto 32/9. Sulla base ilversore normale esterno è k, si ha z = ed il flusso uscente vale (x + )k ( k)dxdy = xdxdy =, (l ultimo integrale è nullo per simmetria). ato che il campo è parallelo all asse z, dalla parte laterale di frontiera non esce flusso. alla cima esce quindi 32/9 di flusso. sercizio 8. È dato il campo F(x, y, z) = ((x2 +y 2 )/2)k. Sia = (x, y, z) R 3 : y 2 + z 2 x 1}. isegnare, e calcolare il flusso di F che esce da ogni porzione di frontiera di. Trovare la circuitazione di F lungo la curva intersezione delle superficie x = 1 ed x = y 2 + z 2, orientata ad arbitrio. alcolare il rotore F; dato il campo G = y i + xj + 2k, trovare il flusso di G uscente da ogni porzione di frontiera di.

7 7 Figura 5. L insieme, cono il cui asse è l asse x, con vertice in (,, ), raggio di base 1 ed altezza 1. Risoluzione. Si vede che è un cono, come nella didascalia della figura. Il campo ha divergenza nulla, per cui il flusso totale uscente da è nullo. ato che il campo è parallelo all asse z il flusso del campo che esce dalla base del cono è nullo, e qundi è nullo anche quello che esce dalla superficie laterale. La curva è il circolo di equazione x = 1 e y 2 + z 2 = 1 come subito si vede. Sul circolo il campo indotto è conservativo (è (1 + z 2 )k e quindi ha circuitazione nulla. sercizio 9. alcolare F r dove F(x, y, z) = y e x i + (x + e x )j + z 2 k, e è la curva parametrica r(t) = (1 + cost)i + (1 + sint)j + (1 costsin t)k, con t [, 2π]. ercare prima di semplificare F togliendo addendi conservativi. Risoluzione. L addendo z 2 k, a variabili separate, è certamente conservativo e può essere eliminato. È un po più difficile accorgersi del fatto che anche y e x i + e x j è conservativo (potenziale e x y) per cui resta: F dr = xj dr = xdy, ed il calcolo è a questo punto immediato: xdy = (1 + cost)cos t dt = π. Se non ci si accorgeva della conservatività di y e x i + e x j si trovava: F dr = (y e x dx + (x + e x )dy = ((1 + sint)e 1+cos t ( sint) + (1 + cost + e 1+cos t )cost)dt = (e 1+cos t (cos t sin t sin 2 t) + cost + cos 2 t)dt integrale fattibile ma complicato. onviene fermarsi al livello F dr = (y e x dx + (x + e x )dy), ed osservare che è il circolo di centro (1, 1) e raggio 1; la formula di Green ci dice a questo punto che si ha (y e x dx + (x + e x )dy = (1 + e x e x )dxdy = dxdy = π.

8 8 sercizio 1. Verificare che (y dx + z dy + xdz) = 3π a 2, dove è la curva intersezione di x 2 + y 2 + z 2 = a 2 con x + y + z =, orientata convenientemente. Risoluzione. Il campo F(x, y, z) = y i + z j + xk ha per rotore (i + j + k). L intersezione del piano x+y+z = con la sfera di centro l origine e raggio a è uno dei cerchi massimi della sfera, dato che il piano passa par l origine; in particolare ha area π a 2. Il piano ha come versori normali (±1/ 3)(i + j + k). Pertanto i possibili flussi sono (i + j + k) (i + j + k) da = 3 πa 2, 3 come si voleva (da è l elemento d area di ). sercizio 11. Trovare il volume del solido S delimitato da z = x 2 + y 2 e z = 1 y 2. Sia poi la curva intersezione delle superficie precedenti. Parametrizzare e trovare in due diversi modi (y dx + xdy + xz dz). Figura 6. L insieme S, il cui bordo è la curva. Risoluzione. Si ha 1 y 2 nella striscia 1 y 1 del piano xy; cerchiamo intanto il luogo {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 1 y 2 }; si ha x 2 + y 2 1 y 2 x 2 + 2y 2 1 x 2 + y 2 (1/ 2) 2 1, ellisse di centro l origine e semiassi 1, 1/ 2, che chiamiamo. La disuguaglianza inversa è verificata nel complementare dell ellisse, illimitato e quindi da escludere. Il solido è quindi S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + (y/(1/ 2)) 2 1, x 2 + y 2 z 1 y 2, } (punti sotto al cilindro e sopra al paraboloide). Il volume è facile ( ) z=1 y 2 Volume(S) = dxdydz = dxdy = S dxdy z=x 2 +y 2 dz (x 2 + 2y 2 )dxdy. (1 x 2 2y 2 )dxdy = Il primo integrale è l area dell ellisse, e quindi vale π/ 2. Per il secondo si pone x = u e y = v/ 2; l integrale diventa (u 2 + v 2 ) dudv = 1 (u 2 + v 2 )dudv, 2 2 dove = {(u, v) R 2 : u 2 + v 2 1} è il disco unitario. Passando a coordinate polari si ha poi 1 (u 2 + v 2 )dudv = 1 r 2 r drdϑ = 2 π [ ] r 4 r=1 = π In definitiva: [,1] [,2π] Volume(S) = π/(2 2). r=

9 9 Figura 7. Intersezione del paraboloide con il cilindro ellittico. Una parametrizzazione della curva intersezione è facile da trovare: essa si proietta sull ellisse prima trovata, e quindi una possibile parametrizzazione è x = cost; y = sin t 2 ; z = 1 y(t) 2 = 1 sin2 t 2 = 1 + cos2 t, t [, 2π]. 2 Si può ora osservare che il campo y i+xj è conservativo (potenziale xy). La circuitazione richiesta quindi è semplicemente xz dz = cost 1 + cos2 t cost( sin t)dt = 1 cos 2 t(1 + cos 2 t)( sint)dt = ; 2 2 l ultimo integrale è nullo per simmetria, potendosi scrivere cos 2 t(1 + cos 2 t)( sin t)dt = π π cos 2 t(1 + cos 2 t)( sin t)dt, grazie alla periodicità. Usando invece la formula di Stokes: il campo F = xz k ha come rotore F = z j. Il flusso attraverso la superficie z = x 2 + y 2 (non ci preoccupiamo per ora dell orientazione), con (x, y) vale 1 det (x 2 + y 2 ) 1 dxdy = (x 2 + y 2 )2y dxdy = 2x 2y sercizio 12. Si considerino i campo vettoriali F(x, y, z) = 2(y + z)i + 2(z + x)j + 2(x + y)k; G(x, y, z) = (z 2 y 2 )i + (x 2 z 2 )j + (y 2 x 2 )k; dopo aver verificato che G = F si calcoli il flusso di F attraverso la superficie orientando con la normale esterna alla sfera. S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = 1, z }, Risoluzione. La superficie è la porzione di sfera (di centro l origine e raggio 2) interna al cilindro di asse l asse z e raggio 1. Il bordo è quindi il circolo di raggio 1 alla quota 1+z 2 = 4, e cioè z 2 = 3, cioè z = 3, ricordando che si ha z. Il flusso uscente è quindi uguale al flusso attraverso il disco piano di centro sull asse z, e raggio 1, alla quota z = 3. Il versore normale positivo è k; il flusso è 2 ((y + 3)i + ( 3 + x)j + (x + y)k) kdxdy = 2 (x + y)dxdy =. Il calcolo diretto della circuitazione di G sulla curva bordo è comunque tutt altro che proibitivo. La curva bordo è la circonferenza x = cos t, y = sin t, z = 3, con t 2π. Per la circuitazione si ha quindi I Z 2π Z 2π G dr = ((3 sin 2 t)( sin t) + (cos 2 t 3) cos t) dt = ((cos 3 t + sin 3 t) 3(cos t + sin t))dt; γ chiaramente si ha R 2π (cos t + sin t)dt = ; uno studio delle simmetrie conduce facilmente a mostrare che si ha anche Z 2π cos 3 tdt = Z 2π sin 3 t dt =.